Файл: Кафедра Математических методов принятия решений.pdf

Исходные данные многокритериальной задачи (пример)
Альтернативы, рынки
Цели (критерии)
затраты на
рекламу,
тыс.ден.ед., f1
доля рынка,
%, f2
объем продаж,
тыс.ден.ед., f3
А
1
7 45 90
А
2
5 40 85
А
3
9 50 80
А
4
6 45 83
Значения критериев даны в различных единицах измерения, поэтому согласно формуле
(28) приведем их к безразмерному виду:
Так как критерий f1, минимизируется, то для того, чтобы все критерии стремились к максимуму, умножим безразмерные величины критерия f1, на (-1) и сформируем табл. 7. Решим задачу несколькими методами.
Таблица 7.
Преобразованные исходные данные (пример)
Альтернативы
Цели (критерии)
f1
f2
f3
А
1
-0,5 0,5 1
А
2
0 0
0,5
А
3
-1 1
0
А
4
-0,25 0,5 0,3
Метод равномерной оптимальности.
В соответствии с (23) имеем:
Таблица 8.
Альтернативы
Цели (критерии)
Критерий
f1
f2
f3
А
1
-0,5 0,5 1
-0,5+0,5+1=1
А
2 0
0 0,5 0,5

А
3
-1 1
0 0
А
4
-0,25 0,5 0,3
-0,25+0,5+0,3=0,55
Следовательно, согласно принципу равномерной оптимальности предприятию выгоднее работать на рынке А
1
Метод справедливого компромисса.
Чтобы воспользоваться данным методом, избавимся от отрицательности критерия f1,
добавив константу, например 1. Тогда значения первого критерия будут равны:
На основании (24) имеем:
Альтернативы
Цели (критерии)
Критерий
f1
f2
f3
А
1
-0,5+1=0,5 0,5 1
0,5*0,5*1=0,25
А
2
0+1=1 0
0,5 1*0*0,5=0
А
3
-1+1=0 1
0 0
А
4
-0,25+1=0,75 0,5 0,3 0,75*0,5*0,3=0,1125
Результат получился аналогичный предыдущему, а именно выгоднее работать на рынке
А
1
Метод свертывания критериев.
Сначала положим следующие значения весовых коэффициентов:
.Тогда функции свертки в соответствии с (25) будут равны:
Таблица 10.
Альтернативы
Цели (критерии)
Критерий
f1
f2
f3
А
1
-0,5 0,5 1
А
2
0 0
0,5
А
3
-1 1
0
А
4
-0,25 0,5 0,3
Таблица 9.

При таком значении коэффициентов значимости критериев выгоднее работать на рынке
A1.
Если доложить
, то получим:
Таблица 11.
Альтернативы
Цели (критерии)
Критерий
f1
f2
f3
А
1
-0,5 0,5 1
А
2
0 0
0,5
А
3
-1 1
0
А
4
-0,25 0,5 0,3
Таким образом, если приоритет отдается доле рынка (
), то фирме имеет смысл работать на рынке А
3
Если же фирма находится в затруднительном положении с точки зрения средств,
выделяемых на рекламу, другими словами, для нее в данный момент самым важным является минимизация затрат на рекламу, то коэффициенты значимости могут быть, например, выбраны такие:
;
Следовательно, в такой ситуации лучше всего работать на рынке А
2
Если задать весовые коэффициенты
, то
При таких значениях весовых коэффициентов выгоднее работать на рынке А
1
Приведем два последних варианта решений в следующей таблице:
Таблица 12.
Альтернативы
Цели
(критерии)
Критерий
f1
f2
f3
А
1
-0,5 0,5 1
-0,25
0,35
А
2
0 0
0,5
0,05
0,15
А
3
-1 1
0
-0,7 0,1
А
4
-0,25 0,5 0,3
-0,12 0,215
Метод главного критерия.

