=0,9.

По формуле полной вероятности

.

Пример 6. (Варианты 1, 3, 5, 7, 9, 10)

Литьё в болванках поступает из двух заготовительных цехов: 70% из первого цеха, 30% из второго цеха. Литьё первого цеха имеет 10% брака, второго – 20% брака. Взятая наудачу болванка оказалась без дефекта. Какова вероятность её изготовления первым цехом?

Решение:

Событие А ={болванка без дефекта}.

Гипотеза H₁ – болванка изготовлена первым цехом,

Гипотеза H₂ – болванка изготовлена вторым цехом,

Литьё первого цеха имеет 10% брака, следовательно, 90% болванок, изготовленных первым цехом, не имеют дефекта и =0,9. Литьё второго цеха имеет 20% брака, следовательно, 80% болванок, изготовленных вторым цехом, не имеют дефекта и =0,8. Необходимо найти .

По формуле Бейеса



.
Тема 4. Повторение независимых испытаний.

1. 
   Формула Бернулли
   

Вероятность того, что в серии из п независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события A равна p (0р1), это событие наступит ровно k раз (безразлично в какой последовательности), равна

,

где – число сочетаний из n по k (см. выше), q=1-p– вероятность противоположного события .

В различных задачах нас могут интересовать следующие вероятности:

– вероятность того, что в п испытаниях событие A наступит менее m раз

---

= ;

– вероятность того, что в п испытаниях событие A наступит более m раз

= ;

– вероятность того, что в п испытаниях событие A наступит не менее m раз

= ;

– вероятность того, что в п испытаниях событие A наступит не более m раз

= .

– вероятность того, что в п испытаниях событие A наступит не менее и не более раз

= .

Все эти вероятности могут быть вычислены по формуле Бернулли, однако, на практике ввиду вычислительных сложностей это возможно лишь при небольших n и поэтому используются приближенные формулы.

2. 
   Приближенные формулы Муавра- Лапласа
   

2.1. Локальная теорема Лапласа

Если число испытаний n велико, а вероятность p не очень мала, то



где ,

Значения функции приведены в приложении (таблица 1), при полагают , для отрицательных значений x пользуются тем, что функция

---

четная, и, следовательно, .

2.2. Интегральная теорема Лапласа

Вероятность того, что событие А появится в n испытаниях не менее и не более раз находится по формуле

,

где ,

Значения функции Лапласа приведены в приложении (таблица 2), при полагают , для отрицательных значений x пользуются тем, что функция нечетная, и, следовательно, .

3. 
   Приближенная формула Пуассона
   

Если число испытаний n велико, а вероятность p появления события в каждом испытании очень мала, то

.

Обозначив , =np– среднее число успехов в серии испытаний, получим

.

Значение по заданным k и  можно определить по приложению (таблица 3).

4. Наивероятнейшее число успехов

Число k₀ называется наивероятнейшим, если вероятность того, что событие A наступит в n испытаниях ровно k₀ раз, является наибольшей из всех вероятностей , k= 0, 1, … , n .

Наивероятнейшее число k₀ определяется из двойного неравенства

---

,

причем:

а) если число – нецелое, то существует единственное k₀;

б) если число – целое, то наивероятнейших числа два, а именно: и = = +1;

в) если – целое, то .
Пример 7. (Варианты 1, 7)

В семье пять детей. Найти вероятность того, что среди этих детей: а) ровно два мальчика; б) не более двух мальчиков; в) более двух мальчиков; г) не менее двух и не более трех мальчиков. Вероятность рождения мальчика принять равной 0,51.

Решение:

Число испытаний n=5 невелико, поэтому вероятности можно вычислить непосредственно по формуле Бернулли.

а) Вероятность того, что среди пяти детей ровно два мальчика, равна , где , p=0,51, q=1-p=0,49.

.

б) Вероятность того, что среди пяти детей не более двух мальчиков, равна

.

.



(см. а)).



в) Событие {среди пяти детей более двух мальчиков} противоположно событию {среди пяти детей не более двух мальчиков}, поэтому его вероятность равна

---

.

г) Вероятность того, что среди пяти детей не менее двух и не более трёх мальчиков, равна , (см. а)).



Пример 8. (Варианты 2, 9)

Сколько надо произвести независимых испытаний с вероятностью появления события в каждом испытании, равной 0,4, чтобы наивероятнейшее число появлений события в этих испытаниях было равно 25?

Решение:

По условию k₀=25; р=0,4; q=0,6. Воспользуемся двойным неравенством np-q k₀ np+p. Подставляя данные задачи, получим систему неравенств для определения неизвестного числа n: 0,4n-0,6 25, 0,4n+0,4 25. Из первого неравенства системы найдем n 25,6/0,4=64. Из второго неравенства системы имеем n 24,6/0,4=61,5. Итак, искомое число испытаний должно быть или 64.

Пример 9. (Варианты 4, 6, 8, 10)

Вероятность появления события А в каждом из 2400 независимых испытаний постоянна и равна 0,6. Найти вероятность того, что событие А наступит: а) равно 1400 раз; б) от 1400 до 1800 раз; в) не менее 1400 раз.

Решение:

Число испытаний n=2400 велико; вероятность p=0,6 появления события A немала; q=1-p=0,4; npq=24000,60,4=14400,4 = 576 20, поэтому воспользуемся локальной и интегральной формулами Лапласа.

а) Имеем: n=2400, p=0,6, q=0,4, k=1400, np=1440, npq=576,

---

Смотрите также файлы

• Бекітемін Басарма мшесі академиялы мселелер жніндегі Проректор А. М. Темербаева 2022 ж. Оу жмыс бадарламасы (syllabus).docx

• Термоядерные реакции в 1961 году Н. С. Хрущев громогласно заявил, что в ссср есть.pptx

• Практики (нужное подчеркнуть) Профессиональный модуль пм.docx

• Федеральное агентство морского и речного транспорта фгбоу во гумрф имени адмирала С. О. Макарова Котласский филиал.pdf

• И. А. Студент Кузнецова М. П. Тема.doc