Файл: Сессия по аналитической геометрии.pdf

24 Определение цилиндрической поверхности. Канонические уравнения цилиндрических поверхностей 2-го порядка.+++
Цилиндрическими поверхностями называется геометрическое место параллельных прямых (образующих), пересекающих данную линию, называемую направляющими.
Запишем канонические уравнения цилиндрических поверхностей:
????
2
????
2
+
????
2
????
2
= 1 – эллиптический цилиндр
∀ z ∈ ℝ
????
2
????
2
−
????
2
????
2
= 1 – гиперболический цилиндр
∀ z ∈ ℝ
????
2
= 2????????– параболический цилиндр
∀ z ∈ ℝ

25 Понятие поверхности вращения. Канонические уравнения поверхностей, образованных вращением эллипса, гиперболы и параболы.+++
Поверхности вращения – поверхности, образованные вращением плоской кривой, вокруг прямой, называемой осью вращения, расположенной в её плоскости.
Эллипсоид вращения
????
2
????
2
+
????
2
????
2
+
????
2
????
2
= 1, ???? = ???? или
????
2
????
2
+
????
2
????
2
+
????
2
????
2
= 1, ???? = ????
Гиперболоид вращения
????
2
????
2
+
????
2
????
2
−
????
2
????
2
= 1, ???? = ???? – однополостный гиперболоид вращения
????
2
????
2
+
????
2
????
2
+
????
2
????
2
= −1, ???? = ???? – двуполостный гиперболоид вращения
????
2
????
2
+
????
2
????
2
+
????
2
????
2
= 0, ???? = ???? – конус
Параболоид вращения
????
2
????
2
+
????
2
????
2
= 2????, ???? = ????

26 Канонические уравнения эллипсоида и конуса. Исследование формы этих поверхностей методом сечений.+++
Канонические уравнения эллипсоидов
????
2
????
2
+
????
2
????
2
+
????
2
????
2
= 1 -трёхосный эллипсоид
????
2
????
2
+
????
2
????
2
+
????
2
????
2
= 0 -вырожденный эллипсоид (точка)
????
2
????
2
+
????
2
????
2
+
????
2
????
2
= −1 -мнимый эллипсоид
Каноническое уравнение конуса
????
2
????
2
+
????
2
????
2
−
????
2
????
2
= 0 - конус
Метод сечений
Подставим некоторое значение в переменные x, y, z, чтобы получить каноническое уравнение прямой второго порядка. По совпадению двух уравнений кривых по типу делаем вывод о том, что это …-оид, а третье совпадение позволит определить тип прямой.
В данном случае два выражения должны определять эллипс, чтобы можно было сделать вывод, что перед нами эллипсоид, то есть должны получить два выражения следующего вида:
????
2
????
2
+
????
2
????
2
= 1 (пара переменных любая, оставшаяся после определения значения одной из переменных изначального уравнения).

27 Канонические уравнения гиперболоидов. Исследование формы гиперболоидов методом сечений.+++
Канонические уравнения гиперболоидов
????
2
????
2
+
????
2
????
2
−
????
2
????
2
= 1 – однополостный гиперболоид
????
2
????
2
+
????
2
????
2
−
????
2
????
2
= −1 – двуполостный гиперболоид
Метод сечений
Подставим некоторое значение в переменные x, y, z, чтобы получить каноническое уравнение прямой второго порядка. По совпадению двух уравнений кривых по типу делаем вывод о том, что это …-оид, а третье совпадение позволит определить тип прямой.
В данном случае два выражения должны определять гиперболу, чтобы можно было сделать вывод, что перед нами гиперболоид, то есть должны получить два выражения следующего вида:
????
2
????
2
−
????
2
????
2
= 1 (пара переменных любая, оставшаяся после определения значения одной из переменных изначального уравнения).

28 Канонические уравнения параболоидов. Исследование формы параболоидов методом сечений.+++
????
2
????
2
+
????
2
????
2
= 2???? – эллиптический параболоид
????
2
????
2
−
????
2
????
2
= 2???? – гиперболический параболоид (седло)
Метод сечений
Подставим некоторое значение в переменные x, y, z, чтобы получить каноническое уравнение прямой второго порядка. По совпадению двух уравнений кривых по типу делаем вывод о том, что это …-оид, а третье совпадение позволит определить тип прямой.
В данном случае два выражения должны определять параболу, чтобы можно было сделать вывод, что перед нами параболоид, то есть должны получить два выражения следующего вида:
????
2
= 2???????? (пара переменных любая, оставшаяся после определения значения одной из переменных изначального уравнения).

