Файл: Ытималдытар теориясы жне математикалы статистика i тарау. Кездейсо оиалар негізгі тсініктер. Оиаларды трлері.docx
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.12.2023
Просмотров: 758
Скачиваний: 9
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
§3. ТОЛЫҚ ЫҚТИМАЛДЫҚТЫҢ ФОРМУЛАСЫ
БЕЙЕС ФОРМУЛАСЫ
Егер А оқиғасы, өзара үйлесiмсiз, толық топ құратын В1, В2,...,Вn оқиғаларының (болжамдардың) бiреуiмен бiрге пайда болатын болса, онда А оқиғасының ықтималдығы мына формуламен анықталады:
(1.3.1)
Мұндағы
- шартты ықтималдықтар. Бұл (1.3.1) формула толық ықтималдықтың формуласы деп аталады.
Сондай-ақ жоғарыдағы шарттар сақталғанда Бейес формуласы орындалады:
(1.3.2)
Бұл (1.3.2) формула болжамдардың ықтималдықтарын А оқиғасы пайда болғаннан кейiн есептеуге қолданылады.
1-мысал. Қоймаға үш партия радиошамдар әкелiндi. Алынған кез-келген радиошамның осы партиялардың әрқайсысынан алынуының сәйкес ықтималдықтары 0,25; 0,5; 0,25 тең. Ал әрбiр партиядағы радиошамдардың белгiлi мерзiм жұмыс iстеп шығуларының ықтималдықтары сәйкес 0,7; 0,6; 0,8.
1. Осы партиялардың бiрiнен алынған радиошамның белгiлi мерзiм жұмыс iстеп шығуының ықтималдығы қандай?
2. Мерзiмдi уақыт жұмыс iстеп шыққан радиошамның екiншi партиядан алынғандығының ықтималдығын табу керек.
Шешуi: 1. Бұл мысалды шығару үшiн толық ықтималдықтың формуласын және Бейес формуласын қолдану қажет. Ол үшiн әуелi қарастырып отырған оқиғаларды белгiлеп алайық:
А - радиошам белгiлi мерзiм жұмыс iстейдi.
Енді болжамдар ұсыналық:
В1 - радиошам бiрiншi партиядан алынған;
В2 - радиошам екiншi партиядан алынған;
В3 - радиошам үшiншi партиядан алынған.
Сонда P(B1)=0,25
P(B2)=0,5
P(B3)=0,25
В1, В2, В3 оқиғалар үйлесiмсiз және толық топ құрады. Толық топ құратындығын тексерейiк.
P(В1 +В2 +В3)= P(В1
)+P(В2)+P(В3)=0,25+0,5+0,25=1
Сонымен толық ықтималдық формуласының шарттары орындалады, олай болса
P(A)= 0,250,7+0,50,6+0,250,8=0,675
2. Ендi мерзiмдi уақыт жұмыс iстеп шыққан радиошамның екiншi партиядан алынғандығының ықтималдығын Бейес формуласын пайдаланып табамыз.
PA(B2)=0,50,6/0,675=0,445
Сол сияқты PA(B3), PA(B1) табалық
PA(B1)=175/675, PA(B3)=200/675
Бұл жерде PA(B1)+ PA(B2)+ PA(B3)=1 екенiн ескертемiз.
Байқап отырғанымыздай, А оқиғасы пайда болғаннан кейiн есептелiнген мына PA(Bi) (i=1, 2, 3) шартты ықтималдықтар В1, B2, B3 болжамдарының ықтималдықтарының өзгергенiн көрсетедi.
Ескерту ретiнде айтарымыз, бұл (1.3.1) және (1.3.2) формулаларды қолданғанда алынған В1, B2, ..., Bn болжамдарының үйлесiмсiздiгiн және толық топ құратындығын тексеру қажет.
