Файл: Книга Primer of biostatistics fourth edition.pdf

107
больше 2(n – 1) благодаря чему критическое значение t умень- шится.
Бег и менструации. Продолжение анализа
В предыдущей главе мы выяснили, что различия в ежегодном числе менструальных циклов в группах спортсменок физкуль- турниц и в контрольной группе статистически значимы. Одна- ко осталось неясным, отличаются ли от контрольной группы и спортсменки и физкультурницы или только спортсменки? От- личаются ли спортсменки от физкультурниц? Способа опреде- лить межгрупповые различия у нас не было. Теперь, используя критерий Стьюдента с поправкой Бонферрони, мы можем по- парно сравнить все три группы.
Внутригрупповая оценка дисперсии
2
вну
s = 3,95. Число групп
m = 3, численность каждой группы n = 26. Следовательно, чис- ло степеней свободы
ν = m(n – 1) = 3(26 – 1) = 75. (Если бы мы оценивали дисперсию по двум группам, число степеней свобо- ды было бы 2(n – 1) = 2(26 – 1) = 50). Произведем попарное срав- нение трех групп.
При сравнении контрольной группы и группы физкультур- ниц имеем:
2 1
2
вну
10,1 11,5 2,54,
2 3,95 2
26
X
X
t
s
n
−
−
=
=
= −
×
при сравнении контрольной группы и группы спортсменок:
3 1
2
вну
9,1 11,5 4,35,
2 3,95 2
26
X
X
t
s
n
−
−
=
=
= −
×
и при сравнении группы физкультурниц и группы спортсменок:
2 3
2
вну
10,1 9,1 1,81.
2 3,95 2
26
X
X
t
s
n
−
−
=
=
=
×
Мы провели 3 сравнения, поэтому уровень значимости в каж-
СРАВНЕНИЕ ДВУХ ГРУПП: КРИТЕРИЙ СТЬЮДЕНТА

108
дом должен быть 0,05/3, то есть примерно 0,017. По таблице 4.1
находим*, что при 75 степенях свободы критическое значение составляет примерно 2,45.
Таким образом, мы можем заключить, что и у спортсменок и у физкультурниц частота менструации ниже, чем в контрольной группе при этом у спортсменок и физкультурниц она не отлича- ется.
КРИТЕРИЙ НЬЮМЕНА-КЕЙЛСА**
При большом числе сравнении поправка Бонферрони делает критерии Стьюдента излишне жестким. Более изощренный кри-
терий Ньюмена–Кейлса дает более точную оценку вероятности
α′; чувствительность его выше, чем критерия Стьюдента с по- правкой. Бонферрони.
Сначала нужно с помощью дисперсионного анализа прове- рить нулевую гипотезу о равенстве всех средних. Если она от- вергается, все средние упорядочивают по возрастанию и срав- нивают попарно, каждый раз вычисляя значение критерия Нью- мена–Кейлса:
2
вну
,
1 1
2
A
B
A
B
X
X
q
s
n
n
−
=


+




* Собственно говоря, значения для
α = 0,017 в таблице нет. В таких случаях можно либо использовать ближайшее меньшее значение (в нашем при- мере это 0,01) либо приблизительно рассчитать нужное критическое зна- чение по соседним. Если нужное нам значение
α
н находится между
α
1
и
α
2
, которым соответствуют критические значения t
1
и t
2
то
(
)(
)
(
)
1 1
2 1
1
,
н н
2
−
= +
−
−
t
t
t
t
α α
α α
где t
н
— критическое значение для уровня значимости a н
** Этот раздел важен для тех, кто использует нашу книгу как руководство по анализу данных. Его можно опустить без ущерба для пони мания осталь- ного материала.
ГЛАВА 4

