Файл: Международный консорциум Электронный университет Московский государственный университет экономики, статистики и информатики.pdf

Моделирование рисковых ситуаций
68
последовательных множества решений, причем последующие решения основываются на результатах предыдущих, и/или два или более множества состояний среды (т.е. появля- ется целая цепочка решений, вытекающих одно из другого, которые соответствуют собы- тиям, происходящим с некоторой вероятностью), используется дерево решений.
Дерево решений – это графическое изображение последовательности ре- шений и состояний среды с указанием соответствующих вероятностей и вы- игрышей для любых комбинаций альтернатив и состояний среды.
4.4.1. Принятие решений с применением дерева решений
В постановочном плане рассмотрим несколько задач, которые могут быть решены с помощью данного метода.
Задача 1. Разведывательное бурение скважин. Некоторая нефтяная разведыва- тельная партия должна решить, стоит ли бурить скважины на данном участке до того, как истечет срок контракта. Для руководителей партии не ясны многие обстоятельства:
• в какую сумму обойдется стоимость бурения, зависящая от качества грунта, глу- бины залегания нефти и т.д.;
• на какие запасы нефти в этом месте можно рассчитывать;
• сколько будет стоить эксплуатация скважины.
В распоряжении руководства имеются объективные данные об аналогичных и не вполне похожих скважинах этого типа. При помощи сейсмической разведки можно по- лучить дополнительную информацию, которая, однако, не дает исчерпывающих сведе- ний о геофизической структуре разведываемого участка. Кроме того, получение сейсми- ческой информации стоит недешево, поэтому еще до того, как будет принято оконча- тельное решение (бурить или нет), следует определить, есть ли необходимость собирать эти сведения.
Задача 2. Выпуск нового товара. Большая химическая компания успешно завер- шила исследования по усовершенствованию строительной краски. Руководство компа- нии должно решить, производить эту краску самим (и если – да, то какой мощности строить завод) либо продать патент или лицензию, а также технологию независимой фирме, которая имеет дело исключительно с производством и сбытом строительной краски.
Основные источники неопределенности:
• рынок сбыта, который фирма может обеспечить при продаже новой краски по данной цене;
• расходы на рекламу, если компания будет сама производить и продавать краску;
• время, которое потребуется конкурентам, чтобы выпустить на рынок подобный товар (успеет ли компания за этот срок окупить затраты, понесенные для того, чтобы стать лидером в данной сфере производства).
Компания может получить некоторые дополнительные сведения, имеющие кос- венное отношение к проблемам проникновения конкурентов на рынок сбыта, опросив часть поставщиков краски. Но к материалам опросов следует относиться с осторожно- стью, ибо поставщики в действительности могут поступать не так, как они первоначаль- но предполагают. В качестве подтверждения последнего суждения можно привести ис-
Определение

Принятие решений в условиях неопределенности и риска (игры с природой)
69
следования, проведенные американскими автомобильными корпорациями для того, что- бы определить спрос на большие легковые автомобили. Несмотря на надвигающийся энергетический кризис 1971—1973 гг., результаты анкетирования показали, что амери- канские покупатели по-прежнему предпочитают многоместные легковые автомобили.
Однако на деле все произошло с точностью до наоборот, и на рынке стали пользоваться спросом небольшие, экономичные машины. Такие результаты опроса могут быть час- тично объяснены скрытностью человеческого характера, и это должно учитываться при принятии решений.
4.4.2. Анализ и решение задач с помощью дерева решений
Процесс принятия решений с помощью дерева решений в общем случае предпо- лагает выполнение следующих пяти этапов.
Этап 1. Формулирование задачи. Прежде всего необходимо отбросить не относящие- ся к проблеме факторы, а среди множества оставшихся выделить существенные и несу- щественные. Это позволит привести описание задачи принятия решения к поддающейся анализу форме. Должны быть выполнены следующие основные процедуры: определение возможностей сбора информаци для экспериментирования и реальных действий; со- ставление перечня событий, которые с определенной вероятностью могут произойти; ус- тановление временного порядка расположения событий, в исходах которых содержится полезная и доступная информация, и тех последовательных действий, которые можно предпринять.
