Файл: Книга Primer of biostatistics fourth edition.pdf

126
Рис. 5.2. Что такое разброс данных, если значений признака всего два? Возможно, это станет яснее, если вспомнить, что разброс — это отсутствие единства. Рассмотрим три совокупности из 200 марсиан. А. Все марсиане зеленые. Царит полное единство, раз- брос отсутствует,
σ = 0. Б. Среди стройных рядов зеленых марсиан появилось 10 розо- вых. Единство немного нарушено, появился некоторый разброс,
σ = 0,2. В. От единства марсиан не осталось и следа: они разделились поровну на зеленых и розовых. Разброс максимален,
σ = 0,5.
ГЛАВА 5

127
Найденное стандартное отклонение
σ полностью определя- ется величиной р. Этим оно принципиально отличается от стан- дартного отклонения для нормального распределения которое не зависит от
µ. На рис. 5.3 показана зависимость σ от р. Она вполне согласуется с теми впечатлениями которые возникают при рассмотрении рис. 5.2: стандартное отклонение достигает максимума при р = 0,5 и равно 0 когда р равно 0 или 1.
Зная стандартное отклонение
σ можно найти стандартную ошибку для выборочной оценки р. Посмотрим, как это делается.
ТОЧНОСТЬ ОЦЕНКИ ДОЛЕЙ
Если бы в наших руках были данные по всем членам совокуп- ности, то не было бы никаких проблем связанных с точностью оценок. Однако нам всегда приходится довольствоваться огра- ниченной выборкой. Поэтому возникает вопрос, насколько точ- но доли в выборке соответствуют долям в совокупности. Про- делаем мысленный эксперимент наподобие того, который мы провели в гл. 2, когда рассматривали насколько хорошей оцен- кой среднего по совокупности является выборочное среднее.
Рис. 5.3. Стандартное отклонение доли
σ полностью определяется самой этой долей р.
Когда доля равна 0 или 1, разброс отсутствует и
σ = 0. Когда р = 0,5, разброс максима- лен,
σ = 0,5
АНАЛИЗ КАЧЕСТВЕННЫХ ПРИЗНАКОВ

128
Рис. 5.4. А. Из совокупности марсиан, среди которых 150 зеленых и 50 розовых, из- влекли случайную выборку из 10 особей. В выборку попало 5 зеленых и 5 розовых марсиан, на рисунке они помечены черным. Б. В таком виде данные предстанут перед исследователем, который не может наблюдать всю совокупность и вынужден судить о ней по выборке. Оценка доли розовых марсиан
p
= 5/10 = 0,5.
Предположим, что из всех 200 марсиан случайным образом выбрали 10. Распределение розовых и зеленых марсиан во всей совокупности неизвестное исследователям изображено в верх- ней части рис. 5.4. Закрашенные кружки соответствуют марси- анам, попавшим в выборку. В нижней части рис. 5.4 показана информация, которой располагал бы исследователь, получив- ший такую выборку. Как видим в выборке розовые, и зеленые марсиане поделились поровну. Основываясь на этих данных, мы решили бы, что розовых марсиан столько же, сколько и зеле- ных, то есть их доля составляет 50%.
Исследователь мог бы извлечь другую выборку, например одну из представленных на рис. 5.5. Здесь выборочные доли розовых марсиан равны 30, 30, 10, и 20%. Как любая выборочная оценка, оценка доли (обозначим ее ˆp) отражает долю р в сово- купности, но отклоняется от нее в силу случайности. Рассмот-
ГЛАВА 5

129
рим теперь не совокупность марсиан, а совокупность всех значе- ний p , вычисленных по выборкам объемом 10 каждая. (Из сово- купности в 200 членов можно получить более 10 6
таких выбо- рок). На рис. 5.6 приведены пять значений p , вычисленных по пяти выборкам с рис. 5.4 и 5.5 и еще 20 значений полученных на других случайных выборках того же объема. Среднее этих 25
значений составляет 30%. Это близко к истинной доле розовых марсиан — 25%. По аналогии со стандартной ошибкой среднего найдем стандартную ошибку доли. Для этого нужно охаракте- ризовать разброс выборочных оценок доли, то есть рассчитать
Рис. 5.5. Еще 4 случайные выборки из той же совокупности марсиан. Оценки доли ро- зовых марсиан: 30, 30, 10 и 20%.
АНАЛИЗ КАЧЕСТВЕННЫХ ПРИЗНАКОВ