109
где
A
X
и
B
X
— сравниваемые средние,
2
вну
s — внутригрупповая дисперсия, а n
A
и n
B
численность групп.
Вычисленное значение q сравнивается с критическим значе- нием (табл. 4.3). Критическое значение зависит от
α′ (вероятность ошибочно обнаружить различия хотя бы в одной из всех сравни- ваемых пар, то есть истинный уровень значимости) числа степе- ней свободы
ν = N – m (где N – сумма численностей всех групп, m
– число групп) и величины l, которая называется интервалом срав- нения. Интервал сравнения определятся так. Если сравниваются средние стоящие соответственно на j-м и i-м месте в упорядочен- ном ряду, то интервал сравнения l = j – i + 1. Например, при срав- нении 4-го и 1-го членов этого ряда l = 4 – 1 + 1 = 4, при сравнении 2-го и 1-го l = 2 – 1 + 1 = 2.
Результат применения критерия Ньюмена-Кейлса зависит от очередности сравнений, поэтому их следует проводить в опре- деленном порядке. Этот порядок задается двумя правилами.
1. Если мы расположили средние от меньшего к большему
(от 1 до m), то сначала нужно сравнить наибольшее с наимень- шим, то есть m-оe с 1-ым, затем m-ое со 2-ым, 3-м и так далее вплоть до m – 1-го. Затем предпоследнее (m – 1-е) тем же поряд- ком сравниваем с 1-м, 2-м и так далее до m – 2-го. Продолжаем эти «стягивающие сравнения» пока не переберем все пары. На- пример, в случае 4 групп порядок сравнений такой: 4 – 1, 4 – 2,
4 – 3, 3 – 1, 3 – 2, 2 – 1.
2. Перебирать все пары впрочем, приходится не всегда. Если какие-либо средние не различаются, то все средние лежащие между ними тоже не различаются. Например, если не выявлено различий между 3-м и 1-м средним, не нужно сравнивать ни 3-е со 2-м, ни 2-е с 1-м.

110
ней свободы n = 75, численность каждой группы 26 человек. Те- перь мы можем воспользоваться критерием Ньюмена—Кейлса.
Сравним
3
X
и
1
X
. Имеем:
3 1
2
вну
3 1
11 5 9 1 6 157 3 95 1 1
1 1
2 26 26 2
X
X
q
s
n
n
−
−
=
=
=




+


+






,
,
,
,
Интервал сравнения в данном случае l = 3 – 1 + 1 = 3. По таблице 4.ЗА находим, что для уровня значимости
α′ = 0,05 числа степеней свободы
ν = 75 и интервала сравнения l = 3 критическое
ГЛАВА 4
ν
2 3
4 5
6 7
8 9
10 1
17,97 26,98 32,82 37,08 40,41 43,12 45,40 47,36 49,07 2
6,085 8,331 9,798 10,88 11,74 12,44 13,03 13,54 13,99 3
4,501 5,910 6,825 7,502 8,037 8,478 8,853 9,177 9,462 4
3,927 5,040 5,757 6,287 6,707 7,053 7,347 7,602 7,826 5
3,635 4,602 5,218 5,673 6,033 6,330 6,582 6,802 6,995 6
3,461 4,339 4,896 5,305 5,628 5,895 6,122 6,319 6,493 7
3,344 4,165 4,681 5,060 5,359 5,606 5,815 5,998 6,158 8
3,261 4,041 4,529 4,886 5,167 5,399 5,597 5,767 5,918 9
3,199 3,949 4,415 4,756 5,024 5,244 5,432 5,595 5,739 10 3,151 3,877 4,327 4,654 4,912 5,124 5,305 5,461 5,599 11 3,113 3,82 4,256 4,574 4,823 5,028 5,202 5,353 5,487 12 3,082 3,773 4,199 4,508 4,751 4,950 5,119 5,265 5,395 13 3,055 3,735 4,151 4,453 4,690 4,885 5,049 5,192 5,318 14 3,033 3,702 4,111 4,407 4,639 4,829 4,990 5,131 5,254 15 3,014 3,674 4,076 4,367 4,595 4,782 4,940 5,077 5,198 16 2,998 3,649 4,046 4,333 4,557 4,741 4,897 5,031 5,15 17 2,984 3,628 4,020 4,303 4,524 4,705 4,858 4,991 5,108 18 2,971 3,609 3,997 4,277 4,495 4,673 4,824 4,956 5,071 19 2,960 3,593 3,977 4,253 4,469 4,645 4,794 4,924 5,038 20 2,950 3,578 3,958 4,232 4,445 4,620 4,768 4,896 5,008 24 2,919 3,532 3,901 4,166 4,373 4,541 4,684 4,807 4,915 30 2,888 3,486 3,845 4,102 4,302 4,464 4,602 4,720 4,824 40 2,858 3,442 3,791 4,039 4,232 4,389 4,521 4,635 4,735 60 2,829 3,399 3,737 3,977 4,163 4,314 4,441 4,550 4,646 120 2,800 3,356 3,685 3,917 4,096 4,241 4,363 4,468 4,560
∞
2,772 3,314 3,633 3,858 4,030 4,170 4,286 4,387 4,474
Интервал сравнения l
Таблица 4.3А. Критические значения q для
α′ = 0,05