Этап 2. Построение дерева решений.
Этап 3. Оценка вероятностей состояний среды, т.е. сопоставление шансов возникно- вения каждого конкретного события. Следует отметить, что указанные вероятности оп- ределяются либо на основании имеющейся статистики, либо экспертным путем.
Этап 4. Установление выигрышей (или проигрышей, как выигрышей со знаком минус) для каждой возможной комбинации альтернатив (действий) и состояний среды.
Этап 5. Решение задачи.
Прежде чем продемонстрировать процедуру применения дерева решений, введем ряд определений. В зависимости от отношения к риску решение задачи может выпол- няться с позиций так называемых «объективистов» и «субъективистов». Поясним эти по- нятия на следующем примере. Пусть предлагается лотерея: за 10 дол. (стоимость лоте- рейного билета) игрок c равной вероятностью p = 0,5 может ничего не выиграть или вы- играть 100 дол. Один индивид пожалеет и 10 дол. за право участия в такой лотерее, т.е. просто не купит лотерейный билет, другой готов заплатить за лотерейный билет 50 дол., а третий заплатит даже 60 дол. за возможность получить 100 дол. (например, когда ситуа- ция складывается так, что, только имея 100 дол., игрок может достичь своей цели, поэто- му возможная потеря последних денежных средств, а у него их ровно 60 дол., не меняет для него ситуации).
Безусловным денежным эквивалентом (БДЭ) игры называется максималь- ная сумма денег, которую ЛПР готов заплатить за участие в игре (лотерее), или, что то же, та минимальная сумма денег, за которую он готов отказаться от игры. Каждый индивид имеет свой БДЭ.
Индивида, для которого БДЭ совпадает с ожидаемой денежной оценкой (ОДО) иг- ры, т.е. со средним выигрышем в игре (лотерее), условно называют объективистом, инди- вида, для которого БДЭ ≠ ОДО, – субъективистом. Ожидаемая денежная оценка рассчи- тывается как сумма произведений размеров выигрышей на вероятности этих выигрышей.
Например, для нашей лотереи ОДО = 0,5 × 0 + 0,5 × 100 = 50 дол. Если субъективист скло-
Определение

Моделирование рисковых ситуаций
70
нен к риску, то его БДЭ > ОДО. Если не склонен, то БДЭ < ОДО. Вопрос об отношении к риску более строго рассматривается в теме 4.
Предположим, что решения принимаются с позиции объективиста.
Рассмотрим процедуру принятия решения на примере следующей задачи.
Задача 3. Руководство некоторой компании решает, создавать ли для выпуска но- вой продукции крупное производство, малое предприятие или продать патент другой фирме. Размер выигрыша, который компания может получить, зависит от благоприятно- го или неблагоприятного состояния рынка (табл. 4).
На основе данной таблицы выигрышей (потерь) можно построить дерево реше- ний (рис. 3).
Таблица 4
Выигрыш (дол.) при состоянии экономической среды
Номер стратегии
Действия компании
Благоприятном
Неблагоприятном
1
Строительство крупного предприятия (а
1
)
200 000
180 000
2
Строительство малого предприятия (а
2
)
100 000
20 000
3
Продажа патента (а
3
)
10 000
10 000
Примечание. Вероятность благоприятного и неблагоприятного состояний экономической среды равна 0,5.
Рис. 3. Дерево решений без дополнительного обследования конъюнктуры рынка
Процедура принятия решения заключается в вычислении для каждой вершины де- рева (при движении справа налево) ожидаемых денежных оценок, отбрасывании неперспек- тивных ветвей и выборе ветвей, которым соответствует максимальное значение ОДО.
Определим средний ожидаемый выигрыш (ОДО):
• для вершины 1 ОДО
1
= 0,5 × 200 000 + 0,5(-180 000) = 10 000 дол.;
• для вершины 2 ОДО
2
= 0,5 × 100 000 + 0,5(-20 000) = 40 000 дол.;
• для вершины 3 ОДО
3
= 10 000 дол.
