Файл: Учебнометодическое пособие знакомит студентов с основными понятиями о.doc

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 12.12.2023

Просмотров: 473

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕУчебно-методическое пособие знакомит студентов с основными понятиями о теории вероятностей, случайных процессах, статистическом оценивании и проверке гипотез, статистических методах обработки экспериментальных данных, математических методах, принятых в биологических исследованиях.Пособие состоит из четырех разделов: Введение в теорию вероятностей. Основные понятия и термины статистики. Статистические методы обработки экспериментальных данных. Компьютерная обработка данных анализа в специализированной программе EasyStatistics. Введение в теорию вероятностей дает представление о случайных событиях, вероятности и ее свойствах, случайных величинах и основных теоретических распределениях случайных величин.При изучении второго раздела разбираются понятия о совокупности и выборке, классификации признаков, дается представление о схемах научного эксперимента и научных гипотезах, достоверности и надежности результатов.Третий раздел знакомит со статистическими методами описания групп, способами их сравнения в зависимости от характера распределения исходных данных. Большое внимание уделено корреляционно-регрессионному анализу, лежащему в основе многомерных методов анализа. Разбираются широко распространенные в биологических исследованиях методы оценки динамики, цикличности и классификации. При описании каждого метода описываются условия, необходимые для проведения статистической обработки, и возможные трудности в интерпретации полученных показателей. Четвертый раздел посвящен практическому применению методов статистической обработки данных с помощью специализированной программы «Статистическая обработка медико-биологических данных» (EasyStatistics). Данная программа разработана автором пособия (Роспатент №2003612171) и предназначена для статистической обработки данных биологических и медицинских исследований и, в первую очередь, нацелена на выполнение курсовых и дипломных работ студентами. В то же время это не замена уже существующим мощным статистическим пакетам, таким как Statistica, а скорее дополнение, помогающее оценить возможности манипулирования данными и принципы работы с основными статистическими методами. Каждый раздел содержит список вопросов и заданий для самопроверки.Пособие также содержит список учебно-методических материалов, рекомендуемых для самостоятельной работы студентов.РАЗДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙЗакономерности, которым подчиняются случайные события, изучаются в разделах математики, которые называются теорией вероятностей и математической статистикой.Понятие о случайном событииОпыт, эксперимент, на­блюдение явления называются испытанием. Испытаниями, напри­мер, являются: бросание монеты, выстрел из винтовки, бросание игральной кости (кубика с нанесенными на каждую грань числом очков — от одного до шести).Результат, исход испытания называется событием. Для обозначения событий используются большие буквы ла­тинского алфавита: А, В, С и т. д.Два события называются совместимыми, если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же испытании.Испытание: однократное бросание игральной кости. Событие А — появление четырех очков. Событие В— появле­ние четного числа очков. События Аи В совместимые.Два события называются несовместимы­ми, если появление одного из них исключает появление другого в одном и том же испытании.Испытание: однократное бросание монеты. Собы­тие А — выпадение герба, событие В — выпадение цифры. Эти события несовместимы, так как появление одного из них исключает появление другого.Несовместимость более чем двух событий означает их попарную несовместимостьИспытание: однократное бросание игральной кости. Пусть события А1, А2, А3, А4, А5, А6 соответственно выпа­дение одного очка, двух, трех и т. д. Эти события являются несов­местимыми..Два события А и В называются проти­воположными, если в данном испытании они несовместимы и одно из них обязательно происходит.Событие, противоположное событию А, обозначают через А.Испытание: бросание монеты. Событие А — выпадение герба, событие В — выпадение цифры. Эти события противоположны, так как исходами бросания могут быть лишь они, и появление одного из них исключает появление другого, т. е. А = В или А = В.Событие называется достоверным, если в данном испытании оно является единственно возможным его ис­ходом, и невозможным, если в данном испытании оно заведомо не может произойти.Испытание: извлечение шара из урны, в которой все шары белые. Событие А — вынут белый шар — достоверное событие; событие В — вынут черный шар — невозможное событие.Достоверное и невозможное события в данном испытании являются противоположными.Событие А называется случайным, если оно объективно может наступить или не наступить в данном испы­тании.Выпадение шести очков при броса­нии игральной кости — случайное событие. Оно может наступить, но может и не наступить в данном испытании.Прорастание девяноста восьми зерен пшеницы из ста — случайное событие. Это событие может наступить, но, может быть, прорастет зерен больше или меньше.Классическое определение вероятностиВсякое испыта­ние влечет за собой некоторую совокупность исходов — резуль­татов испытания, т. е. событий. Во многих случаях возможно пере­числить все события, которые могут быть исходами данного испы­тания.Говорят, что совокупность событий обра­зует полную группу событий для данного испытания, если его ре­зультатом обязательно становится хотя бы одно из них.События Ul, U2, ..., Un , образующие полную группу попарно несовместимых и равновозможных собы­тий, будем называть элементарными событиями.Вернемся к опыту с подбрасыванием игральной кости. Пусть Ui — событие, состоящее в том, что кость выпала гранью с цифрой i. Как уже отмечалось, события U1, U2, …, U6 образуют полную группу попарно несовместимых событий. Так как кость предполагается однородной и симметрич­ной, то события U1, U2, …, U6 являются и равновозможными, т. е. элементарными.Событие А называется благоприят­ствующим событию В, если наступление события А влечет за собой наступление события В.Пусть при бросании игральной кости события U2, U4 и U6 — появление соответственно двух, четырех и шести очков и А — событие, состоящее в появлении четного очка; собы­тия U2, U4 и U6 благоприятствуют событию А.