ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 12.12.2023
Просмотров: 43
Скачиваний: 3
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
ЛЕКЦИЯ9: Центральная предельная теорема
-
Неравенство Чебышева
Как уже неоднократно отмечалось, наличие закономерностей в случай- ных явлениях обусловлено их массовостью. Только при большом количестве опытов или объектов исследования проявляются закономерности в устойчиво- сти некоторых средних характеристик. Например, при большом числе бросков монеты, число выпадения решки к общему числу бросков будет стремиться к значению 0,5. Устойчивость средних характеристик и составляет закон боль- ших чисел. Суть его заключается в следующем: при очень большом числе слу- чайных явлений средний их результат практически перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью точности. Под законом больших чисел понимают целый ряд теорем, где устанавливается при различных услови- ях опыта, факт приближения средних характеристик к некоторым постоянным при увеличении числа этих опытов.
НеравенствоЧебышева(лемма). Пусть имеется случайная величина X
с характеристиками mx и
Dx. Каково бы ни было
0, вероятность того, что
случайная величина X отклонится от своего математического ожидания не
меньше чем на ограничено сверху величиной
Dx,
2
x
P x m
Dx.
2
Действительно, допустим для непре- рывной случайной величины X распреде-ленной по закону fx, следует
mx
x
P x m fxdx.
mx
Рассмотрим определение дисперсии
Dx
x mx
2 fxdx
-
mx
2 fxdx
mx
2 fxdx 2 fxdx
fxdx 2
fxdx.
mx
xmx
Отсюда непосредственно следует
fxdx Dx
2
x
или
P x m
Dx
2
. что
xmx
и требовалось показать. Иногда удобно перейти к противоположному событию
x
P x m
1 Dx.
2
Заметим, что неравенство Чебышева имеет большое теоретическое зна- чение, так как позволяет достаточно просто доказать целый ряд теорем закона больших чисел. С другой стороны, неравенство Чебышева не имеет большого практического приложения, поскольку точность оценок, сделанных на основе его применения, невелика. Например, оценим вероятность отклонения случай-
ной величины, распределенной по нормальному закону, на
3x
от mx. Нера-
венство Чебышева дает
P x m
3
Dx
x
x
92
0,1, тогда как на самом деле
x
P x m
-
x
Ф3 Ф0 0,003 . Таким образом, неравенство Чебышева
дает только грубую оценку.
Закон больших чисел
Пусть производится n независимых опытов в равных условиях. В ре- зультате этих опытов случайная величина X принимает различные значения
x1 , x2 , x3 ,, xn. Предположим, что все xi распределены по одному закону
i x
распределения Mx mи Dxi Dx, i 1, n. Введем новую случайную вели-
nчину
Y xi n
1
и получим ее математическое ожидание и дисперсию
n
n
m MY Mn xn 1 n Mx nmx m,
y i i x
1 1
D DY Dn x
n 1 n
Dx nDx Dx.
y i 1
n2 1
i n2 n
Видно, что при
n,
Dy 0 . То, есть случайная величина Yуже не явля-
ется случайной. Чем больше будет опытов, тем точнее можно определить зна-
x
чение Y, MY m.
Теорема Чебышева. При достаточно большом числе независимых опы- тов среднее арифметическое наблюдаемых значений случайной величины схо- дится по вероятности к ее математическому ожиданию
P n
Ymxили P xin mx 1 , 0,
0 .
1
Доказательство. Применим неравенство Чебышева:
PY m
следует P xi
n mx
.
Dy n
2
y
1
Dx
n
Каково бы не было число , всегда найдется число n, которое дает
Dx
n2
1
n
, где значение Dx ограничено. Таким образом,P xi n mx 1 ,
что и требовалось доказать.
1
Заметим, что Марков обобщил эту теорему на зависимые опыты и нерав- новероятные опыты. Было сделано обобщение теоремы Чебышева и на случай переменных условий опыта.
Заметим так же, что до теоремы Чебышева, основанием закона больших чисел была теорема Бернулли, с громоздким выводом. Приведем доказатель- ство теоремы Бернулли с использованием неравенства Чебышева.
Теорема Бернулли. При неограниченном увеличении числа независимых опытов, частота события Aсходится по вероятности к его вероятности
PA Pв отдельном опыте.