Вывод. Наиболее целесообразно выбрать стратегию а
2
,
т.е. строить малое предпри- ятие, а ветви (стратегии) а
1
и а
3
дерева решений можно отбросить. ОДО наилучшего ре- шения равна 40 000 дол. Следует отметить, что наличие состояния с вероятностями 50% неудачи и 50% удачи на практике часто означает, что истинные вероятности игроку ско- рее всего неизвестны и он всего лишь принимает такую гипотезу (так называемое пред- положение «fifty-fifty» – пятьдесят на пятьдесят).
Усложним рассмотренную выше задачу.
Пусть перед тем, как принимать решение о строительстве, руководство компании должно определить, заказывать ли дополнительное исследование состояния рынка или

Принятие решений в условиях неопределенности и риска (игры с природой)
71
нет, причем предоставляемая услуга обойдется компании в 10 000 дол. Руководство по- нимает, что дополнительное исследование по-прежнему не способно дать точной ин- формации, но оно поможет уточнить ожидаемые оценки конъюнктуры рынка, изменив тем самым значения вероятностей.
Относительно фирмы, которой можно заказать прогноз, известно, что она спо- собна уточнить значения вероятностей благоприятного или неблагоприятного исхода.
Возможности фирмы в виде условных вероятностей благоприятности и неблагоприятно- сти рынка сбыта представлены в табл. 5. Например, когда фирма утверждает, что рынок благоприятный, то с вероятностью 0,78 этот прогноз оправдывается (с вероятностью 0,22 могут возникнуть неблагоприятные условия), прогноз о неблагоприятности рынка оп- равдывается с вероятностью 0,73.
Таблица 5
Фактически
Прогноз фирмы
Благоприятный
Неблагоприятный
Благоприятный 0,78 0,22
Неблагоприятный 0,27 0,73
Предположим, что фирма, которой заказали прогноз состояния рынка, утверждает:
• ситуация будет благоприятной с вероятностью 0,45;
• ситуация будет неблагоприятной с вероятностью 0,55.
На основании дополнительных сведений можно построить новое дерево решений
(рис. 4), где развитие событий происходит от корня дерева к исходам, а расчет прибыли выполняется от конечных состояний к начальным.
Рис. 4. Дерево решений при дополнительном обследовании рынка

Моделирование рисковых ситуаций
72
Анализируя дерево решений, можно сделать следующие выводы:
• необходимо проводить дополнительное исследование конъюнктуры рынка, по- скольку это позволяет существенно уточнить принимаемое решение; если фирма прогнозирует благоприятную ситуацию на рынке, то целесообразно строить большое предприятие (ожидаемая максимальная прибыль 116 400 дол.), если прогноз не- благоприятный – малое (ожидаемая максимальная прибыль 12 400 дол.).
4.4.3. Ожидаемая ценность точной информации
Предположим, что консультационная фирма за определенную плату готова пре- доставить информацию о фактической ситуации на рынке в тот момент, когда руково- дству компании надлежит принять решение о масштабе производства. Принятие пред- ложения зависит от соотношения между ожидаемой ценностью (результативностью) точ- ной информации и величиной запрошенной платы за дополнительную (истинную) информацию, благодаря которой может быть откорректировано принятие решения, т.е. первоначальное действие может быть изменено.
Ожидаемая ценность точной информации о фактическом состоянии рынка равна разности между ожидаемой денежной оценкой (ОДО) при наличии точной информации и максимальной ожидаемой денежной оценкой при отсутствии точной информации.
Рассчитаем ожидаемую ценность точной информации для примера, в котором дополнительное обследование конъюнктуры рынка не проводится. При отсутствии точ- ной информации, как уже было показано выше, максимальная ожидаемая денежная оценка равна:
ОДО = 0,5 × 100 000 – 0,5 × 20 000 = 40 000 дол.
