Файл: Лекция 3 Гармонические и нестационарные колебания 2 Гармонические колебания.pdf

1
Лекция №3
Гармонические и нестационарные колебания

2
Гармонические колебания
В различных областях используется спектральный метод исследования волновых процессов. При таком подходе существует возможность свести анализ к рассмотрению поведения к анализу гармонических волн.
Предположение о
периодичности
(гармоничности)
процессов во ремени предопределяет некоторую пространственную и временную повторяемость в картине движений точек среды. В связи с этим общее выражение для скалярного потенциала плоской волны имеет
???? = Φ
0
???? exp ????
????
????
1
???? ⋅ ???? − ????
1
????
????
- круговая частота процесса
Φ
0
????
- амплитуда плоской волны, зависящая только от направления распространения.
???? = ????
0
???? exp ????
????
????
2
???? ⋅ ???? − ????
2
????

3
Акустические поля, возбуждаемые простыми источниками

4
Гармонические и нестационарные колебания
Уравнение движения с
1 2
grad div ???? − с
2 2
rot rot ???? = ????
????
2
????
????????
2
для гармонических колебаний
????(????, ????) = ????(????) exp −????????????
принимает вид с
1 2
grad div ????(????, ????) − с
2 2
rot rot ????(????, ????) + ????????
2
????(????, ????) = 0
Решение нестационарной задачи можно получить с помощью преобразования
Лапласа
????(????, ????) = න
−∞
∞
???? ????, ???? exp ???????????? ????????

5
Пример гармонических колебаний

6
Пример гармонических колебаний

7
Пример гармонических колебаний

8
Гармонические колебания
Из уравнения с использованием векторного тождества следуют важные свойства частных решений с
1 2
∇
2
???? − ????????
2
???? = 0
с
2 2
∇
2
???? − ????????
2
???? = 0
Введенные при записи уравнений величины
????
????
=
????
????
????
Рассмотрим вначале случай, когда волна распространяется продольная волна в безграничной упругой среде. Для фиксированного момента времени ????
0
определение для данной точки с радиус-вектором ???? точки с идентичным состоянием и отстоящей от исходной на расстояние ????
0
cводится к решению уравнения
????
????
????
???? ⋅ ???? = 2????
При заданном направлении распространения уравнение имеет неоднозначное решение, то есть в среде имеется бесконечно много точек с состоянием, идентичным состоянию выбранной точки.
????
0
= ????
1
????
????
1
= 2????/????
1

9
Период и фазовая скорость
Если зафиксировать значение вектора, т. е. рассматривать изменение во времени состояния упругого тела в некоторой точке, то очевидно, что по истечении времени
???? =
2????
????
состояние упругого тела в этой точке повторится. Величина интервала времени ????, в данном случае общая для обоих типов волн, называется периодом гармонической волны.
Для каждого из двух типов плоских гармонических волн можно определить понятие фазовой скорости как скорости изменения состояния.
Однако в общем случае наличия в безграничной упругой среде одновременно двух видов волн определить разумно фазовую скорость без соизмеримости длин волн нельзя. По существу, происходит два невзаимодействующих волновых движения.

10
Поляризация

11
Напряжения, деформации и перемещения
Тензор деформации
????
????????
=
????????
????
????????
????
????
????????
=
1 2
????????
????
????????
????
+
????????
????
????????
????
Тензор напряжений
????
????????
= ????
????????
+
????
1 − 2????
????
????????
= ????
????????
+
????
1 − 2????
????????
1
????????
1
+
????????
2
????????
2
+
????????
3
????????
3
????
????????
= 2????????
????????
= ????
????????
????
????????
????
+
????????
????
????????
????
????
– коэффициент Пуассона
????
– модуль сдвига

12
Коэффициент Пуассона и модуль сдвига
Модуль сдвига ????
равен касательному усилию, вызывающему такую деформацию сдвига, при которой любая прямая,
проведенная перпендикулярно к поверхности, на которую действует сила, поворачивается на угол, равный единице.
????
– коэффициент Пуассона

13
Отражение от свободной границы
Граничные условия для свободного полупространства
????
13
= ????
23
= ????
33
Для падающей плоской продольной волны
???? = Φ
0
exp ????????
????
???? cos ???? + ???? sin ????
для отраженных
???? = Φ
1
exp ????????
????
???? cos ????
11
− ???? sin ????
11
????
2
= A
1
exp ????????
????
???? cos ????
21
− ???? sin ????
21

14
Закон Снеллиуса
????
????1
cos ???? = ????
????1
cos ????
11
= ????
????1
cos ????
21
= ????
????2
cos ????
21
= ????
????2
cos ????
22
= ????

15
Отражение от свободной границы
????
????1
cos ???? = ????
????1
cos ????
11
= ????
????1
cos ????
21
Из граничных условий для свободного полупространства
????
13
= ????
23
= ????
33
Φ
1
= Φ
0 4 tg ????
11
tg ????
12
− tg ????
12
tg ????
12
− 1 2
4 tg ????
11
tg ????
12
+ tg ????
12
tg ????
12
− 1 2
A
1
= Φ
0 4 tg ????
11 1 − tg ????
12
tg ????
12 4 tg ????
11
tg ????
12
+ tg ????
12
tg ????
12
− 1 2

16
Связь с потенциалами
Компоненты вектора перемещений
????
1
=
????????
????????
1
+
????????
2
????????
3
????
3
=
????????
????????
3
−
????????
2
????????
1
Компоненты тензора напряжений
1 2????
????
11
=
????
2
????
????????
1 2
−
????????
????
2 1 − 2????
???? +
????
2
????
2
????????
1
????????
3 1
2????
????
13
=
????
2
????
????????
1
????????
3
+
1 2
????
2
????
2
????????
3 2
−
1 2
????
2
????
2
????????
1 2
1 2????
????
33
=
????
2
????
????????
3 2
−
????????
????
2 1 − 2????
???? −
????
2
????
2
????????
1
????????
3

17
Граничные условия. Напряжения и перемещения