Файл: Цели и содержание обучения по математике в 56 классах.docx

Согласно стандарту полного общего образования в теме «Основы тригонометрии» должны быть рассмотрены следующие темы: синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла; радианная мера угла; синус, косинус, тангенс, котангенс числа; основные тригонометрические тождества; формулы привидения; синус, косинус, тангенс суммы и разности двух углов; синус, косинус двойного угла; формулы половинного угла; преобразование суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму; выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента; преобразование простейших тригонометрических выражений; простейшие тригонометрические уравнения; решение тригонометрических уравнений; простейшие тригонометрические неравенства; арксинус, арккосинус, арктангенс числа; тригонометрические функции, их свойства и графики, периодичность, основной период.

Вопрос 12. Общая характеристика курса планиметрии в школе.

Как одна из основных математических дисциплин школьный курс геометрии – важнейший компонент общечеловеческой культуры: пространство, которое нас окружает и его восприятие во многом способствуют становлению миропонимания и мировоззрения человека. С древних времен интеллектуальная деятельность отдельного человека и всей цивилизации развивалась наряду с геометрической. Это позволяет делать вывод о том, что геометрия рассматривается как «феномен общечеловеческой культуры». Поэтому незнающий геометрию не может считать себя культурным человеком.

По мнению Г. Д. Глейзера одним из важных факторов, обеспечивающих подготовленность учащихся к самообразованию и дальнейшему непрерывному обучению в различных научных сферах, является геометрическое развитие, благодаря которому формируются интеллектуальные способности человека. Геометрия обеспечивает всестороннее развитие логического, образного, наглядно – действенного мышления учащихся.

Сравнивая геометрию с другими математическими дисциплинами, стоит отметить ее большую направленность на развитие логики мышления учащихся. Представленный в учебниках по геометрии для учащихся 7-9 классов авторов Л. С. Атанасяна и др., А. В. Погорелова аксиоматический метод построения курса планиметрии, широко изучаемой в школах, имеет максимальную пропорциональность, последовательность и логическую строгость. Это обуславливает обширное применение логики как науки в геометрии. Логика отсутствует в школе как самостоятельный предмет, учителя математики на уроках математики и особенно геометрии (планиметрии) формируют у учащихся способности применять важнейшие понятия, правила и законы логики в практической деятельности. Данное трудовое действие учителя тяжело реализовывать в современных условиях преподавания, так как трудно выделить логическое содержание учебников, по которым осуществляется образовательный процесс, оно не представлено в явном виде и приходится самостоятельно подбирать способы развития логического мышления учащихся. Для осуществления данного процесса необходимо четко представлять логическую структуру курса, логические основы геометрических понятий, утверждений, доказательств теорем и решений задач.

---

Основные разделы, отражающие планируемые предметные, личностные и метапредметные результаты, в процессе изучения курса планиметрии 7-9 класса по учебнику автора Л. С. Атанасяна и др. из расчета 68 часов в году по 2 часа в неделю представлены в приложении 1 (См. Приложение 1). Как говорилось ранее, курс планиметрии в школе основан на аксиоматическом построении и рассчитан на учащихся, не ориентированных на углубленное изучение математики. При доказательстве теорем, решении задач, при определении некоторого понятия мы можем опираться только на ранее изученные и всем известные факты, которые также сформировываются с помощью ранее известных. Это означает, что существуют некоторые первоначальные понятия, свойства которых описывают аксиомы. В учебнике представлены понятия и отношения, относящиеся к основным понятиям планиметрии без определения: «точка», «прямая», «наложение», «лежать между», «принадлежать». Например, при изучении понятия «трапеция» удобно представить следующую схему:



Учащимся дается представление об аксиоматическом построении курса в начале учебника при определении аксиом как утверждений о свойствах геометрических фигур, принимающихся в качестве исходных положений, на основании которых доказываются дальнейшие теоремы и, вообще, «строится вся геометрия» .

Система аксиом данного учебника не полная, однако, достаточная для построения курса планиметрии и разбита на четыре группы:

1.    Аксиомы взаимного расположения точек, прямых и плоскостей;

2.    Аксиомы наложения и равенства;

3.    Аксиомы измерения отрезков и существования отрезка данной длины;

4.    Аксиома параллельности.

В девятом классе в начале курса стереометрии еще раз необходимо актуализировать основные аксиомы планиметрии и обобщить логическое строение курса геометрии: показать, что аксиомы стереометрии основываются на расширенной аксиоматике планиметрии и на произвольной плоскости в пространстве справедливы аксиомы планиметрии.