Если точная информация об истинном состоянии рынка будет благоприятной
(ОДО = 200 000 дол., см. табл. 4), принимается решение строить крупное производство, если неблагоприятной, то наиболее целесообразное решение – продажа патента
(ОДО=10 000 дол.). Учитывая, что вероятности благоприятной и неблагоприятной ситуа- ций равны 0,5, значение ОДО
т.и
(ОДО точной информации) определяется выражением:
ОДО
т.и
= 0,5 × 200 000 + 0,5 × 10 000 = 105 000 дол.
Тогда ожидаемая ценность точной информации равна:
ОЦ
т.и
= ОДО
т.и
– ОДО = 105 000 – 40 000 = 65 000 дол.
Значение ОЦ
т.и показывает, какую максимальную цену должна быть готова запла- тить компания за точную информацию об истинном состоянии рынка в тот момент, ко- гда ей это необходимо.

Принятие решений в условиях неопределенности и риска (игры с природой)
73
Задачи
Примеры решения
Задача 1. Компания «Российский сыр» – небольшой производитель различных продуктов из сыра на экспорт. Один из продуктов – сырная паста – поставляется в страны ближнего зарубежья. Генеральный директор должен решить, сколько ящиков сырной пасты следует производить в течение месяца. Вероятности того, что спрос на сырную пас- ту в течение месяца будет 6, 7, 8 или 9 ящиков, равны соответственно 0,1; 0,3; 0,5; 0,1.
Затраты на производство одного ящика равны 45 дол. Компания продает каждый ящик по цене 95 дол. Если ящик с сырной пастой не продается в течение месяца, то она портится и компания не получает дохода. Сколько ящиков следует производить в тече- ние месяца?
Решение. Пользуясь исходными данными, строим матрицу игры. Стратегиями игрока 1 (компания «Российский сыр») являются различные показатели числа ящиков с сырной пастой, которые ему, возможно, следует производить. Состояниями природы вы- ступают величины спроса на аналогичное число ящиков. Вычислим, например, показа- тель прибыли, которую получит производитель, если он произведет 8 ящиков, а спрос будет только на 7.
Каждый ящик продается по 95 дол. Компания продала 7, а произвела 8 ящиков. Сле- довательно, выручка будет 7 × 95, а издержки производства 8 ящиков 8 × 45. Итого, прибыль от указанного сочетания спроса и предложения будет равна 7 × 95 – 8 × 45 = 305 дол. Анало- гично производятся расчеты при других сочетаниях спроса и предложения.
В итоге получим следующую платежную матрицу в игре с природой (табл. 6). Как видим, наибольшая средняя ожидаемая прибыль равна 352,5 дол. Она отвечает производ- ству 8 ящиков.
Таблица 6
Спрос на ящики
Производство ящиков
6
(0,1)
*
7
(0,3)
8
(0,5)
9
(0,1)
Средняя ожидае- мая прибыль
6 300 300 300 300 300 7
255 350 350 350 340,5 8
210 305 400 400 352,5 9
165 260 355 450 317
*
В скобках приведены вероятность спроса на ящики.
На практике чаще всего в подобных случаях решения принимаются исходя из критерия максимизации средней ожидаемой прибыли или минимизации ожидаемых из- держек. Следуя такому подходу, можно остановиться на рекомендации производить
8 ящиков, и для большинства ЛПР рекомендация была бы обоснованной.
Однако, привлекая дополнительную информацию в форме расчета среднего квад- ратичного отклонения как индекса риска, мы можем уточнить принятое на основе мак- симума прибыли или минимума издержек решение. Это в полной мере согласуется с ха- рактеристиками вариантов, представленных на рис. 1. Дополнительные рекомендации могут оказаться неоднозначными, зависимыми от склонности к риску ЛПР.
Вспомним необходимые для наших исследований формулы теории вероятностей
[5. С. 109, 119]: дисперсия случайной величины ξ равна
( )
( )
;
2 2
ξ
−
ξ
=
ξ
M
M
D
среднее квадратичное отклонение
,
ξ
=
σξ
D где D и М – соответственно символы дисперсии и математического ожидания.