2-мысал. 350 механизмдердiң 160 - бiрiншi сортқа, 110 екiншi сортқа, 80 - үшiншi сортқа жатады. Бiрiншi сортқа жататын механизмдердiң iшiнде сапасыз механизм болуының ықтималдығы 0,01, екiншi сортқа жататындардың арасында - 0,02, үшiншi сортқа жататындардың арасында - 0,04 тең. Кез-келген бiр механизм алынған. Алынған механизмнiң сапалы екенiнiң ықтималдығын табу керек.
Шешуi: Белгiлеу енгiзелiк:
А - алынған механизм сапалы және болжамдар
В1 - алынған механизм бiрiншi сортқа жатады;
В2 - алынған механизм екiншi сортқа жатады;
В3 - алынған механизм үшiншi сортқа жатады.
Сонда
P(B1)=160/350
P(B2)=110/350
P(B3)=80/350
В1, B2, B3 оқиғалары үйлесiмсiз. Расында, айталық B3 оқиғасы пайда болды делiк, яғни алынған бiр механизм үшiншi сортқа жатады, олай болса В1, B2 оқиғасы B3 оқиғасымен бiрге пайда бола алмайды деген сөз. Себебi алынған бiр механизм бiр уақытта әрi үшiншi, әрi екiншi, әрi бiрiншi сортқа жатуы мүмкiн емес қой.
Сондай- ақ, В1, B2, B3 оқиғалары толық топ құрады
Олай болса (1.3.1.) формуласын қолданып,
3-мысал. Бiрдей үш жәшiкке бiрдей өлшемдi шарлар салынған. Бiрiншi жәшiкте 10 ақ, 5 қара, 3 қызыл, екiншi жәшiкте 9 ақ, 16 қара, 11 қызыл, үшiншi жәшiкте 7 ақ, 4 қара, 1 қызыл шарлар бар. Кез-келген жәшiктен кез-келген шар алынды. Алынған шардың қара шар болуының ықтималдығы қандай?
Шешуi: Мына оқиғаларды қарастырайық:
А - алынған шардың түсi қара және болжамдар
В1- шар бiрiншi жәшiктен алынды;
В2- шар екiншi жәшiктен алынды;
В3- шар үшiншi жәшiктен алынды.
Қарастырып отырған В1, B2, B3 оқиғалары үйлесiмсiз. Расында, егер, айталық, шар екiншi жәшiктен алынса, онда B2 оқиғасы пайда болады да, В1, B3 оқиғалары пайда бола алмайды. Ойымызды осылай жалғастырып В1, B2, B3 оқиғаларының үйлесiмсiз екенiне көз жеткiзуге болады. Ал А оқиғасы В1, B2, B3 оқиғаларына тәуелдi. Ендi үш жәшiктiң бiрдей екенiн ескерiп:
P(B1)=1/3,
P(B2)=1/3
P(B3)=1/3
Осыдан
.
4-мысал. Бiрiншi урнаға 1 ақ, 3 қара, ал екiншi урнаға 4 ақ, 6 қара бiрдей шарлар салынған. Бiрiншi урнадан бiр шар алынып екiншi урнаға салынды. Содан кейiн екiншi урнадан бір шар алынды. Екiншi урнадан алынған шардың түсi ақ болуының ықтималдығы қандай?
Шешуi: Мына оқиғаларды қарастырайық. В1 - бiрiншi урнадан қара шар алынды. В2- бiрiншi урнадан ақ шар алынды, А - екiншi урнадан қара шар алынды.
Бұл жерде В1, В2 оқиғаларын қарастыру себебi, ол әуелi бiрiншi урнадан қандай түстi шар алуға байланысты. Бұл екi оқиғаға үйлесiмсiз және толық топ құрайды. Ендi
P(B1)=3/4
P(B2)=1/4
Сонда толық ықтималдықтың формуласы бойынша
Р(А)= 17/44
5-мысал . Дүкенге үш зауыттан бiр типтес бұйымдар әкелiнген. Барлық әкелiнген бұйымдардың бiрiншi зауыт 50% - тiн, екiншiсi 30% - тiн, үшiншiсi 20% - тiн жiберген. Бiрiншi зауыт бұйымдарының 70% - тi, екiншiсiнiң - 80% - тi, үшiншiсiнiң - 90% - тi бiрiншi сортқа жатады. Бiр бұйым сатып алынды және ол бiрiншi сортқа жататын болып шықты. Сатып алынған бұйымның бiрiншi зауыттан шығарылғандығының ықтималдығын табу керек.
