Файл: Сессия по аналитической геометрии.pdf

37 Элементарные преобразования строк (столбцов) матрицы.
Нахождение обратной матрицы методом элементарных преобразований.+++
Элементарные преобразования
1) Умножение строки (столбцов) на число, отличное от нуля
2) Транспонирование
3) Перестановка строк (столбцов)
4) Удаление одной из одинаковых строк (столбцов)
5) Прибавление к элементам одной строки (столбца) элементы другой строки (столбца)
Нахождение обратной матрицы методом элементарных преобразований
Производится по формуле (A|E) … (E|A
-1
)
А = (
????
11
…
????
1????
…
…
…
????
????1
…
????
????????
) – исходная матрица
(
????
11
…
????
1????
|
1
… (0)
0
…
…
…
| … (0) … (1) … (0)
????
????1
…
????
????????
|
0
… (0)
1
)
…
(
1
… (0)
0
|
????
11
…
????
1????
… (0) … (1) … (0) |
…
…
…
0
… (0)
1
|
????
????1
…
????
????????
)
- иллюстрация хода решения в общем виде

38 Теорема об инвариантности ранга матрицы относительно преобразований. Нахождение ранга матрицы методом элементарных преобразований.+++
Теорема об инвариантности ранга матрицы относительно преобразований.
Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях ее строк и столбцов.
Нахождение ранга матрицы методом элементарных преобразований.
A = (
a
11
a
12
…
a
1n a
21
a
22
…
a
2n
…
…
…
…
a m1
a m2
…
a mn
) – исходная матрица
Приводим данную матрицу посредством элементарных преобразований к ступенчатому виду (пример ниже)
A
ступ.
= (
a
11
a
12
…
a
1n
0
a
22
…
a
2n
…
…
…
a m−1n
0 0
…
0
) – ступенчатая матрица
RgA=числу ненулевых строк полученной ступенчатой матрицы

39 Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Различные формы записи СЛАУ. Совместные и несовместные СЛАУ.
Доказательство критерия Кронекера—Капели совместности
СЛАУ.+++
Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) – m линейных уравнений с n неизвестными.
Формы записи СЛАУ
1) Координатная
{
????
11
????
1
+ ????
12
????
1
+ ⋯ + ????
1????
????
????
= ????
1
????
21
????
1
+ ????
22
????
1
+ ⋯ + ????
2????
????
????
= ????
2
…
????
????1
????
1
+ ????
????2
????
1
+ ⋯ + ????
????????
????
????
= ????
????
2) Векторная
(
????
11
…
????
????1
) ????
1
+ (
????
12
…
????
????2
) ????
2
+ ⋯ + (
????
1????
…
????
????????
) ????
????
= (
????
1
…
????
????
) ⇒
⇒ ????
1
????
1
̅̅̅ + ????
2
????
2
̅̅̅ + ⋯ + ????
????
????
????
̅̅̅ = ????
3) Матричная
???? = (
????
11
????
12
…
????
1????
????
21
????
22
…
????
2????
…
…
…
…
????
????1
????
????2
…
????
????????
) – матрица системы
???? = (
????
1
…
????
????
) – матрица столбец независимых неизвестных
???? = (
????
1
…
????
????
) – матрица столбец свободных членов
Критерия Кронекера—Капели совместности СЛАУ
Для того, чтобы система была совместна необходима и достаточно, чтобы RgA = Rg(A|B)
Доказательство
Воспользуемся векторной формой записи СЛАУ
Необходимость
Пусть СЛАУ совместна, то есть ∃ ????
1
= ????
1 0
, … , ????
????
= ????
????
0
, такие, что ->
????
1 0
????
1
+ ????
2 0
????
2
+ ⋯ + ????
????
0
????
????
= ????̅ ????̅ является линейной комбинацией остальных столбцов матрицы системы ⇒ добавление этого столбца не увеличивает общего числа линейно независимых столбцов ⇒
RgA=Rg(A|b)
Достаточность

Rg(A|b)=RgA=r. Тогда базисный минор порядка r матрицы A является базисным и в матрице расширенной (A|b). Значит столбец b можно представить, как линейную комбинацию базисных столбцов ????
1
̅̅̅, … ????
????
̅̅̅:
????̅ = ????
1
′
????
1
̅̅̅
′
+ ⋯ + ????
????
′
????
????
̅̅̅
′
. Положим ????
????+1
′
= ????
????+2
′
= ⋯ = ????
????
′
= 0, получим решение ????
1 0
, … , ????
????
0
исходной СЛАУ, поскольку ???? = ????
1
′
????
1
̅̅̅ + ????
2
′
????
21
̅̅̅̅ + ⋯ +
????
????
′
????
????
̅̅̅ = ????
1
′
????
1
̅̅̅ + ⋯ + ????
????
′
????
????
̅̅̅ + 0????
????+1
̅̅̅̅̅̅ + ⋯ + 0????
????
̅̅̅ = 0. Это означает, что исходная СЛАУ имеет решения ????
1
= ????
1 0
, … , ????
????
= ????
????
0
, ????
????+1
= ⋯ = ????
????
=
= 0, то есть система совместна, что и требовалось доказать.
Доказано

40 Однородные системы линейных алгебраических уравнений
(СЛАУ). Свойства их решений.+++
Однородные СЛАУ
{
????
11
????
1
+ ????
12
????
1
+ ⋯ + ????
1????
????
????
= 0
????
21
????
1
+ ????
22
????
1
+ ⋯ + ????
2????
????
????
= 0
…
????
????1
????
1
+ ????
????2
????
1
+ ⋯ + ????
????????
????
????
= 0
????
1
????
1
̅̅̅ + ????
2
????
2
̅̅̅ + ⋯ + ????
????
????
????
̅̅̅ = 0
Свойства
1) Однородные СЛАУ совместны
2) Кроме нулевых решений однородная СЛАУ может иметь ненулевые решения или иметь только нулевые решения.

41 Определение фундаментальной системы решений (ФСР) однородной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).
Теорема о структуре общего решения однородной СЛАУ.
Построение ФСР.+++
Любой набор из k=n-1 линейно независимых столбцов, является решением однородной СЛАУ Ax=0, где n – число неизвестных системы, r=RgA, называется фундаментальной системой решений (ФСР) этой однородной
СЛАУ.
Теорема о структуре общего решения однородной СЛАУ
Если E
1
, …, E
k
– произвольные ФСР однородной СЛАУ Ax=0, то любое её решение x можно представить в виде линейной комбинации ФСР: x=c
1
E
1
+…+c k
E
k

Построение ФСР???
{
????
11
????
1
+ ????
12
????
1
+ ⋯ + ????
1????
????
????
= 0
????
21
????
1
+ ????
22
????
1
+ ⋯ + ????
2????
????
????
= 0
…
????
????1
????
1
+ ????
????2
????
1
+ ⋯ + ????
????????
????
????
= 0
– разделим переменные на базисные (зависимые) и свободные (независимые)
{
????
11
????
1
+ ????
12
????
1
+ ⋯ + ????
1????
????
????
= −????
1????+1
????
????+1
− ⋯ − ????
1????
????
????
????
21
????
1
+ ????
22
????
1
+ ⋯ + ????
2????
????
????
= −????
2????+1
????
????+1
− ⋯ − ????
2????
????
????
…
????
????1
????
1
+ ????
????2
????
1
+ ⋯ + ????
????????
????
????
= −????
????????+1
????
????+1
− ⋯ − ????
????????
????
????
Для любого значения x r+1
, … , x n
квадратная СЛАУ невырожденная матрица.
Построим k=n-r решений системы, придавая свободным переменным x r+1
, … , x
n значения по правилам, то есть в каком-то порядке.
{
????
????+1
(1)
= 1
????
????+2
(1)
= 0
…
????
????
(1)
= 0
{
????
????+1
(2)
= 0
????
????+2
(2)
= 1
…
????
????
(2)
= 0
{
…
…
…
…
{
????
????+1
(????)
= 0
????
????+2
(????)
= 0
…
????
????
(????)
= 1
E
1
=x
(1)
=(1,0,…,0)
E
2
=x
(2)
=(0,1,…,0)
…
E
k
=x
(k)
=(0,0,…,1)

Любые наборы значений свободных неизвестных соответствуют решениям разделённой системы и, следовательно, и первоначальной
СЛАУ
????
1
= ????
(1)
(1,0, … ,0)
(
????
1
(1)
????
2
(1)
…
????
????
(1)
1 0
…
0 )
????
2
= ????
(2)
(0,1, … ,0)
(
????
1
(2)
????
2
(2)
…
????
????
(2)
01 1
…
0 )
…
????
????1
= ????
(????)
(0,0, … ,1)
(
????
1
(????)
????
2
(????)
…
????
????
(1)
0 0
…
1 )
Полученная таким образом ФСР называется нормальной ФСР.

42 Неоднородные системы линейных алгебраических уравнений
(СЛАУ). Доказательство теоремы о структуре общего решения неоднородной СЛАУ.+++
СЛАУ называют однородной, если b
1
= b
2
= . . . = b m
= 0. В противном случае ее называют неоднородной.
Теорема о структуре общего решения неоднородной СЛАУ
Общее решение неоднородной системы линейных уравнений AX = B (1) может быть представлено в виде суммы общего решения соответствующей однородной системы AX = 0 (2) и любого частного решения неоднородной системы (1).
Пусть матрица X
0
является общим решением однородной системы (2):
AX
0
= 0 (3).
Обозначим символическим выражением X
ч частное решение неоднородной системы (1):
AX
ч
= B (4).
Складывая тождества (3) и (4), получаем тождество
A (X
0
+ X
ч
) = B,
(5) справедливое при любых значениях свободных параметров, входящих в общее решение X
0
Следовательно, матрица X
0
+ X
ч является общим решением матричного уравнения (1).
Запишем полученное выражение: X
общ
= X
ч
+ X
о

Алгоритмы решения задач
1. Вычислить объём пирамиды, построенной на векторах a̅ = {a
1
; a
2
; a
3
}, b̅={b
1
; b
2
; b
3
}, c̅={c
1
; c
2
; c
3
}.
Вычислим через смешанное произведение векторов:
???? =
1 6
|????̅????̅????̅| =
1 6
|
a
1
a
2
a
3
????
1
b
2
b
3
c
1
c
2
c
3
|

2. Написать разложение вектора x̅ = {x
1
; x
2
; x
3
} по векторам a̅ = {a
1
; a
2
; a
3
}, b̅={b
1
; b
2
; b
3
}, c̅={c
1
; c
2
; c
3
}.
Ищем detA матрицы
|
a
1
b
1
c
1
????
2
b
2
c
2
a
3
b
3
c
3
|, если он не равен 0, то разложение возможно.
Далее ищем det матрицы
|
x
1
b
1
c
1
????
2
b
2
c
2
x
3
b
3
c
3
| = A1. Дальше находим результат выражения A1/detA=q
Далее ищем det матрицы
|
a
1
x
1
c
1
????
2
x
2
c
2
a
3
x
3
c
3
| = A2. Дальше находим результат выражения A2/detA=l
Далее ищем det матрицы
|
a
1
b
1
x
1
????
2
b
2
x
2
a
3
b
3
x
3
| = A3. Дальше находим результат выражения A3/detA=m
Записываем разложение x̅ = a̅q+ b̅l+ c̅m

3. Найти площадь треугольника, построенного на векторах a̅ = {a
1
; a
2
; a
3
}, b̅={b
1
; b
2
; b
3
}
Найдём, как половину векторного произведения этих векторов:
|
i j
k
????
1
a
2
a
3
b
1
b
2
b
3
| = |
a
2
a
3
b
2
b
3
| ???? − |
????
1
a
3
b
1
b
3
| ???? + |
????
1
a
2
b
1
b
2
| ???? = ???????? + ???????? + ????????
Далее √????
2
+ ????
2
+ ????
2
=Sпар=> 1/2√????
2
+ ????
2
+ ????
2
= ????треуг

4. Найти скалярное произведение векторов a̅=αp̅+βq̅, b̅=αp̅-βq̅, если |p̅|=l, |q̅|=s,
∠
(
????
̅
, ????
̅)
= ????
Перемножим (αp̅+βq̅)( αp̅-βq̅)= α
2
p̅
2
-αβp̅q̅+βαq̅p̅+β
2
q̅
2
=(по свойствам скалярного произведения)= α
2
| p̅|
2
+ β
2
|q̅|
2
P. S. αβp̅q̅= βαq̅p̅=|p̅||q̅|cos ????

5. Найти площадь треугольника с вершинами в точках A (α
1
, α
2
, α
3
) B (β
1
, β
2
, β
3
) C (γ
1
,
γ
2
, γ
3
)
Пусть вектор A̅B̅ (γ
1
-α
1
; γ
2
-α
2
; γ
3
-α
3
) = a̅ и A̅C̅ (β
1
-α
1
; β
2
-α
2
; β
3
-α
3
) = b̅.
Площадь найдём, как половину векторного произведения этих векторов:
|
i j
k
????
1
a
2
a
3
b
1
b
2
b
3
| = |
a
2
a
3
b
2
b
3
| ???? − |
????
1
a
3
b
1
b
3
| ???? + |
????
1
a
2
b
1
b
2
| ???? = ???????? + ???????? + ????????
Далее √????
2
+ ????
2
+ ????
2
=Sпар=> 1/2√????
2
+ ????
2
+ ????
2
= ????треуг

6. Даны векторы a̅ = {a
1
; a
2
; a
3
}, b̅={b
1
; b
2
; b
3
}. Найти пр a̅-b̅
(a̅+b̅)
Пусть a̅-b̅ = A (α
1
, α
2
, α
3
), а a̅+b̅ = B (β
1
, β
2
, β
3
). Тогда
α
1
β
1
+α
2
β
2
+α
3
β
3
√α
1 2
+α
2 2
+α
3 2
и есть искомое значение.

7. Найти расстояние от точки A (α
1
, α
2
, α
3
) до плоскости, проходящей через точки M
1
(β
1
, β
2
, β
3
) M
2
(γ
1
, γ
2
, γ
3
) M
3
(θ
1
, θ
2
, θ
3
)
Запишем векторы M1M2, M1M3 и найдём решение следующего выражения:
|
x − β
1
y − β
2
z − β
3
γ
1
− β
1
γ
2
− β
2
γ
3
− β
3
θ
1
− β
1
θ
2
− β
2
θ
3
− β
3
|
= |
γ
2
− β
2
γ
3
− β
3
θ
2
− β
2
θ
3
− β
3
| (x − β
1
) − |
γ
1
− β
1
γ
3
− β
3
θ
1
− β
1
θ
3
− β
3
| (y − β
2
)
+ |
γ
1
− β
1
γ
2
− β
2
θ
1
− β
1
θ
2
− β
2
| (z − β
3
) = ???????? + ???????? + ???????? + ???? = 0
Найдём расстояние, как
|????
α1
+????
α2
+????
α3
+????|
√????
2
+????
2
+????
2

8. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку A (α
1
, α
2
, α
3
), перпендикулярно плоскостям A
1
x+B
1
y+C
1
z+D
1
=0 и A
2
x+B
2
y+C
2
z+D
2
=0
Находим векторное произведение векторов M̅
1
(A
1
; B
1
; C
1
) и M̅
2
(A
2
; B
2
; C
2
):
|
i j
k
????
1
B
1
C
1
A
2
B
2
C
2
| = |
B
1
C
1
B
2
C
2
| ???? − |
????
1
C
1
A
2
C
2
| ???? + |
????
1
B
1
A
2
B
2
| ???? = ???????? + ???????? + ????????
На основе полученных значений находим уравнение искомой плоскости:
A(x- α
1
)+B(y- α
2
)+C(z- α
3
)=Ax+By+Cz+D=0

