Файл: Книга Primer of biostatistics fourth edition.pdf

335
нимальным. Тем самым, группы различались только в том, в чем методика Лебуайе не совпадает с общепринятой.
То, в какую группу попала роженица, было известно самой роженице и всем, кто присутствовал при родах. На этом этапе эффект плацебо исключить было невозможно. Однако уже на этапе послеродового наблюдения одна из сторон, а именно вра- чи, которые оценивали состояние ребенка, не знали, по какой методике происходили роды. Таким образом исследование Нел- сон было простым слепым: условия знала только одна из сто- рон, наблюдателю же они были неизвестны.
Для оценки развития детей была разработана специальная шкала. Из числа детей, рожденных по обычной методике, оцен- ку «отлично» по этой шкале получали примерно 30%. Изучив труды Лебуайе, Нелсон и соавт. пришли к выводу, что пред- лагаемый метод, судя по заявлениям автора, гарантирует оцен- ку «отлично» у 90% детей. Приняв уровень значимости
α = 0,05,
исследователи рассчитали, что для обеспечения 90% вероятности выявить такие различия в каждой из групп должно быть по 20
детей.
Работа продолжалась целый год. За это время исследователи провели беседы с 187 потенциальными участницами, разъяс- няя им смысл предстоящего эксперимента. 34 женщины не по- дошли по состоянию здоровья, 97 отказались участвовать в эксперименте (из них 70 собирались рожать только по методике
Лебуайе). Из оставшихся 56 женщин одна успела родить до рандомизации. В результате число участниц сократилось до 55.
Их и разделили случайным образом на две группы. После того как из исследования выбыла одна из попавших в контрольную группу, в этой группе оказалось 26, а в экспериментальной 28
рожениц. Однако у 6 женщин в контрольной группе и у 8 в экспериментальной возникли осложнения, и их пришлось ис- ключить из участия в эксперименте. В итоге в каждой из групп оказалось по 20 женщин. Вы видите, насколько трудно обеспе- чить достаточную численность групп даже в простом исследо- вании*.
Оценка по шкале развития производилось сразу после родов,
* D. Sackett, M. Gent. Controversy in counting and attributing events in clinical trials. N. Engl. J. Med., 301:1410–1412, 1979.
НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ

336
а также спустя несколько месяцев. Мы остановимся на одном из показателей — времени бодрствования в первый час жизни.
Предполагалось, что чем лучше состояние новорожденного, тем более он активен. Значит, у младенцев, рожденных по Лебуайе,
время бодрствования должно быть продолжительнее, чем у рож- денных по обычной методике.
Из рис. 10.2 видно, что данные не подчиняются нормально- му распределению. Особенно это заметно в экспериментальной группе. Тем самым, параметрические методы, например крите- рий Стьюдента, к этим данным неприменимы. Поэтому вос- пользуемся непараметрическим критерием Манна—Уитни.
Объединим данные, относящиеся к обеим группам, и упоря- дочим их по возрастанию. В табл. 10.4 кроме суммарного време- ни бодрствования указан также его ранг. Поскольку численность групп одинакова, сумму рангов Т можно вычислить для любой из них. Подсчитаем T для контрольной группы. Она равна 374.
Размер групп достаточен, чтобы воспользоваться нормальным приближением для Т. Поэтому перейдем от Т к z
T
. Итак, полагая истинной нулевую гипотезу, вычисляем среднее всех возмож- ных значений Т
(
)
(
)
м м
б
1 20 20 20 1 410 2
2
T
n n
n
+ +
+
+
µ =
=
=
Рис. 10.2. Продолжительность бодрствования в первый час жизни после обычных ро- дов и родов по Лебуайе. Обратите внимание, что в обеих группах распределение асим- метрично — преобладают высокие значения.
ГЛАВА 10

