Добавлен: 12.12.2023
Просмотров: 649
Скачиваний: 6
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Впервые последовательность чисел описал итальянский купец и математик Леонардо из Пизы, который был больше известен по прозвищу Фибоначчи, в своей «Книге об абаке» в 1202 г. В книге была представлена задача, при решении которой получился ряд чисел: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597. Задача содержала вопрос: «Сколько пар кроликов в один год от одной пары рождается?» Дальше в задаче есть разъяснение, что по своей природе кролики очень быстро и продуктивно размножаются со второго месяца, как появляются на свет. Спустя месяц пара кроликов производит на свет другую пару и т. д. (рис. 1).
Рисунок 2.1 - Решение задачи о кроликах в виде таблицы
Что же особенного в последовательности чисел Леонардо Фибоначчи? Каждое следующее число в ряду Фибоначчи – это сумма двух предыдущих чисел. Математическим языком это записывается так: U1,U2,U3,...,Un, где Un = Un –1 + Un –2 (1)
У чисел Фибоначчи есть интересные и важные свойства. Через четыреста лет после открытия ряда чисел Фибоначчи И. Кеплером было установлено, что отношение рядом стоящих чисел с ростом n (Un + 1/Un) стремится к одному и тому же числу. Действительно,
U2/U1 = 1; U3/U2 = 2; U4/U3 = 1,5; U5/U4 = 1,66; U6 /U5 = 1,6; U7/U6 = 1,625; U8/U7 = 1,615;
U9/U8 = 1,619; U10/U9 = 1,6176; U11/U10 = 1,61818; U12/U11 = 1,61897 и т. д. (2)
Иными словами, отмечается колебание полученных отношений около постоянной величины, происходит уменьшение разницы между соседними величинами. Отношение рядом расположенных чисел Фибоначчи в пределе стремится к величине, близкой 1,618. Обозначим ее через Ф, то есть
Ф = lim Un + 1/Un = 1,618.(3)
Рассмотрим некоторые задачи, связанные с числами Фибоначчи, которые можно использовать на уроках математики в старшей школе.
Не менее интересны будут на уроках математики примеры живой природы, которые могут быть описаны с помощью последовательности Фибоначчи. Природа дает нам многочисленные примеры расположения предметов, описываемых числами Фибоначчи.
Расположение чешуек сосновых шишек: чешуйки в шишках «упакованы» по спиралям, завивающимся навстречу друг другу, причем их количество всегда выражается соседними числами Фибоначчи. В крупных шишках удается наблюдать 5 и 8 и даже 8 и 13 спиралей, на ананасе обычно их бывает 8 и 13.
Ананасовые колючки расположены в виде двух спиралей: 8 спиралей идут по ча
совой стрелке, а 13 – против часовой стрелки.
Листья на ветках деревьев расположены по спирали. Выяснилось, что в том, как листья располагаются на ветке (филлотаксис – листорасположение), количество оборотов на стебле, количество листьев в цикле – все это ряд чисел Фибоначчи. Расстояния между листьями и ветками соотносимы с числами Фибоначчи; примыкание черешков листьев к стеблю спиралевидно. Эта спираль находится между двумя соседними листьями: 1/3 полного оборота – у орешника, 2/5 – у дуба, 3/8 – у тополя и груши, 5/13 – у ивы.
Расположение семян подсолнечника. Распределение семян в корзинке также спиралевидно. Они растут по часовой и против часовой стрелки от центра корзинки (рис. 2.5). Количество этих спиралей – это два числа, идущие подряд в последовательности Фибоначчи – 21 и 34 или 34 и 55. Особенно много спиралей можно наблюдать в расположении семянок в крупных корзинках. Их число в каждом из направлений может достигать 55 и 89.
Рисунок 2.5 – Числа Фибоначчи в расположении семян подсолнечника в корзинке
Числа Фибоначчи отражают основную закономерность роста организмов, следовательно, проявляются и в строении человеческого тела.
Рассмотрим это подробнее. У человека есть части тела в единственном экземпляре: туловище, голова, сердце. Однако есть части тела, которые расположены парами: руки, ноги, глаза, почки. Ноги, руки, пальцы рук представлены тремя частями. На руках и ногах по пять пальцев, а в составе руки вместе с пальцами восемь частей.
Можно рассмотреть части тела и с другой стороны. У каждого из нас 2 руки, каждый палец, кроме большого, состоит из 3 фаланг. На каждой руке находится по 5 пальцев, только 8 пальцев трехфаланговые. Все эти цифры 2, 3, 5 и 8 есть числа последовательности Фибоначчи.
