Файл: Математическое моделирование линейных параметрических систем с произвольными кусочнопостоянными параметрами.pdf

На правах рукописи
ВЫТОВТОВ КОНСТАНТИН АНАТОЛЬЕВИЧ
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ
ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ПРОИЗВОЛЬНЫМИ
КУСОЧНО-ПОСТОЯННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
Специальность 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание учѐной степени доктора технических наук
Астрахань – 2020 г.

2
Работа прошла апробацию в институте информационных технологий и коммуникаций федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования «Астраханский государственный технический университет»
Научный консультант: доктор технических наук, главный научный сотрудник
Института проблем управления РАН им. В.А. Трапезникова
Вишневский Владимир Миронович
Ведущая организация:
федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования
«Российский университет дружбы народов»
Защита состоится 15.06.2020 в 12:00 на заседании диссертационного совета ФРКТ.05.13.18.001 по адресу 141701, Московская область, г.
Долгопрудный, Институтский переулок, д. 9.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и на сайте
Московского физико-технического института
(национального исследовательского университета) https://mipt.ru/education/post- graduate/soiskateli-tekhnicheskie-nauki.php
Работа представлена «25» февраля 2020 г. в Аттестационную комиссию федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Московский физико-технический институт
(национальный исследовательский университет)» для рассмотрения советом по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук, доктора наук в соответствии с п.3.1 ст. 4
Федерального закона «О науке и государственной научно-технической политике».

3
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность.
Математическое описание физических процессов и явлений имеет большое значение как для расчетов и их практических приложений, так и для глубокого понимания сути этих процессов и явлений в связи с необходимостью перехода к передовым производственным технологиям, требованиями разработки новых материалов, в частности композитных и тонкопленочных структур, а также развитием 5G систем связи в рамках программы цифровой экономики. На сегодняшний день представлено множество математических моделей механических, электрических, электронных, радиофизических, оптических, информационных, социальных, биологических систем. При этом в большинстве случаев системы различной природы описываются одной и той же математической моделью. Для формирования единого подхода еще Ньютоном было введено понятие динамической системы. С тех пор исследование динамических систем различной природы и характера является актуальной темой в течение уже нескольких столетий.
На сегодняшний день, достаточно глубоко изучены системы с одной степенью свободы, в том числе и параметрические. В научной литературе рассмотрены случаи периодического и непериодического изменения параметров. Для анализа использовались аналитические, численно- аналитические и численные методы. Наиболее изученными системами с двумя степенями свободы являются системы с постоянными параметрами.
Системы с изменяющимися параметрами изучались, как правило, численными методами и на сегодняшний день не существует сколько- нибудь приемлемого для практического применения аналитического метода описания динамических систем с произвольными параметрами даже в рамках линейной задачи. Но эти методы крайне необходимы для описания устройств современных систем связи и обработки информации на основе многослойных анизотропных управляемых материалов, нанопленок, метаматериалов, например, фильтров Брэгга, резонаторов
СВЧ и оптического диапазона, вентилей, фазовращателей и других.
Аналитические методы расчета таких структур позволили бы решать обратные задачи и проектировать СВЧ и оптические структуры в соответствии с современными требованиями.
Таким образом, разработка аналитических моделей и методов анализа систем с изменяющимися параметрами является актуальной и имеет приложения во многих областях науки, техники, в частности для перспективных систем связи в рамках программы цифровой экономики, перспективных систем искусственного интеллекта, фотонных компьютеров.
Степень разработанности темы. На сегодняшний день детально проанализированы динамические системы с постоянными параметрами и системы со слабой нелинейностью. Для них построено множество математических моделей на основе строгих и приближенных