Шешуi: Келесi болжамдарды енгiзелiк:
В1 - сатып алынған бұйым бiрiншi зауытта iстелiнген;
В2 - сатып алынған бұйым екiншi зауытта iстелiнген;
В3 - сатып алынған бұйым үшiншi зауытта iстелiнген.
Бұл оқиғалар үйлесiмсiз, расында бiр бұйым мысалы, екiншi зауытта iстелген болса, онда ол басқа зауытта iстелмегенi.
Сондай-ақ, А - сатып алынған бұйым бiрiншi сортқа жатады.
Ендi B1,B2,B3 оқиғаларының ықтималдықтарын, А - оқиғасының шартты ықтималдықтарын табайық
.
P(B1)=0,5, P(B2)=0,3, P(B3)=0,2, PB1(A)=0,7, PB2(A)=0,8, PB3(A)=0,9
Сонда
P(A)=0,50,7+0,30,8+0,20,9=0,77
Ендi сатып алынған бұйым бiрiншi зауытта жасалғандығының ықтималдығын Бейес формуласы арқылы анықтаймыз.
PA(B1)=
.
ЕСЕПТЕР
44. Спортшылардың бiр тобында 20 шанғышы, 10 велосипедшi бар. Квалификациялық мөлшердi орындау ықтималдығы шаңғышылар үшiн 0,85-ке тең, ал велосипедшiлер үшiн- 0,7-ге тең. Осы топтан алынған кез-келген бiр спортшының квалификациялық мөлшердi орындауының ықтималдығын табу керек.
45. Екi жәшiкте 20 детальден бар. Оның iшiнде бiрiншi жәшiкте 17 стандартты, екiншi жәшiкте 15 стандартты деталь бар. Екiншi жәшiктен кез-келген бiр деталь алынып бiрiншi жәшiкке салынған. Содан кейiн бiрiншi жәшiктен кез-келген бiр деталь алынды. Бiрiншi жәшiктен алынған детальдiң стандартты болуының ықтималдығын табу керек.
46. Екi атқыш бiр-бiрiнен тәуелсiз бiр нысанаға бiр-бiрден атыс жасады. Сонда бiр оқ нысанаға тидi. Егер бiрiншi атқыштың нысанаға тигiзу ықтималдығы 0,8, ал екiншiсiнiкi - 0,4 болса, онда нысанаға тиген оқ бiрiншi атқыштiкi екендiгiнiң ықтималдығын табу керек.
47. Цехта iстеп тұрған үш автомат барлығы 5500 бұйым жасап шығарды. Оның iшiнде бiрiншi автоматтан 1000, екiншiсiнен - 2000, ал үшiншiсiнен - 2500 бұйым жасалып шығарылды. Егер бiрiншi автоматтың сапасыз бұйым шығаруы 0,3 %, екiншiсiнiкi - 0,2 %, үшiншiсiнiкi - 0,4 % болса, алынған кез келген бiр бұйымның сапасыз болуының ықтималдығын табу керек.
48. Әрбiр екi урнада 2 қара, 8 ақ шарлар бар. Бiрiншi урнадан бiр шар алынып, екiншi урнаға салынды. Содан кейiн екiншi урнадан бiр шар алынды. Осы алынған шардың ақ болуының ықтималдығы қандай?
49. Бiрiншi урнада 1 ақ 9 қара, ал екiншi урнада 1 қара 5 ақ шарлар бар. Әрбiр урнадан бiр-бiрден кез келген екi шар алынды. Екi урнадағы қалған 14 шар үшiншi урнаға салынды. Үшiншi урнадан кез-келген бiр шар алынды. Осы алынған шардың ақ болғандығының ықтималдығын табу керек?
