ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 12.12.2023
Просмотров: 44
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
обозначен элемент объединения алфавита {а0, а1,..., аt} и множества предписаний для лентопротяжного механизма: l - переместить ленту влево, r -переместить ленту вправо, s - остановить машину; vij - действие МТ, состоящее либо в занесении в ячейку ленты символа алфавита a0, а1, ..., аt, либо в движении головки, либо в останове машины; qij является последующим состоянием.
МТ работает согласно следующим правилам: если МТ находится в состоянии qi, головка прочитывает символ 0 в рабочей ячейке. Пусть строка qi аj vij qij, начинающаяся с символов qi, aj, встречается только один раз в таблице. Если vij - буква рабочего алфавита, то головка стирает содержимое рабочей ячейки и заносит туда эту букву. Если vij - команда r или l для лентопротяжного механизма, то лента сдвигается на одну ячейку вправо или влево (если не происходит выход за левый край ленты) соответственно. Если vij =s, то происходит машинный останов.
Машина Тьюринга начинает работу из некоторой начальной конфигурации, включающей в себя начальное состояние (обычно q0) и положение считывающе-записывающей головки над определенной ячейкой ленты, содержащей один из символов рабочего алфавита A.
Отметим, что наличие разнообразных символов в рабочем алфавите МТ позволяет представлять на ленте произвольную текстовую и числовую информацию, а переходы управляющего центра МТ в различные состояния моделируют запоминание машиной Тьюринга промежуточных результатов работы. Таблица, определяющая порядок работы МТ, не является в прямом смысле слова программой (ее предписания выполняются не последовательно, одно за другим, а описывают преобразования символов некоторого текста, находящегося на ленте). Таблицу МТ часто называют схемой машины Тьюринга или попросту отождествляют с самой машиной Тьюринга, коль скоро ее устройство и принцип функционирования известны.
Рассмотрим примеры нескольких схем машины Тьюринга.
1. Алгоритм прибавления единицы к числу п в десятичной системе счисления. Дана десятичная запись числа п (т.е. представление натурального числа п в десятичной системе счисления); требуется получить десятичную запись числа п + 1.
Очевидно, что внешний алфавит МТ должен состоять из десяти цифр 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 и символа пробела _. Эти цифры записывают по одной в ячейке (подряд, без пропусков).
Оказывается достаточным иметь два внутренних состояния машины: q1 и q2.
Предположим, что в начальный момент головка находится над одной из цифр числа, а машина находится в состоянии q1. Тогда задача может быть решена в два этапа: движения головки к цифре единиц числа (во внутреннем состоянии q1) и замене этой цифры на единицу большую (с учетом переноса 1 в следующий разряд, если это 9, во внутреннем состоянии q2. Соответствующая схема МТ может иметь вид
2. Алгоритм записи числа в десятичной системе счисления.
Дана конечная последовательность меток, записанных в клетки ленты подряд, без пропусков. Требуется записать в десятичной системе число этих меток пересчитать метки).
Суть алгоритма может состоять в том, что к числу 0, записанному на ленте в начале работы машины, машина добавляет 1, стирая метку за меткой, так что вместо нуля возникает число 0 + k.
Легко могут быть построены алгоритмы сложения чисел, их перемножения, нападения наибольшего общего делителя и т.д. Однако, главная цель введения машин Поста и Тьюринга не программирование для них, а изучение свойств алгоритмов и проблемы алгоритмической разрешимости задач.
В зависимости от числа используемых лент, их назначения и числа состояний устройства управления можно рассматривать различные модификации машин Тьюринга.
Предположим, мы расширили определение МТ, добавив определенное состояние q. устройства управления машины. Будем говорить, что если устройство управления переходит в состояние q0 для заданного входного слова х, то машина допускает х; если устройство переходит в состояние qx, то машина запрещает х. Такую машину будем называть машиной Тьюринга с двумя выходами. Могут быть рассмотрены многочисленные варианты машины Тьюринга, имеющие некоторое конечное число лент. В каждой клетке этих лент может находиться один из символов внешнего алфавита А = {a0, a1, ..., аn}. Устройство управления машиной в каждый момент времени находится в одном из конечного множества состояний Q = {q0, q1, ..., qm}. Для K-ленточной машины конфигурация ее в i-й момент времени описывается системой k-слов вида:
ail1 … aillqi aill+1 … si1t;
aik1 … aiklqi aikl+1 …aikv;
первый индекс соответствует моменту времени, второй - номеру ленты, третий -номеру клетки, считая слева направо. Говорят, что машина выполняет команду
qiaa1 … aak → qjab1k1 … abkkk,
К = {Л, С, П}.
Если, находясь в состоянии qi и обозревая ячейки с символами aa1 — aаk, машина переходит в состояние qj, заменяя содержимое ячеек соответственно символами аb1 — аbк, то после этого ленты соответственно сдвигаются в направлениях k1 ... kk.