111
значение q равно 3,385, то есть меньше чем поучилось у нас.
Следовательно, различие статистически значимо.
Теперь сравним
3
X
и
2
X
3 2
2
вну
3 2
11 5 10 1 3 592 3 95 1 1
1 1
2 26 26 2
X
X
q
s
n
n
−
−
=
=
=




+


+






,
,
,
,
СРАВНЕНИЕ ДВУХ ГРУПП: КРИТЕРИЙ СТЬЮДЕНТА
Таблица 4.3Б. Критические значения q для
α′ = 0,01
H. I. Наrtег. Order statistics and their use in testing and estimation. Vol. 1: Tests based on range and studentized range of samples from a normal population. U.S. Government Printing
Office, Washington, D.C., 1970.
ν
2 3
4 5
6 7
8 9
10 1
90,03 135 164,3 185,6 202,2 215,8 227,2 237 245,6 2
14,04 19,02 22,29 24,72 26,63 28,2 29,53 30,68 31,69 3
8,261 10,62 12,17 13,33 14,24 15 15,64 16,2 16,69 4
6,512 8,12 9,173 9,958 10,58 11,1 11,55 11,93 12,27 5
5,702 6,976 7,804 8,421 8,913 9,321 9,669 9,972 10,24 6
5,243 6,331 7,033 7,556 7,973 8,318 8,613 8,869 9,097 7
4,949 5,919 6,543 7,005 7,373 7,679 7,939 8,166 8,368 8
4,746 5,635 6,204 6,625 6,96 7,237 7,474 7,681 7,863 9
4,596 5,428 5,957 6,348 6,658 6,915 7,134 7,325 7,495 10 4,482 5,27 5,769 6,136 6,428 6,669 6,875 7,055 7,213 11 4,392 5,146 5,621 5,97 6,247 6,476 6,672 6,842 6,992 12 4,32 5,046 5,502 5,836 6,101 6,321 6,507 6,67 6,814 13 4,26 4,964 5,404 5,727 5,981 6,192 6,372 6,528 6,667 14 4,21 4,895 5,322 5,634 5,881 6,085 6,258 6,409 6,543 15 4,168 4,836 5,252 5,556 5,796 5,994 6,162 6,309 6,439 16 4,131 4,786 5,192 5,489 5,722 5,915 6,079 6,222 6,349 17 4,099 4,742 5,14 5,43 5,659 5,847 6,007 6,147 6,27 18 4,071 4,703 5,094 5,379 5,603 5,788 5,944 6,081 6,201 19 4,046 4,67 5,054 5,334 5,554 5,735 5,889 6,022 6,141 20 4,024 4,639 5,018 5,294 5,51 5,688 5,839 5,97 6,087 24 3,956 4,546 4,907 5,168 5,374 5,542 5,685 5,809 5,919 30 3,889 4,455 4,799 5,048 5,242 5,401 5,536 5,653 5,756 40 3,825 4,367 4,696 4,931 5,114 5,265 5,392 5,502 5,559 60 3,762 4,282 4,595 4,818 4,991 5,133 5,253 5,356 5,447 120 3,702 4,2 4,497 4,709 4,872 5,005 5,118 5,214 5,299
∞
3,643 4,12 4,403 4,603 4,757 4,882 4,987 5,078 5,157
Интервал сравнения l

112
ГЛАВА 4
Величины
α′ и ν те же, что и раньше, но теперь l = 3 – 2 + 1 = 2.
По таблице 4.3А находим критическое значение q = 2,822. Полу- ченное нами значение снова превосходит критическое. Различие статистически значимо.
Для
2
X
и
1
X
имеем:
2 1
2
вну
2 1
10 1 9 1 2 566 3 95 1 1
1 1
2 26 26 2
X
X
q
s
n
n
−
−
=
=
=