Пусть главный критерий f1 – затраты на рекламу, а остальные критерии выступают в роли ограничений, причем доля рынка должна быть не меньше 45%, а объем продаж не меньше 85
тыс.ден.ед. Тогда в соответствии с (26) минимальное значение главного критерия f1 равно 5
тыс.ден.ед. и соответствует альтернативе А
2
однако с учетом ограничения на долю рынка следует выбрать альтернативу A4, но так как еще требуется, чтобы объем продаж был не меньше 85 тыс.ден.ед., то наилучшей альтернативой в этом случае будет рынок A1.
f
1
-главный критерий,
,
Таблица 13.
Альтернативы,
рынки
Цели (критерии)
затраты на рекламу,
тыс.ден.ед., f1
доля рынка, %, f2
объем продаж,
тыс.ден.ед., f3
А
1 7
45
90
А
2
5=min
40 85
А
3 9
50 80
А
4 6
45
83
Метод идеальной точки (критерий равномерного сжатия (27) соответствует принципу
Сэвиджа). Определим сначала максимальные значения критериев. А именно
Матрица отклонений значений критериев от наилучших значений имеет вид:
Максимальные отклонения по каждой из 4-х альтернатив имеют следующие значения: 0,5;
1; 1; 0,7. Выберем минимальное из этих отклонений:
Таблица 14.
Цели (критерии)
Отклонения от max
Max
отклонения
А
1
А
2
А
3
1=
А
4

Минимальное значение 0,5 соответствует альтернативе A1 следовательно, используя данный метод, получим решение, которое рекомендует фирме планировать работу на рынке A1.
Вопрос 3. Принятие решений в условиях неопределенности.
Большинство задач планирования зависит от ряда неизвестных заранее и неуправляемых факторов. Эти задачи обладают той или иной степенью неопределенности, которая может быть как объективной, так и субъективной, зависящей от индивидуальных психофизических параметров ЛИР. В таких задачах неизвестно распределение вероятностей
, с которыми внешняя среда может находиться в одном из возможных состояний
. В этом случае
ЛДР выдвигает только определенные гипотезы относительно состояний внешней среды.
Таким образом, для ЛПР, действующего в условиях неопределенности и невозможности получения дополнительной информации о неопределенных факторах, элементами описания ситуации планирования являются:
·
множество допустимых стратегий (множество возможных альтернатив действий ЛПР)
;
·
множество возможных состояний внешней среды (множество гипотез)
Предполагается, что на множестве отношений А х Z можно задать некоторую функцию полезности
, которая выступает в качестве меры желательности или полезности соответствующей альтернативы. Если множества A и Z конечны, то мера для оценки эффективности действий ЛПР (полезность исходов) представима в виде матрицы. Каждое конкретное значение элемента матрицы
(см. табл. 5) характеризует выбор i-й стратегии (альтернативы
) при состоянии внешней среды
. Для выбора лучшей стратегии имеется ряд специальных методов, ориентированных на использование в условиях неопределенности, которые рассмотрены и проиллюстрированы ниже.
Критерий максимина (принцип гарантированного результата, или критерий
Вальда). Данный принцип заключается в выборе в качестве оптимальной (наиболее эффективной) той альтернативы (стратегии), которая имеет наибольшее среди наименее благоприятных состояний внешней среды значение функции полезности. Таким образом,
оптимальной, считается альтернатива A*, для которой выполняется соотношение:
(29)
Здесь есть значение функции полезности при альтернативе и состоянии внешней среды
. Найденная оптимальная альтернатива A* выбранная по критерию
Вальда, обеспечивает гарантированный выигрыш (успех в достижении цели) при наихудшем для данной фирмы состоянии внешней среды.
Рассмотрим следующий пример. Исходная таблица решений характеризуется данными,
привёденными в табл. 15.
Таблица 15.
Ожидаемые значения прибыли (тыс.ден.ед.) для трех товарных рынков