До сих пор принималось, что различные алгоритмы осуществляются на различных машинах Тьюринга, отличающихся набором команд, внутренним и внешним алфавитами. Однако, можно построить универсальную машину Тьюринга, способную выполнять любой алгоритм любой машины Тьюринга. Это достигается путем кодирования конфигурации и программы любой данной машины Тьюринга в символах внешнего алфавита универсальной машины. Само кодирование должно выполняться следующим образом:
1) различные символы должны заменяться различными кодовыми группами, но один и тот же символ должен заменяться всюду, где бы он не встретился, одной и той же кодовой группой;
2) строки кодовых записей должны однозначно разбиваться на отдельные кодовые группы;
3) должна иметься возможность распознать кодовые группы, соответствующие командам Л, П, С, различать кодовые группы, соответствующие символам внешнего алфавита и внутренним состояниям.
Для сравнения структур различных машин и оценки их сложности необходимо иметь соответствующую меру сложности машин. К.Шеннон предложил рассматривать в качестве такой меры произведение числа символов внешнего алфавита и числа внутренних состояний. Большой интерес вызывает задача построения универсальной машин Тьюринга наименьшей сложности.
Может быть рассмотрено еще одно обобщение машин Тьюринга: их композиции. Операции композиции, выполняемые над алгоритмами, позволяют образовывать новые, более сложные алгоритмы из ранее известных простых алгоритмов. Поскольку машина Тьюринга - алгоритм, то операции композиции применимы и к машинам Тьюринга. Рассмотрим основные из них: произведение, возведение в степень, итерацию.
Пусть заданы машины Тьюринга T1 и T2, имеющие общий внешний алфавит А = {a0, a1, ..., am} и внутренние состояния Q1 = {q0, q1,… qn} и Q2 = {q0, q1, ..., qt} соответственно. Композицией или произведением машины T1 и машины T2 будем называть машину Т с тем же внешним алфавитом А = {a0, а1, ..., am} и набором внутренних состояний Q = {q0, q1,..., q2,, qn+1,..., qn+1} и программой, эквивалентной последовательному выполнению программ машин Т1 и Т2:
Т = T1 * T2..
Таким же образом определяется операция возведения в степень: n-й степенью машины Т называется произведение T...Т c n сомножителями.
Операция итерации применима к одной машине и определяется следующим образом. Пусть машина
T1 имеет несколько заключительных состояний. Выберем ее r-е заключительное состояние и отождествим его в схеме машины с ее начальным состоянием. Полученная машина Tявляется результатом итерации машины Т1 : Т = T1.
Прежде чем остановиться на проблеме алгоритмической разрешимости задач обратимся к другим способам формализации понятия алгоритма.
НОРМАЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ МАРКОВА
Для формализации понятия алгоритма российский математик А.А.Марков предложил использовать ассоциативные исчисления.
Рассмотрим некоторые понятия ассоциативного исчисления. Пусть имеется алфавит (конечный набор различных символов). Составляющие его символы будем называть буквами. Любая конечная последовательность букв алфавита (линейный их ряд) называется словом в этом алфавите.
Рассмотрим два слова N и М в некотором алфавите А. Если N является частью М, то говорят, что N входит в М.
Зададим в некотором алфавите конечную систему подстановок N - М, S - Т,..., где N, М, S, Т,... - слова в этом алфавите. Любую подстановку N-M можно применить к некоторому слову К следующим способом: если в К имеется одно или несколько вхождений слова N, то любое из них может быть заменено словом М, и, наоборот, если имеется вхождение М, то его можно заменить словом N.
Например, в алфавите А = {а, b, с} имеются слова N = ab, М = bcb, К = abcbcbab, Заменив в слове К слово N на М, получим bcbcbcbab или abcbcbbcb, и, наоборот, заменив М на N, получим aabcbab или аbсаbаb.
Подстановка ab - bcb недопустима к слову bacb, так как ни ab, ни bcb не входит в это слово. К полученным с помощью допустимых подстановок словам можно снова применить допустимые подстановки и т.д. Совокупность всех слов в данном алфавите вместе с системой допустимых подстановок называют ассоциативным исчислением. Чтобы задать ассоциативное исчисление, достаточно задать алфавит и систему подстановок.
Слова P1 и Р2 в некотором ассоциативном исчислении называются смежными, если одно из них может быть преобразовано в другое однократным применением допустимой подстановки.
Последовательность слов Р, P1, Р2, ..., М называется дедуктивной цепочкой, ведущей от слова Р к слову М, если каждое из двух рядом стоящих слов этой цепочки - смежное.
