Файл: Математическое моделирование линейных параметрических систем с произвольными кусочнопостоянными параметрами.pdf

8 как изотропных, так и анизотропных. В частности, рассчитаны разрешенные и запрещенные области фильтров Брэгга, дисперсионные отношения периодических волноведущих структур с произвольным числом слоев в периоде, коэффициенты отражения и прохождения многослойных изотропных и анизотропных плоско-параллельных структур с произвольным числом слоев, условия генерирования оптических параметрических генераторов. Рассчитан резонатор Фабри-Перо со слоистым заполнением. Эти результаты нашли свое практическое применение в современных оптических коммутационных системах, описанных в работах автора. В квантовой механике результаты могут быть использованы для исследования состояния частиц в периодическом потенциальном поле, то есть для решения одномерного и двумерного уравнения Шредингера. В электротехнике – для расчета условий неустойчивости параметрических генераторов, характеристик параметрических усилителей и цепочечных фильтров. В механике данные методы позволяют рассчитывать периодические структуры, такие как многоквартирные дома, мосты, колебания автомобиля на неровностях дороги, бортовую качку судов. Результаты диссертации могут быть использованы в учебном процессе при изучении дисциплин таких как
«Механика», «Оптика», «Электродинамика».
Результаты диссертационной работы использованы на практике в организациях ООО «Терра-Юг» (г.Краснодар), ПАО «Ростелеком»
(г.Астрахань), ООО ПКФ «Астрахань-Телеком», ООО «Связьинформ», а также в учебном процессе Астраханского государственного технического университета и
Волгоградского государственного технического университета.
Методы исследований. Для решения поставленных задач использованы методы построения фундаментальной матрицы решений, методы, разработанные автором, метод Ляпунова исследования условий неустойчивости решений линейных динамических систем. Моделирование проведено с помощью программного пакета Malpe и языка С#. Для исследования электромагнитных и оптических структур использовались методы матрицы отражения и прохождения.
Основные положения, выносимые на защиту
1. Матрица фундаментальных решений линейной однородной системы дифференциальных уравнений второго порядка с произвольными кусочно- постоянными коэффициентами, которая позволяет находить аналитические решения в элементарных функциях для параметрических систем любой природы при произвольных кусочно-постоянных параметрах.
2. Эквивалентные колебания линейной однородной динамической системы второго порядка с произвольными кусочно-постоянными параметрами.
3. Теорема об изменении порядка чередования интервалов с постоянными параметрами системы второго порядка с произвольными кусочно-

9 постоянными параметрами, не изменяющем длительности периода, не влияет на структуру областей неустойчивости решений.
4.
Матрица фундаментальных решений линейной однородной динамической системы четвертого порядка с произвольными кусочно- постоянными параметрами в аналитическом виде в элементарных функциях.
5. Эквивалентные колебания линейной однородной динамической системы четвертого порядка с произвольными кусочно-постоянными параметрами
(
групп колебаний по колебаний в каждой группе).
6.
Матрица фундаментальных решений линейной однородной динамической системы четвертого порядка с постоянными параметрами представлена в виде блочной матрицы с 2х2 блоками без перехода в другой базис.
7.
Матрица фундаментальных решений линейной однородной динамической системы четвертого порядка с кусочно-постоянными параметрами в аналитическом виде в виде блочной матрицы с 2х2 блоками.
8. Теорема об изменении порядка чередования интервалов с постоянными параметрами системы четвертого порядка с произвольными кусочно- постоянными параметрами, не влияющем на структуру областей неустойчивости решений.
9. Численные решения задач отражения и прохождения волн, а также нахождения запрещенных и разрешенных зон в неоднородных изотропных и анизотропных оптических и СВЧ средах с использованием разработанных методов.
10. Комплексы программ на языке С# для расчета линейных динамических систем с произвольными кусочно-постоянными параметрами с использованием разработанных методов.