+


+






,
,
,
,
Величины
α′, ν и l = 2 – 1 + 1 = 2 те же, что и в предыдущем сравнении, соответственно то же и критическое значение. Оно больше вычисленного, следовательно, различие статистически не значимо.
В данном случае вывод не отличается от полученного при применении критерия Стьюдента с поправкой Бонферрони.
КРИТЕРИИ ТЬЮКИ
Критерии Тьюки совпадает с критерием Ньюмена-Кейлса во всем кроме способа определения критического значения. В кри- терии Ньюмена-Кейлса критическое значение q зависит от ин- тервала сравнения l. В критерии Тьюки при всех сравнениях вместо l берут число групп m, таким образом, критическое зна- чение q все время одно и то же. Критерий Ньюмена-Кейлса был разработан как усовершенствование критерия Тьюки.
Применяя критерии Тьюки к только что рассмотренной за- даче о влиянии бега на частоту менструации нужно было бы приравнять l к числу групп m = 3. Соответствующее критичес- кое значение равно 3,385 и неизменно при всех сравнениях. В
нашем примере при двух последних сравнениях критические значения по Тьюки будут больше чем по Ньюмену-Кейлсу. Од- нако в данном случае результат применения обоих критериев один и тот же. Разумеется, так будет не всегда. Поскольку в кри- терии Тьюки при всех сравнениях используется максимальное критическое значение q, различия будут выявляться реже, чем при использовании критерия Ньюмена-Кейлса.

113
* Этот материал важен для тех, кто использует нашу книгу как руко- водство для анализа данных. Во вводном курсе этот раздел можно опустить.
СРАВНЕНИЕ ДВУХ ГРУПП: КРИТЕРИЙ СТЬЮДЕНТА
Критерий Тьюки слишком жесток и отвергает существование различий чаще, чем нужно, а критерий Ньюмена–Кейлса напро- тив слишком мягок. В общем, выбор критерия определяется ско- рее психологическим фактором, чего больше боится исследова- тель найти отличия там, где их нет или пропустить их там, где они есть. Автор предпочитает критерий Ньюмена–Кейлса.
МНОЖЕСТВЕННЫЕ СРАВНЕНИЯ С КОНТРОЛЬНОЙ
ГРУППОЙ*
Иногда задача заключается в том, чтобы сравнить несколько групп с единственной — контрольной. Конечно, можно было бы использовать любой из описанных методов множественного сравнения (критерий Стьюдента с поправкой Бонферрони, Нью- мена—Кейлса или Тьюки): попарно сравнить все группы, а за- тем отобрать те сравнения, в которых участвовала контрольная группа. Однако в любом случае (особенно при применении по- правки Бонферрони) из-за большого числа лишних сравнений критическое значение окажется неоправданно высоким. Ины- ми словами мы слишком часто будем пропускать реально суще- ствующие различия. Преодолеть эту трудность позволяют спе- циальные методы сравнения, из которых мы разберем два. Это еще одна модификация критерия Стьюдента с поправкой Бон- феррони и критерии Даннета. Как и другие методы множествен- ного сравнения их следует применять только после того, как с помощью дисперсионного анализа отвергнута нулевая гипоте- за о равенстве всех средних.
Поправка Бонферрони
Применить поправку Бонферрони к сравнению нескольких групп с одной контрольной очень просто. Ход вычислений такой же что и при применении поправки Бонферрони в общем случае.
Надо только учесть, что число сравнений k составляет теперь

