Добавлен: 06.02.2019
Просмотров: 4556
Скачиваний: 4
41
.
y
A
y
A
A
y
,
y
A
y
А
А
y
.
.
.
.
.
.
.
,
y
A
Аy
А
y
,
Ay
y
m
m
)
m
(
m
m
)
m
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
1
1
0
2
0
2
0
1
3) выбирают
y
A
y
и
y
A
y
m
)
m
(
m
)
m
(
1
1
, тогда
m
i
)
m
(
i
n
y
y
lim
1
1
или
)
m
(
i
)
m
(
i
y
y
1
1
,
где y
i
– соответствующие координаты векторов y
(m+1)
и y
(m)
.
Возникает вопрос выбора начального вектора у
(0)
. При неудачном
выборе можем не получить значения нужного корня, или же предела может
не существовать. Этот факт при вычислении можно заметить по прыгающим
значениям этого отношения, следовательно, нужно изменить у
(0)
. В качестве
первого собственного вектора можно взять вектор у
(n+1)
и пронормировать
его.
Пример. Найти наибольшее по модулю собственное значение и
соответствующий ему собственный вектор матрицы А
1
1
0
2
2
1
0
1
3
A
1) Выбираем начальный вектор
1
1
1
(0)
y
.
2) Вычисляем последовательно векторы y
(1)
, y
(2)
, …, y
(10)
. Вычисления
помещаем в таблицу 2.
Таблица 2 – Вычисление векторов y
(n+1)
y
(0)
А*y
(0)
А
2
*y
(0)
А
3
*y
(0)
……..
А
9
*y
(0)
А
10
* y
(0)
1
4
17
69
243569
941370
1
5
18
67
210663
812585
1
2
7
25
73845
284508
42
3) Вычисляем отношения координат векторов
)
(
i
y
и
)
(
i
y
9
10
.
.
y
y
;
.
y
y
;
.
y
y
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
853
3
857
3
865
3
9
3
10
3
3
1
9
2
10
2
2
1
9
1
10
1
1
1
4) Вычисляем λ
1
как среднее арифметическое
)
(
)
(
)
(
,
,
3
1
2
1
1
1
858
,
3
3
)
3
(
1
)
2
(
1
)
1
(
1
1
.
5) Определим соответствующий числу λ
1
собственный вектор:
.
y
A
y
)
(
)
(
)
(
284508
812585
941370
0
10
10
Нормируем y
(10)
, разделив на длину вектора
получим вектор
.
.
.
.
x
)
(
22
0
64
0
74
0
1
Далее можем определить второе собственное число
)
1
(
1
)
1
(
)
(
1
)
1
(
2
n
i
n
i
n
i
n
i
y
y
y
y
,
где i=1,2,…,n.
При вычислении собственных чисел подобным образом, будет
накапливается ошибка. Данная методика позволяет приближенно оценить
собственные значения матрицы.
6
2
2
2
3
10
10
28
1
284508
812585
941370
*
.
y
)
(
43
5 Задача приближения функции
Постановка задачи. Пусть на отрезке [a,b] задана функция у= f(x)
своими n+1 значениями
)
(
),...,
(
0
0
n
n
x
f
y
x
f
y
, в точках
n
x
...,
x
,
x
1
0
.
Допустим, что вид функции f(x) неизвестен. На практике часто
встречается задача вычисления значений функции у= f(x) в точках х,
отличных от
n
x
,...,
x
0
. Кроме того, в некоторых случаях, не смотря на то,
что аналитическое выражение у=f(x) известно, оно может быть слишком
громоздким и неудобным для математических преобразований (например,
специальные функции). Кроме этого значения y
i
могут содержать ошибки
эксперимента.
Определение. Точки
n
x
,...,
x
0
называются узлами интерполяции.
Требуется
найти
аналитическое
выражение
функции
F(x),
совпадающей в узлах интерполяции со значениями данной функции, т.е.
.
y
)
x
(
F
,...,
y
)
x
(
F
,
y
)
x
(
F
n
n
1
1
0
0
Определение. Процесс вычисления значений функции F(x) в точках
отличных от узлов интерполирования называется интерполированием
функции f(x). Если
х
х x
n
0
,
, то задача вычисления приближенного
значения функции в т. х называется интерполированием, иначе -
экстраполированием.