10
International Congress on Advanced Electromagnetic Materials in Microwaves and Optics (2012, Санкт-Петербург); META'12, 3rd International Conference on Metamaterials, Photonic crystals and Plasmonics (2012, Париж, Франция);
International Kharkov Symposium on Physics and Engineering of Microwave,
Millimiter and Submillimiter Waves (2013, Краков, Польша); International
Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory, MMET
(2014, Украина, Днепропетровск); the 8th International Conference on
Metamaterials, Photonic Crystals and Plasmonics (2017, Корея, Сеул);
Актуальные проблемы электронного приборостроения (Саратов,
2014,2016,2018 годы); 21st International Conference, DCCN 2018 (Москва,
2018); IEEE Northwest Russia Conference on Mathematical Methods in
Engineering and Technology (Санкт-Петербург, 2018); 12th International
Congress on Artificial Materials for Novel Wave Phenomena – Metamaterials
(Финляндия, Espoo, 2018), International Conference on Metamaterials and
Nanophotonics (Сочи, 2018), 2019 IEEE Conference of Russian Young
Researchers in Electrical and Electronic Engineering (2019 ElConRus) (Санкт-
Петербург, 2019), V Международной конференции и молодежной школе
(ITNT - 2019) (Самара,2019), 6th International Conference Engineering &
Telecommunication – En&T-2019 (Москва, 2019).
Работа выполнена в соответствии с госбюджетной научно- исследовательской работой кафедры
«Связь»
Астраханского государственного технического университета по теме «Перспективные высокоскоростные инфокоммуникационные системы» №Гос.регистрации
01201450580 (2017-2019 года), научно-исследовательскими и опытно- конструкторскими работами, проводимыми ФГБОУ ВО АГТУ в рамках государственного задания учредителя (Росрыболовство) по теме
«Создание банков данных и геоинформационных систем различного назначения с использованием открытой топографической информации для обеспечения потребностей рыболовства» №Гос.регистрации АААА-А18-
118012390402-3 (2017г.), «Исследование средств обеспечения поддержки принятия решений в технологических процессах рыбохозяйственной отрасли»
№Гос.регистрации
АААА-А18-118031990036-5
(2018г),
«Технологии инфокоммуникаций и связи нового поколения в рыбохозяйственной отрасли»
№Гос.регистрации
АААА-А19-
119041990053-0 (2019 г.)
Публикации. По теме диссертации опубликовано: 41 печатная работа SCOPUS/Web of Science; 3 статьи – в журналах ВАК; одна монография; получено 3 патента и 4 свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ.
Структура и объем работы. Диссертация содержит 292 страницы машинописного текста, 70 рисунков, 4 таблицы и состоит из введения, 4 главы, заключения, списка литературы из 273 наименований и приложения на 28 листах.

11
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во
введении обоснована актуальность диссертационного исследования, сформулированы цель и задачи исследования, представлены основные положения и научные результаты, выносимые на защиту, дана характеристика их новизны, достоверности и практической значимости.
В первой главе был проведен анализ существующего состояния исследований в области динамических систем с одной и двумя степенями свободы,
Во
второй
главе рассматривается линейная однородная динамическая система с одной степенью свободы, описываемая дифференциальным уравнением и произвольными кусочно-постоянными как периодическими, так и непериодическими параметрами, изменяющимися в любой момент времени на произвольную величину.
Такие системы могут иметь любую природу (Рис.1). Механическим примерами может быть математический маятник в периодическом поле
(электрическом, магнитном, гравитационном).
Рис.1. Примеры динамических систем с одной степенью свободы