4 аналитических методов. Для параметрических систем с одной степенью свободы и гармоническим законом изменения параметра разработан аппарат функций Матье. Системы с кусочно-непрерывными параметрами исследовались численными и численно-аналитическими методами. При рассмотрении задач исследования систем с кусочно-постоянными параметрами исследования ограничивались аналитическим исследованием систем с двумя интервалами с постоянными параметрами.
Потребность в разработке математических моделей параметрических систем с произвольными кусочно-постоянными параметрами обусловлена, в частности, разработкой новых композитных материалов, устройств 5G систем связи и обработки информации, которые включены в перечень приоритетных перспективных направлений научно-технологического развития Российской Федерации.
Выполненный анализ научных работ показал, что, несмотря на значительные результаты в области математического моделирования динамических систем и разработки численных методов, а также алгоритмов и программ их расчета, на сегодняшний день отсутствуют аналитические модели для систем с произвольными кусочно-постоянными параметрами даже в рамках линейной задачи. В связи с этим, научной
проблемой диссертации является построение аналитических моделей систем с одной и двумя степенями свободы и произвольными кусочно- постоянными параметрами на основе точных аналитических методов для решения целого ряда прикладных задач в направлении разработки устройств современных систем связи, обработки информации и искусственного интеллекта.
Цель и задачи исследования. Целью диссертации является построение математических моделей линейных динамических систем с одной и двумя степенями свободы и произвольными кусочно- постоянными параметрами для расчета устройств современных систем связи и обработки информации.
Задачи исследования. Для достижения цели в диссертационной работе решены следующие задачи:
• разработка аналитического метода моделирования линейной параметрической системы с одной степенью свободы и произвольными кусочно-постоянными параметрами в аналитическом виде в элементарных функциях;
• разработка аналитического метода моделирования линейной параметрической системы с двумя степенями свободы и произвольными кусочно-постоянными параметрами в аналитическом виде в элементарных функциях;
• разработка аналитического метода моделирования линейной параметрической системы с двумя степенями свободы и случая попарно- обратных собственных чисел на каждом интервале с постоянными параметрами в виде блочной диагональной матрицы с 2×2 блоками без перехода в другой базис в аналитическом виде в элементарных функциях;

5
• разработка аналитического метода анализа условий существования неустойчивых решений для линейной параметрической системы с одной степенью свободы и произвольными кусочно- постоянными параметрами в элементарных функциях;
• разработка аналитического метода анализа условий существования неустойчивых решений для линейной параметрической системы с двумя степенями свободы и произвольными кусочно- постоянными параметрами в элементарных функциях;
• развитие приближенных аналитических методов для численного моделирования периодических электромагнитных и оптических структур;
• реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента по расчету параметров линейных параметрических систем с произвольными кусочно-постоянными параметрами.
Объектом исследования являются линейные динамические системы с одной и двумя степенями свободы и произвольными кусочно- постоянными параметрами.
Предметом исследования являются математические модели, численные методы, комплексы программ для линейных динамических систем с одной и двумя степенями свободы и произвольными кусочно- постоянными параметрами.
Научная новизна работы:
1.
Впервые построена аналитическая модель линейной параметрической системы с одной степенью свободы и произвольными кусочно-постоянными параметрами. Найдена матрица фундаментальных решений линейной однородной динамической системы второго порядка с произвольными кусочно-постоянными параметрами в аналитическом виде в элементарных функциях, описывающая эволюцию данной системы и
отличающаяся от предыдущих тем, что она представлена в виде конечной суммы гиперболических матриц. Параметры системы могут изменяться в любой момент времени на любую величину. Это позволяет, прежде всего, упрощать решение обратных задач и задач проектирования требуемых электромагнитных и оптических структур на основе фотонных кристаллов и многослойных нанопленок, разработки поглощающих и отражающих покрытий, а также прогнозирования физических свойств этих структур и систем.
2. Впервые введено новое понятие эквивалентных колебаний линейной параметрической системы второго порядка с произвольными кусочно-постоянными параметрами. Результирующее колебание впервые представлено в виде суперпозиции эквивалентных колебаний с определенными коэффициентами вклада. Данное разложение является конечным в отличие от бесконечного ряда Фурье, не совпадает с существующими вейвлет-разложениями и дискретным косинусным