130
стандартное отклонение совокупности p . В данном случае оно равно примерно 14%, в общем случае
ˆ
,
p
n
σ
σ =
где
ˆp
σ — стандартная ошибка доли, σ — стандартное отклоне- ние, n — объем выборки. Поскольку
(
)
1
,
p
p
σ =
−
то
(
)
ˆ
1
p
p
p
n
σ
−
=
Заменив в приведенной формуле истинное значение доли ее оценкой p , получим оценку стандартной ошибки доли:
(
)
ˆ
ˆ
ˆ
1
p
p
p
s
n
−
=
Из центральной предельной теоремы (см. гл. 2) вытекает, что при достаточно большом объеме выборки выборочная оценка p приближенно подчиняется нормальному распределению, имею- щему среднее р и стандартное отклонение
ˆp
σ . Однако при значе- ниях р, близких к 0 или 1, и при малом объеме выборки это не так. При какой численности выборки можно пользоваться приве- денным способом оценки? Математическая статистика утвер- ждает, что нормальное распределение служит хорошим при-
Рис. 5.6. Нанесем на график оценки доли розовых марсиан, полученные по выборке с рис. 5.4 и четырем выборкам с рис. 5.5. Добавим к ним еще 20 выборочных оценок.
Получилось распределение выборочных оценок
p
. Стандартное отклонение совокуп- ности средних — это стандартная ошибка доли.
ГЛАВА 5

131
ближением, если и ˆ
np и
(
)
ˆ
1
n
p
− превосходят 5*. Напомним, что примерно 95% всех членов нормально распределенной совокуп- ности находятся в пределах двух стандартных отклонений от среднего. Поэтому если перечисленные условия соблюдены, то с вероятностью 95% можно утверждать, что истинное значение
р лежит в пределах
ˆ
2
p
s от p .
Вернемся на минуту к сравнению операционной летальности при галотановой и морфиновой анестезии. Напомним, что при использовании галотана летальность составила 13,1% (числен- ность группы — 61 больной), а при использовании морфина —
14,9% (численность группы — 67 больных).
Стандартная ошибка доли для группы галотана
(
)
гал
ˆ
0,131 1 0,131 0,043 4,3%,
61
p
s
−
=
=
=
для группы морфина
(
)
мор
ˆ
0,149 1 0,149 0,044 4,4%.
67
p
s
−
=
=
=
Если учесть, что различие в летальности составило лишь 2%,
то маловероятно, чтобы оно было обусловлено чем-нибудь, кро- ме случайного характера выборки.
Прежде чем двигаться дальше, перечислим те предпосылки,
на которых основан излагаемый подход. Мы изучаем то, что в статистике принято называть независимыми испытаниями Бер-
нулли. Эти испытания обладают следующими свойствами.
• Каждое отдельное испытание имеет ровно два возможных взаимно исключающих исхода.
• Вероятность данного исхода одна и та же в любом испыта- нии.
• Все испытания независимы друг от друга.
В терминах совокупности и выборок эти свойства формулиру- ются так.
* Если объем выборки недостаточен для использования нормального рас- пределения, можно прибегнуть к помощи биномиального распределения.
О биномиальном распределении см. J. H. Zar. Biostatistical analysis, 2nd ed. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1984.
АНАЛИЗ КАЧЕСТВЕННЫХ ПРИЗНАКОВ

132
• Каждый член совокупности принадлежит одному из двух классов.
• Доля членов совокупности принадлежащих одному классу неизменна.
• Каждый член выборки извлекается из совокупности незави- симо от остальных.
СРАВНЕНИЕ ДОЛЕЙ
В предыдущей главе мы рассмотрели критерий Стьюдента t. Он вычисляется на основе выборочных средних и стандартной ошибки:
Разность выборочных средних
Стандартная ошибка разности выборочных средних
t
=
Выборочная доля p аналогична выборочному среднему. Вы- ражение для стандартной ошибки мы уже вывели. Теперь мы можем перейти к задаче сравнения долей, то есть к проверке нулевой гипотезы о равенстве долей. Для этого используется критерий z, аналогичный критерию Стьюдента t:
Разность выборочных долей
Стандартная ошибка разности выборочных долей
z
=
Пусть p
1
и p
2
— выборочные доли. Поскольку стандартная ошибка — это стандартное отклонение всех возможных значе- ний
p , полученных по выборкам заданного объема, и посколь- ку дисперсия разности равна сумме дисперсии стандартная ошибка разности долей равна
1 2
1 2
2 2
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
p
p
p
p
s
s
s
−
=
+
Следовательно,
1 2
1 2
1 2
1 2
2 2
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
p
p
p
p
p
p
p
p
z
s
s
s
−
−
−
=
=
+
Если n
1
и n
2
— объемы двух выборок, то
ГЛАВА 5

