Файл: Цели и содержание обучения по математике в 56 классах.docx

1. 
   найти значения функции на концах отрезка;
   
2. 
   найти ее значения в критических точках;
   
3. 
   из найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.
   

Процесс решения задач на оптимизацию проходит по следующему алгоритму:

1. 
   Выявить величину, наименьшее (наибольшее) значение которой требуется найти.
   
2. 
   Ввести переменную, через которую выражается эта величина.
   
3. 
   Указать допустимые значения введенной переменной.
   
4. 
   Записать величину как функцию введенной переменной.
   
5. 
   Найти наименьшее (наибольшее) значение функции или точку, в которой оно достигается на заданном интервале.
   

Вопрос 9. Методика изучения первообразной и интеграла.

Теме «Первообразная» предшествует тема «Первообразная и ее применение». Такая последовательность изучения материала создает предпосылки для

1. 
   понимания учениками взаимосвязи между операциями дифференцирования и интегрирования функций, а также основной идеи метода дифференциального и интегрального исчислений (зная функцию, можно установить характер локальной ее изменяемости в зависимости от изменения аргумента, и наоборот6 зная характер локальной изменяемости функции, можно найти либо саму функцию (при заданных начальных условиях), либо семейство функций;
   
2. 
   осознания обучающимися того факта, что аппарат производной и интеграла – основа метода математического анализа: он выступает и как язык, описывающий многие явления, процессы мира, и как инструмент, с помощью которого с учетом особенностей языка исследуются эти явления и процессы.
   

При рассмотрении элементов интегрального исчисления реализуется идея линеаризации. С точки зрения механики скорость прямолинейного движения определяется как производная пути по времени. Если теперь рассмотреть обратную задачу – нахождения пути, пройденного точкой с заданной скоростью, то придем к функции, которую называют первообразной к исходной функции. Так как производная постоянной равна нулю, то первообразная определяется с точностью до постоянной.

Если скорость меняется по закону v = v(t) и ее графиком является некоторая кривая, то путь, пройденный точкой за промежуток времени [t; t + h], приближенно равен площади прямоугольника со сторонами v(t) и h. Точное значение пути будет равно площади образовавшейся криволинейной трапеции. Если в заданную кривую v(t) вписать некоторую ломаную, то путь можно вычислить с лучшим приближением, заменив площадь криволинейной трапеции суммой площадей прямоугольников разбиения. Чем меньше будет основание прямоугольников, тем ближе сумма их площадей будет выражать площадь криволинейной трапеции. Так процесс линеаризации приводит к понятию определенного интеграла.

---

Учебный материал строится так, что вначале вводится понятие первообразной. Таблица первообразных получается из таблицы производных. В курсе математики средней школы нет понятия неопределенного интеграла (хотя в учебнике А.Г. Мордковича этот термин используется), поэтому определенный интеграл называют просто интегралом. Введение понятия определенного интеграла осуществляется в виде предела интегральных сумм. Интегральная сумма рассматривается в общем виде (отрезки разбиения могут быть необязательно равными) и предназначена только для ознакомления с понятием интеграла. Желательно, чтобы ученики понимали, что об интегральной сумме функции на отрезке, а затем и интеграле можно говорить и в том случае, когда функция не только непрерывна и положительна, но и принимает на этом отрезке любые значения, в том числе и отрицательные, и ноль. Формула Ньютона – Лейбница вводится практически одновременно с термином «интеграл». Эта формула является главной: с ее помощью вычисляются определенные интегралы.

Центральное место во всем разделе, связанном с изучением элементов интегрального исчисления, занимает вычисление площадей плоских фигур. Основной фигурой считается криволинейная трапеция. При изучении этого материала важно правильно расставлять акценты: главное здесь – построение геометрических моделей и снятие соответствующей информации с чертежа, а не вычисление интегралов. Не ради изучения интеграла считаются площади, наоборот, интеграл изучается ради вычисления площадей.

Интеграл:

1. Вводить все существующие понятия и определения наиболее естественным путем.

2. Как можно чаще привлекать учащихся к самостоятельному изучению и определению рассматриваемого понятия.

3. В процессе изучения выявлять связи интеграла с уже известными понятиями.

4. Стараться мотивировать вводимые понятия, термины, определения, увеличивать их значимость.

5. Как можно чаще повторять учащимися известные математические понятия, которые связаны с изучением интеграла.