Стоит отметить, что учитель сам вправе выбирать способ изучения курса планиметрии из большого количества вариантов, в зависимости от класса, в котором он работает - в обычном, профильном, физико-математическом, классе коррекции и т.д.

13.Цели и содержание обучения стереометрии в школе.

Курс стереометрии играет систематизирующую и обобщающую роль по отношению к курсу планиметрии. Особенности действующих учебников (Погорелов, Атанасян) являются общими планиметрии и стереометрии. Это проявляется в единой системе аксиом всего курса геометрии, в наличии аналогии, в содержании и методиках доказательства многих положений. Следующей важной задачей является развитие логического мышления учащихся. Уровень развития десятиклассников позволяет проводить работу по разъяснению структуры всего курса геометрии, т.е. учитель должен четко разъяснять смысл и место отдельных теорем или целой группы теорем и показывать их взаимосвязь. В задачи изучения курса стереометрии входит выработка у школьников пространственных представлений. Известно, что существует 2 основных типа пространственных представлений: по описанию представлять себя, вообразить пространственную фигуру или по описанию построить проекционный чертеж. Не каждый ученик обладает развитым пространственным воображением. Его можно развить, учением рисовать чертежи, решать задачи на пространственные построения.

---

Следующей целью изучения стереометрии является дальнейшие ознакомление учащихся с прикладным аппаратом и приложениями классической геометрии и современной (это темы «Векторы», «Координаты», «Применение интегралов к нахождению объемов тел».

Систематический курс стереометрии, на изучение которого отводится приблизительно по 70 часов в десятом и одиннадцатом классах, предусматривает рассмотрение следующих тем: 1. Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия. 2. Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. 3. Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве. 4. Координаты, векторы, геометрические преобразования в пространстве. 5. Многогранники. 6. Тема вращения. 7. Площадь поверхностей и объем геометрических тел. 8. Изображение пространственных фигур на плоскости. В действующих учебниках ставятся разные содержательные акценты при изучении стереометрии. Учебник Атанасяна: материал различных по содержанию вопросов часто включается в одну главу (фузионизм). При этом наблюдается частая повторяемость материала, обращение к уже знакомым вопросам. Большое внимание, чем у Погорелова, уделяется векторам, движению к координатам. Учебник Погорелова: отличается четкой логической структурой, меньше внимания векторам и геометрическим преобразованиям. Это подспудно несет в себе опасность затушевывания естественных связей между темами.
14. Особенности обучения геометрии.

1.В курсе геометрии приходится иметь дело с большим количеством понятий, т.к. изучаются свойства большого числа фигур и различные отношения между ними. Обязательно учить определения и теоремы
2.Учить строить динамичный чертеж.
3.Особый подход к актуализации знаний.
4.Два основных метода решения задач (геометрический и алгебраический).
5. Вопросно-ответные процедуры.
6. Методическая система обучению доказывать

Трудности.

• 
  При изучении геометрии очень большое значение придается теории.
  
• 
  Знать одну только теорию недостаточно. Часто учащиеся, не задумываясь, заучивают формулировку теоремы и ее доказательство, но при этом не имеют ни малейшего представления о ее применении.
  
• 
  Неумение построить чертеж.
  
• 
  Школьники пытаются по своему чертежу делать предположения о каких-либо свойствах фигуры, не указанных в задании. Например, строят равнобедренный треугольник и начинают решение, отталкиваясь от свойств оного, хотя в задании такого условия нет.
  
• 
  Школьники не способны построить цепь логических рассуждений, которая приведет к решению задания.
  
• 
  Особенности психологического развития школьников в этом возрасте.
  

---

15. Особенность преподавания геометрии в 1 полугодии 10 класса заключается в введении учащихся в стереометрию. Одновременное изучение свойств плоских и пространственных фигур. Первые уроки стереометрии посвящены знакомству с основными понятиями и аксиомами, а так же следующими из них. Основной целью этого этапа является выделение способов задания плоскости.