337
Таблица 10.4. Продолжительность бодрствования в первый час жизни, мин
Роды по обычной
Роды методике
Ранг по Лебуайе
Ранг
5,0 2
2,0 1
10,1 3
19,0 5
17,7 4
29,7 10 20,3 6
32,1 12 22,0 7
35,4 15 24,9 8
36,7 17 26,5 9
38,5 19 30,8 11 40,2 20 34,2 13 42,1 22 35,0 14 43,0 23 36,6 16 44,4 24 37,9 18 45,6 26 40,4 21 46,7 27 45,5 25 47,1 28 49,3 31 48,0 29 51,1 33 49,0 30 53,1 36 50,9 32 55,0 38 51,2 34 56,7 39 52,5 35 58,0 40 53,3 37
T = 374
и стандартное отклонение
(
)
м б м
б
1 20 20 41 36 97 12 12
T
n n n
n
+
+
×
×
σ =
=
= , .
Таким образом, с учетом поправки Йейтса,
1 1
374 410 2
2 0 962 36 9
T
T
T
T
z
− µ −
−
−
=
=
=
σ
,
,
В табл. 4.1 находим 5% критическое значение для бесконеч-
НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ

338
ного числа степеней свободы. Найденное критическое значение равно 1,960, то есть больше полученного. Тем самым, имею- щиеся данные не позволяют отклонить гипотезу о том, что мла- денцы, рожденные по методике Лебуайе, по своей активности ничем не отличаются от остальных.
Общая оценка развития также не показала существенной раз- ницы между двумя группами детей. Исследование Нелсон и со- авт. — пример тщательно спланированного и проведенного кли- нического испытания. На четко поставленный вопрос был по- лучен ответ. Сегодня мало кто помнит о родах по Лебуайе. Не беда — на смену идут роды под водой. Оценка их влияния на развитие ребенка, быть может, станет темой будущих исследо- ваний.
СРАВНЕНИЕ НАБЛЮДЕНИЙ ДО И ПОСЛЕ ЛЕЧЕНИЯ:
КРИТЕРИЙ УИЛКОКСОНА
В гл. 9 было описано использование парного критерия Стью- дента для сравнения состояния больных до и после лечения.
Однако для применения этого критерия необходимо, чтобы из- менения имели нормальное распределение. Существует крите- рий, основанный на рангах, не ограниченный этим условием,
— это критерий Уилкоксона. Принцип критерия следующий.
Для каждого больного вычисляют величину изменения призна- ка. Все изменения упорядочивают по абсолютной величине (без учета знака). Затем рангам приписывают знак изменения и сум- мируют эти «знаковые ранги» — в результате получается зна- чение критерия Уилкоксона W.
Как видим, используется информация об абсолютной вели- чине изменения и его знаке (то есть уменьшении или увели- чении наблюдаемого признака). Метод основан на рангах, поэ- тому не нуждается в предположениях о типе распределения из- менений. Как в случае с критерием Манна— Уитни, здесь так- же можно перечислить все возможные величины W и найти кри- тическое значение.
Обратите внимание, исходно ранга присваиваются в соот- ветствии с абсолютной величиной изменения. Так, например,
ГЛАВА 10

339
величины 5,32 и –5,32 получат один и тот же ранг, а уже затем рангам будет присвоен знак изменения.
Рассмотрим пример. Допустим, мы исследуем некий препа- рат, предположительно диуретик. Дадим его 6 добровольцам и сравним диурез до и после приема препарата. Результаты пред- ставлены в табл. 10.5.
У 5 человек диурез увеличился. Значит ли это, что препарат является диуретиком?
Упорядочим изменения диуреза по абсолютной величине и присвоим им ранги от 1 до 6. Затем, приписав рангу каждого изменения соответствующий изменению знак, перейдем к зна- ковым рангам (последний столбец табл. 10.5). Наконец, вычис- лим сумму знаковых рангов W = 13.
Если препарат не оказывает действия, сумма рангов со зна- ком «+» должна быть примерно равна сумме рангов со знаком
«–» и значение W окажется близким нулю. Напротив, если пре- парат увеличивает (или уменьшает) диурез, будут преобладать положительные (отрицательные) ранги и значение W будет от- личным от нуля.
Чтобы найти критическое значение W, выпишем все 64 воз- можных исхода опыта (табл. 10.6 и рис. 10.3). В четырех случа- ях значение W no абсолютной величине равно или превосходит
19. Таким образом, отвергая нулевую гипотезу при |W| > 19, мы обеспечим уровень значимости 4/64 = 0,0625. Изменение диу- реза в нашем опыте надо признать статистически не значимым:

