Файл: Сессия по аналитической геометрии.pdf

Сессия по аналитической геометрии
Оглавление
1 Геометрические векторы. Свободные векторы. Определение коллинеарных и компланарных векторов. Линейные операции над векторами и их свойства. ............................................................ 4 2 Определение линейной зависимости и линейной независимости векторов. Доказательства условий линейной зависимости 2-х и 3-х векторов. ........................................................................... 6 3 Определение базиса в пространствах векторов V1, V2, V3. Доказательство теоремы о существовании и единственности разложения вектора по базису. Линейные операции над векторами, заданными своими координатами в базисе. .................................................................... 8 4 Определение скалярного произведения векторов, его связь с ортогональной проекцией вектора на ось. Свойства скалярного произведения, их доказательство. Вывод формулы вычисления скалярного произведения векторов в ортонормированном базисе. .................................................. 9 5 Определение ортонормированного базиса. Связь координат вектора в ортонормированном базисе и его ортогональных проекций на векторы этого базиса. Вывод формул вычисления длины вектора, его направляющих косинусов, угла между двумя векторами в ортонормированном базисе. ................................................................................................................................................. 11 6 Правые и левые тройки векторов. Определение векторного произведения векторов, его механический и геометрический смысл. Свойства векторного произведения (без док-ва).Вывод формулы вычисления векторного произведения в ортонормированном базисе. ........................... 12 7 Определение смешанного произведения векторов. Объем параллелепипеда и объем пирамиды, построенных на некомпланарных векторах. Условие компланарности трех векторов.
Свойства смешанного произведения. Вывод формулы вычисления смешанного произведения в ортонормированном базисе............................................................................................................... 13 8-9-10 Определение прямоугольной декартовой системы координат. Решение простейших задач
............................................................................................................................................................. 14 аналитической геометрии. Различные виды уравнения прямой на плоскости: векторное, параметрические, каноническое. Направляющий вектор прямой. . Вывод уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. ............................................................................................ 14 11 Доказательство теоремы о том, что в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости уравнение первой степени задает прямую. Общее уравнение прямой. Определение нормального вектора прямой. Вывод нормального уравнения прямой, геометрический смысл входящих в него параметров. Приведение общего уравненияпрямой к нормальному виду.......... 17 12 Уравнение с угловым коэффициентом, уравнение прямой “в отрезках”. Геометрический смысл входящих в уравнения параметров. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых, заданных своими общими или каноническими уравнениями 18 13 Вывод формулы расстояния от точки до прямой на плоскости. ................................................... 19 14 Доказательство теоремы о том, что в прямоугольной декартовой системе координат в пространстве уравнение первой степени задает плоскость. Общее уравнение плоскости.
Определение нормального вектора плоскости. Вывод нормального уравнения плоскости, геометрический смысл входящих в него параметров. Приведение общего уравнения плоскости к нормальному виду. Вывод уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки.
Уравнение плоскости “в отрезках”. .................................................................................................... 20 15 Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. .. 23

16 – 17 Вывод формулы расстояния от точки до плоскости. Общие уравнения прямой в пространстве. Вывод векторного, канонических и параметрических уравнений прямой в пространстве. ...................................................................................................................................... 24 18 Угол между двумя прямыми в пространстве, условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Условия принадлежности двух прямых одной плоскости. ......................................... 26 19 Угол между прямой и плоскостью, условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Условие принадлежности прямой заданной плоскости. ................................................. 27 20 Задача о нахождении расстояния между скрещивающимися или параллельными прямыми. .. 28 21 Определение эллипса как геометрического места точек. Вывод канонического уравнения эллипса.+++ ......................................................................................................................................... 29 22 Определение гиперболы как геометрического места точек. Вывод канонического уравнения гиперболы.+++..................................................................................................................................... 31 23 Определение параболы как геометрического места точек. Вывод канонического уравнения параболы.+++ ...................................................................................................................................... 32 24 Определение цилиндрической поверхности. Канонические уравнения цилиндрических поверхностей 2-го порядка.+++ .......................................................................................................... 33 25 Понятие поверхности вращения. Канонические уравнения поверхностей, образованных вращением эллипса, гиперболы и параболы.+++ .............................................................................. 34 26 Канонические уравнения эллипсоида и конуса. Исследование формы этих поверхностей методом сечений.+++ ......................................................................................................................... 35 27 Канонические уравнения гиперболоидов. Исследование формы гиперболоидов методом сечений.+++ ......................................................................................................................................... 36 28 Канонические уравнения параболоидов. Исследование формы параболоидов методом сечений.+++ ......................................................................................................................................... 37 29 Понятие матрицы. Виды матриц. Равенство матриц. Линейные операции над матрицами и их свойства. Транспонирование матриц.+++ .......................................................................................... 38 30 Умножение матриц. Свойства операции умножения матриц.+++ ................................................ 40 31 Определение обратной матрицы. Доказательство единственности обратной матрицы.
Доказательство теоремы об обратной матрице произведения двух обратимых матриц.+++ ......... 41 32 Критерий существования обратной матрицы. Понятие присоединенной матрицы, ее связь с обратной матрицей.+++ ...................................................................................................................... 42 33 Вывод формул Крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей.+++................................................................................................................... 43 34 Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) Доказательство критерия линейной зависимости строк (столбцов).+++ ..................................................................................... 44 35 Определение минора матрицы. Базисный минор. Теорема о базисном миноре (без доказательства). Доказательство ее следствия для квадратных матриц.+++ ................................... 45 36 Метод окаймляющих миноров для нахождения ранга матрицы.+++ .......................................... 46 37 Элементарные преобразования строк (столбцов) матрицы. Нахождение обратной матрицы методом элементарных преобразований.+++ ................................................................................... 47 38 Теорема об инвариантности ранга матрицы относительно преобразований. Нахождение ранга матрицы методом элементарных преобразований.+++ .................................................................... 48