114
Т
аб
лица
4.4
А
. Критиче ские зна чения
q
′ для
α′
= 0,05
Интерв ал сравнения
l
ν
2 3
4 5
6 7
8 9
10 11 12 13 16 21 5
2,57 3,03 3,29 3,48 3,62 3,73 3,82 3,90 3,97 4,03 4,09 4,14 4,26 4,42 6
2,45 2,86 3,10 3,26 3,39 3,49 3,57 3,64 3,71 3,76 3,81 3,86 3,97 4,1 1
7 2,36 2,75 2,97 3,12 3,24 3,33 3,41 3,47 3,53 3,58 3,63 3,67 3,78 3,91 8
2,31 2,67 2,88 3,02 3,13 3,22 3,29 3,35 3,41 3,46 3,50 3,54 3,64 3,76 9
2,26 2,61 2,81 2,95 3,05 3,14 3,20 3,26 3,32 3,36 3,40 3,44 3,53 3,65 10 2,23 2,57 2,76 2,89 2,99 3,07 3,14 3,19 3,24 3,29 3,33 3,36 3,45 3,57 11 2,20 2,53 2,72 2,84 2,94 3,02 3,08 3,14 3,19 3,23 3,27 3,30 3,39 3,50 12 2,18 2,50 2,68 2,81 2,90 2,98 3,04 3,09 3,14 3,18 3,22 3,25 3,34 3,45 13 2,16 2,48 2,65 2,78 2,87 2,94 3,00 3,06 3,10 3,14 3,18 3,21 3,29 3,40 14 2,14 2,46 2,63 2,75 2,84 2,91 2,97 3,02 3,07 3,1 1
3,14 3,18 3,26 3,36 15 2,13 2,44 2,61 2,73 2,82 2,89 2,95 3,00 3,04 3,08 3,12 3,15 3,23 3,33 16 2,12 2,42 2,59 2,71 2,80 2,87 2,92 2,97 3,02 3,06 3,09 3,12 3,20 3,30 17 2,1 1
2,41 2,58 2,69 2,78 2,85 2,90 2,95 3,00 3,03 3,07 3,10 3,18 3,27 18 2,10 2,40 2,56 2,68 2,76 2,83 2,89 2,94 2,98 3,01 3,05 3,08 3,16 3,25 19 2,09 2,39 2,55 2,66 2,75 2,81 2,87 2,92 2,96 3,00 3,03 3,06 3,14 3,23 20 2,09 2,38 2,54 2,65 2,73 2,80 2,86 2,90 2,95 2,98 3,02 3,05 3,12 3,22 24 2,06 2,35 2,51 2,61 2,70 2,76 2,81 2,86 2,90 2,94 2,97 3,00 3,07 3,16 30 2,04 2,32 2,47 2,58 2,66 2,72 2,77 2,82 2,86 2,89 2,92 2,95 3,02 3,1 1
40 2,02 2,29 2,44 2,54 2,62 2,68 2,73 2,77 2,81 2,85 2,87 2,90 2,97 3,06 60 2,00 2,27 2,41 2,51 2,58 2,64 2,69 2,73 2,77 2,80 2,83 2,86 2,92 3,00 120 1,98 2,24 2,38 2,47 2,55 2,60 2,65 2,69 2,73 2,76 2,79 2,81 2,87 2,95
∞
1,96 2,21 2,35 2,44 2,51 2,57 2,61 2,65 2,69 2,72 2,74 2,77 2,83 2,91

