Файл: О развитии понятия числа.docx

Но это значит, что теперь мы можем всякое «отн.» заменить на «приб.», и, таким образом, обойтись только одним действием. Например, вместо (+5) приб. (+1) отн (+4) приб (-3) отн (-9) написать: (+5) приб (+1) приб (-4) приб (-3) приб (+9). То есть действие вычитания отменяется! А поэтому выражения, содержащие знаки сложения и вычитания, можно называть просто суммой, поскольку всё сводится к суммированию. Но тогда какой смысл писать знак действия «приб» в подобных суммах, если этот знак всюду один и тот же? Можно писать только одни слагаемые, а знак действия «приб» подразумевать. Правда, у нас есть ещё одно действие, которое можно не писать: умножение. Зачем писать знак умножения между несколькими множителями, если этот знак один и тот же? Ведь можно писать только одни множители. А чтобы отличить сумму нескольких слагаемых (пусть даже двух), написанных без знака «приб», от произведения, написанного без знака умножения, договоримся слагаемые в сумме писать без скобок, а множители в произведении — со скобками. Например, сумму (+5) приб (+1) приб (-4) приб (-3) приб (+9) запишем как +5 + 1 - 4 - 3 + 9, а произведение как (+5) (+1) (-4) (-3) (+9).

Аналогично тому, как свели действия сложения и вычитания только к одному сложению, можно все действия свести только к одному вычитанию. Ведь очевидно, что прибавить число - это отнять такое же число, только с противоположным знаком. Например, (+5) приб (+3) = (+5) отн (-3), (+1) приб (-4) = (+1) отн (+4). То есть прибавить отрицательное число - всё равно, что отнять положительное.

Но тогда в сумме типа +5 + 1 - 4 - 3 + 9 знак «+» играет ту же роль, что и «приб», а знак «-» ту же, что и «отн». При этом как прибавляются, так и отнимаются положительные числа. Видно, что здесь напрашивается ещё одно допущение: положительные числа можно писать без знака. Получается, что выражение 5 + 1 - 4 - 3 + 9 (с учётом последнего допущения знак перед числом 5 уже не пишем) можно толковать по-разному:

1. 
   К положительному числу 5 прибавляется положительное число 1, затем прибавляется отрицательное (-4), далее прибавляется отрицательное (-3) и, наконец, прибавляется положительное число 9. Здесь «+» и «-» - знаки положительных и отрицательных чисел. Знак действия «приб» подразумевается.
   
2. 
   К положительному числу 5 прибавляется положительное 1, отнимается положительное 4, отнимается положительное 3 и прибавляется положительное 9. Тут «+» и «-» играют ту же роль, что «приб/отн», все числа положительные.
   

Как видим, оба толкования не противоречат друг другу. Таким образом, знаки «+» и «-» в одних и тех же выражениях выполняют одновременно две функции: их можно считать как знаками перед соответствующими числами, так и знаками действий сложения и вычитания. Вопрос выбора - дело вкуса.

---

Обратимся к умножению.

Умножить положительное число «а» на положительное число «b» - означает отложить направленный отрезок «а» «b» раз, приставляя каждый раз начало к концу. Не будем вдаваться в подробности, что значит «b» раз, ведь «b» может быть не только целым числом. Допустим, что этот вопрос разрешён. Допустим также, что очевидны коммутативное (ab = ba) и ассоциативное ((ab)c = = a(bc) = abc) свойства умножения. Перенесём эти свойства из положительных на все числа. Понятно, что умножить отрицательное число (-х) на положительное «b» - отложить направленный против оси отрезок «b» раз. При этом получится направленный также против оси отрезок, т.е. отрицательное число (-хЬ). Как умножить положительное число «а» на отрицательное (- у)? Избежать откладывания «минус у раз» поможет коммутативное свойство: а(-у) = (-у)а, т.е. произведение положительного числа на отрицательное равносильно умножению отрицательного на положительное, что мы уже умеем делать. При этом получится отрицательное число (-ау) или (-уа). В частности, умножая положительное число «а» на (-1), получим отрицательное число (-а). На языке направленных отрезков это означает, что отрезок «а» перевернётся. Вот это свойство распространим на любой отрезок, какой бы он ни был: умножение на (-1) или просто знак «минус» переворачивает его в противоположную сторону. Таким образом, получаем третью функцию знака «минус» перед любым числом или выражением: он означает перемену знака этого числа или выражения. Очевидно, что знак «плюс» означает сохранение знака.

Используя вышесказанное, а также свойство ассоциативности умножения, докажем, что при умножении «минус» на «минус» даёт «плюс». Пусть «b» и «у» положительные числа:

(-b)(-y) = (-1)b(-y) = (-1) (b(-y)) =
= (-1)(-by) = - (-by) = by.

В последнем действии знак «минус» перед скобкой меняет знак выражения в скобках. Заметим, что в правиле «минус» на «минус» даёт «плюс» (да и во всех других правилах) «b» и «у» можно считать числами не только положительными, но и любого знака.

Теперь можем трояко толковать знаки «+» и «-» в алгебраических (и числовых) выражениях. Так, в выражении а - b+ c знак «минус» пред «а» может означать:

1. 
   следует взять выражение «а» с противоположным знаком;
   
2. 
   поставив впереди в качестве слагаемого число 0, получим равносильное выражение 0 - а - b+ c; тогда тот же знак минус будет означать: от нуля отнимается выражение «а»;
   
3. 
   с тем же нулём: к нулю прибавляется выражение «а», взятое с противоположным знаком.
   

