Файл: Математическое моделирование линейных параметрических систем с произвольными кусочнопостоянными параметрами.pdf

15
Фурье, поскольку все амплитуды спектральных составляющих являются величинами одного порядка.
В этом разделе метод также применен для динамических систем с непрерывно изменяющимися параметрами. В частности, для системы, коэффициент которой в (1) изменяется по закону на интервале [ ]. Это так называемое уравнение Матье. Для данного случая рассчитано результирующее колебание при разбиении исходного интервала на различное число интервалов с постоянными параметрами. На Рис.5 представлены результаты расчетов для одиннадцати, тринадцати, пятнадцати и шестнадцати интервалов с постоянными параметрами. Результаты расчетов показывают, что в данной задаче достаточно представить синусоидальную зависимость на интервале
[ ] в виде ступенчатой функции с пятнадцатью ступеньками.
Погрешность расчетов в данном случае не превышает 5%. Дальнейшее разбиение не приведет к увеличению точности решения, но существенно усложнит задачу. Действительно, при пятнадцати интервалах количество эквивалентных мод равно
, а при шестнадцати уже
Рис.3. Результирующее колебание а) б)
Рис.4. Спектр колебания

16
Рис.5. Вид колебания системы, описываемой уравнением Матье
Аналогичные расчеты были проведены и для системы с линейно изменяющимися параметрами. Показано, что количество интервалов

17 дискретизации зависит от наклона характеристики и лежит в пределах от тринадцати до шестнадцати.
Метод также позволяет проводить анализ устойчивости решений системы с большим числом интервалов в периоде.
На Рис.6 представлены результаты расчета для шестислойной структуры с
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
. Темные области соответствуют областям неустойчивости решений системы.
Рис.6. Диаграмма устойчивости периодической системы с шестью интервалами в периоде
Разработанный метод имеет важное значение для расчета и анализа оптических и СВЧ многослойных структур. Он, в частности, позволяет рассчитывать разрешенные и запрещенные зоны фотонных кристаллов и построенных на их основе фильтров Брэгга. Действительно, эти области являются следствием явления многократного переотражения в периодической структуре и соответствуют областям устойчивых и неустойчивых решений, соответственно. При определенных параметрах структуры, когда многократно переотраженные волны складываются в фазе, возникают разрешенные области, когда они складываются в противофазе – запрещенные зоны. При этом, диаграмма разрешенных и запрещенных областей полностью совпадает с диаграммой устойчивости решений, например, Рис.6.
Не менее важной задачей, решаемой данным методом, является задача отражения и прохождения волны в неоднородной, в частности слоистой, изотропной среде. На Рис.7 представлена геометрия задачи.
Здесь
пад
,
пад
- компоненты падающей линейно поляризованной волны,
отр
,
отр
- компоненты отраженной линейно поляризованной волны,
пр
,
пр
- компоненты прошедшей линейно поляризованной волны, k – волновой вектор в свободном пространстве.
Результаты численных расчетов для такой структуры представлены на Рис.8. Структура включает в себя четыре изотропных диэлектрических

18 слоя с параметрами первого слоя
,
, мкм, второго слоя,
,
, мкм, третьего слоя
,
, мкм, четвертого слоя
,
, мкм. Расчеты проведены для угла падения 15°. На графике явно видны полосы пропускания и непропускания структуры, что может найти практическое применение при проектировании конкретных оптических устройств.
Рис.7. Многослойная диэлектрическая структура
Рис.8. Зависимость коэффициента отражения от длины волны и диэлектрической проницаемости второго слоя

19
Таким образом, в данном разделе построена аналитическая модель параметрической системы с одной степенью свободы и произвольными кусочно-постоянными параметрами и применена к задаче нахождения разрешенных и запрещенных областей одномерного фотонного кристалла с произвольным числом однородных элементов в структуре, а также задаче отражения от многослойной планарной структуры с произвольным числом слоев.
В третьей главе рассматривается линейная динамическая система с двумя степенями свободы и произвольными кусочно-постоянными параметрами, изменяющимися скачком в любой момент времени на любую величину. Поведение системы описывается дифференциальными уравнениями
[
]
[
] с произвольными кусочно-постоянными коэффициентами
{
{
Система уравнений (8) с коэффициентами (9) описывает поведение двух связанных механических осцилляторов, которые являются аналогом колебания автомобиля на амортизаторах на неровной дороге, бортовой качку корабля в двух степенях свободы, работы параметрического усилителя или генератора, поведения элементарной частицы в периодическом потенциальном поле в двумерной системе, поведения акустической волны в неоднородной среде и т.д. В СВЧ и оптике аналогом такой системы является поведение электромагнитной волны в анизотропном одномерном фотонном кристалле. Такие структуры позволяют строить управляемые устройства для современных систем связи и обработки информации в рамках программы перехода к цифровой экономике. Некоторые примеры механических и электрических систем с двумя степенями свободы и кусочно-постоянными параметрами представлены на Рис.9 и Рис.10.