Нұсқау: Мынадай гипотезалар(болжамдар) қарастырған жөн:
B1- бiрiншi урнадан ақ, екiншi урнадан ақ шар алынды;
B2- бiрiншi урнадан ақ, екiншi урнадан қара шар алынды;
B3- бiрiншi урнадан қара, екiншi урнадан ақ шар алынды;
B4- бiрiншi урнадан қара, екiншi урнадан қара шар алынды;
50. Құрылыс отрядында 70 бiрiншi курс студенттерi, 30 екiншi курс студенттерi бар. Бiрiншi курс студенттерiнiң iшiнде 10, ал екiншi курс студенттерiнiң iшiнде 5 қыздар бар. Барлық қыздар кезекпен асханада жұмыс iстейдi. Кез-келген бiр күнде тексергенде асханада бiрiншi курста оқитын қыз жұмыс iстеп жатқандығының ықтималдығы қандай?
51. Үш атқыштың бiреуi нысанаға екi атыс жасады. Бiр атыс жасағанда нысанаға тигiзудiң ықтималдығы бiрiншi атқыш үшiн 0,4-ке, екiншi атқыш үшiн 0,6-ға, ал үшiншi атқыш үшiн 0,8-ге тең. Нысанаға атылған екi оқтың да дәл тигендiгiнiң ықтималдығы қандай?
Нұсқау: Әрбiр атқыштың екi атыста нысанаға тигiзуiнiң ықтималдығын тауып алу керек.
52. Екi студент бiрдей көлемдi мәтiндi компьютерге енгiздi. Бiрiншi студенттiң қате жiберу ықтималдығы 0,04, ал екiншi студенттiң қате жiберу ықтималдығы 0,2. Тексергенде бiр қате табылды. Қате жiберген бiрiншi студент екендiгiнiң ықтималдығы қандай?
53. Жолаушы билет алу үшiн үш кассаның бiреуiне бару керек едi. Кассалардың әртүрлi қашықтықта орналасуына байланысты бұл кассаларға баруының сәйкес ықтималдықтары 0,5; 0,3; 0,2. Ал жолаушы келгенде кассаларда билеттiң бар болуының ықтималдығы сәйкес кассалар үшiн 0,6; 0,5; 0,4. Жолаушы кассалардың бiрiнен билет алды. Билеттi бiрiншi кассадан алғандығының ықтималдығын табу керек.
54. Жолаушы орманда адасып жүрiп ала”ға шықты. Ала”нан 4 жол шығады екен. Осы жолдармен жүргенде орманнан шығудың сәйкес жолдар үшiн ықтималдықтары 0,6; 0,4; 0,2; 0,1. Егер жолаушының орманнан шыққаны белгiлi болса, онда оның екiншi жолмен шыққандығының ықтималдығы қандай?
55. Машинаның құрылысындағы 3 шамның екеуi жанып кеткен. Шамдардың жанып кетуiнiң сәйкес ықтималдықтары 0,3; 0,1; 0,1. Жанып кеткен екiншi және үшiншi шамдар екендiгiнiң ықтималдығын табу керек.
56. Бiрдей үш жәшiкте бiрдей шарлар бар. Бiрiншiсiнде 20 ақ, екiншiсiнде 15 ақ, 5 қара, үшiншiсiнде 20 қара шарлар бар. Кез-келген жәшiктен бiр қара шар алынды. Алынған шар екiншi жәшiкте болғандығының ықтималдығын табу керек.
57. Жолаушының оң қалтасында 15 тиындық m1 дана және 20 тиындық n1 дана, ал сол қалтасында 15 тиындық m2 дана және 20 тиындық n2 дана ақша болды. Ол сол қалтасынан кез-келген бiр тиынды алды да оны оң қалтасына салды. Сосын оң қалтасынан бiр тиын алды. Оң қалтасынан алған 20 тиындық бoлып шықты. Осы 20 тиындық бiрiншi қалтадан алып салынғандығының ықтималдығы қандай?
