Файл: Вычислит.матем_пособие.pdf

Добавлен: 06.02.2019

Просмотров: 4490

Скачиваний: 4

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
background image

 

36 

  Эта  задача  легко  решается  для  некоторых  видов  матриц  - 

диагональных, треугольных и трехдиагональных матриц. 

К примеру определитель треугольной или диагональной матрицы равен 

произведению  диагональных  элементов,  тогда  и  собственные  числа  равны 
диагональным элементам. 

Пример 1. Матрица А – диагональная 

а

а

а

А

0

0

0

0

0

0

. Тогда  

det(А- Е)=

3

)

а

(

 

,  а  характеристическое  уравнение 

0

3

)

а

(

 

 

имеет трехкратный корень  =а. 

Собственными векторами для матрицы А будут единичные векторы  

.

,

,

1

0

0

0

1

0

0

0

1

3

2

1

e

e

e

 

   
Пример 2. Найдем собственные числа матрицы 
 

5

.

7

1

1

6

3999

.

5

2

.

1

5

9

2

А

 

Составим характеристический многочлен 
 

.

.

.

.

.

.

.

det

)

E

A

det(

)

(

Р

002

21

49945

26

8999

10

5

7

1

1

6

3999

5

2

1

5

9

2

2

3

3

 

 

Используя метод Ньютона, определим один из корней уравнения 

Р

3

( )=0, а именно 

1

   -7.87279. 

Разделив  многочлен 

)

(

3

P

  на  ( -

1

)  получим  многочлен  второй 

степени:

)

(

2

P

=

2

  +  3.02711   +  2.66765.  Решив  квадратное  уравнение, 

находим  оставшиеся  два  корня:

2,3

    -1.51356    0.613841  *  i  (комплексное 

сопряженные корни). 

Существуют  прямые  методы  нахождения  собственных  значений  и 

итерационные  методы.  Прямые  методы  неудобны  для  нахождения 
собственных  значений  для  матриц  высокого  порядка.  В  таких  случаях  с 
учетом возможностей компьютера более удобны итерационные методы.  


background image

 

37 

4.1 Прямые методы 

 

4.1.1 Метод Леверрье 
 
Метод разделяется на две стадии: 
- раскрытие характеристического уравнения,  
- нахождение корней многочлена. 
  
Пусть det(A- E) - есть характеристический многочлен матрицы А={a

ij

(i,j=1,2,…,m), т.е.

m

m

m

p

p

E

A

det

1

1

, и 

1

,

2,

…,

m

 - есть 

полная совокупность корней этого многочлена (полный спектр собственных 
значений). 

Рассмотрим суммы вида 

k

m

k

k

k

S

2

1

(k=1,2,…,m), т.е. 

 

где 

m

i

ii

p

a

A

S

1

 - след матрицы. 

В этом случае при k m справедливы формулы Ньютона для всех (1 k  

m) 

 

Откуда получаем

 

 

 

 

Следовательно,  коэффициенты  характеристического  многочлена  р

i

 

можно  определить,  если  известны  суммы  S

1

,S

2

,...,S

m

.  Тогда  схема  алгоритма 

раскрытия  характеристического  определителя  методом  Леверрье  будет 
следующей: 

1) вычисляем степень матрицы:  А

к

к-1

   для k=1,…,m

2)  определяют  S

k

  -  суммы  элементов  стоящих  на  главной  диагонали 

матриц А

к

m

p

m

m

m

m

m

p

m

p

m

A

S

S

.

.

.

.

.

.

.

.

.

A

S

S

A

S

...

S

2

1

2

2

2

2

2

1

2

2

1

1

 
 
 

(4.3) 

 

k

k

k

k

kp

S

p

S

p

S

1

1

1

1

(4.4) 

при k=1   р

1

 = -S

1,

 

при k=2   р

= -1/2 * (S

2

 + р

1

*S

1

), 

.   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .  
при k=m   р

m

 = -1/n * (S

m

 + р

1

*S

m-1

 + р

2

*S

m-2

 + ... + р

m-1

*S

1

). 

 

 
 

(4.5) 

 


background image

 

38 

3)  по  формулам  (4.5)  находят  коэффициенты  характеристического 

уравнения р

i

(i=1,2,…,m). 

