Файл: Неравенство Чебышева.docx

Доказательство. Пусть

x₁ – число появления события Aв одном опыте,

x₂ – во втором опыте и так далее. Наконец x_n– число появлений события в n-

0	1
q	P

ом опыте. Закон распределения X–

где P q1, тогда m_x 0  q 1 P P ^,

xD 0²  q 1²  P P²  P1  P  Pq. Ча-

стота события Aопределяется

^*  ^m* 

 n Pn ₁

10. 
    n. Тогда
    

MP

^*  ¹ n

n₁

Mx

i m, DP^* ¹ _Dx ^Dx.

n




^x 2 ⁱ

n n1

Используя неравенство Чебышева, получаем

PP^*  P  1 

^Dx 1

n²

для

n.

Пример. Стрелок стреляет в мишень 300 раз, причем вероятность его по-

падания в мишень при каждом выстреле равна 2 3 . Оценить вероятность попа-

дание в мишень от 185 до 215 раз

^ P^*  _n xn^ .

  i 1 

Решение.

_ 300

m_p 2 3 ,

2

 15 300  0,05 . Тогда

^ 2  300²

D_x P q1 3  2 3  2 9 и

P^ _ x_i

300 

3

 0,05^  1 

9  300 15²

 1  0,3  0,7 .

 ¹ 

3. 1   2   3   4   5

Центральная предельная теорема

В законе больших, чисел мы рассматривали предельные значения самих

случайных величин. Теперь рассмотрим предельные законы законов распреде- ления случайных величин. Основная идея продельной теоремы состоит в том, что при суммировании достаточно большого числа случайных величин распре- деление суммы случайных величин стремится к нормальному закону. И чем больше членов в сумме, тем точнее она будет описываться нормальным зако- ном распределения. При этом не играет роли, как распределены сами члены суммы.

Перечислим требования, предъявляемые к сумме случайных величин: во-

первых, члены суммы должны быть одного порядка малости (равномерно ма- лыми) и, во-вторых, сумма должна состоять из достаточно большого числа сла-

гаемых n 20. Отметим, что центральная предельная теорема на самом де-

ле – это целый комплекс теорем для различных условий опыта. Приведем са- мую простую из них.

Теорема. Если

x₁ , x₂ , x₃ ,, x_n

– независимые случайные величины,

имеющие один и тот же закон распределения с математическим ожиданием m

и дисперсией ² , то при неограниченном возрастании числа случайных вели-

n

чин n, закон распределения их суммы

Y _ x_i

1

c m_y nm и

D_y nD

y  

n

неограниченно приближается к нормальному

ym_y ²

fy 

_{1 e}

2²

y.

и вероятность, что случайная величина Y попадет в интервал ,

приближенно равна

будет

^   m_y^{ }   m_y^

 P  Y   Ф^  Ф^ ,

где
m_y nm
и  _y
n .

 

 ^y 

 

 ^y 

P  Y   Ф^

 _{ Ф}

^ была нами получена ранее.

   

Доказательство.Введем понятие характеристической функции (Ляпунов)

gt  Me^itx – здесь Xслучайная величина. Например, для дискретной слу-

чайной величины с законом распределения:

xi	x1	x2		xn
Pi	P1	P2		Pn

, gt  _

k1

_eitx_kP,
k