Добавлен: 06.02.2019
Просмотров: 4554
Скачиваний: 4
36
Эта задача легко решается для некоторых видов матриц -
диагональных, треугольных и трехдиагональных матриц.
К примеру определитель треугольной или диагональной матрицы равен
произведению диагональных элементов, тогда и собственные числа равны
диагональным элементам.
Пример 1. Матрица А – диагональная
а
а
а
А
0
0
0
0
0
0
. Тогда
det(А- Е)=
3
)
а
(
, а характеристическое уравнение
0
3
)
а
(
имеет трехкратный корень =а.
Собственными векторами для матрицы А будут единичные векторы
.
,
,
1
0
0
0
1
0
0
0
1
3
2
1
e
e
e
Пример 2. Найдем собственные числа матрицы
5
.
7
1
1
6
3999
.
5
2
.
1
5
9
2
А
.
Составим характеристический многочлен
.
.
.
.
.
.
.
det
)
E
A
det(
)
(
Р
002
21
49945
26
8999
10
5
7
1
1
6
3999
5
2
1
5
9
2
2
3
3
Используя метод Ньютона, определим один из корней уравнения
Р
3
( )=0, а именно
1
-7.87279.
Разделив многочлен
)
(
3
P
на ( -
1
) получим многочлен второй
степени:
)
(
2
P
=
2
+ 3.02711 + 2.66765. Решив квадратное уравнение,
находим оставшиеся два корня:
2,3
-1.51356 0.613841 * i (комплексное
сопряженные корни).
Существуют прямые методы нахождения собственных значений и
итерационные методы. Прямые методы неудобны для нахождения
собственных значений для матриц высокого порядка. В таких случаях с
учетом возможностей компьютера более удобны итерационные методы.
37
4.1 Прямые методы
4.1.1 Метод Леверрье
Метод разделяется на две стадии:
- раскрытие характеристического уравнения,
- нахождение корней многочлена.
Пусть det(A- E) - есть характеристический многочлен матрицы А={a
ij
}
(i,j=1,2,…,m), т.е.
m
m
m
p
p
E
A
det
1
1
, и
1
,
2,
…,
m
- есть
полная совокупность корней этого многочлена (полный спектр собственных
значений).
Рассмотрим суммы вида
k
m
k
k
k
S
2
1
(k=1,2,…,m), т.е.
где
m
i
ii
p
a
A
S
1
- след матрицы.
В этом случае при k m справедливы формулы Ньютона для всех (1 k
m)
Откуда получаем
Следовательно, коэффициенты характеристического многочлена р
i
можно определить, если известны суммы S
1
,S
2
,...,S
m
. Тогда схема алгоритма
раскрытия характеристического определителя методом Леверрье будет
следующей:
1) вычисляем степень матрицы: А
к
=А
к-1
*А для k=1,…,m;
2) определяют S
k
- суммы элементов стоящих на главной диагонали
матриц А
к
;
m
p
m
m
m
m
m
p
m
p
m
A
S
S
.
.
.
.
.
.
.
.
.
A
S
S
A
S
...
S
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
1
1
,
(4.3)
k
k
k
k
kp
S
p
S
p
S
1
1
1
1
,
(4.4)
при k=1 р
1
= -S
1,
при k=2 р
2
= -1/2 * (S
2
+ р
1
*S
1
),
. . . . . . . . . . . . . .
при k=m р
m
= -1/n * (S
m
+ р
1
*S
m-1
+ р
2
*S
m-2
+ ... + р
m-1
*S
1
).
(4.5)
38
3) по формулам (4.5) находят коэффициенты характеристического
уравнения р
i
(i=1,2,…,m).
4.1.2 Усовершенствованный метод Фадеева
Алгоритм метода:
1) вычисляют элементы матриц A
1
,A
2
,..,A
m
:
,
E
*
q
A
B
;
q
m
SpA
;
B
A
A
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
;
E
q
A
B
;
q
2
SpA
;
B
A
A
;
E
q
A
B
;
q
pA
S
;
A
A
m
m
m
m
m
m
m
2
2
2
1
1
1
2
2
1
2
1
1
1
1
(в конце подсчета B
m
нулевая матрица для контроля);
2) определяют коэффициенты характеристического уравнения р
i
q
1
= -р
1
, q
2
= -р
2
,..., q
m
= -р
m
.
Существуют и другие методы раскрытия характеристического
определителя: метод Крылова, Данилевского и др.
4.1.3 Метод Данилевского
Две матрицы A и B называются подобными, если одна получается из
другой путем преобразования с помощью некоторой не вырожденной
матрицы S:
B=S
-1
*AS,
если это равенство справедливо, то матрицы A и B подобны, а само
преобразование называется преобразованием подобия (переход к новому
базису в пространстве m - мерных векторов).
Пусть y - результат применения матрицы A к вектору х
y=A*х.
Сделаем замену переменных:
x=S*x' , y=S*y'.
39
Тогда равенство y=A*х преобразуется к виду
y'=S
-1
*A*S*x'.
В этом случае матрица B и матрица A имеют одни и те же собственные
числа. Это можно легко увидеть раскрыв определитель
)
det(
)
det(
)
det(
)
det(
)
)
(
det(
)
det(
1
1
1
E
A
S
E
A
S
S
E
A
S
E
AS
S
.
Следовательно, матрицы A и B - подобные, имеют одни и те же
собственные значения. Но собственные векторы х и х’ – не совпадают, они
связаны между собой простым соотношением
х = S*х'.
Такую матрицу A с помощью преобразования подобия или же
последовательности таких преобразований можно привести к матрице
Фробениуса вида:
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
1
12
11
...
...
f
f
f
f
F
m
m
.
Детерминант матрицы F det (F) можно разложить по элементам первой
строки:
)
p
p
(
)
(
)
E
F
det(
m
m
m
m
1
1
1
.
Тогда коэффициенты характеристического многочлена матрицы А
будут р
1
= f
11
, p
2
= f
12,
…, p
n
= f
1m.
Второй случай. Матрицу А преобразованием подобия можно привести к
матрице В верхнего треугольного вида
mm
m
m
b
.
.
.
.
b
b
b
b
b
B
0
0
0
2
22
1
12
11
.
Тогда собственными числами будут диагональные элементы матрицы
B:
40
)
b
(
)
b
)(
b
(
)
E
B
det(
mm
22
11
.
Третий случай. Матрицу A с помощью преобразования подобия можно
привести к Жордановой форме
AS
S
1
m
...
...
...
S
S
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
2
1
1
,
где
i
- собственные числа матрицы A; S
i
- константы (0 или 1); если S
i
=1, то
i
=
i+1
.
К четвёртому случаю относятся матрицы, которые с помощью
преобразования подобия можно привести к диагональному виду (матрица
простой структуры):
n
...
...
D
AS
S
0
0
0
0
0
0
2
1
1
,
у которой, как известно, собственными числами являются
диагональные элементы.
4.1.4 Метод итераций определения первого собственного числа
матрицы.
Пусть дано характеристическое уравнение:
det(A- *E) = 0,
где
1
,
2
,...,
n
- собственные значения матрицы А.
Предположим, что |
1
|>|
2
| |
3
| … |
m
|, т.е.
1
– наибольшее по модулю
собственное число.
Тогда для нахождения приближенного значения λ
1
используется
следующая схема:
1) выбирают произвольно начальный вектор у
(0)
;
2) строят последовательность итераций вида: