Файл: Кафедра Математических методов принятия решений.pdf

Рис. 6. Вызов функции СУММПРОИЗВ
Каждая левая часть ограничения тоже представляет собой произведение двух векторов:
соответствующей строки матрицы затрат и вектора неизвестных. То есть, выражение
(для первого ограничения
) будем рассматривать как произведение вектора коэффициентов (1,2) и вектора переменных (
).
В ячейке, отведенной для формулы левой части первого ограничения (D9), вызовем функцию СУММПРОИЗВ. В качестве адресов перемножаемых векторов занесем адрес строки коэффициентов В9:С9 и адрес значений переменных В4:С4 (рис. 7).
Рис. 7
В четыре оставшиеся ячейки графы «Левая часть» вводим аналогичные формулы,
используя соответствующую строку матрицы затрат. Фрагмент экрана с введёнными формулами показан на рис. 8.
Рис. 8

Важно! К моменту вызова сервиса «Поиск решения» на рабочем листе с задачей должны быть занесены формулы для левых частей ограничений и формула для значения целевой
функции.
В меню Сервис выбираем Поиск решения. В появившемся окне задаём следующую информацию:
1)
в качестве целевой ячейки устанавливаем адрес ячейки для значения целевой функции
Е4;
2)
«флажок» устанавливаем на вариант «максимальному значению», т.к. в данном случае,
целевая функция дохода подлежит максимизации;
3)
в качестве изменяемых ячеек заносится адрес строки значений переменных В4:С4;
4)
справа от окна, предназначенного для занесения ограничений, нажимаем кнопку
«Добавить», появится форма для занесения ограничения (рис. 9)
Рис. 9. Форма для занесения одного ограничения ЗЛП
1)
в левой части формы «Ссылка на ячейку» заносится адрес формулы для левой части первого ограничения D9, выбирается требуемый знак неравенства (в нашем случае,
), в поле
«Ограничение» заносится ссылка на правую часть ограничения F9 (рис. 10).
Рис. 10. Занесение первого ограничения задачи
2)
аналогично заносятся все ограничения задачи, после чего нажимается кнопка «ОК».
Таким образом, окно «Поиск решения» с занесенной информацией выглядит следующим образом (рис. 11):

Рис. 11
Далее необходимо нажать кнопку Параметры, установить «флажки» «Линейная
модель» и «Неотрицательные значения», поскольку в данном случае задача является ЗЛП, а ограничение 6) требует неотрицательности значений (рис. 12).
Рис. 12. Установка параметров
Затем следует нажать «ОК», «Выполнить», после чего появляется окно результата решения (рис. 13).
Рис. 13. Окно результата решения
Если в результате всех действий получено окно с сообщением «Решение найдено», то Вам предоставляется возможность получения трех типов отчета, которые полезны при анализе модели на чувствительность. В данном примере достаточно сохранить найденное решение,
нажав «ОК». В результате получено решение задачи из примера 1. (рис. 14).

Рис. 14. Результат применения «Поиска решения»
Если в результате решения задачи выдано окно с сообщением о невозможности нахождения решения (рис. 15), это означает, что при оформлении задачи была допущена ошибка
(не заполнены формулы для ограничений, неправильно установлен «флажок» максимизации/
минимизации и т.д.).
Рис. 15. Сообщение об ошибке
В данном разделе рассмотрен общий формат решения задач оптимизации в Excel. В
зависимости от экономических моделей, выполняют его соответствующие модификации.
Литература.
Основная литература:
1.
Ларичев О.И. Теория и методы принятия решений, а также Хроника событий в
Волшебных странах: Учебник. – М.: Логос, 2008. – 392 с.
2.
Литвак Б.Г. Управленческие решения. – М.: Дело, 2008. – 254 с.
3.
Смирнов Э.А. Разработка управленческих решений. – М.: ИНФРА-М, 2008. – 272 с.
4.
Фатхутдинов Р.А. Разработка управленческого решения: Учеб. пособ. – М.: Бизнес- школа, Интел-Синтез, 2007. – 272 с.
Дополнительная литература:
1.
Андрейчиков А.В., Андрейчикова О.Н. Анализ, синтез, принятие решений в экономике
– М.: Финансы и статистика, 2007. – 368с.
2.
Трахтенгерц Э.А. Компьютерная поддержка принятия решений: Научно-практическое издание. – М.: СИНТЕГ, 1998. – 376 с.
3.
Варфоломеев В.И., Воробьев С.Н. Принятие управленческих решений: Учеб пособие для вузов. – М.: КУДИЦ-ОБРАЗ, 2007. – 288 с.