6 преобразованием. Это позволяет проводить качественное исследование соответствующих систем на фазовой плоскости, таких как фильтры Брэгга, периодические волноводы, резонаторы Фабри-Перо.
3. Впервые доказано, что изменение порядка чередования интервалов с постоянными параметрами системы с одной степенью свободы и произвольными кусочно-постоянными параметрами, не изменяющее длительности периода, не влияет на структуру областей неустойчивости решений. Это позволяет оптимизировать исследование параметрических механических систем и структур на основе фотонных кристаллов, а также классифицировать их по данному признаку.
4.
Впервые построена аналитическая модель линейной параметрической системы с двумя степенями свободы и произвольными кусочно-постоянными параметрами.
Впервые
найдена матрица фундаментальных решений линейной однородной динамической системы четвертого порядка с произвольными кусочно-постоянными параметрами, описывающая эволюцию системы, в аналитическом виде в элементарных функциях. Решение найдено при условии непрерывности функций и их первых производных. Это позволяет, прежде всего, упрощать решение обратных задач и численное моделирование электромагнитных и оптических управляемых структур на основе анизотропных фотонных кристаллов и устройств современных систем связи и обработки информации с их использованием, а также прогнозировать физические свойства этих структур, устройств и систем.
5. Результирующее колебание линейной параметрической системы четвертого порядка с произвольными кусочно-постоянными параметрами впервые представлено в виде групп колебаний по колебаний в каждой группе. Данные колебания названы эквивалентными. Полученное разложение является конечным в отличие от бесконечного ряда Фурье, не совпадает с существующими вейвлет-разложениями и дискретным косинусным преобразованием.
Результат упрощает качественное исследование таких электромагнитных структур, как управляемые фильтры, вентили, резонаторы и т.д. в фазовом пространстве.
6. Впервые построена строгая аналитическая модель линейной параметрической системы с двумя степенями свободы и произвольными кусочно-постоянными параметрами на основе блочных 4х4-матриц с 2х2 блоками на главной диагонали. Матрица фундаментальных решений линейной однородной динамической системы четвертого порядка с постоянными параметрами представлена в виде блочной матрицы с 2х2 блоками без перехода в другой базис в отличие от существующих преобразований, требующих перехода в новый базис. Это существенно упрощает анализ механических систем, СВЧ и оптических структур на основе анизотропных фотонных кристаллов, позволяет применять к ним математический аппарат, разработанный для систем с одной степенью свободы.

7 7. Впервые аналитически доказано, что изменение порядка чередования интервалов с постоянными параметрами системы четвертого порядка с произвольными кусочно-постоянными параметрами, не изменяющее длительности периода, не влияет на структуру областей неустойчивости решений. Это позволяет провести классификацию систем с двумя степенями свободы в соответствии с данным признаком и существенно сократить число исследуемых механических систем и электромагнитных управляемых структур на основе анизотропных фотонных кристаллов и гиперболических метаматериалов.
8. Развитая модель впервые применена в качестве приближенного аналитического метода исследования систем с линейно-изменяющимися параметрами и систем с синусоидально изменяющимися параметрами.
Особенностью его использования является то, что расчет поведения динамической системы не требует итерационных процедур.
9. Впервые представлены численные решения задач отражения и прохождения волн, а также нахождения запрещенных и разрешенных зон в одномерных изотропных и анизотропных фотонных кристаллах оптического и микроволнового диапазонов с произвольным числом слоев на основе разработанных моделей. Разработано новое устройство терагерцового диапазона − управляемый двухчастотный дуплексный вентиль – на основе управляемых анизотропных материалов.
10. Впервые разработан комплекс программ на языке С# для расчета линейных динамических систем с произвольными кусочно-постоянными параметрами на основе построенных математических моделей.
Теоретическая значимость работы. Теоретическая значимость работы определяется представлением новых математических моделей для линейных параметрических систем с одной степенью свободы и произвольными кусочно-постоянными параметрами, а также для линейных консервативных параметрических систем с двумя степенями свободы и произвольными кусочно-постоянными параметрами. Для систем с двумя степенями свободы и попарно-обратными собственными числами исходного дифференциального уравнения, описывающего систему, матрица фундаментальных решений сведена к блочной матрице с 2х2 блоками на главной диагонали. Получены долгопериодические решения системы с одной степенью свободы. Обнаружено новое свойство, заключающееся в том, что изменение порядка чередования слоев периодической системы, не приводящее к изменению длительности периода, не приводит к изменению структуры областей устойчивых решений. Обнаружено новое физическое свойство, заключающееся в том, что волна, распространяющаяся тангенциально к границе раздела изотропной и анизотропной сред, изменяет направление своего распространения и втягивается в анизотропную среду при наличии поверхностных зарядов или поверхностных токов определенной величины.
Практическая ценность работы. Разработанные методыпозволяют проводить анализ многослойных электромагнитных и оптических структур