115
Т
аб
лица
4.4
Б
. Критиче ские зна чения
q
′ для
α′
= 0,01
С
. W
, Dunnett. New tables for multiple comparisons with a control. Biometrics, 20:482—491, 1964.
Интерва л сравнения
l
ν
2 3
4 5
6 7
8 9
10 11 12 13 16 21 5
4,03 4,63 4,98 5,22 5,41 5,56 5,69 5,80 5,89 5,98 6,05 6,12 6,30 6,52 6
3,71 4,21 4,51 4,71 4,87 5,00 5,10 5,20 5,28 5,35 5,41 5,47 5,62 5,81 7
3,50 3,95 4,21 4,39 4,53 4,64 4,74 4,82 4,89 4,95 5,01 5,06 5,19 5,36 8
3,36 3,77 4,00 4,17 4,29 4,40 4,48 4,56 4,62 4,68 4,73 4,78 4,90 5,05 9
3,25 3,63 3,85 4,01 4,12 4,22 4,30 4,37 4,43 4,48 4,53 4,57 4,68 4,82 10 3,17 3,53 3,74 3,88 3,99 4,08 4,16 4,22 4,28 4,33 4,37 4,42 4,52 4,65 11 3,1 1
3,45 3,65 3,79 3,89 3,98 4,05 4,1 1
4,16 4,21 4,25 4,29 4,30 4,52 12 3,05 3,39 3,58 3,71 3,81 3,89 3,96 4,02 4,07 4,12 4,16 4,19 4,29 4,41 13 3,01 3,33 3,52 3,65 3,74 3,82 3,89 3,94 3,99 4,04 4,08 4,1 1
4,20 4,32 14 2,98 3,29 3,47 3,59 3,69 3,76 3,83 3,88 3,93 3,97 4,01 4,05 4,13 4,24 15 2,95 3,25 3,43 3,55 3,64 3,71 3,78 3,83 3,88 3,92 3,95 3,99 4,07 4,18 16 2,92 3,22 3,39 3,51 3,60 3,67 3,73 3,78 3,83 3,87 3,91 3,94 4,02 4,13 17 2,90 3,19 3,36 3,47 3,56 3,63 3,69 3,74 3,79 3,83 3,86 3,90 3,98 4,08 18 2,88 3,17 3,33 3,44 3,53 3,60 3,66 3,71 3,75 3,79 3,83 3,86 3,94 4,04 19 2,86 3,15 3,31 3,42 3,50 3,57 3,63 3,68 3,72 3,76 3,79 3,83 3,90 4,00 20 2,85 3,13 3,29 3,40 3,48 3,55 3,60 3,65 3,69 3,73 3,77 3,80 3,87 3,97 24 2,80 3,07 3,22 3,32 3,40 3,47 3,52 3,57 3,61 3,64 3,68 3,70 3,78 3,87 30 2,75 3,01 3,15 3,25 3,33 3,39 3,44 3,49 3,52 3,56 3,59 3,62 3,69 3,78 40 2,70 2,95 3,09 3,19 3,26 3,32 3,37 3,41 3,44 3,48 3,51 3,53 3,60 3,68 60 2,66 2,90 3,03 3,12 3,19 3,25 3,29 3,33 3,37 3,40 3,42 3,45 3,51 3,59 120 2,62 2,85 2,97 3,06 3,12 3,18 3,22 3,26 3,29 3,32 3,35 3,37 3,43 3,51
∞
2,58 2,79 2,92 3,00 3,06 3,1 1
3,15 3,19 3,22 3,25 3,27 3,29 3,35 2,42

116
m – 1 и соответственно рассчитать уровень значимости в каж- дом из сравнений
α = α′/k. Применим этот метод к исследо- ванию частоты менструаций. Сравним спортсменок и физкуль- турниц с контрольной группой. Число сравнений k – 2 (а не 3
как при всех возможных сравнениях). Чтобы полная вероятность ошибочно обнаружить различия не превышала 0,05 при каж- дом сравнении, уровень значимости должен быть 0,05/2 = 0,025
(вместо 0,05/3 = 0,017). Число степеней свободы — 75; крити- ческое значение t = 2,31 (при всех возможных сравнениях оно бы составило 2,45). Величину l для сравнения физкультурниц и спортсменок с контролем мы уже рассчитывали — 2,54 и 4,35
соответственно. Таким образом, и спортсменки и физкультур- ницы статистически значимо отличаются от контрольной груп- пы. В данном случае вывод получился тот же, что и при приме- нении поправки Бонферрони в общем случае. Ясно, однако, что за счет снижения критического уровня t чувствительность ме- тода повышается. Обратите внимание, что в данном случае мы
не делаем никакого заключения о различии спортсменок и физ- культурниц.
Критерии Даннета
Критерии Даннета — это вариант критерия Ньюмена–Кей- лса для сравнения нескольких групп с одной контрольной. Он вычисляется как кон
2
вну кон
1 1
A
A
X
X
q
s
n
n
−
′ =


+




Число сравнении равно числу групп не считая контрольной, и существенно меньше числа сравнений в исходном критерии Нью- мена–Кейлса. Соответственно меньше и критические значения
(табл. 4.4). Как и в критерии Ньюмена–Кейлса сначала средние значения для всех групп упорядочиваются только теперь — по аб- солютной величине их отличия от контрольной группы. Затем кон- трольную группу сравнивают с остальными начиная с наиболее отличной от контрольной. Если различия с очередной группой не найдены вычисления прекращают. Параметр l постоянен и равен
ГЛАВА 4