133
(
)
1 1
1
ˆ
1
ˆ
ˆ
1
p
p
p
s
n
−
=
и
(
)
2 2
2
ˆ
2
ˆ
ˆ
1
p
p
p
s
n
−
=
Таким образом,
(
)
(
)
1 2
1 1
2 2
1 2
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
1 1
p
p
z
p
p
p
p
n
n
−
=
−
−
+
Итак, мы вывели формулу для критерия z. Вообще этой бук- вой обозначаются величины со стандартным нормальным рас-
пределением (то есть нормальным распределением со средним
µ = 0 и стандартным отклонением σ = 1 см. табл. 6.4). С величи- ной z мы встретимся еще неоднократно. В данном случае нор- мальное распределение имеет место только при достаточно боль- ших объемах выборок*.
Если при оценке дисперсии объединить наблюдения из обе- их выборок, чувствительность критерия Стьюдента увеличит- ся. Таким же способом можно повысить чувствительность кри- терия z. Действительно если справедлива нулевая гипотеза то обе выборочные доли
p
1
= m
1
/n
1
и
p
2
= m
2
/n
2
— это две оценки одной и той же доли
p , которую мы, следовательно, можем оце- нить как
1 2
1 2
ˆ
m
m
p
n
n
+
=
+
Тогда
(
)
ˆ
ˆ
ˆ
1
p
s
p
p
=
−
Отсюда имеем
(
)
1 2
2 2
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
1 2
1 2
1 1
ˆ
ˆ
1
p
p
p
p
s
s
s
p
p
n
n
n
n
−


=
+
=
−
+




* Точнее говоря, когда значения n
p и n(1 –
p
) больше 5. Если хотя бы для одной выборки это условие не выполняется, то критерий z неприменим, и нужно воспользоваться точным критерием Фишера. Этот критерий мы рассмотрим чуть позже.
АНАЛИЗ КАЧЕСТВЕННЫХ ПРИЗНАКОВ

134
Подставляя полученную объединенную оценку в формулу для критерия z, имеем:
(
)
1 2
1 2
ˆ
ˆ
1 1
ˆ
ˆ
1
p
p
z
p
p
n
n
−
=


−
+




О статистически значимом различии долей можно говорить,
если значение z окажется «большим». С такой же ситуацией мы имели дело, рассматривая критерии Стьюдента. Отличие состо- ит в том, что t подчиняется распределению Стьюдента, а z —
стандартному нормальному распределению. Соответственно для нахождения «больших» значении z нужно воспользоваться стан- дартным нормальным распределением (рис. 2.5). Однако, по- скольку при увеличении числа степеней свободы распределе- ние Стьюдента стремится к нормальному, критические значе- ния z можно найти в последней строке табл. 4.1. Для 5% уровня значимости оно составляет 1,96, для 1% — 2,58.

135
Галотан и морфин операционная летальность
Теперь мы можем, наконец, сравнить операционную летальность при галотановой и морфиновой анестезии. Как вы помните Ко- нахан и соавт. исходили из предположения о том, что морфин в меньшей степени угнетает кровообращение, чем галотан и по- тому предпочтительнее для общей анестезии. Действительно при использовании морфина артериальное давление и сердеч- ный индекс были выше, чем при использовании галотана и раз- личия эти статистически значимы. Однако выводы делать рано
— ведь до сих пор не проанализированы различия операцион- ной летальности, а именно этот показатель наиболее значим с практической точки зрения.
Итак, среди получавших галотан (1-я группа) умерли 8 боль- ных из 61 (13,1%), а среди получавших морфин (2-я группа) —
10 из 67 (14,9%). Объединенная оценка доли умерших
8 10
ˆ
0,141.
61 67
p
+
=
=
+
Величина n
p для каждой из выборок равна соответственно
n
1
p
1
= 61
× 0,141 = 8,6 и n
2
p
2
= 67
× 0,149 = 9,4. Оба значения больше 5*, поэтому можно воспользоваться критерием z. С уче- том поправки Йейтса имеем:
(
)
(
)
1 2
1 2
1 1
1 2
1 1 1
ˆ
ˆ
2 1
1
ˆ
ˆ
1 1 1 1
0,131 0,149 2 61 67 0,04.
1 1
0,141 1 0,141 61 67
p
p
n
n
z
p
p
n
n


−
−
+




=
=


−
+






−
−
+




=
=


−
+




Это очень маленькая величина. Она гораздо ниже 1,96 — кри-
АНАЛИЗ КАЧЕСТВЕННЫХ ПРИЗНАКОВ
* Больше 5 и n(1 –
p
) — нетрудно показать, что если
p
< 0,5, то n(1 –
p
) > n
p