БЕЙЕС ФОРМУЛАСЫ
Егер А оқиғасы, өзара үйлесiмсiз, толық топ құратын В1, В2,...,Вn оқиғаларының (болжамдардың) бiреуiмен бiрге пайда болатын болса, онда А оқиғасының ықтималдығы мына формуламен анықталады:
(1.3.1)Мұндағы
- шартты ықтималдықтар. Бұл (1.3.1) формула толық ықтималдықтың формуласы деп аталады.Сондай-ақ жоғарыдағы шарттар сақталғанда Бейес формуласы орындалады:
(1.3.2)Бұл (1.3.2) формула болжамдардың ықтималдықтарын А оқиғасы пайда болғаннан кейiн есептеуге қолданылады.
1-мысал. Қоймаға үш партия радиошамдар әкелiндi. Алынған кез-келген радиошамның осы партиялардың әрқайсысынан алынуының сәйкес ықтималдықтары 0,25; 0,5; 0,25 тең. Ал әрбiр партиядағы радиошамдардың белгiлi мерзiм жұмыс iстеп шығуларының ықтималдықтары сәйкес 0,7; 0,6; 0,8.
1. Осы партиялардың бiрiнен алынған радиошамның белгiлi мерзiм жұмыс iстеп шығуының ықтималдығы қандай?
2. Мерзiмдi уақыт жұмыс iстеп шыққан радиошамның екiншi партиядан алынғандығының ықтималдығын табу керек.
Шешуi: 1. Бұл мысалды шығару үшiн толық ықтималдықтың формуласын және Бейес формуласын қолдану қажет. Ол үшiн әуелi қарастырып отырған оқиғаларды белгiлеп алайық:
А - радиошам белгiлi мерзiм жұмыс iстейдi.
Енді болжамдар ұсыналық:
В1 - радиошам бiрiншi партиядан алынған;
В2 - радиошам екiншi партиядан алынған;
В3 - радиошам үшiншi партиядан алынған.
Сонда P(B1)=0,25
P(B2)=0,5
P(B3)=0,25
В1, В2, В3 оқиғалар үйлесiмсiз және толық топ құрады. Толық топ құратындығын тексерейiк.
P(В1 +В2 +В3)= P(В1
)+P(В2)+P(В3)=0,25+0,5+0,25=1
Сонымен толық ықтималдық формуласының шарттары орындалады, олай болса
P(A)= 0,250,7+0,50,6+0,250,8=0,675
2. Ендi мерзiмдi уақыт жұмыс iстеп шыққан радиошамның екiншi партиядан алынғандығының ықтималдығын Бейес формуласын пайдаланып табамыз.
PA(B2)=0,50,6/0,675=0,445
Сол сияқты PA(B3), PA(B1) табалық
PA(B1)=175/675, PA(B3)=200/675
Бұл жерде PA(B1)+ PA(B2)+ PA(B3)=1 екенiн ескертемiз.
Байқап отырғанымыздай, А оқиғасы пайда болғаннан кейiн есептелiнген мына PA(Bi) (i=1, 2, 3) шартты ықтималдықтар В1, B2, B3 болжамдарының ықтималдықтарының өзгергенiн көрсетедi.
Ескерту ретiнде айтарымыз, бұл (1.3.1) және (1.3.2) формулаларды қолданғанда алынған В1, B2, ..., Bn болжамдарының үйлесiмсiздiгiн және толық топ құратындығын тексеру қажет.
2-мысал. 350 механизмдердiң 160 - бiрiншi сортқа, 110 екiншi сортқа, 80 - үшiншi сортқа жатады. Бiрiншi сортқа жататын механизмдердiң iшiнде сапасыз механизм болуының ықтималдығы 0,01, екiншi сортқа жататындардың арасында - 0,02, үшiншi сортқа жататындардың арасында - 0,04 тең. Кез-келген бiр механизм алынған. Алынған механизмнiң сапалы екенiнiң ықтималдығын табу керек.