6. Постоянно следить за речью учащихся, требовать четкости, краткости, строгости в определении понятий. [3]

7. Перед самым введением понятия интеграла и первообразной целесообразно повторить с учащимися взаимообратные операции. [4] По сути, интеграл является одним из ключевых понятий математического анализа. Чтобы задать понятие интеграла нужно дать определение производной функции. Первообразной функция F(x) для функции y=f(x) называется тогда, когда на некотором промежутке (a,b) для любого x∈(a,b) выполняется равенство F′(x)=f(x). [5]

---

8. Далее важно выдать ученикам рассмотреть таблицу нахождения производных функции.

9. Весьма целесообразно обратить внимание учащихся на то, что интеграл зависит только от вида подынтегральной функции и пределов интегрирования и не зависит от переменного интегрирования.

10. Для активизации познавательной деятельности учащихся важно предложить самостоятельно доказать некоторые свойства интеграла, а, также, рассмотреть задачи из учебников геометрии и физики, в решении которых используется интеграл. [6]

11. Важно объяснить ученикам, что любые навыки нахождения интегралов могут пригодиться не только в математике, но и в других точных дисциплинах. Таблица является основой интегрального исчисления. Для того чтобы использовать ее достаточно лишь найти необходимые значения. [7]

12. Необходимо продемонстрировать как можно больше примеров решения интегралов, не требовать от учеников скорого понимания и идеального решения, лишь в процессе изучения и решения задач указывая на ошибки.

Необходимо отметить, что интеграл в общеобразовательной школе изучается только в 11 классе. По ФГОС СОШ на базовом уровне на изучение темы отводится 8 часов, рассматриваются темы: «Первообразная», «Определенный интеграл» и проводится контрольная работа. В учебниках базового уровня сначала вводится понятие первообразной, указываются правила отыскания первообразных, составляется их таблица, затем определяется площадь криволинейной трапеции. Далее вводится понятие определенного интеграла, рассматриваются физические задачи на приложение интеграла. В профильных классах так же, как и в классах базового уровня, сначала вводится понятие первообразной, правила отыскания первообразной, составляется таблица первообразных. Так же, определяется понятие неопределенного интеграла, его свойства, рассматриваются методы интегрирования. После определяется площадь криволинейной трапеции через площадь ступенчатой фигуры, понятие определенного интеграла через приращение первообразной и по формуле Ньютона - Лейбница. Обобщается понятие определенного интеграла для неограниченных функций и с бесконечными пределами, вводится интеграл с переменным верхним пределом, указываются свойства определенного интеграла, выражаемыми равенствами и неравенствами, и так далее. [8]

В основном, с самого начала изучения раздела «интеграл», операция интегрирования определяется учителем как операция, обратная дифференцированию, далее вводится понятие первообразной, при этом, не вводится ни определение неопределенного интеграла, ни его обозначение. Таблица правил интегрирования в этом случае естественно получается из таблицы производных. Формулируется утверждение, что все первообразные для функции F(x) имеют вид F(x)+С, где F(x) - первообразная, найденная в таблице. Связь между первообразной и площадью криволинейной трапеции устанавливается формулой Ньютона - Лейбница. Далее возникает определенный интеграл как предел интегральной суммы, однако, при этом, формула Ньютона - Лейбница также оказывается справедливой. [9]

---

Подводя итоги, можно сказать, что интеграл - это одно из те понятий в школьном курсе математике, которое позволяет найти площадь под кривой, которое помогает вникнуть в изучение математического анализа. Данная тема рассматривается только 11 классе школы, и в разных учебниках по математике прописана своя последовательность, но, при этом, все они структурированы так, чтобы максимально понятно и логично преподать информацию ученикам. В остальном уже дело за самими учителями и учениками. В целом, весьма полезно решать задачи, так как они способствуют лучшему развитию мышления. Например, решение задач с применением определенного интеграла способствуют развитию абстрактного мышления, но, при этом, для решения таких задач необходима база теоретических обобщенных знаний по математике.