39 Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Различные формы записи СЛАУ.
Совместные и несовместные СЛАУ. Доказательство критерия Кронекера—Капели совместности
СЛАУ.+++ .............................................................................................................................................. 49 40 Однородные системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Свойства их решений.+++ 51 41 Определение фундаментальной системы решений (ФСР) однородной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Теорема о структуре общего решения однородной СЛАУ.
Построение ФСР.+++ ........................................................................................................................... 52 42 Неоднородные системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Доказательство теоремы о структуре общего решения неоднородной СЛАУ.+++ ..................................................................... 54
Алгоритмы решения задач ................................................................................................................. 55 1. Вычислить объём пирамиды, построенной на векторах a̅ = {a
1
; a
2
; a
3
}, b̅={b
1
; b
2
; b
3
}, c̅={c
1
; c
2
; c
3
}.
......................................................................................................................................................... 55 2. Написать разложение вектора x̅ = {x
1
; x
2
; x
3
} по векторам a̅ = {a
1
; a
2
; a
3
}, b̅={b
1
; b
2
; b
3
}, c̅={c
1
; c
2
; c
3
}. .................................................................................................................................................... 56 3. Найти площадь треугольника, построенного на векторах a̅ = {a
1
; a
2
; a
3
}, b̅={b
1
; b
2
; b
3
} .............. 57 4. Найти скалярное произведение векторов a̅=αp̅+βq̅, b̅=αp̅-βq̅, если |p̅|=l, |q̅|=s, ∠????, ???? = ???? ..... 58 5. Найти площадь треугольника с вершинами в точках A (α
1
, α
2
, α
3
) B (β
1
, β
2
, β
3
) C (γ
1
, γ
2
, γ
3
) ....... 59 6. Даны векторы a̅ = {a
1
; a
2
; a
3
}, b̅={b
1
; b
2
; b
3
}. Найти пр a̅-b̅
(a̅+b̅) ....................................................... 60 7. Найти расстояние от точки A (α
1
, α
2
, α
3
) до плоскости, проходящей через точки M
1
(β
1
, β
2
, β
3
)
M
2
(γ
1
, γ
2
, γ
3
) M
3
(θ
1
, θ
2
, θ
3
) ............................................................................................................... 61 8. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку A (α
1
, α
2
, α
3
), перпендикулярно плоскостям A
1
x+B
1
y+C
1
z+D
1
=0 и A
2
x+B
2
y+C
2
z+D
2
=0 .......................................................................... 62 9. Найти координаты точки, симметричной точке A (α
1
, α
2
, α
3
) относительно плоскости
A
1
x+B
1
y+C
1
z+D
1
=0. ............................................................................................................................ 63 10. Написать канонические и параметрические уравнения прямой, заданной через два уравнения плоскости, как их пересечение (A
1
x+B
1
y+C
1
z+D
1
=0 и A
2
x+B
2
y+C
2
z+D
2
=0). ..................... 64 11. Найти координаты точки симметричной A (α
1
, α
2
, α
3
) относительно прямой, заданной каноническим уравнением. ............................................................................................................ 65 12. Решить матричное уравнение AXB=C ........................................................................................ 66 13. Путём элементарных преобразований найти обратную матрицу к матрице 3*3. Сделать проверку. ......................................................................................................................................... 67 14. Уравнение кривой второго порядка Ax
2
+Cy
2
+Dx+Ey+F=0 привести к каноническому виду.
Определить тип кривой. Сделать чертёж в исходной системе координат. ................................... 68 15. Решить СЛАУ. Найти нормальную ФСР соответствующей однородной системы, частное решение неоднородной системы; записать через них общее решение неоднородной системы.?
......................................................................................................................................................... 70

1 Геометрические векторы. Свободные векторы. Определение коллинеарных и компланарных векторов. Линейные операции над векторами и их свойства.