340
Таблица 10.6. Возможные сочетания знаковых рангов для 6 пар измерений
Ранги
Сумма зна-
1 2
3 4
5 6
ковых рангов
–
–
–
–
–
–
–21
+
–
–
–
–
–
–19
–
+
–
–
–
–
–17
–
–
+
–
–
–
–15
–
–
–
+
–
–
–13
–
–
–
–
+
–
–11
–
–
–
–
–
+
–9
+
+
–
–
–
–
–15
+
–
+
–
–
–
–13
+
–
–
+
–
–
–11
+
–
–
–
+
–
–9
+
–
–
–
–
+
–7
–
+
+
–
–
–
–11
–
+
–
+
–
–
–9
–
+
–
–
+
–
–7
–
+
–
–
–
+
–5
–
–
+
+
–
–
–7
–
–
+
–
+
–
–5
–
–
+
–
–
+
–3
–
–
–
+
+
–
–3
–
–
–
+
–
+
–1
–
–
–
–
+
+
1
+
+
+
–
–
–
–9
+
+
–
+
–
–
–7
+
+
–
–
+
–
–5
+
+
–
–
–
+
–3
+
–
+
+
–
–
–5
+
–
+
–
+
–
–3
+
–
+
–
–
+
–1
+
–
–
+
+
–
–1
+
–
–
+
–
+
1
+
–
–
–
+
+
3
ГЛАВА 10

341
Таблица 10.6. Окончание
Ранги
Сумма зна-
1 2
3 4
5 6
ковых рангов
–
+
+
+
–
–
–3
–
+
+
–
+
–
–1
–
+
+
–
–
+
1
–
+
–
+
+
–
1
–
+
–
+
–
+
3
–
+
–
–
+
+
5
–
–
+
+
+
–
3
–
–
+
+
–
+
5
–
–
+
–
+
+
7
–
–
–
+
+
+
9
+
+
+
+
–
–
–1
+
+
+
–
+
–
1
+
+
+
–
–
+
3
+
+
–
+
+
–
3
+
+
–
+
–
+
5
+
+
–
–
+
+
7
+
–
+
+
+
–
5
+
–
+
+
–
+
7
+
–
+
–
+
+
9
+
–
–
+
+
+
11
–
+
+
+
+
–
7
–
+
+
+
–
+
9
–
+
+
–
+
+
11
–
+
–
+
+
+
13
–
–
+
+
+
+
15
+
+
+
+
+
–
9
+
+
+
+
–
+
11
+
+
+
–
+
+
13
+
+
–
+
+
+
15
+
–
+
+
+
+
17
–
+
+
+
+
+
19
+
+
+
+
+
+
21
НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ

342
Рис. 10.3. 64 возможные суммы рангов для группы из 6 человек (см. табл. 10.6). 4 наи- больших по абсолютной величине значения помечены черным.
Р < 0,0625. На самом деле в таблице имеется 14 значений W, по абсолютной величине не меньших 13. Поскольку 14/64 = 0,219,
мы могли бы записать Р < 14/64.
Как и в случае критерия Манна— Уитни, распределение W
не является непрерывным и поэтому нельзя указать критичес- кое значение, для которого уровень значимости в точности рав- нялся бы, например, 5%. В табл. 10.7 приведены критические значения, наиболее близкие к 5 и 1% уровням значимости для случая, когда численность группы не превосходит 20.
Если число пар измерений больше 20, то распределение W
достаточно близко к нормальному со средним
µ
W
= 0 и стандарт- ным отклонением
(
)(
)
1 2 1
,
6
W
n n
n
+
+
σ =
где n — число пар наблюдений (то есть численность группы).
Можно, таким образом, использовать
(
)(
)
1 2 1
6
W
W
W
W
W
z
n n
n
− µ
=
=
σ
+
+
Чтобы приближение было более точным, воспользуемся по- правкой Йейтса на непрерывность:
(
)(
)
1 2
1 2 1
6
W
W
z
n n
n
−
=
+
+
ГЛАВА 10