Вопрос 10. Методика изучения комбинаторики, теории вероятностей и элементов математической статистики.
Если подходить детально и поэтапно, то школьный курс теории вероятностей лучше начинать еще в 5 классе. Началом теории вероятностей является комбинаторика, где задачи будут решены методом перебора,то есть учащиеся исследуют все возможные варианты решения. Разумеется,необходимо рассмотреть решение комбинаторных задач с помощью дерева возможных вариантов. Следующий этап обучения учащиеся –это рассмотрение событий: случайных, достоверных, невозможных, равновозможные,
равновероятные события, которые иллюстрируются на житейских примерах Необходимо также рассмотреть правило умножения, которое является новым средством решения комбинаторных задач,
которое звучит так: «если первый элемент некоторой пары можно выбрать m способами и для каждого из этих способов второй элемент можно выбрать n способами, то эту пару можно выбрать m*n способами» .Отдельной главой необходимо рассмотреть основные статистические характеристик[3]:среднее
арифметическое (средним арифметическим ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на их количество), мода (модой называют число ряда, которое встречается в этом ряду
наиболее часто),размах (размах —это разность между наибольшим и наименьшим значениями ряда данных),медиана(медиана —это число, которое разделяет ряд данных на две части, одинаковые
по количеству членов), которые должны иллюстрируются множеством примеров из жизни.Уже в старших классах изучаются статистические исследования, вводится определение статистики(наука, изучающая, обрабатывающая и анализирующая количественные данные о самых разнообразных массовых явлениях в жизни)[4],

---

рассматриваются новые понятия выборка, репрезентативность, генеральная совокупность, ранжирование, объем выборки. Вводится новый способ графического представления результатов -полигоны. Изучаются новые понятия выборочной дисперсии и среднее квадратичное
отклонение. Изучение последних требует не только понимания основ, данных ранее, но и более детального и внимательного отношения, ибо в математике, как и в жизни –чем дальше, тем сложнее. Изучение теорем необходимо продемонстрировать на конкретных примерах, иллюстрирующих их применение, но это мы предоставим школьным учителям, а сами просто огласим содержание данных теорем, и так, теорема сложения вероятностей звучит так: «вероятность суммы двух несовместных событий равна
сумме вероятностей этих событий», и, соответственно формула к данной теореме Р(А + В) = Р(А) + Р(В)[5]. Теорема умножения вероятностей «Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного события на условную вероятность другого при условии, что первое событие
произошло», формула к ней выглядит так Р(АВ)=Р(А)*Р(В/А)[6].
Наряду с данными теоремами в курсе математики изучается и теория множеств —раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств —совокупностей элементов произвольной природы, обладающих каким-либо общим свойством .Если учащиеся будут обладать знаниями теории множеств, то они смогут увидеть связь между операциями над событиями и операциями над множествами..На первых порах, необходимо составить сводную таблицу, отражающая основную информацию.

Вопрос 11. Методика изучения тригонометрии в школе.

Тригонометрии в школе традиционно уделяется много внимания - сначала в курсе геометрии, затем в курсе алгебры и начал анализа. А.Г.Мордкович предлагает построить изучение темы «Тригонометрия» по следующей схеме: функция – уравнения – преобразования. Объясняется это тем, что сначала целесообразно изучить «простые модели» (таковыми являются элементарные функции), а затем переходить к изучению «сложных моделей» (таковыми в математике являются сложные выражения, которые нужно упрощать, используя формульный аппарат). Таким образом, изучение данной темы следует построить по следующей схеме: 1. рассмотрение тригонометрической формы записи действительного числа и ее свойств. Основной целью является изучить новые математические модели – числовую окружность и числовую окружность на координатной плоскости; познакомить учащихся с первым классом неалгебраических функций – тригонометрическими функциями; научить школьников находить значение тригонометрических функций некоторого аргумента по известному значению другой функции того же аргумента; дать представление о градусной и радианной мерах измерения углов. 2. Собственно тригонометрические уравнения. Основная цель – научить школьников решать простейшие тригонометрические уравнения. Сначала надо разобраться с «элементарными моделями», т.е. с простейшими тригонометрическими уравнениями и уравнениями, которые сводятся к простейшим с помощью алгебраических приемов, и только потом переходить к «сложным моделям», т.е. к уравнениям, которые надо сначала долго и упорно «раскручивать, используя рутинный аппарат формул». 3. Тригонометрическими формулами следует заняться после того, как учащиеся овладеют двумя «китами», на которых базируется курс тригонометрии: числовой окружностью и простейшими уравнениями. Основная цель – познакомить учащихся с основными тригонометрическими формулами, научить находить нужную формулу для доказательства тригонометрических тождеств, упрощения тригонометрических выражений. После того, как пройдена тема «Простейшие тригонометрические уравнения», учащимся предлагаются задания с использованием формул тригонометрии. Отсюда и вытекает для учащихся польза от изучения формул: «жуткие» уравнения принимают после преобразований вполне знакомый вид.

---