Файл: Международный консорциум Электронный университет Московский государственный университет экономики, статистики и информатики.pdf

Моделирование рисковых ситуаций
56
номических задач. Например, в результате торговых взаимоотношений стран, участвую- щих в игре, все участники могут оказаться в выигрыше. Игра, в которой нужно вносить взнос за право участия в ней, является игрой с ненулевой суммой.
Вид функции выигрышей. По этому критерию игры подразделяются на мат- ричные, биматричные, непрерывные, выпуклые, сепарабельные и т.д. Поясним суть не- которых из них.
Матричная игра— конечная игра двух игроков с нулевой суммой. В общем слу- чае ее платежная матрица является прямоугольной (см. табл. 1). Номер строки матрицы соответствует номеру стратегии, применяемой игроком 1. Номер столбца соответствует номеру стратегии игрока 2. Выигрыш игрока 1 является элементом матрицы. Выигрыш игрока 2 равен проигрышу игрока 1. Как показано в приложении, матричные игры все- гда имеют решения в смешанных стратегиях. Они могут быть решены методами линей- ного программирования.
Биматричная игра— конечная игра двух игроков с ненулевой суммой. Выигрыши каждого игрока задаются своей матрицей, в которой строка соответствует стратегии игрока
1, а столбец – стратегии игрока 2. Однако элемент первой матрицы показывает выигрыш игрока 1, а элемент второй матрицы – выигрыш игрока 2. Для биматричных игр так же, как и для матричных, разработана теория оптимального поведения игроков.
Если функция выигрышей каждого игрока в зависимости от стратегий является непрерывной, игра считается непрерывной. Если функция выигрышей выпуклая, то и игра
– выпуклая.
Если функция выигрышей может быть разделена на сумму произведений функ- ций одного аргумента, то игра относится к сепарабельной.
Количество ходов. Согласно этому критерию игры можно разделить на одноша- говые и многошаговые. Одношаговые игры заканчиваются после одного хода каждого иг- рока. Так, в матричной игре после одного хода каждого из игроков происходит распре- деление выигрышей. Многошаговые игры бывают позиционными, стохастическими, диф- ференциальными и др.
Информированность сторон. По данному критерию различают игры с полной и неполной информацией. Если каждый игрок на каждом ходу игры знает все ранее при- мененные другими игроками на предыдущих ходах стратегии, такая игра определяется как игра с полной информацией. Если игроку не все стратегии предыдущих ходов других игроков известны, то игра классифицируется как игра с неполной информацией. Мы далее убедимся, что игра с полной информацией имеет решение. Решением будет седловая точка при чистых стратегиях.
Степень неполноты информации. По этому критерию игры подразделяются на статистические (в условиях частичной неопределенности) и стратегические (в условиях полной неопределенности, см. разд. 3.2). Игры с природой (см. гл. 3, 6) часто относят к статистическим играм. В статистической игре имеется возможность получения инфор- мации на основе статистического эксперимента, при котором вычисляется или оценива- ется распределение вероятностей состояний (стратегий) природы. С теорией статистиче- ских игр тесно связана теория принятия экономических решений.
Получив некоторое представление о существующих подходах к классификации игр, можно остановиться на оценках игры.
Рассмотрим матричную игру, представленную матрицей выигрышей m
×
n, где число строк
m
,
1
i
=
, а число столбцов
n
,
1
j
=
(см. табл. 1). Применим принцип получе- ния максимального гарантированного результата при наихудших условиях. Игрок 1 стремится принять такую стратегию, которая должна обеспечить максимальный проиг-