Классическое определение вероятностиВероятностью Р (А) события А называется отношение m/n числа элементарных событий, благоприятствующих событию А, к числу всех элементарных событий, т. е. Вычислим вероятность выпадения герба при одном бросании монеты. Очевидно, событие А — выпадение герба и событие В — выпадение цифры — образуют полную группу несовместимых и равновозможных событий для данного испытания. Значит, здесь n = 2. Событию А благоприятствует лишь одно со­бытие — само А, т. е. здесь m = 1. Поэтому Р(А) = 0,5.Найти вероятность того, что при бросании иг­ральной кости выпадет число очков, делящееся на 2 (событие А). Число элементарных событий здесь 6. Число благоприятст­вующих элементарных событий 3 (выпадение 2, 4 и 6). Поэтому .Из приведенного классического определения вероятности вы­текают следующие ее свойства.1. Вероятность достоверного события равна единице.Действительно, достоверному событию должны благоприят­ствовать все n элементарных событий, т. е. m = n и, следовательно, P(A)=1.2. Вероятность невозможного события равна нулю. В самом деле, невозможному событию не может благоприят­ствовать ни одно из элементарных событий, т. е. m = 0, откуда P(A)=0.3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных событий. Поэтому в этом случае 0 < m < n , значит, 0 <= Р (А)<= 1.Относительная частота.Статистическое определение ве­роятности.Классическое определение вероятности не являет­ся пригодным для изучения произвольных случайных событий. Так, оно неприемлемо, если результаты испытания не равновозможны. Например, при бросании неправильной игральной кости выпадение ее различных граней не равновозможно.В таких случаях используется так называемое статистическое определение вероятности.Пусть произведено n испытаний, при этом некоторое событие А наступило m раз. Число m называется абсолютной часто­той (или просто частотой) события А, а отношение называется относительной частотой события А.При транспортировке из 10 000 арбузов испор­тилось 26. Здесь m= 26 — абсолютная частота испорченных ар­бузов, а P*(A)=0,0026 относительная.Результаты многочисленных опытов и наблюдений помогают заключить: при проведении серий из n испытаний, когда число n сравнительно мало, относительная частота Р*(A) принимает зна­чения, которые могут довольно сильно отличаться друг от друга. Но с увеличением n — числа испытаний в сериях — относитель­ная частота Р*(А) приближается к некоторому числу Р(А), стабилизируясь возле него и принимая все более устойчивые значения.Было проведено 10 серий бросаний монеты, по 1000 бросаний в каждой. Относительные частоты выпадения герба оказались равными 0,501; 0,485; 0,509; 0,536; 0,485; 0,488; 0,500;0,497; 0,494; 0,484. Эти частоты группируются около числа 0,5Статистическое определение вероят­ностиВероятностью события А в данном испытании называется число Р (А), около которого группируются значения относительной частоты при больших n.По официальным данным шведской статистики, относительные частоты рождения девочек по месяцам 2007 г. харак­теризуются следующими числами (расположены в порядке сле­дования месяцев, начиная с января): 0,486; 0,489; 0,490; 0,471; 0,478; 0,482; 0,462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473. Эти частоты группируются около числа 0,482.Таким образом, относительная частота события приближенно совпадает с его вероятностью, если число испытаний достаточно велико. Геометрическая вероятностьДо этого мы рассматривали возможные эксперименты, в которых реализуется конечное множество событий. Однако существует большое количество задач, для которых такое предположение не является справедливым. При решении таких задач предполагается, что множество реализуемых событий может быть представлено в виде некоторой геометрической фигуры, а конкретное событие соответствует точке заданной части этой фигуры. В качестве события A можно рассмотреть любую подобласть области Ω. Например, фигуру внутри исходной фигуры на плоскости или отрезок, лежащий внутри исходного отрезка на прямой.Заметим, что элементарным событием на таком множестве может быть только точка. В самом деле, если множество содержит более одной точки, его можно разбить на два непустых подмножества. Следовательно, такое множество уже неэлементарно.Теперь определим вероятность. Тут тоже все легко: вероятность «попадания» в каждую конкретную точку равна нулю. Иначе получим бесконечную сумму одинаковых положительных слагаемых (ведь элементарные события равновероятны), которые в сумме больше P(Ω) = 1.Итак, элементарные события для бесконечных областей Ω — это отдельные точки, причем вероятность «попадания» в любую из них равна нулю. Но как искать вероятность неэлементарного события, которое, подобно Ω, содержит бесконечное множество точек? Вот мы и пришли к определению геометрической вероятности.Геометрическая вероятность события A, являющегося подмножеством множества Ω точек на прямой или плоскости — это отношение площади фигуры A к площади всего множества Ω.Мишень имеет форму окружности. Какова вероятность попадания в ее правую половину, если попадание в любую точку мишени равновероятно? При этом промахи мимо мишени исключены. Взглянем на картинку: нас устроит любая точка из правого полукруга. Очевидно, площадь S(A) этого полукруга составляет ровно половину площади всего круга, поэтому имеем P=0,5Студент и студентка договариваются о встрече на заданном промежутке времени Т. Тот, кто приходит первым ожидает другого в течение времени tВ качестве множества элементарных событий рассмотри квадрат, состоящий из точек (x,y), 0<=x<=T, 0<=y<=T, где x и у время прихода его и ее.Благоприятсвующие события образуют точки, для которых |x-y|<t, т.е. точки квадрата между прямыми y=x-t, y=x+t. Площадь получающейся фигуры равна T2-(T-t)2, а площадь всего квадрата – Т2. Отсуда искомая вероятность Свойства вероятностейСложение вероятностей несовместимых событийСуммой событий А и В называется собы­тие С = А + В, состоящее в наступлении по крайней мере одного из событий А или В.Стрельба двух стрелков (каждый де­лает по одному выстрелу). Событие А — попадание в мишень пер­вым стрелком, событие В — попадание в мишень вторым стрелком. Суммой событий А и В будет событие С = А + В, состоящее в попадании в мишень по крайней мере одним стрелком.Произведением событий А и В назы­вается событие С = АВ, состоящее в том, что в результате испыта­ния произошло и событие А, и событие В.Аналогично произведением конечного числа событий A1 А2, …, Ak называется событие А = А1 * A2 * ... * Ak, состоящее в том, что в результате испытания произошли все указанные события.В условиях предыдущего примера произведением событий А и В будет событие С = АВ, состоящее в попадании в мишень двух стрелков.Из определения непосредственно следует, что АВ = ВА.Вероятность суммы двух несовместимых событий А и В равна сумме вероятностей этих событий:Р (А + В) = Р (А) + Р (В). Следствие. Сумма вероятностей противоположных собы­тий А и А равна единице:Р(А) + Р(А