12
На практике – это, например, вращающийся вал с вибрирующими опорами, водонапорная вышка, трубопровод на периодических опорах, мост на периодически установленных сваях или спутник Земли.
Динамическая система электрической природы – это, например, электрический колебательный контур с переменными параметрами, параметрический одноконтурный генератор. Волновым аналогом такой системы служит плоская электромагнитная вона, распространяющаяся в слоистой изотропной среде. Наиболее известными примерами такой структуры являются периодический волновод или фильтр Брэгга. Очень широко на сегодняшний день применяются и оптические параметрические усилители. В квантовой механике данная модель описывает поведение частицы в одномерной многоатомной кристаллической решетке.
Для таких систем впервые найдена матрица фундаментальных решений в аналитическом виде в элементарных функциях. Причем, решение впервые представлено в виде конечной суммы унимодулярных гиперболических
2х2-матриц с определенными коэффициентами
∑
На основе этого введены понятия эквивалентного колебания системы, описываемого матрицей и коэффициента вклада этого эквивалентного колебания в результирующее. Здесь N – количество интервалов с постоянными параметрами.
Важно отметить, что полученное разложение не является ни Фурье преобразованием, ни вейвлет-разложением, ни дискретным косинусным разложением.
Показано аналитически, что закон изменения знаков собственных мод в эквивалентном колебании системы является двоичным. Для учета этого закона введена новая знаковая функция
, *
+-
Функция (3) учитывает фазы взаимодействующих мод при формировании эквивалентных мод системы.
Также рассмотрена система с произвольными периодическими кусочно-постоянными параметрами. Для такой системы впервые записано условие устойчивости решений в аналитическом виде в элементарных функциях
| ∑ {∑ ∑ 0 .
/1
}

13
[∑(
)
]|
,
- собственные числа системы на i-м и m-м интервалах с постоянными параметрами.
Кроме определения условий существования устойчивых решений, выражение (4) имеет важное значение для теории динамических систем.
Прежде всего, анализ (4) позволил впервые доказать теорему о изменении порядка чередования интервалов:
Теорема. Изменение порядка чередования интервалов с постоянными
параметрами в периоде, не изменяющее длительности периода, не
приводит к изменению условий возникновения неустойчивости решений
дифференциального уравнения (1) с периодическими кусочно-постоянными
коэффициентами.
Обобщая данный результат на случай системы с произвольными периодическими параметрами, доказана теорема об инвариантности систем.
Теорема. Любые линейные однородные системы с произвольными
периодическими кусочно-непрерывными коэффициентами имеют одну и
ту же структуру областей неустойчивости решений, если их периоды
равны и интегралы от коэффициентов исходных уравнений вида (1) по
периоду равны:
∫
∫
∫
где
,
, …,
– коэффициенты (1) для этих систем.
На основе выражения (4) также получены условия существования долгопериодических решений, кратных периоду структуры и доказана теорема:
Теорема. Решение уравнения (1) с произвольными периодическими
кусочно-постоянными коэффициентами является периодическими с
периодом кратным периоду изменения коэффициентов при выполнении
условия
| ∑ {∑ ∑ 0 .
/1
}

14
[∑(
)
]|
где
решения
⁄
– кратность решения,
решения
- период решения,
-
период изменения коэффициентов.
Если левая часть (6) равна двум, то период колебания равен
решения
, если
левая часть (6) равна минус двум, то период колебания равен
решения
.
Полученные результаты применены к численному моделированию динамических систем. Прежде всего, исследованы, впервые введенные эквивалентные колебания для динамической системы, описываемой (1) с тремя равными интервалами с постоянными параметрами
⁄ ,
⁄ ,
⁄
, на периоде . На Рис.2. представлены результаты расчетов этих колебаний.
Рис.2. Эквивалентные колебания системы с тремя интервалами с постоянными параметрами
Результирующее колебание этой системы, найденное предложенным методом с учетом коэффициентов вклада, представлено на Рис.3. Из Рис.3 видно, что система является устойчивой, поскольку колебание затухает на одном периоде. Спектр результирующего колебания при разложении в ряд по эквивалентным колебаниям представлен на Рис.4. Рис.4а соответствует амплитудно-частотной характеристике,
Рис.4б
– фазо-частотной характеристике. Результаты расчетов показывают, что при оценке результатов, полученных данным методом, невозможно пренебрегать отдельными спектральными составляющими, аналогично разложению