20
Рис.9. Система связанных осцилляторов
Для данной системы впервые найдена матрица фундаментальных решений в аналитическом виде в элементарных функциях:
Рис.10. Пример схемы параметрического генератора со связанными контурами
∑
∑
(∑
)
∑
Для нахождения общего вида матрицы введена новая знаковая функция
〈
, *
+-〉

21 дополнительно к функции (3). Данная функция учитывает порядок взаимодействия собственных мод интервалов с постоянными параметрами в результирующем колебании, таким образом, чтобы собственные моды одного интервала не взаимодействовали между собой.
В соответствии с видом (10) она представляет собой конечный ряд гиперболических матриц, которые разделяются на группы по унимодулярной матрицы в каждой группе. На основании этого введены понятия эквивалентных колебаний системы с двумя степенями свободы и произвольными кусочно-постоянными параметрами, групп эквивалентных колебаний этой системы и соответствующих коэффициентов вклада эквивалентных мод и групп
. Также введены понятия характеристических показателей эквивалентных мод и групп эквивалентных мод
, позволяющие представить результирующее колебание, как суперпозицию гармонических колебаний
∑
∑
(∑
)
(
) ∑ (
)
Проведены численные расчеты динамической системы с тремя интервалами с постоянными параметрами. Здесь
,
,
,
,
⁄ ,
, - номер интервала с постоянными параметрами. Результаты представлены в Таблице 1 и Таблице 2.
Таблица 1. Коэффициенты вклада эквивалентных мод
2.480 37.222 5.250 35.643 0.563 8.454 0.635 4.314
-0.6360
-35.635
j4.884
-15.349
-0.145
-8.094
j0.591
-1.858 0.175 9.807
j4.624 14.535
j0.129
j7.201
j0.321 1.009
-0.683
-10.244
-4.972
-33.752
j0.501
j7.522
-0.345
-2.342
Таблица 2. Коэффициенты вклада групп эквивалентных мод
1 2
3 4
5 6
7 8
0.5503
j0.8414 0.3829
j0.5855 0.5503
j0.8414 0.3829
j0.5855
Здесь мнимые значения коэффициентов вклада означают дополнительный сдвиг фаз соответствующего колебания на
⁄
. Кроме того, из Таблицы 2 видно, что коэффициенты вклада групп являются одинаковыми для первой и пятой, второй и шестой, третьей и седьмой, четвертой и восьмой групп,

22 соответственно. Обобщая данный результат, получим, что коэффициенты вклада и групп эквивалентных мод всегда равны.
Для этой системы также численно рассчитаны и представлены на
Рис.11 зависимости эквивалентных колебаний от времени. а) б) в) г) д) е)
Рис.11. Эквивалентные моды системы

23
Также получены и проанализированы условия устойчивости системы.
Аналитически они имеют вид:
{
|
√
|
|
√
| где и
- коэффициенты харакреристического уравнения матрицы фундаментальных решений системы. Более того, на основании теоремы Остроградского-Лиуввиля показано, что данное уравнение является возвратным (
,
), поскольку след матрицы коэффициентов исходной системы дифференциальных уравнений равен нулю. Выражение (13) также записано в терминах матрицы фундаментальных решений:
{
|| ∑
√ (∑
)
∑ ∑ (
)
||
|| ∑
√ (∑
)
∑ ∑ (
)
||
Результаты анализа условий устойчивости (13) представлены на Рис.12.
Рис.12. К анализу условий устойчивости

