Файл: Сессия по аналитической геометрии.pdf

12. Решить матричное уравнение AXB=C
Находим A
-1
и B
-1
– алгоритм расписывать сложно, изучите самостоятельно.
Далее перемножаем матрицы в следующем порядке (порядок важен!):
X=A
-1
CB
-1
Примечание:
Нетрудно догадаться, что решением уравнения AX=C будет X=A
-1
C, а XB=C будет X=CB
-1

13. Путём элементарных преобразований найти обратную матрицу к матрице 3*3.
Сделать проверку.
А = (
????
1
????
2
????
3
????
1
????
2
????
3
????
1
????
2
????
3
)
В общем виде алгоритм записать сложно. Могу лишь написать, что нужно записать справа единичную матрицу и провести преобразования:
(
????
1
????
2
????
3
????
1
????
2
????
3
????
1
????
2
????
3
)
|
|
|
(
1 0 0 0
1 0 0
0 0
)
После преобразований:
(
1 0 0 0
1 0 0
0 0
)
|
|
|
(
????
1
????
2
????
3
????
1
????
2
????
3
????
1
????
2
????
3
)
Далее выполним проверку, перемножим матрицу (
????
1
????
2
????
3
????
1
????
2
????
3
????
1
????
2
????
3
) ∗
(
????
1
????
2
????
3
????
1
????
2
????
3
????
1
????
2
????
3
) = (
1 0 0 0
1 0 0
0 0
)

14. Уравнение кривой второго порядка Ax
2
+Cy
2
+Dx+Ey+F=0 привести к каноническому виду. Определить тип кривой. Сделать чертёж в исходной системе координат.
Пусть дано исходное уравнение вида Ax
2
+Cy
2
+Dx+Ey+F=0.
1) Сгруппировав однотипные переменные перепишем уравнение в виде
(x+d)
n
+(y+e)
m
+G=0, где n и m равны или 1 или 2; d, e, G- некоторые числа.
2) Совершим преобразования параллельного переноса – заменим x+d на x’ и y+e на y’, получив следующее выражение: x’
n
+y’
m
+G=0 3) Сделанных преобразований достаточно, чтобы по полученному выражению определить вид кривой. Дальнейшие преобразования индивидуальны (в целом это перенос G вправо и деление на него (или на -G), для получения эллипса или гиперболы или перенос переменной с квадратом влево, а без вправо, для получения параболы) и должны привести к одному из следующих выражений:
????′
2
????
2
+
????′
2
????
2
= 1 – эллипс
????′
2
????
2
−
????′
2
????
2
= 1 – гипербола
????′
2
= 2????????′ - парабола
Далее приступим к поиску ключевых точек (вершин, центра, фокусов) и определению их канонических и исходных координат.
Для эллипса:
O’ (0;0) - центр
A
1
’ (a; 0)
A
2
’ (-a; 0)
B
1
’ (0; b)
B
2
’(0; -b) c
2
=a
2
-b
2
при a>b => фокусы F
1
’ (c; 0) и F
2
’ (-c; 0). c
2
=b
2
-a
2
при b>a => фокусы F
1
’ (0; c) и F
2
’ (0; -c).
В принципе фокусы искать необязательно.
Полученных данных достаточно, чтобы начертить график эллипса в канонической системе координат, а исходную можно начертить поверх канонической, предварительно вычислив x и y через x’=x+d и y’=y+e.
Для гиперболы:

O’ (0;0) - центр
A
1
’ (a; 0)
A
2
’ (-a; 0)
B
1
’ (0; b)
B
2
’(0; -b)
???? = √????
2
+ ????
2
Фокусы F
1
’ (c; 0) и F
2
’ (-c; 0) при b – мнимая полуось (перед мнимым коэффициентом в уравнении -, перед действительным +)
Фокусы F
1
’ (0; c) и F
2
’ (0; -c) при b – мнимая полуось (перед мнимым коэффициентом в уравнении -, перед действительным +)
В принципе фокусы искать необязательно.
Полученных данных достаточно, чтобы начертить график гиперболы в канонической системе координат, а исходную можно начертить поверх канонической, предварительно вычислив x и y через x’=x+d и y’=y+e.
Для параболы:
A’(0; 0) - вершина
F’ (p/2; 0) – при y
2
и x; F’ (0; p/2) – при x
2
и y;
Полученных данных достаточно, чтобы начертить график параболы в канонической системе координат, а исходную можно начертить поверх канонической, предварительно вычислив x и y через x’=x+d и y’=y+e.

15. Решить СЛАУ. Найти нормальную ФСР соответствующей однородной системы, частное решение неоднородной системы; записать через них общее решение неоднородной системы
.?
Могу записать только это:
Построение ФСР
{
????
11
????
1
+ ????
12
????
1
+ ⋯ + ????
1????
????
????
= 0
????
21
????
1
+ ????
22
????
1
+ ⋯ + ????
2????
????
????
= 0
…
????
????1
????
1
+ ????
????2
????
1
+ ⋯ + ????
????????
????
????
= 0
– разделим переменные на базисные (зависимые) и свободные (независимые)
{
????
11
????
1
+ ????
12
????
1
+ ⋯ + ????
1????
????
????
= −????
1????+1
????
????+1
− ⋯ − ????
1????
????
????
????
21
????
1
+ ????
22
????
1
+ ⋯ + ????
2????
????
????
= −????
2????+1
????
????+1
− ⋯ − ????
2????
????
????
…
????
????1
????
1
+ ????
????2
????
1
+ ⋯ + ????
????????
????
????
= −????
????????+1
????
????+1
− ⋯ − ????
????????
????
????
Для любого значения x r+1
, … , x n
квадратная СЛАУ невырожденная матрица.
Построим k=n-r решений системы, придавая свободным переменным x r+1
, … , x
n значения по правилам, то есть в каком-то порядке.
{
????
????+1
(1)
= 1
????
????+2
(1)
= 0
…
????
????
(1)
= 0
{
????
????+1
(2)
= 0
????
????+2
(2)
= 1
…
????
????
(2)
= 0
{
…
…
…
…
{
????
????+1
(????)
= 0
????
????+2
(????)
= 0
…
????
????
(????)
= 1
E
1
=x
(1)
=(1,0,…,0)
E
2
=x
(2)
=(0,1,…,0)
…
E
k
=x
(k)
=(0,0,…,1)
Любые наборы значений свободных неизвестных соответствуют решениям разделённой системы и, следовательно, и первоначальной
СЛАУ
????
1
= ????
(1)
(1,0, … ,0)
(
????
1
(1)
????
2
(1)
…
????
????
(1)
1 0
…
0 )

????
2
= ????
(2)
(0,1, … ,0)
(
????
1
(2)
????
2
(2)
…
????
????
(2)
01 1
…
0 )
…
????
????1
= ????
(????)
(0,0, … ,1)
(
????
1
(????)
????
2
(????)
…
????
????
(1)
0 0
…
1 )
Полученная таким образом ФСР называется нормальной ФСР.
Если у кого-то есть вариант понятнее (печатный или фото – вышлите).