Коэффициент сопряженности Чупрова. Дальнейшим обоб-щением четырехпольных таблиц являются многопольные таблицы, для которых сопряженность наиболее часто оценивается по формуле, предложенной русским статистиком А. А. Чупровым. Прежде чем приводить ее рассмотрим несколько реальных ситуаций, когда такая оценка может потребоваться. Известно, например, что окраска тюльпанов связана с наличием определенных пигментов. Может представлять интерес вопрос о том, с какими именно пигментами преимущественно связана та или иная окраска цветка. Или другой пример. Окружающая гнездо полярной крачки обстановка может представлять собой зеленые растения, растения и гальку, пестрые камешки и т. д. При этом можно наблюдать самые разные по качеству гнезда: от его отсутствия до очень хорошо сделанного. В этом случае желательно знать, связано ли качество гнезда с какой-то одной или несколькими характеристиками окружающей среды. Общим для этих и других подобных задач является то, что в распоряжении экспериментатора оказываются данные о некотором множестве объектов, обладающих двумя признаками, причем каждый из признаков может иметь несколько градаций. В этом случае , где m - число разновидностей явления Х; k - число разновидностей явления Y, n – общее число объектов (m*k). Независимо то того, что каждый из описательных признаков, несмотря на разницу в численности его разновидностей, можно свести к альтернативному - только с двумя разновидностями, довольно часто в практике возникает необходимость работать с описательными признаками более двух разновидностей. В таких случаях необходимо при вычислении коэффициента корреляции составлять так называемую корреляционную таблицу (где X1,X2,...Xn - обозначают разновидность одного признака, а Y1, Y2... Yn - разновидности другого).При наличии такой схемы коэффициент корреляции находят по формуле: , где - коэффициент связи, m- число разновидностей явления Х; k - число разновидностей явления Y.Данный метод пригоден также и для экспрессной оценки связи между количественными (например возраст) и качествен-ными (например брак) параметрами.На практике (особенно в зоологии и ботанике) довольно часто встречаются другие меры измерения связи.