МТ работает согласно следующим правилам: если МТ находится в состоянии qi, головка прочитывает символ 0 в рабочей ячейке. Пусть строка qi аj vij qij, начинающаяся с символов qi, aj, встречается только один раз в таблице. Если vij - буква рабочего алфавита, то головка стирает содержимое рабочей ячейки и заносит туда эту букву. Если vij - команда r или l для лентопротяжного механизма, то лента сдвигается на одну ячейку вправо или влево (если не происходит выход за левый край ленты) соответственно. Если vij =s, то происходит машинный останов.
Машина Тьюринга начинает работу из некоторой начальной конфигурации, включающей в себя начальное состояние (обычно q0) и положение считывающе-записывающей головки над определенной ячейкой ленты, содержащей один из символов рабочего алфавита A.
Отметим, что наличие разнообразных символов в рабочем алфавите МТ позволяет представлять на ленте произвольную текстовую и числовую информацию, а переходы управляющего центра МТ в различные состояния моделируют запоминание машиной Тьюринга промежуточных результатов работы. Таблица, определяющая порядок работы МТ, не является в прямом смысле слова программой (ее предписания выполняются не последовательно, одно за другим, а описывают преобразования символов некоторого текста, находящегося на ленте). Таблицу МТ часто называют схемой машины Тьюринга или попросту отождествляют с самой машиной Тьюринга, коль скоро ее устройство и принцип функционирования известны.
Рассмотрим примеры нескольких схем машины Тьюринга.
1. Алгоритм прибавления единицы к числу п в десятичной системе счисления. Дана десятичная запись числа п (т.е. представление натурального числа п в десятичной системе счисления); требуется получить десятичную запись числа п + 1.
Очевидно, что внешний алфавит МТ должен состоять из десяти цифр 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 и символа пробела _. Эти цифры записывают по одной в ячейке (подряд, без пропусков).
Оказывается достаточным иметь два внутренних состояния машины: q1 и q2.
Предположим, что в начальный момент головка находится над одной из цифр числа, а машина находится в состоянии q1. Тогда задача может быть решена в два этапа: движения головки к цифре единиц числа (во внутреннем состоянии q1) и замене этой цифры на единицу большую (с учетом переноса 1 в следующий разряд, если это 9, во внутреннем состоянии q2. Соответствующая схема МТ может иметь вид
| аi | qi | |
| q1 | q2 | |
| 0 | 0Пq1 | 1Cq2 |
| 1 | 1Пq1 | 2Cq2 |
| 2 | 2Пq1 | 3Cq2 |
| 3 | 3Пq1 | 4Cq2 |
| 4 | 4Пq1 | 5Cq2 |
| 5 | 5Пq1 | 6Cq2 |
| 6 | 6Пq1 | 7Cq2 |
| 7 | 7Пq1 | 8Cq2 |
| 8 | 8Пq1 | 9Cq2 |
| 9 | 9Пq1 | 0Cq2 |
| - | -Лq1 | 1Cq2 |
2. Алгоритм записи числа в десятичной системе счисления.
Дана конечная последовательность меток, записанных в клетки ленты подряд, без пропусков. Требуется записать в десятичной системе число этих меток пересчитать метки).
Суть алгоритма может состоять в том, что к числу 0, записанному на ленте в начале работы машины, машина добавляет 1, стирая метку за меткой, так что вместо нуля возникает число 0 + k.
Легко могут быть построены алгоритмы сложения чисел, их перемножения, нападения наибольшего общего делителя и т.д. Однако, главная цель введения машин Поста и Тьюринга не программирование для них, а изучение свойств алгоритмов и проблемы алгоритмической разрешимости задач.
В зависимости от числа используемых лент, их назначения и числа состояний устройства управления можно рассматривать различные модификации машин Тьюринга.
Предположим, мы расширили определение МТ, добавив определенное состояние q. устройства управления машины. Будем говорить, что если устройство управления переходит в состояние q0 для заданного входного слова х, то машина допускает х; если устройство переходит в состояние qx, то машина запрещает х. Такую машину будем называть машиной Тьюринга с двумя выходами. Могут быть рассмотрены многочисленные варианты машины Тьюринга, имеющие некоторое конечное число лент. В каждой клетке этих лент может находиться один из символов внешнего алфавита А = {a0, a1, ..., аn}. Устройство управления машиной в каждый момент времени находится в одном из конечного множества состояний Q = {q0, q1, ..., qm}. Для K-ленточной машины конфигурация ее в i-й момент времени описывается системой k-слов вида:
ail1 … aillqi aill+1 … si1t;
aik1 … aiklqi aikl+1 …aikv;
первый индекс соответствует моменту времени, второй - номеру ленты, третий -номеру клетки, считая слева направо. Говорят, что машина выполняет команду
qiaa1 … aak → qjab1k1 … abkkk,
К = {Л, С, П}.