4.
Плис А.И., Сливина Н.А. Mathcad 2000. Математический практикум для экономистов и инженеров: Учеб. пособие. – М.: Финансы и статистика, 2007. – 656 с.
5.
Ашихмин А.А. Разработка и принятие управленческих решений: формальные модели и методы выбора. – М.: МГТУ, 2005.
6.
Вентцель Е.С. Исследование операция. – М.: Советское радио, 1972.
7.
Воробьев Н.Н. Теория игр для экономистов-кибернетиков. – М.: Наука, 1985.
8.
Горелик В.А., Кононенко А.Ф. Теоретико-игровые модели принятия решений в эколого-экономических системах. – М.: Радио и связь, 1982/
9.
Давыдов Э.Г. Исследование операций. – М.: Высшая школа, 1990.
10.
Лапшин К.А., Светлов Н.М. Прогграммный комплекс «Линейная оптимизация» –
методические указания для студентов экономического факультета. – М.: МСХА, 1994.
11.
Лесик, А. И., Чистяков, Ю. Е. Теоретико-игровые модели взаимодействия экономических субъектов производственной системы. – М. : ВЦ РАН, 1994.
12.
Мулен Э. Теория игр с примерами из математической экономики. – М.: Мир, 1985.
13.
Петросян Л.А., Зенкевич Н.А., Семина Е.А. Теория игр. М.: Высшая школа, 1998.
14.
Платов В.Я. Деловые игры: разработка, организация, проведение. – М.: Профиздат,
1991.
15.
Сысоев, В. В. Теоретико-игровые модели принятия решений многоцелевого управления в задачах выбора и распределения ресурсов / Воронеж : Воронеж. гос. технол. акад.,
2000.
16.
Giblons R. Game theory for applied economists. Princeton University press, Princeton, New
Gersey, 1992.

Реализация (осуществление) любой возможной альтернативы ведет к одному или нескольким последствиям (результатам). Ожидаемыми результатами могут быть выручка от реализации товаров, издержки производства, доля удовлетворения спроса, прибыль, затраты на продвижение товара, доля рынка и др.
На значение результата обычно оказывают влияние разнообразные факторы, которые не подвержены или почти не подвержены влиянию со стороны ЛПР. Возможное положение дел, не зависящее напрямую от воздействия руководства фирмы, называется ситуацией внешней или окружающей среды. Состояние внешней среды складывается, как правило, в результате имеющейся политической обстановки (стабильная, нестабильная), поведения конкурирующих фирм
(реактивное, нереактивное поведение), социально-экономических условий
(платежеспособного спроса, правительственного регулирования экономики и т. д.). Состояния внешней среды в теории принятия решений называют обычно гипотезами.
Каждой реализуемой альтернативе соответствуют некоторые состояния окружающей среды
. Ожидаемый результат при выборе альтернативы и
принятии гипотезы получается, если применить функцию предпочтения, или, как чаще всего говорят, функцию полезности f, т. е.:
Предполагается, что ЛПР известны получаемые благодаря ей закономерности. Значения функции f наглядно представляются в виде так называемой матрицы ожидаемых результатов.
При этом могут задаваться вероятности появления ситуаций внешней среды (гипотез)
, которые при принятии решений считаются рисками. Таким образом, проблема планирования может быть сведена к получению необходимой информации, размещению ее в виде таблиц, например в виде табл. 4. представляющих собой по существу основные модели задач теории принятия решений, и выбору оптимальной альтернативы.
Таблица 4.
Матрица описания задач принятия решений
Альтернативы, A
i
Состояния внешней среды (гипотезы)
Z
1
Z
2
…
Z
n
А
1
e
11
e
12
…
e
1n
А
2
e
21
e
22
…
e
2n
…
…
…
…
…
A
m
e m1
e m2
…
e mn
Вероятности гипотез, p
j
p
1
p
2
…
p n
Альтернатива A
i
, считается в общем случае доминирующей, если не существует никакой другой альтернативы со значением и
(для наименьшей величины, соответствующей j).