---

Второй знак «минус»: либо от предыдущего отнимается выражение «b» со своим знаком, либо к предыдущему прибавляется «b» с противоположным знаком.

Наконец, знак «плюс»: к предыдущему прибавляется выражение «с» со своим знаком.

Следует подчеркнуть, что «прямое» толкование знаков «+» и «-», как знаков положительных или отрицательных чисел, возможно лишь для простых числовых выражений. Например, - 4; + 7;

• 
  3,2; + 1/3. Здесь ясно, какие числа положительные, какие отрицательные. Другое дело в буквенных выражениях. «-а» вовсе не означает, что перед нами отрицательное число, всё зависит от «а»: если «а» отрицательное, то «-а» будет положительным. Знак «минус» играет роль перемены знака «а». Число «+а» или просто «а» не всегда положительно. Здесь знак «плюс» сохраняет знак «а»: при отрицательных «а» «+а» будет отрицательным.
  

Наделяя каждый из знаков «+» и «-» тремя функциями (знак числа, действия прибавить-отнять, сохранение-перемена знака), можно производить замену знаков в числовых и буквенных выражениях. Как заменить «прибавить» на «отнять» и наоборот в числовых выражениях, мы уже знаем. Далее: например, дано выражение «а» или число (7). Но нам нужно, чтобы впереди стоял знак «минус». Пишем: — (—а) или —(—7). Аналогично при необходимости иметь знак «плюс» при (-Ь или (-8): + (-Ь или + (-8).

Выражение a — b + c — d можем преобразовать к виду a + (-b) + c + (-d) и смотреть на знаки «+» как на «прибавить», или к виду a - b - (- c) - d и смотреть на знаки «-» (за исключением одного) как на «отнять».

Заметим, что многие правила действуют, только если то или иное выражение приведено к определённому виду. Так, правило «от перемены мест слагаемых сумма не меняется» можно применять, только когда слагаемые именно «прибавляются». Например, а - b сначала надо привести к виду а + (- b), чтоб было «прибавить», это и делает знак «+», и только потом пользоваться правилом. Тогда получится (- b) + а или - b + а. В формуле приведения cos^— - о) = sinoнадо, чтобы в скобках было «отнять». Поэтому, прежде чем применить эту формулу к выражению cosl—+ о I, надо в скобках «прибавить» превратить в «отнять»: cosl—-а(-а)|, и только после 12 - этого по начальной формуле получить sin(-a).

Таким образом, каждый из знаков «+» и «-» выполняет одновременно три функции: определяет знак числа: положительное, отрицательное; обозначает действия сложения, вычитания; сохраняет или меняет на противоположный знак числа или выражения.

---

Учитывая эти функции, можно преобразовывать выражения в свою пользу и производить всевозможные вычисления рациональным образом.

При выполнении арифметических действий можно прийти к соотношению неопределённостей, например, вида ноль, делённый на ноль. Для раскрытия соотношения неопределённостей функции заменяют на производные, в результате может получиться любое число от нуля до бесконечности (о). Следует отметить, что бесконечность это не число, а знак, обозначающий запрещённое действие – деление на нуль. Запрещённое действие не может дать какой-либо результат, это запрещено юридически. Бесконечность не может участвовать в арифметических действиях, если она всё же встречается в формулах, результат должен определяться по заранее установленным таблицам.

---

2.2. Использование числа в развитии математических, алгебраических теорем (теорема Ролля, числа Фибоначчи и др.)

Согласно ФГОС и разработанным на их основе типовым документам – Основной образовательной программе и Рабочей программе по математике, на уроках математики в старшей школе необходимо изучать не только основные математические объекты (числа, геометрические фигуры, алгебраические и аналитические модели), но и «формировать представления о математике как о методе познания действительности, позволяющем описывать и изучать реальные процессы и явления» [8].

Для реализации данной цели программа по математике для старшей школы включает в себя элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. В последнее время задания ЕГЭ по математике содержат задачи по теории вероятностей и комбинаторике. Поэтому необходимо обучать старшеклассников решению таких задач.

Комбинаторикой называется раздел математики, изучающий задачи выбора и расположения элементов из некоторого основного множества в соответствии с заданными правилами. Формулы и комбинаторные принципы применяются в теории вероятностей, чтобы подсчитать вероятности случайных событий и получить законы распределения случайных величин. Также комбинаторика затрагивает сложнейшие области математики. По мнению гениального математика Пала Эрдеш, комбинаторные задачи с первого взгляда можно принять за элементарные, с которыми справится даже ребенок, однако на деле понимаешь, что решение их невозможно найти. В любом случае комбинаторика дает возможность лучше понять реальность, позволяет исследовать закономерности массовых случайных явлений, правильно понимать статистические закономерности, которые проявляются в природе и технике.

Комбинаторика включает в себя много задач, часто трудных и интересных, не имеющих отношение к чьему-то имени. Каждая такая задача содержит в себе «маленькую математическую теорию», у которой есть своя история, своя проблематика и свои методы [9]. В качестве такой теории выступает теория чисел Фибоначчи. Числа Фибоначчи – одна из наиболее увлекательных глав элементарной математики. Задачи, связанные с числами Фибоначчи, содержат многие популярные издания по математике, их разбирают на занятиях школьных математических кружков, они входят в комплекс заданий на математических олимпиадах [10].

---