29 Понятие матрицы. Виды матриц. Равенство матриц. Линейные операции над матрицами и их свойства. Транспонирование матриц.+++
Матрица – размера m*n прямоугольная числовая таблица, состоящая из m*n элементов, которые расположены в m строках и n столбцах.
Матрицы можно разделить на квадратные и прямоугольные, матрицы строки и матрицы столбцы. Ещё выделяют единичные, треугольные и ступенчатые матрицы.
???? = (
1 0
0 0
1 0
0 0
1
) – единичная матрица
А = (
????
11
????
12
????
13 0
????
22
????
23 0
0
????
33
) – верхняя треугольная матрица
А = (
????
11
????
12
????
13 0
????
22
????
23 0
0 0
????
14
????
24
????
34
????
15
????
25
????
35
) – ступенчатая матрица
Матрицы равны между собой, если равны все соответствующие элементы этих матриц.
К линейным операциям над матрицами относятся:
1) Сложение (вычитание) матриц.
2) Умножение на число.
Свойства линейных операций (A, B, C – матрицы)
1) A+B=B+A – переместительное (коммуникативное) свойство
2) (А+В)+С=А+(В+С) – сочетательность (ассоциативность) относительно суммы матриц
3) α(А+В)=αА+αВ – распределительность (дистрибутивность) относительно суммы матриц
4) (β+α)А=βА+αА - распределительность (дистрибутивность) относительно суммы чисел
5) (αβ)А=α(βА)– сочетательность (ассоциативность) относительно произведения чисел
6) Свойство ∃, ∃ такая матрица О, что ∀ А выполняется равенство А+О=А, где А
m*n
О – нулевая матрица
7) ∀ А
m*n
∃ единственная В
m*n
, для которой: А+В=О ⇒ В – противоположная матрица к А, В=-А

8) 1*А=А
Транспонирование матриц – замена строк столбцами или столбов строками без изменения их нумерации.
А = (
????
11
????
12
????
13
????
21
????
22
????
23
????
31
????
32
????
33
) – исходная матрица
А
????
= (
????
11
????
21
????
31
????
12
????
22
????
32
????
13
????
23
????
33
) – транспонированная матрица
(А
????
)
????
= А – свойство транспонирования

30 Умножение матриц. Свойства операции умножения матриц.+++
A
m*n
*B
n*p
=C
m*p
(a
1
, a
2
, … , a n
)(
????
1
????
2
…
????
????
)=(a
1
b
1
+a
2
b
2
+…+a n
b n
)
????
????????
∑
????
????????
????
????????
????
????=1
– формула элемента матицы произведения
Свойства
1) AB≠BA
2) (AB)C=A(BC) -сочетательное
3) (A+B)C=AC+BC -дистрибутивное
4) (AB)
T
=B
T
A
T

31 Определение обратной матрицы. Доказательство единственности обратной матрицы. Доказательство теоремы об обратной матрице произведения двух обратимых матриц.+++
Матрица В порядка n называется обратной к матрице A, если выполняется равенство BA=AB=E ⇒ B=A
-1

32 Критерий существования обратной матрицы. Понятие присоединенной матрицы, ее связь с обратной матрицей.+++
Критерий существования обратной матрицы – для того, чтобы квадратная матрица A
n*n имела обратную, необходимо, чтобы detA≠0, то есть матрица A была невырожденной.
Присоединённая матрица — матрица, составленная из алгебраических дополнений.
А = (
????
11
????
12
????
13
????
21
????
22
????
23
????
31
????
32
????
33
) – исходная матрица
????̃ = (
????
11
????
12
????
13
????
21
????
22
????
23
????
31
????
32
????
33
) – присоединённая матрица, где A
ij
=(-1)
i+j
M
ij
????̃
????
= ????
∗
= (
????
11
????
21
????
31
????
12
????
22
????
32
????
13
????
23
????
33
) – союзная матрица
A
−1
=
A
∗
det A
=
????̃
????
det A
– связь присоединённой и обратной матриц

33 Вывод формул Крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей.+++
Формулу ????
????
=
????????
????
называют формулами Крамера.
Вывод
Рассмотрим AX=B, где B и X – матрицы столбцы из n элементов, а A – имеет обратную матрицу (обратима).
???? =
(
????
1
????
2
????
3 0
????
????
)
= A
-1
B=
1
????????????????
(
????
11
…
????
????1
…
…
…
????
1????
…
????
????????
)*
(
????
1
????
2
????
3 0
????
????
)
=
1
????
(
????
11
????
1
+ ⋯ + ????
????1
????
????
…
…
…
????
1????
????
1
+ ⋯ + ????
????????
????
????
)
x i
->(
????
1
…
????
????
)=
1
????
(
______
…
______
)
⇒ x
????
=
1
????
(????
1????
????
1
+ ⋯ + ????
????????
????
????
) =
1
????
∗ ????????, где Δi получается из Δ заменой i-го столбца на столбец B.