Здесь означает ожидаемый результат от применения альтернативы при наступлении состояния внешней среды . Если в матрице решений имеется доминирующая альтернатива, то она и выбирается в качестве планового решения. Однако, как правило, доминирующие альтернативы отсутствуют и, кроме того, решение приходится принимать в условиях риска и неопределенности. Здесь нужны специальные принципы принятия решений, или решающие правила, или критерии принятия решений, которые используются иногда как синонимы.
Итак, мы имеем задачу принятия решений (ПР). Все задачи ПР группируются в зависимости от набора классификационных признаков. Существует несколько подходов к классификации задач принятия решений (ЗПР). Однако большинство из них опирается на следующие признаки: характер субъекта (ЛПР), содержание ЗПР, количество целей, влияние времени, значимость решений. Каждый из признаков включает несколько параметров классификации ЗПР. Общая схема классификаций ЗПР приведена на рис. 16.
Особый интерес представляет признак «характер субъекта ПР», который описывает степень информированности ЛПР о проблемной ситуации и указывает конкретный тип ЛПР.
Ниже рассмотрим методы принятия решений:
а)
в условиях полной определенности, когда известны все составляющие и характеристики проблемы планирования;
б)
в условиях вероятностной определенности (риска);
в)
в условиях неопределенности.
На первом этапе планирования происходит упорядочение имеющейся (полученной)
информации, которая размещается в соответствующих таблицах, аналогичных рис. 16. Следует заметить, что для каждого типа задач принятия решений создается своя система подготовки информации.
Рис. 16. Классификация ЗПР по уровням и признакам группирования
Вопрос 2. Методы решения задач планирования в условиях полной определенности.
В данном случае необходимо различать однокритериальные и многокритериальные методы выбора плановых решений.
1.
Однокритериальные методы выбора. Считается известным:
·
исходное множество альтернатив
;

·
оценки результатов выбираемых альтернатив f(A
i
);
·
критерий выбора или
Следовательно, выбор характеризуется однозначной связью между принятым решением и его результатом
. В процессе решения задачи определяется альтернатива A*, для которой или
2.
Многокритериальные методы выбора. В достаточно большом количестве практических случаев принятия решений при планировании действий приходится учитывать не один, а несколько критериев. Не умаляя общности, можно считать, что все критерии стремятся к максимуму, так как если некоторые критерии минимизируются, то путем умножения их на (-1)
они будут стремиться к максимуму, причем решение при этом не изменяется. Матрица исходных данных принятия решений имеет вид (табл. 5).
Если в табл. 5 находится доминирующая альтернатива, то проблемы выбора как таковой не существует, а именно данная альтернатива и принимается в качестве планового решения.
Таблица 5.
Матрица исходных данных для многокритериальных методов выбора
Альтернативы, A
i
Критерии (цели)
Z
1
Z
2
…
Z
n
А
1
e
11
e
12
…
e
1n
А
2
e
21
e
22
…
e
2n
…
…
…
…
…
A
m
e m1
e m2
…
e mn
Однако, как было отмечено ранее, доминирующие стратегии т практике встречаются довольно редко. Поэтому приходится применять методы многокритериального выбора, причем решение должно быть наилучшим в определенном смысле. Итак, выделение существенных для модели рассматриваемой экономической системы показателей качества альтернатив выбора,
соответствующих поставленным целям, приводит к задаче векторной оптимизации, которая заключается в нахождении максимума вектор-функции:
,
где D – область допустимых решений модели.
В случае многокритериальной оптимизации возникают три проблемы. Первая проблема связана с выбором принципа оптимальности. В математическом отношении эта проблема эквивалентна задаче упорядочения векторных множеств, а выбор принципа оптимальности –
выбору отношений порядка. Вторая проблема связана с нормализацией векторного критерия
F(х). Дело в том, что частные критерии имеют различные единицы измерения, поэтому их необходимо привести к единому масштабу измерения, т. е. нормализовать(обычно приводят к безразличным величинам). Третья проблема связана с учетом приоритета (степени важности)
частных критериев. Часто для учета приоритета вводится вектор распределения важности или значимости критериев

В задаче многокритериального выбора решение почти всегда ищется в области компромиссов или в области решений, оптимальных по Парето, Известен целый ряд методов решения многокритериальных задач, которые можно разбить на четыре группы:
1.
Сведение многих критериев к одному путем введения весовых коэффициентов для каждого критерия (более важный критерий получает больший вес).
2.
Минимизация максимальных отклонений от наилучших значений по всем критериям.
3.
Оптимизация одного критерия (почему-либо признанного наиболее важным), а остальные критерии выступают в роли дополнительных ограничений.
4.
Упорядочение (ранжирование) множества критериев и последовательная оптимизация по каждому из них.
В рассматриваемой постановке множество допустимых планов есть совокупность альтернатив
, а значения критериев равны:
Покажем применение некоторых методов многокритериальной оптимизации к решению задач планирования в системе управления фирмой.
Метод равномерной оптимизации:
(23)
Он применяется, если глобальное качество альтернативы представляет собой сумму локальных (частных) качеств и, кроме того, все критерии имеют одну и ту же единицу измерения, например денежное выражение либо безразмерные величины. Главный недостаток метода – это возможность компенсации малых значений некоторых критериев достаточно большими значениями других.
Метод справедливого компромисса:
(24)
Он применяется, во-первых, потому что существуют разнообразные схемы, приводящие к такому методу, во-вторых, потому что имеется тесная связь с решением в некооперативных играх.
Метод свертывания критериев:
(25)
Здесь каждому из критериев приписываются весовые коэффициенты а, определяющие предпочтения ЛПР.
Метод главного критерия:

(26)
Здесь f1(х) – главный (наиболее важный из всех для ЛПР) критерий, dj – нижняя граница j-го критерия, устанавливаемая ЛПР.
Метод идеальной точки.
Ищется план, удовлетворяющий условию равномерного сжатия:
(27)
Метод последовательных уступок (или пороговых значений):
где hj – уступка по критерию
, т. е. величина, на которую ЛПР согласен уменьшить значение данного критерия по сравнению с его максимальным значением.
Метод группировки критериев.
Суть метода заключается в том, что множество критериев, значения которых предварительно вычислены на некотором оптимальном по Парето плане x°, разбивается на три группы. Первая группа включает критерии, значения которых могут быть уменьшены по сравнению со значениями, вычисленными на плане x° Вторая группа состоит из критериев,
значения которых желательно увеличить. Третья группа включает критерии, значения которых не хотелось бы уменьшать по сравнению с достигнутыми на плане x°. Далее отыскивается план уже в новой системе ограничений, который позволяет максимально увеличить значение критерия второй группы.
Так как критерии могут иметь различные масштабы и шкалы измерения, то прежде, чем приступить к решению многокритериальной задачи, их необходимо привести к одной единице измерения (обычно к безразмерному виду). Этот процесс называется нормализацией.
Существуют различные методы нормализации. Предлагается следующий способ получения безразмерной формы критериев:
(28)
где
Рассмотрим следующую многокритериальную задачу планирования. Пусть фирма имеет возможность реализовывать свои товары на 4-х различных рынках (альтернативы А
1
, А
2
, А
3
,
А
4
). При этом ставятся одновременно следующие цели: минимизация затрат на рекламу,
завоевание максимальной доли рынка и максимальный объем продаж в течение планируемого периода. Исходные данные приведены в табл. 6.
Таблица 6.