Шешуi: Белгiлеу енгiзелiк:
А - алынған механизм сапалы және болжамдар
В1 - алынған механизм бiрiншi сортқа жатады;
В2 - алынған механизм екiншi сортқа жатады;
В3 - алынған механизм үшiншi сортқа жатады.
Сонда
P(B1)=160/350
P(B2)=110/350
P(B3)=80/350
В1, B2, B3 оқиғалары үйлесiмсiз. Расында, айталық B3 оқиғасы пайда болды делiк, яғни алынған бiр механизм үшiншi сортқа жатады, олай болса В1, B2 оқиғасы B3 оқиғасымен бiрге пайда бола алмайды деген сөз. Себебi алынған бiр механизм бiр уақытта әрi үшiншi, әрi екiншi, әрi бiрiншi сортқа жатуы мүмкiн емес қой.
Сондай- ақ, В1, B2, B3 оқиғалары толық топ құрады
Олай болса (1.3.1.) формуласын қолданып,
3-мысал. Бiрдей үш жәшiкке бiрдей өлшемдi шарлар салынған. Бiрiншi жәшiкте 10 ақ, 5 қара, 3 қызыл, екiншi жәшiкте 9 ақ, 16 қара, 11 қызыл, үшiншi жәшiкте 7 ақ, 4 қара, 1 қызыл шарлар бар. Кез-келген жәшiктен кез-келген шар алынды. Алынған шардың қара шар болуының ықтималдығы қандай?
Шешуi: Мына оқиғаларды қарастырайық:
А - алынған шардың түсi қара және болжамдар
В1- шар бiрiншi жәшiктен алынды;
В2- шар екiншi жәшiктен алынды;
В3- шар үшiншi жәшiктен алынды.
Қарастырып отырған В1, B2, B3 оқиғалары үйлесiмсiз. Расында, егер, айталық, шар екiншi жәшiктен алынса, онда B2 оқиғасы пайда болады да, В1, B3 оқиғалары пайда бола алмайды. Ойымызды осылай жалғастырып В1, B2, B3 оқиғаларының үйлесiмсiз екенiне көз жеткiзуге болады. Ал А оқиғасы В1, B2, B3 оқиғаларына тәуелдi. Ендi үш жәшiктiң бiрдей екенiн ескерiп:
P(B1)=1/3,
P(B2)=1/3
P(B3)=1/3
Осыдан
.4-мысал. Бiрiншi урнаға 1 ақ, 3 қара, ал екiншi урнаға 4 ақ, 6 қара бiрдей шарлар салынған. Бiрiншi урнадан бiр шар алынып екiншi урнаға салынды. Содан кейiн екiншi урнадан бір шар алынды. Екiншi урнадан алынған шардың түсi ақ болуының ықтималдығы қандай?
Шешуi: Мына оқиғаларды қарастырайық. В1 - бiрiншi урнадан қара шар алынды. В2- бiрiншi урнадан ақ шар алынды, А - екiншi урнадан қара шар алынды.
Бұл жерде В1, В2 оқиғаларын қарастыру себебi, ол әуелi бiрiншi урнадан қандай түстi шар алуға байланысты. Бұл екi оқиғаға үйлесiмсiз және толық топ құрайды. Ендi
P(B1)=3/4
P(B2)=1/4
Сонда толық ықтималдықтың формуласы бойынша
Р(А)= 17/44
5-мысал . Дүкенге үш зауыттан бiр типтес бұйымдар әкелiнген. Барлық әкелiнген бұйымдардың бiрiншi зауыт 50% - тiн, екiншiсi 30% - тiн, үшiншiсi 20% - тiн жiберген. Бiрiншi зауыт бұйымдарының 70% - тi, екiншiсiнiң - 80% - тi, үшiншiсiнiң - 90% - тi бiрiншi сортқа жатады. Бiр бұйым сатып алынды және ол бiрiншi сортқа жататын болып шықты. Сатып алынған бұйымның бiрiншi зауыттан шығарылғандығының ықтималдығын табу керек.