Геометрически задача интерполирования функции одной переменной
означает построение кривой, проходящей через заданные точки
)
y
,
x
(
),...,
y
,
x
(
),
y
,
x
(
n
n
1
1
0
0
(рисунок 5). То есть задача в такой постановке может
иметь бесконечное число решений.
у
x
0
x
1
x
2
x
3
х
Рисунок 5 - Геометрическая иллюстрация задачи интерполирования функции
Задача становится однозначной, если в качестве F(x) выбрать многочлен
степени не выше n, такой что:
44
F
n
(x
0
)=y
0
, F
n
(x
1
)=y
1
,..., F
n
(x
n
)=y
n
.
Определение. Многочлен F
n
(x),
отвечающий вышеназванным
условиям, называется интерполяционным многочленом.
Определение. Когда многочлен F(x) выбирается в классе степенных
функций, то интерполяция называется параболической.
Знание свойств функции f позволяет осознанно выбирать класс G
аппроксимирующих функций. Широко используется класс функций вида
),
x
(
c
...
)
x
(
c
)
x
(
c
)
x
(
Ф
m
m
m
1
1
0
0
(5.1)
являющихся линейными комбинациями некоторых базисных функций
0
(x),...,
m
(x). Будем искать приближающую функцию в виде многочлена
степени m, с коэффициентами с
0
,...,с
m
, которые находятся в зависимости от
вида приближения. Функцию Ф
m
(х) называют обобщенным многочленом по
системе функций
0
(х),
1
(х),…,
m
(х), а число m – его степенью. Назовем
обобщенный многочлен Ф
m
(х) интерполяционным, если он удовлетворяет
условию
Ф
m
(х
i
)=y
i
, (i=0,1,…,n). (5.2)
Покажем, что условие (5.2) позволяет найти приближающую
функцию единственным образом
,
n
n
m
m
n
n
m
m
m
m
y
)
x
(
c
...
)
x
(
c
)
x
(
c
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
y
)
x
(
c
...
)
x
(
c
)
x
(
c
y
)
x
(
c
...
)
x
(
c
)
x
(
c
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
(5.3)
Система (5.3) есть система линейных алгебраических уравнений
относительно коэффициентов с
0
,с
1
,…,с
m
.
Эта система n линейных уравнений имеет единственное решение, если
выполняется условие m=n и определитель квадратной матрицы Р
.
)
x
(
),...,
x
(
),
x
(
.
.
.
.
.
.
.
.
)
x
(
),...,
x
(
),
x
(
)
x
(
),...,
x
(
),
x
(
P
det
n
m
n
n
m
m
0
1
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
45
Определение. Система функций
0
(x),...,
m
(x), линейно независимая
в точках х
0
,х
1
,…,х
n
,
которые попарно различны и выписанный выше
определитель не равен нулю, называется Чебышевской системой функций.
Если мы имеем такую систему, то можно утверждать, что существует
единственный для данной системы функций интерполяционный многочлен
Ф
m
(х), коэффициенты которого определяются единственным образом из
системы (5.3).
Пример. При m n система функций 1,х,х
2
,…,х
m
линейно независима в
точках х
0
,х
1
,…,х
n
, если они попарно различны.
5.1 Интерполяционный многочлен Лагранжа
Рассмотрим случай, когда узлы интерполирования не равноотстоят
друг от друга на отрезке [a,b]. Тогда шаг h = x
i+1
- x
i
const. Задача имеет
единственное решение, если в качестве интерполирующей функции F(x)
взять алгебраический многочлен
L
n
(x )=a
0
+a
1
x+a
2
x
2
+…+a
n
x
n
,
где а
i
неизвестные постоянные коэффициенты.
Используя условие (5.2) можем записать
.
y
)
x
(
L
,...,
y
)
x
(
L
,
y
)
x
(
L
n
n
1
1
0
0
(5.4)
Запишем это в виде:
.
y
x
a
...
x
a
x
a
a
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
y
x
a
...
x
a
x
a
a
y
x
a
...
x
a
x
a
a
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
1
2
2
12
0
1
0
1
1
2
2
12
0
1
0
0
1
2
2
12
0
1
0
(5.5)
Эта система однозначно разрешима, так как система функций
1,х,х
2
,…,х
n
линейно независима в точках х
0
,х
1
,…,х
n
. Однозначная
разрешимость следует из того факта, что определитель этой системы
(определитель Вандермонда)