В составе человеческого позвоночника 34 позвонка. Судя по представленному перечислению составляющих человеческого тела, при его делении на части можно проследить все числа Фибоначчи от 1 до 34.
Сложив все кости скелета, можно получить число, приближенное к 233, которое также является числом Фибоначчи.
Числа Фибоначчи можно обнаружить и в крови у человека. Если всех людей разгруппировать по трем группам крови, то получится числовое отношение 8/21/34.
Доля сокращения сердечной мышцы равна примерно 0,618 от ее изначальной длины, при нарушении этого числа при сокращении возникают заболевания сердца. А это число отражает одно из свойств чисел Фибоначчи.
В результате математической обработки экспериментальных медицинских данных, появились отношения чисел, характеризующих сердечный цикл: 0,050; 0,081; 0,131; 0,210; 0,340. Мы видим, что они отражают последовательность ряда чисел Фибоначчи 5, 8, 13, 21, 34.
В строении человеческого лица и кисти существуют и иные воплощения ряда Фибоначчи. Этот ряд получается, если провести измерения длин фаланг пальцев и расстояний между различными частями лица (рис. 6).
При помощи подобных задач учитель имеет возможность создать на уроке проблемные ситуации и активизировать самостоятельную деятельность учащихся по их разрешению, в результате чего и происходит развитие беглости и оригинальности, а значит, и креативного мышления. Для обеспечения развития беглости и оригинальности мышления учащихся необходима оптимальная последовательность ситуаций, их определенная система.
Рисунок 2.6 – Числа Фибоначчи в строении человеческого тела
Комбинаторика по своей природе является такой системой. Задачи с использованием чисел Фибоначчи помогут развить математические способности, сообразительность, укрепить память. Чтобы решать подобные задачи, учащимся потребуется проявить и волю, и упорство, и настойчивость в достижении цели, что позволит достичь высоких показателей по беглости, гибкости и оригинальности. В итоге с помощью комбинаторных задач, в том числе и с применением чисел Фибоначчи, возможно воспитать людей с высокой скоростью мыслительных операций, способных порождать разнообразные идеи, имеющие отношение к разным сферам и областям, являющиеся по своей сути интересными и необычными.
Заключение
При исследовании истории возникновения чисел была установлена зависимость между возникновением чисел и необходимостью выражения всех чисел знаками. Эта зависимость повлияла на появление знаков-цифр, которые заменили другие не совсем удобные способы обозначения.
Понятие целого числа было известно математикам еще до нашей эры. Китайские математики использовали целые числа еще в первом веке до нашей эры. Древнегреческий математик Диофант свободно владел понятием целого числа в III веке нашей эры. Оперировали этими числами индийские математики приблизительно в 650 г. Уже в XVII веке целые числа использовались математиками в Европе, но европейские математики того времени не признавали эти числа и называли их невозможными, ложными.
Простые числа чаще встречаются в начале натурального ряда. Начало натурального ряда это три простых числа подряд 1,2,3. Переход к новому натуральному ряду зависит от личности творца. Можно стремиться к наибольшему простому числу, а можно чаще менять единицу измерения.
Впервые отрицательные числа появились в Древнем Китае приблизительно 2100 лет назад. Положительные и отрицательные числа уже умели складывать и вычитать, а правила умножения и деления не применялись. Отрицательные числа записывали черным цветом и считали «долгами», а положительные называли «имуществом» и записывали красным.
Понятие числа прошло длинный исторический путь развития и наука о числах и действиях над ними необходима для прогрессивного развития человеческого общества. Числа составляют часть человеческого мышления и мы порой не отдаем себе отчета, насколько важны они в нашей жизни.
Мы узнали о существовании различных теорий о происхождении чисел и пришли к выводу, что самым ценным вкладом в сокровищницу математических знаний человечества является употребляемый нами способ записи при помощи десяти знаков чисел: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0.
Система записи чисел, которой мы привыкли пользоваться в повседневной жизни, в которой производим все вычисления, на ней базируется метрическая система мер. Десятичной она называется, так как в ней используется десять различных знаков (цифры 0,1,2,3….9).
В десятичном числе 255 = 2*100+5*10+5*1 цифры «5», находящиеся на разных позициях, имеют различные количественные значения – 5 десятков и 5 единиц. При перемещении цифры на соседнюю позицию, ее «вес» изменится в 10 раз.
Арифметические действия над десятичными числами производятся с помощью достаточно простых операций, в основе которых лежат таблицы умножения и сложения, а также правило переноса: если в результате сложения двух цифр получается число, которое больше или равно 10, то оно записывается с помощью нескольких цифр, находящихся на соседних позициях.