Стратегические игры
57
рыш игрока 2. Соответственно игрок 2 стремится принять стратегию, обеспечивающую минимальный выигрыш игрока 1. Рассмотрим оба этих подхода.
Подход игрока 1. Он должен получить максимальный гарантированный резуль- тат при наихудших условиях. Значит, при выборе отвечающей этим условиям своей чис- той i-й стратегии (в табл. 1 ей соответствует i-я строка выигрышей) он должен выбрать гарантированный результат в наихудших условиях, т.е. наименьшее значение своего вы- игрыша
a
ij
, которое обозначим
i
α
=
j
min
ij
a
Чтобы этот гарантированный эффект в наихудших условиях был максимальным, нужно из всех α
i
выбрать наибольшее значение. Обозначим его α и назовем чистой нижней ценой игры («максимин»):
α
=
i
max
i
α
j
i
min
max
=
ij
a
Таким образом, максиминной стратегии отвечает строка матрицы, которой соот- ветствует элемент α. Какие бы стратегии ни применял игрок 2, игрок 1 максиминной чистой стратегией гарантировал себе выигрыш не меньший, чем α. Таково оптимальное поведение игрока 1.
Подход игрока 2. Своими оптимальными стратегиями он стремится уменьшить выигрыш игрока 1, поэтому при каждой j-й чистой стратегии он отыскивает величину своего максимального проигрыша j
β
=
i
min
ij
a
в каждом j-м столбце, т.е. определяет максимальный выигрыш игрока 1, если игрок 2 применит j-ю чистую стратегию. Из всех своих n j-х чистых стратегий он отыскивает та- кую, при которой игрок 1 получит минимальный выигрыш, т.е. определяет чистую верх- нюю цену игры («минимакс»): ij i
j j
j
α
β
=
β
max
min
=
min
Чистая верхняя цена игры показывает, какой максимальный выигрыш может га- рантировать игрок 1, применяя свои чистые стратегии, – выигрыш, не меньший, чем α.
Игрок 2 за счет указанного выше выбора своих чистых стратегий не допустит, чтобы иг- рок 1 мог получить выигрыш, больший, чем
β
. Таким образом, минимаксная стратегия отображается столбцом платежной матрицы, в котором находится элемент
β
(см. табл. 1).
Она является оптимальной чистой гарантирующей стратегией игрока 2, если он ничего не знает о действиях игрока 1.
Чистая цена игры v – цена данной игры, если нижняя и верхняя ее цены совпадают:
υ
α
α
=
max
min
=
min
max
ij i
j ij j
i
В этом случае игра называется игрой с седловой точкой.
Пример 1. Определить верхнюю и нижнюю цены при заданной матрице игры и указать максиминную и минимаксную стратегии. Представим матрицу игры с обозначе- ниями стратегий
,
j
β
i
α
(табл. 2).
Таблица 2
B
j
A
i
B
1
B
2
B
3
i
α
A
1 1 2 3 1
A
2 4 5 6 4
j
β
4 5 6

Моделирование рисковых ситуаций
58
Решение. Определим нижнюю цену игры :
α
1
= 1; α
2
= 4; α = 4 (см. столбец α
i
).
Определим верхнюю цену игры:
β
1
= 4 ;
β
2
= 5;
β
3
= 6;
β
= 4 (см. строку
β
j
).
Таким образом, α =
β
= 4, т.е.
4
=
max
min
=
min
max
ij i
j ij j
i
α
α
Значит, α =
β
= v = 4 – чистая цена игры при стратегиях А
2
и В
1
. Следовательно, имеем игру с седловой точкой.
Пример 2. Определим максиминную и минимаксную стратегии при заданной матрице эффективности (табл. 3).
Таблица 3
Игрок 2
Игрок 1
B
1
B
2
B
3
B
4
A
1 2 7 6 10
A
2 8 4 9 5
Решение. Определим максиминную стратегию:
α
1
= 2; α
2
= 4; α= 4.
Максиминная стратегия – строка А
2
Определим минимаксную стратегию:
β
1
= 8 ;
β
2
= 7;
β
3
= 9;
β
4
= 10;
β
= 7.
Минимаксная стратегия – столбец В
2
. Здесь α<
β
, следовательно, седловой точки нет.
Если матрица игры содержит элемент, минимальный в своей строке и максималь- ный в своем столбце, то он, как уже сказано выше, является седловой точкой. В этом слу- чае мы имеем игру с седловой точкой.
Пусть в игре с седловой точкой один игрок придерживается седловой точки, тогда другой получит лучший результат, если также будет придерживаться этой точки. Луч- шее поведение игрока не должно повлечь уменьшение его выигрыша. Зато худшее пове- дение может привести к этому. В данном случае решением игры являются:
• чистая стратегия игрока 1;
• чистая стратегия игрока 2;
• седловой элемент.
Оптимальные чистые стратегии – это чистые стратегии, образующие седловую точку.
В игре без седловой точки, если игрок 1 информирован о стратегии, принятой игро- ком 2, он сможет принять оптимальную стратегию, которая не совпадает с максиминной.
Пример 3. Дана матрица игры