Внимание: Если число градаций независимой переменной две рекомендуется использовать группу методов из раздела «Сравнение независимых выборок».

Нажатие кнопки «Вычислить» приводит к переключению в окно результаты
Результаты дисперсионного анализа Фишера

В том случае если в окне настроек установлена галочка «Выводить только достоверные значения»


Как видно из примера, в этом случае не отображается колонка «значимо» и результаты отображаются в соответствии с выбранным уровнем значимости.
Внимание: Дисперсионный анализ показывает только влияние фактора на переменную, но не его направленность.
В вышеприведенном примере, переменная возраст, в принципе не может повлиять на пол обследуемого (это скорее связано с разными частотами юношей и девушек в разных возрастных группах), а влияние на переменную L выявлено, но не ясно в каких возрастах преобладают более высокие или более низкие значения.
Внимание: Для изучения направленности влияний рекомендуется использовать критерий Шеффе (см. раздел «Сравнение независимых выборок»
Результаты дисперсионного анализа Краскела-Уоллиса

Установлена галочка «Выводить только достоверные значения»

Внимание: Поскольку дисперсионный анализ Краскела-Уоллиса выполняется не через расчет межгрупповых и групповых дисперсий, а через суммы рангов, то галочки напротив соответствующих настроек игнорируются. Поэтому при проведении этого анализа рекомендуется их убирать.

Интерпретация результатов аналогична однофакторному дисперсионному анализу Фишера.

Корреляционный анализ
Необходимо выбрать пункт меню "Статистика→Корреляционный анализ" или нажать кнопку .
Предусмотрены следующие виды анализа в зависимости от характера исходных данных и типа распределения изучаемых переменных:


Количественные переменные, имеющие нормальное распределение
Количественные переменные, не имеющие нормальное распределение или порядковые переменные

Корреляционный анализ Пирсона
Корреляционный анализ Спирмена



Внимание: О проверке соответствия переменной нормальному закону распределения см раздел «Проверка типа распределения эмпирических данных». Если проверка не выполнялась рекомендуется использовать корреляции Спирмена.

Внимание: Для номинальных переменных см раздел «Частотный анализ»
Внимание: Настройка «Считать уравнение регрессии» работает только для корреляции Пирсона. Это связано с тем, что метод наименьших квадратов разработан для количественных переменных.
При выборе опции «Считать уравнение регрессии» вычисляются два уравнения вида: y=a+bx и x=a+by, где y – это первая из пары переменных, x – вторая, b – угол наклона, а – свободный член.






a(xy)
b(xy)
a(yx)
b(yx)

VOZRAST - L

10,73
0,29
1,69
0,23




VOZRAST=10,73+0,29*L
L=1,69+0,23*VOZRAST


Пример уравнений регрессии и интерпретация.