24
В областях I и III мультипликаторы системы комплексные и два из них по модулю больше единицы. В системе наблюдается параметрический резонанс, причем существует сдвиг фаз за период. Система неустойчива.
В областях IV, VI и IX все мультипликаторы действительные, два из них по модулю больше единицы. В этих областях резонанс наблюдается для обеих собственных мод, сдвиг фаз за период отсутствует. Система неустойчива.
В областях I и III мультипликаторы системы комплексные и два из них по модулю больше единицы. В системе наблюдается параметрический резонанс, причем существует сдвиг фаз за период. Система неустойчива.
В областях IV, VI и IX все мультипликаторы действительные, два из них по модулю больше единицы. В этих областях резонанс наблюдается для обеих собственных мод, сдвиг фаз за период отсутствует. Система неустойчива.
В областях VII VIII один из мультипликаторов по модулю больше единицы. Для одной моды наблюдается резонанс, в другой устойчивые колебания. Система неустойчива.
В области II мультипликаторы системы попарно комплексно–
сопряженные по модулю равны единице. Система орбитно устойчива.
В области V мультипликаторы мнимые попарно сопряженные по модулю равны единицы. Система орбитно устойчива.
Точка A соответствует параметрам системы при которых колебания обеих мод в ней периодические с периодом .
Точка B соответствует параметрам системы, при которых колебания обеих собственных мод в ней периодические с периодом .
Точка C соответствует параметрам системы, при которых колебания в ней периодические, причем для одной собственной моды период равен
, а для другой – .
Разработанная модель применена к расчету двухчастотного дуплексного вентиля терагерцового диапазона, построенного на основе одномерного фотонного кристалла из феррита с произвольным углом наклона оси анизотропии (Рис.13а). Данный вентиль при включенном соленоиде 1 пропускает сигнал от антенны 1 с антенне 2 на частоте
4.05ГГц и не пропускает сигнал в обратном направлении. А на частоте
6.35ГГц устройство пропускает сигнал от антенны 2 к антенне 1 и не пропускает его в обратном направлении. Амплитудно-частотная характеристика вентиля представлена на Рис.13б. При включенном соленоиде 2 направления прохождения сигнала на соответствующих частотах меняются на противоположное.

25 а) б)
Рис.13. Дуплексный двухчастотный вентиль а) геометрия задачи, б) амплитудно-частотная характеристика вентиля
Таким образом, в третьей главе построена аналитическая модель линейной системы с двумя степенями свободы и произвольными кусочно- постоянными параметрами. Проведены численные расчеты эквивалентных колебаний системы, введенных в данном разделе. Результаты применены к расчету дуплексного двухчастотного вентиля на основе анизотропного фотонного кристалла.

26
Здесь i – номер интервала с постоянными параметрами системы, N – колическиво интервалов с постоянными параметрами. В данной задаче каждый из параметров может скачком изменяться на любую величину при любом значении независимой переменной t.
Система (16) описывает целый класс задач в классической и квантовой механике, теории электромагнитных волн, социологии, биологии, экономике и т.д. При этом, в большинстве случаев решение системы (16) с коэффициентами (17) находят при условии непрерывности функций и их первых производных на границах интервалов с постоянными параметрами. Однако, в целом ряде прикладных задач на границах интервалов с постоянными параметрами требуется удовлетворение условий непрерывности не для функций и в (16) и их первых производных, а для этих функций и величин, пропорциональных их первым производным
⁄
,
⁄
, каждая из которых имеет конкретный физический смысл. Это, например, компоненты электромагнитного поля в электродинамике и оптике. При этом, фундаментальная матрица системы уравнений (16) на i-м интервале с постоянными параметрами представляет собой 4х4-матрицу, а колебания в двух степенях свободы являются связанными. Основным требованием к рассматриваемым системам является тот факт, что на каждом интервале с постоянными параметрами характеристическое уравнение исходных дифференциальных уравнений (16) должно быть биквадратным. В этом случае выделяются два собственных колебания рассматриваемой динамической системы.
Здесь предлагается преобразование 4х4-матрицы фундаментальных решений интервала с постоянными параметрами к блочной диагональной матрице с -блоками:
|
|
При этом аналитически доказана следующая теорема:
Теорема
4.1.
Если
исходная
система
линейных
однородных
дифференциальных уравнений четвертого порядка имеет попарно
обратные характеристические числа, то матрица фундаментальных
решений этой системы может быть представлена в виде 4х4 блочной
матрицы с 2х2 блоками.
Далее найдена матрица фундаментальных решений в аналитическом виде в элементарных функциях и доказана теорема:
Теорема 4.2. Матрица фундаментальных решений линейной однородной
системы
с
кусочно-постоянными
параметрами
может
быть
представлена в виде суммы
унимодулярных
блочных
диагональных матриц с блоками и определенными коэффициентами
вклада