=
9 7
12 4
8 11 6
8 5
3
A

Стратегические игры
59
Допустим, что игроку 1 стало известно, что игрок 2 принял минимаксную страте- гию. Игрок 1 должен выбрать оптимальную стратегию при условии, что В
2
– стратегия игрока 2 (
β
=5).
Решение.
Определим максиминную стратегию игрока 1:
α
1
= 3; α
2
= 4; α= 4.
Стратегия игрока 1 – А
2
— максиминная.
Выберем оптимальную стратегию для игрока 1. Ею будет не максиминная А
2
, дающая игроку 1 выигрыш α = 4, а та стратегия, которая соответствует
i
max
ij
a
. В этом случае его максимальный гарантированный выигрыш будет равен верхней цене игры
β
= 5, поэтому он выберет свою оптимальную стратегию А
1
, зная, что игрок 2 выбрал свою стратегию В
2
. Таким образом, рассмотренный пример дает результат, отличный от результата при игре с седловой точкой.
Стратегия является оптимальной, если ее применение обеспечит игроку наи- больший гарантированный выигрыш при любых возможных стратегиях другого игрока.
На примере 3 показано, что бывают ситуации, когда игрок 1 может получить вы- игрыш, превосходящий максиминный, если ему известны намерения игрока 2.
При многократном повторении игры в сходных условиях можно добиться гаран- тированного среднего выигрыша, превосходящего для игрока 1 максиминный.
3.2. Смешанные стратегии
Если в матричной игре отсутствует седловая точка в чистых стратегиях, то находят верхнюю и нижнюю цены игры. Они показывают, что игрок 1 не получит выигрыша, превосходящего верхнюю цену игры, и что игроку 1 гарантирован выигрыш, не мень- ший нижней цены игры. В примере 3 игрок 1 получил по своей оптимальной стратегии
А
1
, отличной от максиминной, выигрыш, равный верхней цене игры. Такова плата за информированность о стратегии игрока 2. Это крайний случай. Не улучшится ли ре- зультат игрока 1, если информация о действиях противной стороны будет отсутствовать, но игрок будет многократно применять чистые стратегии случайным образом с опреде- ленной вероятностью?
В такой ситуации, оказывается, можно получать выигрыши, в среднем большие нижней цены игры, но меньшие верхней.
Смешанная стратегия игрока
– это полный набор применения его чистых стратегий при многократном повторении игры в одних и тех же условиях с заданными вероятностями.
Подведем итоги сказанного и перечислим условия применения смешанных стратегий:
• игра без седловой точки;
• игроки используют случайную смесь чистых стратегий с заданными вероятностями;
• игра многократно повторяется в сходных условиях;
• при каждом из ходов ни один игрок не информирован о выборе стратегии другим игроком;
• допускается осреднение результатов игр.
Определение

Моделирование рисковых ситуаций
60

61

Моделирование рисковых ситуаций
62
Понятие игры с природой. Отличие игр с природой от стратегических. Принятие решений в условиях полной неопределенности. Принятие решений в условиях рис- ка. Выбор решений с помощью дерева решений (позиционные игры).
Цели и задачи изучения темы:
познакомить студента с классической теорией игр с природой – игр, в которых сознательно дейст- вует только один из участников.
4.1. Понятие игры с природой
Ситуации, описываемые рассмотренными в гл. 3 моделями в виде стратегических игр, в экономической практике могут не в полной мере оказаться адекватными действи- тельности, поскольку реализация модели предполагает многократность повторения дей- ствий (решений), предпринимаемых в похожих условиях. В реальности количество при- нимаемых экономических решений в неизменных условиях жестко ограничено. Нередко экономическая ситуация является уникальной, и решение в условиях неопределенности должно приниматься однократно. Это порождает необходимость развития методов мо- делирования принятия решений в условиях неопределенности и риска.
Традиционно следующим этапом такого развития являются так называемые игры с природой. Формально изучение игр с природой, так же как и стратегических, должно начинаться с построения платежной матрицы, что является, по существу, наиболее тру- доемким этапом подготовки принятия решения. Ошибки в платежной матрице не могут быть компенсированы никакими вычислительными методами и приведут к неверному итоговому результату.
Отличительная особенность игры с природой состоит в том, что в ней сознательно действует только один из участников, в большинстве случаев называемый игроком 1. Иг- рок 2 (природа) сознательно против игрока 1 не действует, а выступает как не имеющий конкретной цели и случайным образом выбирающий очередные «ходы» партнер по иг- ре. Поэтому термин «природа» характеризует некую объективную действительность, ко- торую не следует понимать буквально, хотя вполне могут встретиться ситуации, в кото- рых «игроком» 2 действительно может быть природа (например, обстоятельства, связан- ные с погодными условиями или с природными стихийными силами).
На примере игры с природой рассмотрим проблему заготовки угля на зиму.
Задача 1.
Необходимо закупить уголь для обогрева дома. Количество хранимого угля ограничено и в течение холодного периода должно быть полностью израсходовано.
Предполагается, что неизрасходованный зимой уголь в лето пропадает. Покупать уголь можно в любое время, однако летом он дешевле, чем зимой. Неопределенность состоит в том, что не известно, какой будет зима: суровой (тогда придется докупать уголь) или мягкой (тогда часть угля может остаться неиспользованной). Очевидно, что у природы нет злого умысла и она ничего против человека «не имеет». С другой стороны, долго- срочные прогнозы, составляемые метеорологическими службами, неточны и поэтому мо- гут использоваться в практической деятельности только как ориентировочные при при- нятии решений.
Краткое содержание