Внимание: Уравнения регрессии считаются только при вычислениях коэффициентов корреляции Пирсона. При вычислении корреляций Спирмена эта опция окна настроек игнорируется.







Все корреляции
Только достоверные

Обозначения:

N- число наблюдений

R –коэффициент корреляции

Р – доверительный уровень




В левом верхнем углу таблицы результатов показано количество статистически значимых прямых, обратных корреляций и их общее число.
Вычисление корреляций осуществляется по принципу «каждая переменная с каждой». Результат выводится только один раз. Поэтому взаимосвязи последних переменных как бы размазаны по всей таблице. В приведенном примере корреляция POL – VOZRAST есть вначале таблицы, поэтому корреляция VOZRAST – POL не приводится.
Внимание: Если установлена опция выводить только достоверные корреляции, а их нет, таблица результатов будет пустой.
По результатам можно построить график взаимосвязей.



Внимание: Вне зависимости от настроек на графике будут отображены только достоверные корреляции (-уровень обычно принимается равным 0,05 или 0,01). Если -уровень не указан, он принимается равным 0,05.
На графике красным цветом и пунктиром отмечены отрицательные связи, черным цветом и прямыми линиями – положительные.
График можно сохранить в формате Windows BITMAP (*.bmp) или скопировать его в буфер обмена для последующей вставки в другие программы.
Внимание: Число переменных на графике не должно превышать 30. Иначе на графике они будут сливаться и график утратит информативность.
Внимание: Все названия переменных для графика берутся из базы данных. Поэтому рекомендуется называть переменные по-русски и одним или двумя словами.

Множественная регрессия
Необходимо выбрать пункт меню "Статистика→Множественная регрессия" или нажать кнопку .

Внимание: Для анализа следует использовать только количественные переменные.
Таблица результатов выглядит следующим образом
Beta
B
Ошибка B
T
p

Константа



-0,14438









POL

0,477863
1,501299
0,272995
5,499373
0

VOZRAST

0,230028
0,204517
0,077257
2,647229
0,009472

E

-0,09659
-0,03945
0,035486
-1,11158
0,269065

N

0,091918
0,047624
0,045021
1,057812
0,292768

NEVROZ

0,009348
0,016204
0,150626
0,107581
0,91455




Бета-

коэффициенты
Коэффициенты

B
Ошибка

коэффициентов B
Т

критерий
Р

Коэфф. детерминации
0,310677












Коэфф. корреляции
0,557384












Дисперсия регрессии
11,28934












Остаточная дисперсия
1,291161












F - критерий
8,743553
F- критерий уравнения

p

0,000001
Достигнутый уровень значимости

Ошибка регресии
1,136293













Таким образом суммарное уравнение выглядит следующим образом:

L=1,501299*POL+0,204517*VOZRAST-0,03945*E+0,047624*N+0,016204*NEVROZ-0,14438
Внимание: В модель включаются все переменные, находящиеся в закладке «Выборка», за исключением независимой переменной. Поэтому для улучшения прогноза рекомендуется предварительно воспользоваться обычным корреляционным анализом и выбрать для прогноза только те переменные, которые влияют на результативный признак.

Проверка типа распределения эмпирических данных
Для правильного выбора метода статистического анализа необходимо знать тип распределения эмпирических данных, и в первую очередь, соответствует ли эмпирическое распределение теоретическому нормальному.

Для выполнения проверки необходимо выбрать пункт меню "Статистика→Проверка типа распределения" или нажать кнопку .



Значения критериев


Достигнутый уровень значимости (доверительный уровень)
Внимание: Число классов вычисляется автоматически по формуле Стерджесса 1+3,32*log10(N).

Вероятностный калькулятор
Вероятностный калькулятор позволяет переводить значение параметра распределения в уровень значимости для односторонней и, там где это возможно, для двусторонней гипотезы.

Необходимо выбрать пункт меню "Статистика→Вероятностный калькулятор.

Внимание: df1, df2 – число степеней свободы. Вычисляется на основе числа наблюдений.


Задания для самостоятельной работы с программой

Смотрите также файлы