Если, находясь в состоянии qi и обозревая ячейки с символами aa1 — aаk, машина переходит в состояние qj, заменяя содержимое ячеек соответственно символами аb1 — аbк, то после этого ленты соответственно сдвигаются в направлениях k1 ... kk.
До сих пор принималось, что различные алгоритмы осуществляются на различных машинах Тьюринга, отличающихся набором команд, внутренним и внешним алфавитами. Однако, можно построить универсальную машину Тьюринга, способную выполнять любой алгоритм любой машины Тьюринга. Это достигается путем кодирования конфигурации и программы любой данной машины Тьюринга в символах внешнего алфавита универсальной машины. Само кодирование должно выполняться следующим образом:
1) различные символы должны заменяться различными кодовыми группами, но один и тот же символ должен заменяться всюду, где бы он не встретился, одной и той же кодовой группой;
2) строки кодовых записей должны однозначно разбиваться на отдельные кодовые группы;
3) должна иметься возможность распознать кодовые группы, соответствующие командам Л, П, С, различать кодовые группы, соответствующие символам внешнего алфавита и внутренним состояниям.
Для сравнения структур различных машин и оценки их сложности необходимо иметь соответствующую меру сложности машин. К.Шеннон предложил рассматривать в качестве такой меры произведение числа символов внешнего алфавита и числа внутренних состояний. Большой интерес вызывает задача построения универсальной машин Тьюринга наименьшей сложности.
Может быть рассмотрено еще одно обобщение машин Тьюринга: их композиции. Операции композиции, выполняемые над алгоритмами, позволяют образовывать новые, более сложные алгоритмы из ранее известных простых алгоритмов. Поскольку машина Тьюринга - алгоритм, то операции композиции применимы и к машинам Тьюринга. Рассмотрим основные из них: произведение, возведение в степень, итерацию.
Пусть заданы машины Тьюринга T1 и T2, имеющие общий внешний алфавит А = {a0, a1, ..., am} и внутренние состояния Q1 = {q0, q1,… qn} и Q2 = {q0, q1, ..., qt} соответственно. Композицией или произведением машины T1 и машины T2 будем называть машину Т с тем же внешним алфавитом А = {a0, а1, ..., am} и набором внутренних состояний Q = {q0, q1,..., q2,, qn+1,..., qn+1} и программой, эквивалентной последовательному выполнению программ машин Т1 и Т2:
Т = T1 * T2..
Таким же образом определяется операция возведения в степень: n-й степенью машины Т называется произведение T...Т c n сомножителями.
Операция итерации применима к одной машине и определяется следующим образом. Пусть машина
T1 имеет несколько заключительных состояний. Выберем ее r-е заключительное состояние и отождествим его в схеме машины с ее начальным состоянием. Полученная машина Tявляется результатом итерации машины Т1 : Т = T1.
Прежде чем остановиться на проблеме алгоритмической разрешимости задач обратимся к другим способам формализации понятия алгоритма.
НОРМАЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ МАРКОВА
Для формализации понятия алгоритма российский математик А.А.Марков предложил использовать ассоциативные исчисления.
Рассмотрим некоторые понятия ассоциативного исчисления. Пусть имеется алфавит (конечный набор различных символов). Составляющие его символы будем называть буквами. Любая конечная последовательность букв алфавита (линейный их ряд) называется словом в этом алфавите.
Рассмотрим два слова N и М в некотором алфавите А. Если N является частью М, то говорят, что N входит в М.
Зададим в некотором алфавите конечную систему подстановок N - М, S - Т,..., где N, М, S, Т,... - слова в этом алфавите. Любую подстановку N-M можно применить к некоторому слову К следующим способом: если в К имеется одно или несколько вхождений слова N, то любое из них может быть заменено словом М, и, наоборот, если имеется вхождение М, то его можно заменить словом N.
Например, в алфавите А = {а, b, с} имеются слова N = ab, М = bcb, К = abcbcbab, Заменив в слове К слово N на М, получим bcbcbcbab или abcbcbbcb, и, наоборот, заменив М на N, получим aabcbab или аbсаbаb.
Подстановка ab - bcb недопустима к слову bacb, так как ни ab, ни bcb не входит в это слово. К полученным с помощью допустимых подстановок словам можно снова применить допустимые подстановки и т.д. Совокупность всех слов в данном алфавите вместе с системой допустимых подстановок называют ассоциативным исчислением. Чтобы задать ассоциативное исчисление, достаточно задать алфавит и систему подстановок.
Слова P1 и Р2 в некотором ассоциативном исчислении называются смежными, если одно из них может быть преобразовано в другое однократным применением допустимой подстановки.
Последовательность слов Р, P1, Р2, ..., М называется дедуктивной цепочкой, ведущей от слова Р к слову М, если каждое из двух рядом стоящих слов этой цепочки - смежное.