Файл: Неравенство Чебышева.docx

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 12.12.2023

Просмотров: 188

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

для непрерывной случайной величины

gt 

fxeitxdx



является ни чем

иным как преобразованием Фурье. Отметим, что

lim gt  1.Заметим также,

t0

что можно ввести комплексную случайную величину

ZXiY, как пару

случайных величин. Очевидно, что для нее должно выполняться соотношения

MZ MX iMY, DZ  DX DY, DZ 0 .

Найдем характеристическую функцию нормального закона распределе-

ния с параметрами Тогда

mx 0 ,

x  1,

fx

1 x2

2  e ,

2



 x2

ACB2 t2




gt 

e 2 eitxdx eAx2 2 BxCdx

 

e A  e 2 .





Исходя из определения характеристической функции, перечислим ее

основные свойства:

- lim gt  1;

t0

-если yax, то gyt  gxat;

n n

-если

xiнезависимые и

Y xi, то

1

gyt  gxt.

1

Далее, используем первое свойство

t 0:

gt, разложим ее в ряд Маклорена при
gtg0g0tg0t2,


где

gx0 1,

x x

gx0  imx 0 ,

x

gx0  

x
x2 . Тогда

gxt  1

2

xt2 .

2

Используем третье свойство

gt. Для суммы случайных величин Yха-

рактеристическая функция будет иметь вид

gt  gtn. Получаем в преде-


y x
  n

 2 n

2t2

ле n,

gyt 

1 



2

xt2

2

1 



yt2

2n

y

 e 2
t2


. Если обезразмерить слу-

чайную величину Y,

Zyy

то gZt  e 2 .

Таким образом, сумма случайных величин но, распределена по нормальному закону.

Примеры


xi при

n, действитель-

  1. Складываются 24 независимых случайных величины, равномерно рас- пределенных в интервале 0,1. Написать приближенное выражение плотности

распределения суммы этих случайных величин. Найти так же вероятность того, что сумма будет заключена в пределах от 6 до 8.

24

Решение: Y

1

xi, где

fx  1,


0,


0  x 1

x 0,x 1

m 0  1 1 ,

D1 , mnP12 , DnD

 2 .

x2 2

x 12 y y x

Используем центральную предельную теорему

n  20:

fy

1 y122

 4 e

4
6 12 y

P6  Y 8  Ф 8 12 Ф 6 12  Ф2,8  Ф4,2  0,005 .

   

   

  1. Автомат изготавливает 80% изделий первого сорта и 20% второго сор- та. Найти вероятность, что среди наудачу выбранных 10000 изделий окажется от 7960 до 8040 изделий первого сорта.

Решение.

P 0,8,

q 0,2 ,

mynP 8000 ,

y

 40 .

Применим теорему Муавра-Лапласса

P7960  Y 8040  2Ф1  0,68.

  1. Сто бомбардировщиков независимо производят серийное бомбомета- ние по полосе укреплений. Каждый из бомбардировщиков сбрасывает серию

бомб. Для одной серии

m 2

бомбы и

 1

бомба. Найти вероятность попа-

дания в полосу укреплений от 170 до 230 бомб.

Решение.

my 100m 200,

y

n  10

    P170  Y 230  Ф 230 200 Ф170 200  2Ф3  0,997 .




10   10

  1. В процессе производства 60% изделий получается высшего сорта. Наудачу отбирают 200 изделий. Найти вероятность, что среди отобранных из- делий от 120 до 150 являются изделиями высшего сорта.

Решение.

P 0,6 ,

q 0,4 ,

my np 120 ,. Dy

npq 48 ,

y 7
P120Y150Ф150120

Смотрите также файлы