 

4.1.2 Усовершенствованный метод Фадеева 
 

Алгоритм метода: 

1) вычисляют элементы матриц A

1

,A

2

,..,A

m

 

,

E

*

q

A

B

;

q

m

SpA

  

;

B

A

A

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

;

E

q

A

B

 

;

q

2

SpA

  

;

B

A

A

;

E

q

A

B

   

;

q

pA

         S

;

A

A

m

m

m

m

m

m

m

2

2

2

1

1

1

2

2

1

2

1

1

1

1

 

 

(в конце подсчета B

m

 нулевая матрица для контроля); 

 
2) определяют коэффициенты характеристического уравнения  р

i 

 
q

1

 = -р

1

, q

2

 = -р

2

,..., q

m

 = -р

m

 

Существуют  и  другие  методы  раскрытия  характеристического 

определителя: метод Крылова, Данилевского и др.  

 
4.1.3 Метод Данилевского 

 

Две матрицы A и B называются подобными, если одна получается из 

другой путем преобразования с помощью некоторой не вырожденной 
матрицы S: 

 

B=S

-1

*AS, 

 

если это равенство справедливо, то матрицы A и B подобны, а само 
преобразование называется преобразованием подобия (переход к новому 
базису в пространстве m - мерных векторов). 

Пусть y - результат применения матрицы A к вектору х 

 

y=A*х. 

 

Сделаем замену переменных: 

 

x=S*x' , y=S*y'

 


background image

 

39 

Тогда равенство y=A*х преобразуется к виду 

 

y'=S

-1

*A*S*x'. 

 

В этом случае матрица B и матрица A имеют одни и те же собственные 

числа. Это можно легко увидеть раскрыв определитель 

 

)

det(

)

det(

)

det(

)

det(

)

)

(

det(

)

det(

1

1

1

E

A

S

E

A

S

S

E

A

S

E

AS

S

 

Следовательно,  матрицы  A  и  B  -  подобные,  имеют  одни  и  те  же 

собственные значения. Но собственные векторы х и  х’ – не совпадают, они 
связаны между собой простым соотношением 

 

х = S*х'. 

 

Такую  матрицу  A  с  помощью  преобразования  подобия  или  же 

последовательности  таких  преобразований  можно  привести  к  матрице 
Фробениуса вида: 

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

1

1

1

12

11

...

...

f

f

f

f

F

m

m

 

Детерминант матрицы F det (F) можно разложить по элементам первой 

строки: 

 

)

p

p

(

)

(

)

E

F

det(

m

m

m

m

1

1

1

 

Тогда коэффициенты характеристического многочлена матрицы А 

будут р

1

 = f

11 

, p

2

 = f

12,

…, p

n

 = f

1m.

 

 

Второй случай. Матрицу А преобразованием подобия можно привести к 

матрице В верхнего треугольного вида 

mm

m

m

b

.

.

.

.

b

b

b

b

b

B

0

0

0

2

22

1

12

11

 

Тогда собственными числами будут диагональные элементы матрицы 

B: 

 


background image

 

40 

)

b

(

)

b

)(

b

(

)

E

B

det(

mm

22

11

 

Третий случай. Матрицу A с помощью преобразования подобия можно 

привести к Жордановой форме 

AS

S

1

      

 

m

...

...

...

S

S

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

2

2

1

1

 

где 

i

 - собственные числа матрицы A; S

i

 - константы (0 или 1); если S

i

=1, то 

i

=

i+1

 

К  четвёртому  случаю  относятся  матрицы,  которые  с  помощью 

преобразования  подобия  можно  привести  к  диагональному  виду  (матрица 
простой структуры): 

 

n

...

...

D

AS

S

0

0

0

0

0

0

2

1

1

 

у которой, как известно, собственными числами являются 
диагональные элементы. 
 

4.1.4 Метод итераций определения первого собственного числа 

матрицы. 

   

Пусть дано характеристическое уравнение: 

 

det(A- *E) = 0, 

 

где 

1

2

,..., 

n

 - собственные значения матрицы А. 

Предположим, что |

1

|>|

2

| |

3

| … |

m

|, т.е. 

1

 – наибольшее по модулю 

собственное число.

 

 

Тогда  для  нахождения  приближенного  значения  λ

1

  используется 

следующая схема: 

1) выбирают произвольно начальный вектор у

(0)

2) строят последовательность итераций вида: