Файл: Кафедра Математических методов принятия решений.pdf

3.
На основании матрицы потерь (табл. 22) можно определить максимальные потери по каждой альтернативе. Для этого применим правило:
Для каждого определим:
Таблица 23.
Альтернативы
Состояния внешней среды
Z1
Z2
Z3
Z4
А
1
45 0
60=max(A1)=min(max)
50
А
2 85=max(A
2
)
70 0
0
А
3 0
40 40 80=max(A3)
Оптимальной будет та альтернатива, которая имеет минимальные потери согласно выражению (36):
Следовательно, оптимальна альтернатива A1 имеющая минимальные потери выгоды.
Критерий Лапласа. Данный критерий применяется, если состояния внешней среды неизвестны, но их можно считать равновероятными, т. е.
Решающее правило в этом случае имеет следующий вид:
В рассматриваемом примере:
Следовательно, с точки зрения критерия Лапласа можно выбрать как рынок A1, так и рынок A2.

Таблица 24.
Политическая обстановка
Критерий е(А) по строкам
стабильная
стаб.
нестаб.
нестаб.
Степень конкуренции
слабая,Z
1
сильная,Z2
слабая,Z3
сильная,Z4
А
1
530 460 240 220
А
2 490 390 300 270
А
3
575 420 260 190
Сделаем несколько практических рекомендаций по применению рассмотренных выше критериев (принципов).
1.
Критерий Вальда лучше всего использовать тогда, когда фирма желает свести риск от принятого решения к минимуму.
2.
Коэффициент в критерии Гурвица выбирается из субъективных соображений: чем опаснее ситуация, тем больше ЛПР желает подстраховаться.
3.
Критерий Сэвиджа удобен, если для предприятия приемлем некоторый риск.
4.
Критерий Лапласа может быть применен, когда ЛПР не может предпочесть ни одной гипотезы.
Вопрос 4. Методы планирования в условиях риска.
Когда выбор планового решения осуществляется в условиях риска, известны или задаются субъективные вероятности возможных состояний внешней среды. При этом постановка задачи будет следующей:
а)
имеется множество альтернатив и множество состояний внешней среды
;
б)
известны субъективные вероятности состояния среды
, причем в)
для каждого сочетания альтернативного решения A
i и состояния задана функциональная полезность .
Существующие методы выбора базируются в основном на использовании вероятностных мер в качестве критериев выбора. В теории статистических решений обычно используются принцип Байеса. принцип Бернулли и принцип энтропии математического ожидания функции полезности.
Принцип Байеса. В качестве критерия выбора стратегии (альтернативы) A
i применяются взвешенные по вероятности суммы полезностей, т. е.
(37)

Оптимальным считается решение A*, для которого значение критерия e i
будет максимальным или минимальным в зависимости от постановки задачи:
(38)
или
Если в примере (табл. 15) задать вероятности то на основе (6.15) и (6.16) получим:
Следовательно, оптимальной является альтернатива A3.
Таблица 25.
Новые
рынки
Политическая обстановка
Значение критерия е
по строкам
стабильная
стаб.
нестаб.
нестаб.
Степень конкуренции
слабая,Z
1
сильная,Z2
слабая,Z3
сильная,Z4
А
1 530 460 240 220 530*0,4+460*0,2+
240*0,1+220*0,3=394
А
2 490 390 300 270 385
А
3
575 420 260 190
397=max
Вероят-ть,
p
j
0,4 0,2 0,1 0,3
Иногда каждому решению A1, ставят в соответствие не значение функции полезности e ij
, а величину потерь wij = |e ij
-max{e ij
}| , которая характеризует упущенные возможности. Тогда
(39)
Используя матрицу потенциальных потерь, вычислим с учетом вероятностей наступления тех или иных состояний среды общие потери:
На основе формулы (39) имеем:

Оптимальной альтернативой является A3.
Таблица 26.
Альтернативы
Состояния внешней среды
Критерии w по строкам
Z1
Z2
Z3
Z4
А
1 45 0
60 50 45*0,4+0*0,2+60*0,1+50*0,3=39
А
2 85 70 0
0 48
А
3
0 40 40 80
36=min
Вероят-ть, p
j
0,4 0,2 0,1 0,3
Принцип Бернулли. При использовании данного принципа исходят из того, что известна некоторая функция полезности u(е). Эта субъективная функция полезности Бернулли ставит в соответствие каждому возможному вероятностному значению альтернативы определенную величину полезности. Для каждой альтернативы можно определить ожидаемое значение полезности ее вероятностного результата. Оптимальной считается альтернатива с наибольшим ожидаемым значением полезности, т. е. оптимальной стратегии соответствует
Вид функции полезности Бернулли зависит от отношения ЛПР к риску. Принципиальный вид функции полезности:
а)
при нейтральном (безразличном) отношении к риску;
б)
при существенном учете риска;
в)
при малой значимости риска представлен на рис. 17.
Здесь следует заметить, что на различных интервалах изменения аргумента функция полезности может иметь различный вид с точки зрения отношения к риску.
Рассмотрим принцип Бернулли применительно к задаче, исходные данные которой представлены в табл. 15, а вероятности состояния внешней среды такие же, как и в примере,
иллюстрирующем принцип Байеса, а именно р
1
= 0.4; p2= 0,2; p3=0,1; р
4
=0,3.
В результате проведенных расчетов функция полезности Бернулли имеет следующий вид:
Рис. 17. Вид функции полезности Бернулли при различных точках зрения на риск

График данной функции изображен на рис. 18. Результаты определения оптимальной альтернативы (нового целевого рынка) по принципу Бернулли помещены в табл. 27.
Таблица 27.
Значения функции полезности Бернулли
Альтернативы
Состояния внешней среды
Ожидаемые значения
полезности
Z
1
Z
2
Z
3
Z
4
A
1
222 192 96 88 163,2
A
2
205 156 120 108 157,6
A
3
237 171 104 76 162,2=max(A)
Вероятность, p
j
0,4 0,2 0,1 0,3
Рис. 18. Функция полезности Бернулли u(е)
Согласно принципу Бернулли, оптимальной стратегией будет A1.
Замечание. Рассмотренные выше методы представляют собой индивидуальный выбор альтернатив, т.е. когда решение принимает одно лицо или несколько лиц, имеющих единое мнение. Однако могут быть применены и методы группового выбора.
Литература.
Основная литература:
1.
Ларичев О.И. Теория и методы принятия решений, а также Хроника событий в
Волшебных странах: Учебник. – М.: Логос, 2008. – 392 с.
2.
Литвак Б.Г. Управленческие решения. – М.: Дело, 2008. – 254 с.
3.
Смирнов Э.А. Разработка управленческих решений. – М.: ИНФРА-М, 2008. – 272 с.
4.
Фатхутдинов Р.А. Разработка управленческого решения: Учеб. пособ. – М.: Бизнес- школа, Интел-Синтез, 2007. – 272 с.
Дополнительная литература:

1.
Андрейчиков А.В., Андрейчикова О.Н. Анализ, синтез, принятие решений в экономике
– М.: Финансы и статистика, 2007. – 368с.
2.
Трахтенгерц Э.А. Компьютерная поддержка принятия решений: Научно-практическое издание. – М.: СИНТЕГ, 1998. – 376 с.
3.
Варфоломеев В.И., Воробьев С.Н. Принятие управленческих решений: Учеб пособие для вузов. – М.: КУДИЦ-ОБРАЗ, 2007. – 288 с.
4.
Плис А.И., Сливина Н.А. Mathcad 2000. Математический практикум для экономистов и инженеров: Учеб. пособие. – М.: Финансы и статистика, 2007. – 656 с.
5.
Ашихмин А.А. Разработка и принятие управленческих решений: формальные модели и методы выбора. – М.: МГТУ, 2005.
6.
Вентцель Е.С. Исследование операция. – М.: Советское радио, 1972.
7.
Воробьев Н.Н. Теория игр для экономистов-кибернетиков. – М.: Наука, 1985.
8.
Горелик В.А., Кононенко А.Ф. Теоретико-игровые модели принятия решений в эколого-экономических системах. – М.: Радио и связь, 1982/
9.
Давыдов Э.Г. Исследование операций. – М.: Высшая школа, 1990.
10.
Лапшин К.А., Светлов Н.М. Прогграммный комплекс «Линейная оптимизация» –
методические указания для студентов экономического факультета. – М.: МСХА, 1994.
11.
Лесик, А. И., Чистяков, Ю. Е. Теоретико-игровые модели взаимодействия экономических субъектов производственной системы. – М. : ВЦ РАН, 1994.
12.
Мулен Э. Теория игр с примерами из математической экономики. – М.: Мир, 1985.
13.
Петросян Л.А., Зенкевич Н.А., Семина Е.А. Теория игр. М.: Высшая школа, 1998.
14.
Платов В.Я. Деловые игры: разработка, организация, проведение. – М.: Профиздат,
1991.
15.
Сысоев, В. В. Теоретико-игровые модели принятия решений многоцелевого управления в задачах выбора и распределения ресурсов / Воронеж : Воронеж. гос. технол. акад.,
2000.
16.
Giblons R. Game theory for applied economists. Princeton University press, Princeton, New
Gersey, 1992.
Вопросы для самопроверки:
1.
Какими условиями характеризуется среда принятия решений?
2.
В чем особенность информационных ограничений процесса принятия решений?
3.
Что можно отнести к внешним факторам, оказывающим влияние на процесс принятия решений?
4.
Что можно отнести к внутренним факторам, оказывающим влияние на процесс принятия решений?
5.
Расчетом какого показателя отличается неопределенность и риск?

1.
Решение матричных игр в чистых стратегиях.
2.
Смешанные стратегии в матричных играх.
3.
Принятие решений в условиях неопределенности.
Вопрос 1. Решение матричных игр в чистых стратегиях.
Определение. «Игра (в математике) – это идеализированная математическая модель коллективного поведения: несколько игроков влияют на исход игры, причем их интересы различны». [7].
Регулярное действие, выполняемое игроком во время игры, называется ходом.
Совокупность ходов игрока, совершаемых им для достижения цели игры, называется стратегией.
Классификация игр.
Классификацию игр можно проводить: по количеству игроков, количеству стратегий,
характеру взаимодействия игроков, характеру выигрыша, количеству ходов, состоянию информации и т.д. [2,7,8].
В зависимости от количества игроков различают игры двух и n игроков. Первые из них наиболее изучены. Игры трёх и более игроков менее исследованы из-за возникающих принципиальных трудностей и технических возможностей получения решения.
По количеству стратегий игры делятся на конечные и бесконечные. Если в игре все игроки имеют конечное число возможных стратегий, то она называется конечной. Если же хотя бы один из игроков имеет бесконечное количество возможных стратегий, игра называется бесконечной.
По характеру взаимодействия игры делятся на бескоалиционные: игроки не имеют права вступать в соглашения, образовывать коалиции; коалиционные (кооперативные) – могут вступать в коалиции.
В кооперативных играх коалиции заранее определены.
По характеру выигрышей игры делятся на: игры с нулевой суммой (общий капитал всех игроков не меняется, а перераспределяется между игроками; сумма выигрышей всех игроков равна нулю) и игры с ненулевой суммой.
По виду функций выигрыша игры делятся на: матричные, биматричные, непрерывные,
выпуклые и др.
Матричная игра – это конечная игра двух игроков с нулевой суммой, в которой задаётся выигрыш игрока 1 в виде матрицы (строка матрицы соответствует номеру применяемой стратегии игрока 1, столбец – номеру применяемой стратегии игрока 2; на пересечении строки и столбца матрицы находится выигрыш игрока 1, соответствующий применяемым стратегиям).
Для матричных игр доказано, что любая из них имеет решение и оно может быть легко найдено путём сведения игры к задаче линейного программирования.
Биматричная игра – это конечная игра двух игроков с ненулевой суммой, в которой выигрыши каждого игрока задаются матрицами отдельно для соответствующего игрока (в каждой матрице строка соответствует стратегии игрока 1, столбец – стратегии игрока 2, на пересечении строки и столбца в первой матрице находится выигрыш игрока 1, во второй матрице – выигрыш игрока 2.)
Непрерывной считается игра, в которой функция выигрышей каждого игрока является непрерывной. Доказано, что игры этого класса имеют решения, однако не разработано практически приемлемых методов их нахождения.
Если функция выигрышей является выпуклой, то такая игра называется выпуклой. Для них разработаны приемлемые методы решения, состоящие в отыскании чистой оптимальной стратегии (определённого числа) для одного игрока и вероятностей применения чистых оптимальных стратегий другого игрока. Такая задача решается сравнительно легко.

Запись матричной игры в виде платёжной матрицы.
В общем виде матричная игра может быть записана следующей платёжной матрицей [1, 2,
7] (рис. 19.),
Рис. 19. Общий вид платёжной матрицы матричной игры
где A
i
– названия стратегий игрока 1, B
j
– названия стратегий игрока 2,
– значения выигрышей игрока 1 при выборе им i – й стратегии, а игроком 2 – j – й стратегии. Поскольку данная игра является игрой с нулевой суммой, значение выигрыша для игрока 2 является величиной, противоположенной по знаку значению выигрыша игрока 1.
Понятие о нижней и верхней цене игры. Решение игры в чистых стратегиях.
Каждый из игроков стремится максимизировать свой выигрыш с учётом поведения противодействующего ему игрока. Поэтому для игрока 1 необходимо определить минимальные значения выигрышей в каждой из стратегий, а затем найти максимум из этих значений, то есть определить величину
,
или найти минимальные значения по каждой из строк платёжной матрицы, а затем определить максимальное из этих значений. Величина называется максимином матрицы или нижней ценой игры.
Величина выигрыша игрока 1 равна, по определению матричной игры, величине проигрыша игрока 2. Поэтому для игрока 2 необходимо определить значение
Или найти максимальные значения по каждому из столбцов платёжной матрицы, а затем определить минимальное из этих значений. Величина Vв называется минимаксом матрицы или верхней ценой игры.
В случае, если значения и не совпадают, при сохранении правил игры (коэффициентов
) в длительной перспективе, выбор стратегий каждым из игроков оказывается неустойчивым.
Устойчивость он приобретает лишь при равенстве
. В этом случае говорят, что игра имеет решение в чистых стратегиях, а стратегии, в которых достигается V – оптимальными чистыми стратегиями. Величина V называется чистой ценой игры. [8].
Например, в матрице (рис. 20)

Рис. 20. Платёжная матрица, в которой существует решение в чистых стратегиях
существует решение в чистых стратегиях. При этом для игрока 1 оптимальной чистой стратегией будет стратегия A1, а для игрока 2 – стратегия B4.
В матрице (рис. 21)
Рис. 21. Платёжная матрица, в которой не существует решения в чистых стратегиях
решения в чистых стратегиях не существует, так как нижняя цена игры достигается в стратегии A1 и её значение равно 2, в то время как верхняя цена игры достигается в стратегии
B4 и её значение равно 3.
Уменьшение порядка платёжной матрицы.
Порядок платёжной матрицы (количество строк и столбцов) может быть уменьшен за счёт исключения доминируемых и дублирующих стратегий.
Стратегия K* называется доминируемой стратегией K**, если при любом варианте поведения противодействующего игрока выполняется соотношение
,
где A
k
* и A
k
** – значения выигрышей при выборе игроком, соответственно, стратегий K*
и K**.
В случае, если выполняется соотношение
,
стратегия K* называется дублирующей по отношению к стратегии K**.
Например, в матрице
Рис. 22. Платёжная матрица с доминируемыми и дублирующими стратегиями