Перевод чисел из одной системы в другую осуществляется по аналогии с предыдущими системами.
Позиционный принцип и цифровое обозначение могут быть приспособлены к системе счисления с любым основанием, кроме единицы.
Список использованной литературы
-
Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования. Утвержден приказом Минобрнауки РФ от 17 мая 2011 г. № 413. -
Аристотель. Соч.: в 4 т. Т. 4. М.: Мысль, 1984. -
Веселовский И.Н., Белый Ю.А. Николай Коперник. М.: Наука, 1974. -
Виленкин Н. Я. Комбинаторика. М.: МЦНМО, 2006. 400 с. -
Гилфорд Дж. Три стороны интеллекта // Психология мышления. М., 1965. с. 433-456. -
Гуссерль Э. Начало геометрии: Введение Жака Деррида. М.: Ad Marginem, 1996. -
Деза Е. И., Ростовцев А. С. Модель формирования и развития математической креативности старшеклассников при обучении элементам теории специальных чисел // Modern Humanities Success / Успехи гуманитарных наук. 2019. № 4. с. 144-149. -
Задачник-практикум по математике. Виленкин Н.Я., М.: Просвещение, 1977. -
Клайн М. Математика: Утрата определенности. М.: Мир, 1984. -
Колесников С.А. Автор в жизни и радости... // Человек. 2018. № 5. С. 140-154. -
Лейбниц Г. В. Новые опыты о человеческом разуме. М.; Л: Соцэкгиз, 1936. -
Лейбниц Г. В. Сочинения: в 4 т. Т. 4. М.: Мысль, 1984. -
Лосев А.Ф. История античной эстетики: Итоги тысячелетнего развития: в 2 кн. Кн. 1. М.: Искусство, 1992. -
Лосев А.Ф. История античной эстетики: Итоги тысячелетнего развития: в 2 кн. Кн. 2. М.: Искусство, 1994. -
Лосев А.Ф. Хаос и структура. М.: Мысль, 1997. -
Луман Н. Истина. Знание. Наука как система. М.: Проект lettera, 2016. -
Майоров Г.Г. Философия как искание Абсолюта: Опыты теоретические и исторические. М.: Едиториал УРСС, 2004. -
Манин Ю.И. Математика как метафора. М.: МЦНМО, 2008. -
Математика. Учебное пособие для студентов высших педагогических учебных заведений в 2-х книгах. Г.М.Аматова, М.А.Аматов М.: Издательский центр «Академия», 2008. -
Математика. Упражнения и задачи. Учебное пособие для студентов высших педагогических учебных заведений. Г.М.Аматова, М.А.Аматов М.: Издательский центр «Академия», 2008. 332 с. -
Математика. (Для студентов I курса факультетов подготовки учителей начальных классов педагогических вузов), Столяр А.А., Лельчук М.П., Минск: «Вышэйш школа», 1976. – 272 с. -
Михайлов А.В. Обратный перевод. М.: Языки русской культуры, 2000. -
Нелюбин Л.Л., Хухуни Г.Т. История науки о языке. М.: Флинта: Наука, 2011. -
Платон. Собрание сочинений: в 4 т. Т. 1. М.: Мысль, 1990. (Философское наследие). -
Рассел Б. История западной философии. Ростов н/Д.: Миф, 1998. -
Ростовцев А. С. О формировании и развитии математической креативности старшеклассников с использованием многоуровневой системы математических задач // современное педагогическое образование. 2019. № 9. с. 113-117. -
Собрание трудов академика А.Н. Крылова: [в 12 т.] Т. 7. Ис. Ньютон «Математические начала натуральной философии». М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1936. -
Сусов И.П. История языкознания. М.: Восток – Запад, 2006. -
Трегер Г.Ю. Эволюция основных физических идей. Киев: Наукова думка, 1989. -
Хомский Н. О природе и языке. С очерком: Секулярное священство и опасности, которые таит демократия / пер. с англ. П.В. Феденко. М.: URSS, 2005. -
Худовеков С.Н. Ориген и эллинистическое воспитание // Учен. зап. Орлов. гос. ун-та. Сер.: Гуманитарные и социальные науки. 2011. № 6. С. 318-323. -
Яковлев И. В. Комбинаторика для олимпиадников. М.: МЦНМО, 2016. 80 c. -
Яковлев В.М. О порядке чисел-символов (гуа) в мавандуйском варианте «Книги Перемен» // Разум и вера: Межвуз. сб. Петрозаводск: Изд-во Петрозаводского ун-та, 1998. С. 119-133.