2 Определение линейной зависимости и линейной независимости векторов. Доказательства условий линейной зависимости 2-х и 3-х векторов.

3 Определение базиса в пространствах векторов V1, V2, V3.
Доказательство теоремы о существовании и единственности разложения вектора по базису. Линейные операции над векторами, заданными своими координатами в базисе.

4 Определение скалярного произведения векторов, его связь с ортогональной проекцией вектора на ось. Свойства скалярного произведения, их доказательство. Вывод формулы вычисления скалярного произведения векторов в ортонормированном базисе.

5 Определение ортонормированного базиса. Связь координат вектора в ортонормированном базисе и его ортогональных проекций на векторы этого базиса. Вывод формул вычисления длины вектора, его направляющих косинусов, угла между двумя векторами в ортонормированном базисе.

6 Правые и левые тройки векторов. Определение векторного произведения векторов, его механический и геометрический смысл. Свойства векторного произведения (без док-ва).Вывод формулы вычисления векторного произведения в ортонормированном базисе.

7 Определение смешанного произведения векторов. Объем параллелепипеда и объем пирамиды, построенных на некомпланарных векторах. Условие компланарности трех векторов. Свойства смешанного произведения. Вывод формулы вычисления смешанного произведения в ортонормированном базисе.

8-9-10 Определение прямоугольной декартовой системы координат. Решение простейших задач аналитической геометрии. Различные виды уравнения прямой на плоскости: векторное, параметрические, каноническое. Направляющий вектор прямой. . Вывод уравнения прямой, проходящей через две заданные точки.

11 Доказательство теоремы о том, что в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости уравнение первой степени задает прямую. Общее уравнение прямой. Определение нормального вектора прямой. Вывод нормального уравнения прямой, геометрический смысл входящих в него параметров. Приведение общего уравненияпрямой к нормальному виду.

12 Уравнение с угловым коэффициентом, уравнение прямой “в отрезках”.
Геометрический смысл входящих в уравнения параметров. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых, заданных своими общими или каноническими уравнениями

13 Вывод формулы расстояния от точки до прямой на плоскости.

14 Доказательство теоремы о том, что в прямоугольной декартовой системе координат в пространстве уравнение первой степени задает плоскость. Общее уравнение плоскости.
Определение нормального вектора плоскости. Вывод нормального уравнения плоскости, геометрический смысл входящих в него параметров. Приведение общего уравнения плоскости к нормальному виду. Вывод уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки. Уравнение плоскости “в отрезках”.

15 Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

16 – 17 Вывод формулы расстояния от точки до плоскости. Общие уравнения прямой в пространстве. Вывод векторного, канонических и параметрических уравнений прямой в пространстве.

18 Угол между двумя прямыми в пространстве, условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Условия принадлежности двух прямых одной плоскости.

19 Угол между прямой и плоскостью, условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Условие принадлежности прямой заданной плоскости.

20 Задача о нахождении расстояния между скрещивающимися или параллельными прямыми.

21 Определение эллипса как геометрического места точек. Вывод канонического уравнения эллипса.+++
Эллипс – геометрическое место точек (ГМТ) на плоскости, сумма расстояний от которых до двух заданных фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2a, где a – длина большой полуоси эллипса.
||????
1
????
̅̅̅̅̅̅| + |????
2
????
̅̅̅̅̅̅| = 2????
|????
1
????
2
̅̅̅̅̅̅| = 2????
√(???? + ????)
2
+ ????
2
+ √(???? − ????)
2
+ ????
2
= 2????
(√(???? + ????)
2
+ ????
2
)
2
= (2???? − √(???? − ????)
2
+ ????
2
)
2
????
2
+ 2???????? + ????
2
+ ????
2
= 4????
2
− 4????√(???? − ????)
2
+ ????
2
+ ????
2
− 2???????? + ????
2
+ ????
2
…

22 Определение гиперболы как геометрического места точек. Вывод канонического уравнения гиперболы.+++
Гипербола – ГМТ на плоскости, модуль разности расстояний которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

23 Определение параболы как геометрического места точек. Вывод канонического уравнения параболы.+++
Парабола – ГМТ, одинаково удалённых от фиксированной точки, называемой фокусом, и прямой, называемой директрисой параболы.
Сократив, получим:
2???????? = ????
2
Или в более привычном виде;
????
2
= 2????????