Шешуi: Келесi болжамдарды енгiзелiк:
В1 - сатып алынған бұйым бiрiншi зауытта iстелiнген;
В2 - сатып алынған бұйым екiншi зауытта iстелiнген;
В3 - сатып алынған бұйым үшiншi зауытта iстелiнген.
Бұл оқиғалар үйлесiмсiз, расында бiр бұйым мысалы, екiншi зауытта iстелген болса, онда ол басқа зауытта iстелмегенi.
Сондай-ақ, А - сатып алынған бұйым бiрiншi сортқа жатады.
Ендi B1,B2,B3 оқиғаларының ықтималдықтарын, А - оқиғасының шартты ықтималдықтарын табайық
.
P(B1)=0,5, P(B2)=0,3, P(B3)=0,2, PB1(A)=0,7, PB2(A)=0,8, PB3(A)=0,9
Сонда
P(A)=0,50,7+0,30,8+0,20,9=0,77
Ендi сатып алынған бұйым бiрiншi зауытта жасалғандығының ықтималдығын Бейес формуласы арқылы анықтаймыз.
PA(B1)=
.ЕСЕПТЕР
44. Спортшылардың бiр тобында 20 шанғышы, 10 велосипедшi бар. Квалификациялық мөлшердi орындау ықтималдығы шаңғышылар үшiн 0,85-ке тең, ал велосипедшiлер үшiн- 0,7-ге тең. Осы топтан алынған кез-келген бiр спортшының квалификациялық мөлшердi орындауының ықтималдығын табу керек.
45. Екi жәшiкте 20 детальден бар. Оның iшiнде бiрiншi жәшiкте 17 стандартты, екiншi жәшiкте 15 стандартты деталь бар. Екiншi жәшiктен кез-келген бiр деталь алынып бiрiншi жәшiкке салынған. Содан кейiн бiрiншi жәшiктен кез-келген бiр деталь алынды. Бiрiншi жәшiктен алынған детальдiң стандартты болуының ықтималдығын табу керек.
46. Екi атқыш бiр-бiрiнен тәуелсiз бiр нысанаға бiр-бiрден атыс жасады. Сонда бiр оқ нысанаға тидi. Егер бiрiншi атқыштың нысанаға тигiзу ықтималдығы 0,8, ал екiншiсiнiкi - 0,4 болса, онда нысанаға тиген оқ бiрiншi атқыштiкi екендiгiнiң ықтималдығын табу керек.
47. Цехта iстеп тұрған үш автомат барлығы 5500 бұйым жасап шығарды. Оның iшiнде бiрiншi автоматтан 1000, екiншiсiнен - 2000, ал үшiншiсiнен - 2500 бұйым жасалып шығарылды. Егер бiрiншi автоматтың сапасыз бұйым шығаруы 0,3 %, екiншiсiнiкi - 0,2 %, үшiншiсiнiкi - 0,4 % болса, алынған кез келген бiр бұйымның сапасыз болуының ықтималдығын табу керек.
48. Әрбiр екi урнада 2 қара, 8 ақ шарлар бар. Бiрiншi урнадан бiр шар алынып, екiншi урнаға салынды. Содан кейiн екiншi урнадан бiр шар алынды. Осы алынған шардың ақ болуының ықтималдығы қандай?
49. Бiрiншi урнада 1 ақ 9 қара, ал екiншi урнада 1 қара 5 ақ шарлар бар. Әрбiр урнадан бiр-бiрден кез келген екi шар алынды. Екi урнадағы қалған 14 шар үшiншi урнаға салынды. Үшiншi урнадан кез-келген бiр шар алынды. Осы алынған шардың ақ болғандығының ықтималдығын табу керек?