34 Линейная зависимость и линейная независимость строк
(столбцов) Доказательство критерия линейной зависимости строк
(столбцов).+++
Строки (столбцы) a
1
… a n
называются линейно независимыми, если равенство
????
1
????
1
̅̅̅ + ⋯ + ????
1
????
????
̅̅̅ = ????̅ возможно только при всех α
i
=0, где i 1, ????
̅̅̅̅̅.
Если хотя бы 1 α
i
≠ 0, то система линейно зависима.
Критерий: строки (столбцы) линейны зависимы тогда и только тогда, когда хотя-бы одна из строк (столбцов) является линейной комбинацией других.
Доказательство

35 Определение минора матрицы. Базисный минор. Теорема о базисном миноре (без доказательства). Доказательство ее следствия для квадратных матриц.+++
Минором порядка k матрицы A
m*n называют определитель, который составлен из элементов этой матрицы, стоящих на пересечении произвольно выбранных k (k≤m) строк и k (k≤n) столбцов с сохранением порядка этих строк и столбцов.
Минор матрицы A называют базисным, если:
1) Он ≠ 0 2) Его порядок = RgA
Теорема о базисном миноре
Базисные строки (столбцы) матрицы A соответствующие ∀ её базисному минору M, линейно независимы. Любые строки (столбцы) A, не входящие в базисный минор M являются линейной комбинацией базисных строк
(столбцов).
Следствие
Для того, чтобы квадратная матрица была невырожденной нужно, чтобы её строки (столбцы) были линейно независимыми.
Доказательство
Пусть A – не вырождена ⇒ RgA = её порядку, а её определитель является базисным минором. Поэтому все строки (столбцы) являются базисными и по теореме о базисном миноре они линейно независимы.
Достаточность
Если все строки (столбцы) квадратной матрицы линейно независимы, то они являются базисными. Действительно, если бы только некоторые были базисными ⇒ по теореме о базисном миноре оставшиеся были бы линейными комбинациями базисных ⇒ строки (столбцы) матрицы A были бы линейно зависимы. Так как все строки квадратной матрицы являются базисными, а им соответствует detA, то он является базисным минором и,
⇒, согласно определению, ≠ 0, то есть квадратная матрица не вырождена, что и требовалось доказать.
Доказано.

36 Метод окаймляющих миноров для нахождения ранга матрицы.+++
Для нахождения RgA методом окаймляющих миноров нужно рассмотреть найти хотя-бы один минор порядка k, не равный 0. Если такой минор существует, то нужно составить окаймляющий для него минор порядка k+1, и если он не равен 0, то составляем минор порядка k+2. Если составленный минор порядка k+1 равен 0, то проверяем оставшиеся окаймляющие миноры k+1. Если среди них найдётся ≠ 0, то рассмотрим минор k+2, если все миноры
= 0, то ранг равен k. Повторяем, пока не дойдём до минора порядка k, где k=min(m, n) матрицы A размера m*n или не определим ранг.
Пример в общем виде
A = (
a
11
a
12
…
a
1n a
21
a
22
…
a
2n
…
…
…
…
a m1
a m2
…
a mn
)
Рассмотрим минор ????
11
= |
a
11
a
12
a
21
a
22
| Если он равен 0, то рассмотрим другой минор того же порядка. Если он не равен 0, то рассмотрим минор ????
13
=
= |
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
| Если он равен 0, то рассмотрим другой минор того же порядка, например минор ????
23
= |
a
11
a
12
a
1????
a
21
a
22
a
2n a
31
a
32
a
3n
| и т. д. Если же минор M
13
не равен 0, то рассмотрим его окаймляющий минор, например ????
14
=
= |
a
11
a
12
a
13
a
14
a
21
a
22
a
23
a
24
a
31
a
32
a
33
a
34
a
41
a
42
a
43
a
44
| и т. д. по алгоритму.