Файл: Неравенство Чебышева.docx

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 12.12.2023

Просмотров: 178

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

ЛЕКЦИЯ9: Центральная предельная теорема

    1. Неравенство Чебышева


Как уже неоднократно отмечалось, наличие закономерностей в случай- ных явлениях обусловлено их массовостью. Только при большом количестве опытов или объектов исследования проявляются закономерности в устойчиво- сти некоторых средних характеристик. Например, при большом числе бросков монеты, число выпадения решки к общему числу бросков будет стремиться к значению 0,5. Устойчивость средних характеристик и составляет закон боль- ших чисел. Суть его заключается в следующем: при очень большом числе слу- чайных явлений средний их результат практически перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью точности. Под законом больших чисел понимают целый ряд теорем, где устанавливается при различных услови- ях опыта, факт приближения средних характеристик к некоторым постоянным при увеличении числа этих опытов.

НеравенствоЧебышева(лемма). Пусть имеется случайная величина X

с характеристиками mx и

Dx. Каково бы ни было

  0, вероятность того, что

случайная величина X отклонится от своего математического ожидания не

меньше чем на  ограничено сверху величиной

Dx,

2

xPxm

   Dx.

2

Действительно, допустим для непре- рывной случайной величины X распреде-

ленной по закону fx, следует

mx

xPxm   fxdx.

mx

Рассмотрим определение дисперсии

Dx



x mx



2 fxdx

  1.  mx

2 fxdx

 



mx

  2 fxdx  2 fxdx

fxdx  2

fxdx.

 mx



xmx

Отсюда непосредственно следует

fxdx Dx


2
 x

или

Pxm

  Dx

2

. что

xmx

и требовалось показать. Иногда удобно перейти к противоположному событию

xPxm

 1  Dx.

2

Заметим, что неравенство Чебышева имеет большое теоретическое зна- чение, так как позволяет достаточно просто доказать целый ряд теорем закона больших чисел. С другой стороны, неравенство Чебышева не имеет большого практического приложения, поскольку точность оценок, сделанных на основе его применения, невелика. Например, оценим вероятность отклонения случай-

ной величины, распределенной по нормальному закону, на

3x

от mx. Нера-

венство Чебышева дает

Pxm

 3 

Dx

x x92

 0,1, тогда как на самом деле

xPxm

  • x

  Ф3  Ф0  0,003 . Таким образом, неравенство Чебышева

дает только грубую оценку.

Закон больших чисел

Пустьпроизводится n независимыхопытоввравныхусловиях.Вре-зультатеэтихопытовслучайнаявеличина X принимаетразличныезначенияx1,x2,x3,,xn. Предположим,чтовсе xi распределеныпоодномузакону
i x
распределения Mx  mи Dxi  Dx, i 1, n. Введем новую случайную вели- n

чину

Y xi n

1

и получим ее математическое ожидание и дисперсию

n nmMY  Mn xn 1 n Mx  nmxm,

y i i x

 1 1

D DY Dn x

n 1 n

Dx nDxDx.


y i

1

n2 1

i n2 n

Видно, что при

n,

Dy 0 . То, есть случайная величина Yуже не явля-

ется случайной. Чем больше будет опытов, тем точнее можно определить зна-

xчение Y, MY m.
Теорема Чебышева. При достаточно большом числе независимых опы- тов среднее арифметическое наблюдаемых значений случайной величины схо- дится по вероятности к ее математическому ожиданию

P n

Ymxили P xin mx  1  ,

  0,

  0 .

1
Доказательство.ПрименимнеравенствоЧебышева:

PY m

  следует P xi

nmx


     .






Dy n

2 y 1

Dx

n

Каково бы не было число , всегда найдется число n, которое дает

  Dx

n2

1

n

, где значение Dx ограничено. Таким образом,

P xi nmx    1  ,


что и требовалось доказать.

1


Заметим, что Марков обобщил эту теорему на зависимые опыты и нерав- новероятные опыты. Было сделано обобщение теоремы Чебышева и на случай переменных условий опыта.

Заметим так же, что до теоремы Чебышева, основанием закона больших чисел была теорема Бернулли, с громоздким выводом. Приведем доказатель- ство теоремы Бернулли с использованием неравенства Чебышева.

Теорема Бернулли. При неограниченном увеличении числа независимых опытов, частота события Aсходится по вероятности к его вероятности

PA  Pв отдельном опыте.

Смотрите также файлы