Нұсқау: Мынадай гипотезалар(болжамдар) қарастырған жөн:
B1- бiрiншi урнадан ақ, екiншi урнадан ақ шар алынды;
B2- бiрiншi урнадан ақ, екiншi урнадан қара шар алынды;
B3- бiрiншi урнадан қара, екiншi урнадан ақ шар алынды;
B4- бiрiншi урнадан қара, екiншi урнадан қара шар алынды;
50. Құрылыс отрядында 70 бiрiншi курс студенттерi, 30 екiншi курс студенттерi бар. Бiрiншi курс студенттерiнiң iшiнде 10, ал екiншi курс студенттерiнiң iшiнде 5 қыздар бар. Барлық қыздар кезекпен асханада жұмыс iстейдi. Кез-келген бiр күнде тексергенде асханада бiрiншi курста оқитын қыз жұмыс iстеп жатқандығының ықтималдығы қандай?
51. Үш атқыштың бiреуi нысанаға екi атыс жасады. Бiр атыс жасағанда нысанаға тигiзудiң ықтималдығы бiрiншi атқыш үшiн 0,4-ке, екiншi атқыш үшiн 0,6-ға, ал үшiншi атқыш үшiн 0,8-ге тең. Нысанаға атылған екi оқтың да дәл тигендiгiнiң ықтималдығы қандай?
Нұсқау: Әрбiр атқыштың екi атыста нысанаға тигiзуiнiң ықтималдығын тауып алу керек.
52. Екi студент бiрдей көлемдi мәтiндi компьютерге енгiздi. Бiрiншi студенттiң қате жiберу ықтималдығы 0,04, ал екiншi студенттiң қате жiберу ықтималдығы 0,2. Тексергенде бiр қате табылды. Қате жiберген бiрiншi студент екендiгiнiң ықтималдығы қандай?
53. Жолаушы билет алу үшiн үш кассаның бiреуiне бару керек едi. Кассалардың әртүрлi қашықтықта орналасуына байланысты бұл кассаларға баруының сәйкес ықтималдықтары 0,5; 0,3; 0,2. Ал жолаушы келгенде кассаларда билеттiң бар болуының ықтималдығы сәйкес кассалар үшiн 0,6; 0,5; 0,4. Жолаушы кассалардың бiрiнен билет алды. Билеттi бiрiншi кассадан алғандығының ықтималдығын табу керек.
54. Жолаушы орманда адасып жүрiп ала”ға шықты. Ала”нан 4 жол шығады екен. Осы жолдармен жүргенде орманнан шығудың сәйкес жолдар үшiн ықтималдықтары 0,6; 0,4; 0,2; 0,1. Егер жолаушының орманнан шыққаны белгiлi болса, онда оның екiншi жолмен шыққандығының ықтималдығы қандай?
55. Машинаның құрылысындағы 3 шамның екеуi жанып кеткен. Шамдардың жанып кетуiнiң сәйкес ықтималдықтары 0,3; 0,1; 0,1. Жанып кеткен екiншi және үшiншi шамдар екендiгiнiң ықтималдығын табу керек.
56. Бiрдей үш жәшiкте бiрдей шарлар бар. Бiрiншiсiнде 20 ақ, екiншiсiнде 15 ақ, 5 қара, үшiншiсiнде 20 қара шарлар бар. Кез-келген жәшiктен бiр қара шар алынды. Алынған шар екiншi жәшiкте болғандығының ықтималдығын табу керек.
57. Жолаушының оң қалтасында 15 тиындық m1 дана және 20 тиындық n1 дана, ал сол қалтасында 15 тиындық m2 дана және 20 тиындық n2 дана ақша болды. Ол сол қалтасынан кез-келген бiр тиынды алды да оны оң қалтасына салды. Сосын оң қалтасынан бiр тиын алды. Оң қалтасынан алған 20 тиындық бoлып шықты. Осы 20 тиындық бiрiншi қалтадан алып салынғандығының ықтималдығы қандай?