Далее следует вспомнить обозначения, которые использовались в планиметрии и ввести новые символы, кот будут использоваться в стереометрии. Особо следует обратить внимание на изображение плоскости в стереометрии. После этого учащиеся подготовлены к восприятию аксиом каждую из которых рекомендуется ввести по схеме: 1. иллюстрированная модель. 2. Формулировка. 3. Схематический рисунок.4. Символическая запись.Преподавателю нужно научить:

• 
  мысленно строить образы геометрических фигур и представлять их положение на плоскости;
  
• 
  распознавать фигуры или элементы фигур по их указанным признакам или свойствам;
  
• 
  изображать простейшие пространственные фигуры на плоскости;
  
• 
  обладать элементарными навыками работы с проекционным чертежом;
  
• 
  конструировать модели различных фигур; работать с развертками простейших пространственных фигур;
  
• 
  владеть глазомером для оценки геометрических фигур, их положений на плоскости и в пространстве;
  
• 
  выполнять основные геометрические построения с помощью чертежных инструментов.
  

16. 1. При построении изображений пространственных фигур важную роль играет теорема Польке-Шварца. Любая упорядоченная четверка точек С {A,В,С,D} общего положения, взятая на плоскости, может служить изображением аффинного репера конгруэнтного или подобного реперу R'. Как следствие из теоремы Польке-Шварца вытекает следующее предложение: изображением тетраэдра в параллельной проекции может служить любой четырехугольник АВСD вместе с его диагоналями.

1. Изображение пирамиды в параллельной проекции.

Используя эти два предложения можно построить изображение любой п-угопъной пирамиды. 1. Строим изображение многоугольника, являющегося основанием пирамиды. 2. Выбираем произвольную точку, являющуюся изображением вершины пирамиды (по теореме Польке-Шварца) и строим изображение боковых ребер. 3. Если условием задачи определено положение высоты, то сначала строим изображение прямой, на которой находится высота пирамиды, а затем на ней произвольно выбираем вершину.

Построение сечений многогранников.

---

Наиболее доступными и эффективными в практике преподавания геометрии в школе являются следующие три метода построения сечений многогранников: метод следов; метод соответствия или внутреннего проецирования (иногда его называют методом вспомогательных сечений); комбинированный метод.

Решение многих стереометрических задач связано с построением сечений многогранников и круглых тел. Укажем некоторые из встречающихся условий построения сечений: 1) по трем точкам, не лежащим на одной прямой; 2) по прямой и точке, не лежащей на ней; 3) по точке и параллельно заданной плоскости; 4) по точке и прямой, которой секущая плоскость перпендикулярна; 5) по прямой и перпендикулярно заданной плоскости. Возможны и другие способы задания секущей плоскости. Построение сечений многогранников возможно на основе аксиом и теорем стереометрии, кроме того, есть специальные методы: метод следов, метод вспомогательных сечений, комбинированный метод.

1. 
   Метод построения сечений многогранников на основе аксиом и теорем стереометрии. Основная идея этого метода основана на том, что прямая и плоскость пересекаются только в одной точке, а две плоскости пересекаются по прямой. В 28 26 результате сечение многогранника будет представлять собой многоугольник. Для построения сечения многогранника нужно найти точки пересечения искомого сечения с ребрами многогранника – они служат вершинами многоугольника, а стороны многоугольника – отрезки, по которым секущая плоскость пересекает грани многогранника.
   
2. 
   Метод следов заключается в том, что по следу сечения можно построить его полностью. След сечения — прямая, по которой секущая плоскость пересекает грань многогранника. В методе следов часто нужно продлевать линии и ребра до их пересечения.
   
3. 
   3. Метод внутреннего проектирования. Для построения сечения указанным методом в случае, когда заданы три точки, находят точки пересечения с оставшимися ребрами многогранника. С этой целью вводят вспомогательные пересекающиеся плоскости, одна из которых содержит выбранное ребро и одну из данных точек сечения. Вторая плоскость содержит оставшиеся заданные точки и их проекции. Затем находят линию пересечения вспомогательных сечений и след секущей плоскости на выбранном ребре многогранника.
   
4. 
   .Комбинированный метод. Суть этого метода состоит в том, что искомое сечение строится в сочетании метода следов и метода внутреннего проектирования со свойствами данного многогранника. Укажем теоремы о параллельности прямых и плоскостей, которые применяются при построении сечений комбинированным методом. 38 36 Теорема 1. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. Поэтому секущая плоскость пересекает плоскости параллельных граней по параллельным прямым. Теорема 2. Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает ее, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Теорема 3. Если прямая ????????, не лежащая в плоскости ????????, параллельна некоторой прямой b, проведенной в плоскости ????????, то она параллельна и самой плоскости а
   

---