Возможные
новые товарные
рынки
Политическая обстановка
стабильная
стабильная
нестабильная
нестабильная
Степень конкуренции
слабая, Z
1
сильная, Z2
слабая, Z3
сильная, Z4
Рынок, А
1 530 460 240 220
Рынок, А
2 490 390 300 270
Рынок, А
3 575 420 260 190
Сначала для каждой альтернативы выбираем по соответствующей строке минимальное значение функции полезности, т.е.
Далее из полученных минимальных значений в соответствии с (29) выбирается максимальное:
Таблица 16.
Возможные
новые товарные
рынки
Политическая обстановка
Min по
строке
стабильная
стабильная
нестабильная
нестабильная
Степень конкуренции
слабая, Z
1
сильная, Z2
слабая, Z3
сильная, Z4
Рынок, А
1 530 460 240 220 220
Рынок, А
2
490 390 300 270
270=max
Рынок, А
3 575 420 260 190 190
Следовательно, оптимальной по критерию максимина является альтернатива А
2
, т.е.
фирме целесообразно выходить со своим товаром на рынок А
2
. Это самая осторожная стратегия,
так как при любом состоянии внешней среды фирма получит прибыль не менее 270 тыс.ден.ед.
Критерий максимакса (принцип безудержного оптимизма). Если критерий максимина ориентирован на получение гарантированного минимума желаемого результата (правило
«лучший» из «худших”), то критерий оптимизма предполагает возможность получения максимального уровня желательности результата. Эта альтернатива А* выбирается исходя из выражения
(30)
Рассматривая исходные данные (табл. 15) с точки зрения принципа оптимизма (30),
получим:

Таким образом, оптимальной по критерию оптимизма будет альтернатива А
3
, для которой справедливо соотношение:
Таблица 17.
Возможные
новые товарные
рынки
Политическая обстановка
Max по
строке
стабильная
стабильная
нестабильная
нестабильная
Степень конкуренции
слабая, Z
1
сильная, Z2
слабая, Z3
сильная, Z4
Рынок, А
1 530 460 240 220 530
Рынок, А
2 490 390 300 270 490
Рынок, А
3
575 420 260 190
575=max
Критерий Гурвица. Данный критерий представляет собой комбинацию принципа гарантированного результата и принципа оптимизма. Функция, описывающая критерий
Гурвица, представляется в виде:
(31)
где
– стратегия выбора альтернативы, характеризующая принцип гарантированного результата, а
– принципа оптимизма;
– весовой коэффициент.
Так как то общее выражение для принципа Гурвица на основании (31) будет иметь следующий вид:
или
Здесь используются две гипотезы: первая – среда находится с вероятностью а в самом невыгодном состоянии и вторая – среда находится с вероятностью в самом выгодном состоянии.

В зависимости от значения весового коэффициента можно получить различные предпочтительные альтернативы. Причем если
, то имеем принцип оптимизма, если
,
то получим принцип гарантированного результата.
Используя этот критерий, обратимся опять к нашим данным (табл. 15). Пусть весовой коэффициент, характеризующий степень важности соответствующей альтернативы, равен 0,7.
Тогда получим:
(32)
Подставляя значения из табл. 15 в выражение (6.10), имеем:
Далее производим выбор на основе следующей стратегии:
Подставляя вычисленные ранее значения, получим:
Таким образом, оптимальной по принципу Гурвица при коэффициенте будет альтернатива A2.
Приведем решение данным методом в следующей таблице:
Таблица 18.
Возможные
новые
рынки
Политическая обстановка
Критерий
е(А) по строкам
стабильная
стабильная
нестабил.
нестабил.
Степень конкуренции
слабая,Z
1
сильная,Z2
слабая,Z3
сильная,Z4
Рынок, А
1 530=max(A
1
)
460 240 220=min(A
1
)
Рынок, А
2
490=max(A
2
)
390 300 270=min(A
2
)
Рынок, А
3 575=max(A
3
)
420 260 190=min(A
3
)
Если же весовой коэффициент равен 0,2 то решение изменится следующим образом:
Оптимальной стратегией в этом случае будет работа фирмы на рынке A3.
Приведем решение в виде таблицы:

Таблица 19.
Возможные
новые
рынки
Политическая обстановка
Критерий
е(А) по строкам
стабильная
стабильная
нестабил.
нестабил.
Степень конкуренции
слабая,Z
1
сильная,Z2 слабая,Z3
сильная,Z4
Рынок, А
1 530=max(A
1
)
460 240 220=min(A
1
)
Рынок, А
2 490=max(A
2
)
390 300 270=min(A
2
)
Рынок, А
3
575=max(A
3
)
420 260 190=min(A
3
)
Наконец, если положить
, то получим следующее решение:
И в этом случае оптимальной стратегией будет работа на рынке A3.
Приведем решение в виде таблицы:
Таблица 20.
Возможные
новые
рынки
Политическая обстановка
Критерий
е(А) по строкам
стабильная
стабильная
нестабил.
нестабил.
Степень конкуренции
слабая,Z
1
сильная,Z2 слабая,Z3
сильная,Z4
Рынок, А
1 530=max(A
1
)
460 240 220=min(A
1
)
Рынок, А
2 490=max(A
2
)
390 300 270=min(A
2
)
Рынок, А
3
575=max(A
3
)
420 260 190=min(A
3
)
Заметим, что если фирма желает, например, работать на всех трех рынках, то, используя принцип Гурвица, можно принять следующее решение по распределению долей продукции
(долей объемов продаж) между рынками, применив формулу:
где d i
. – доля товара в натуральном или денежном выражении, реализуемого на рынке A
i
,
В общем случае процентное соотношение распределения товара по рынкам с использованием критерия Гурвица может быть вычислено по аналогичной формуле:
(33)

где D
i
– доля товара, реализуемого на рынке A
i
, выраженная в процентах; m – количество рассматриваемых рынков.
В нашем примере при
, если рассматривать все три рынка, то, используя формулу
(33), получим следующее процентное распределение товара между рынками:
Однако представляется более рациональным распределить товар между рынками A2 и А
3
,
так как рынок A2 должен быть выбран согласно принципу гарантированного результата, а рынок A3 – согласно принципу оптимизма, причем изменение весового коэффициента в принципе Гурвица приводит к тем же альтернативам A2 и A3. Поэтому, используя формулу (33)
для двух рынков и
, получим следующее процентное распределение товара между ними:
Вообще говоря, здесь мы имеем пропорциональное распределение рисков. Данный подход может быть использован в практических расчетах.
Критерий минимаксного сожаления (принцип Сэвиджа). Стратегия выбора по принципу Сэвиджа характеризует те потенциальные потери, которые фирма будет иметь, если выберет неоптимальное решение. Детализированная процедура выбора в этом случае производится в три этапа.
1.
Для каждого состояния внешней среды по конкретной альтернативе определяется максимальное значение функции полезности:
(34)
Это есть, возможно, наилучший уровень полезности, который можно получить для конкретного состояния внешней среды Z
j
2.
На основании значений, вычисленных по формуле (6.12), для каждой альтернативы строится показатель:
(35)
Данный показатель характеризует потенциальный риск, а точнее потерянную выгоду от выбора неоптимальной альтернативы. В результате этого действия формируется матрица

потенциальных потерь.
3.
Используя полученную на предыдущем этапе матрицу потерь (или, как еще говорят,
матрицу сожалений), производится выбор стратегии с наименьшим показателем риска:
(36)
Данный критерий минимизирует возможные потери при условии, что состояние внешней среды наихудшим образом отличается от предполагаемого. Рассмотрим применение принципа
Сэвиджа на исходных данных (табл. 15) в соответствии с описанной выше процедурой.
1.
Для значений функции полезности по каждому состоянию внешней среды Z1, Z2, Z3,
Z4 на основании (34) определим максимальный уровень полезности:
Таблица 21.
Возможные
новые
товарные
рынки
Политическая обстановка
стабильная
стабильная
нестабильная
нестабильная
Степень конкуренции
слабая, Z
1
сильная, Z2
слабая, Z3
сильная, Z4
Рынок, А
1 530 460=max(Z2)
240 220
Рынок, А
2 490 390 300=max(Z3)
270=max(Z4)
Рынок, А
3 575=max(Z
1
)
420 260 190 2.
Вычислим элементы матрицы потенциальных потерь согласно формуле (35):
Таким образом, матрица потерь будет иметь следующий вид (табл. 22).
Таблица 22.
Матрица потенциальных потерь
Альтернативы
Состояния внешней среды
Z1
Z2
Z3
Z4
А
1
575-530=45 460-460=0 300-240=60 270-220=50
А
2
575-490=85 70 0
0
А
3
575-575=0 40 40 80