343
Таблица 10.7. Критические значения W (двусторонний вариант)
п
W
Р
п
W
Р
5 15 0,062 13 65 0,022 6
21 0,032 57 0,048 19 0,062 14 73 0,020 7
28 0,016 63 0,050 24 0,046 15 80 0,022 8
32 0,024 70 0,048 28 0,054 16 88 0,022 9
39 0,020 76 0,050 33 0,054 17 97 0,020 10 45 0,020 83 0,050 39 0,048 18 105 0,020 11 52 0,018 91 0,048 44 0,054 19 114 0,020 12 58 0,020 98 0,050 50 0,052 20 124 0,020 106 0,048
F. Mostellerand R. Rourke. Sturdy statistics: nonparametrics and order statistics, Addison-
Wesley, Reading, Mass., 1973.
При анализе наблюдений до—после встречается два вида сов- падений. Это, во-первых, совпадение величин, которым присва- иваются ранги. Такая ситуация возникает при использовании любого рангового метода, будь то критерий Манна—Уитни или коэффициент корреляции Спирмена. Как всегда, совпадающим величинам присваивается общий ранг, равный среднему мест,
занимаемых ими в упорядоченном наборе*.
Единственная особенность — то, что в случае наблюдений
(до—после) речь идет о совпадении не самих величин наблюдае-
* Если некоторые значения совпадают, стандартное отклонение должно быть уменьшено в соответствии со следующей формулой:
(
)(
)
(
) (
)
1 2 1
1 1
,
6 12
i
i
i
W
n n
n
+
+
τ − τ τ +
σ =
−
∑
где n — численность группы,
τ
i
, - число значений i-го ранга.
НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ

344
мого признака, а их изменений. Другой вид совпадения — совпа- дение значений «до» и «после». Каждую такую пару наблюде- ний нужно исключать из расчета, соответственно уменьшая на единицу объем выборки.
Повторим последовательность шагов, позволяющую по на- блюдениям, выполненным до и после лечения, проверить его эффективность.
• Вычислите величины изменений наблюдаемого признака. От- бросьте пары наблюдений, которым соответствует нулевое изменение.
• Упорядочите изменения по возрастанию их абсолютной ве- личины и присвойте соответствующие ранги. Рангами оди- наковых величин назначьте средние тех мест, которые они делят в упорядоченном ряду.
• Присвойте каждому рангу знак в соответствии с направле- нием изменения: если значение увеличилось — «+», если уменьшилось — «–».
• Вычислите сумму знаковых рангов W*.
• Сравните полученную величину W с критическим значени- ем. Если она больше критического значения, изменение пока- зателя статистически значимо.
А теперь применим критерий Уилкоксона к анализу рассмот- ренного в гл. 9 эксперимента Левина.
Курение и функция тромбоцитов
В гл. 9 мы разобрали исследование Левина, посвященное вли- янию курения на функцию тромбоцитов. В частности, на рис.
9.2 приведены результаты опыта с выкуриванием сигареты: агре- гация тромбоцитов до и после этого вредоносного воздействия.
Рассмотрим еще раз эти данные (табл. 10.8). Обратим внимание на 4-й столбец: здесь показана величина изменения интересую-
* Существует вариант критерия Уилкоксона, в котором суммируют только положительные или только отрицательные знаковые ранги.
На выводе это никак не сказывается, однако значение W, естест- венно, получается другим. Поэтому важно знать, на какой вариант критерия рассчитана имеющаяся в вашем распоряжении таблица критических значений.
ГЛАВА 10