9. Найти координаты точки, симметричной точке A (α
1
, α
2
, α
3
) относительно плоскости A
1
x+B
1
y+C
1
z+D
1
=0.
Записываем следующее выражение (уравнение перпендикуляра, проходящего через точку A):
???? − α
1
????
1
=
???? − α
2
????
1
=
???? − α
3
????
1
= ????
{
???? − α
1
= ????
1
????
???? − α
2
= ????
1
????
???? − α
3
= ????
1
????
{
???? = α
1
+ ????
1
????
???? = α
2
+ ????
1
????
???? = α
3
+ ????
1
????
Находим t по следующему уравнению.
????
1
(α
1
+ ????
1
????) + ????
1
(α
2
+ ????
1
????) + ????
1
(α
3
+ ????
1
????) + ???? = 0
Теперь t – известная величина. Находим x, y, z через систему выше. M (x, y, z)
- это точка пересечения перпендикуляра к плоскости, проходящего через точку A. Далее находим координаты симметричной точки, используя формулу середины отрезка:
Xc=2x-α
1
, Yc=2y- α
2
, Zc=2z-α
3
Точка Ac(Xc; Yc; Zc) – искомая.

10. Написать канонические и параметрические уравнения прямой, заданной через два уравнения плоскости, как их пересечение (A
1
x+B
1
y+C
1
z+D
1
=0 и
A
2
x+B
2
y+C
2
z+D
2
=0).
Находим точку принадлежащую прямой, занулив x, y или z (пусть занулён z) и решив систему их двух уравнений с двумя неизвестными:
{
????
1
???? + ????
1
???? + ????
1
= 0
????
2
???? + ????
2
???? + ????
1
= 0
Получим точку M
1
(x
1
; y
1
; 0), принадлежащую прямой.
Найдём направляющий вектор прямой, как векторное произведение векторов A̅
1
B̅
1
C̅
1
и A̅
2
B̅
2
C̅
2
=
= |
i j
k
????
1
B
1
C
1
A
2
B
2
C
2
| = |
B
2
C
3
B
2
C
3
| ???? − |
????
1
C
3
A
1
C
3
| ???? + |
????
1
B
2
A
1
B
2
| ???? = ???????? + ???????? + ????????
Запишем искомое каноническое уравнение прямой:
???? − x
1
????
=
???? − y
1
????
=
???? − 0
????
Выведем параметрическое уравнение прямой:
???? − x
1
????
=
???? − y
1
????
=
???? − 0
????
= ????
{
???? − x
1
= ????????
???? − ????
1
= ????????
???? − 0 = ????????
{
???? = x
1
+ ????????
???? = ????
1
+ ????????
???? = 0 + ????????

11. Найти координаты точки симметричной A (α
1
, α
2
, α
3
) относительно прямой, заданной каноническим уравнением.
Имеем прямую, заданную каноническим уравнением:
???? − x
0
????
=
???? − y
0
????
=
???? − ????
0
????
Найдем уравнение плоскости, перпендикулярной прямой: k(x-α
1
)+l(y-α
1
)+m(z-α
1
)=0 kx+ly+mz+D=0
Найдём точку пересечения прямой и плоскости:
???? − α
1
????
=
???? − α
2
????
=
???? − α
3
????
= ????
{
???? − α
1
= ????????
???? − α
2
= ????????
???? − α
3
= ????????
{
???? = α
1
+ ????????
???? = α
2
+ ????????
???? = α
3
+ ????????
Находим t по следующему уравнению.
????(α
1
+ ????????) + ????(α
2
+ ????????) + ????(α
3
+ ????????) + ???? = 0
Теперь t – известная величина. Находим x, y, z через систему выше. M (x, y, z)
- это точка пересечения перпендикуляра к прямой, проходящего через точку
A. Далее находим координаты симметричной точки, используя формулу середины отрезка:
Xc=2x-α
1
, Yc=2y-α
2
, Zc=2z-α
3
Точка Ac(Xc; Yc; Zc) – искомая.