Файл: Неравенство Чебышева.docx

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 12.12.2023

Просмотров: 34

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Доказательство. Пусть

x1 – число появления события Aв одном опыте,

x2 – во втором опыте и так далее. Наконец xn– число появлений события в n-


0
1

q
P



ом опыте. Закон распределения X–

где P q1, тогда mx 0 q 1 PP ,


x
D 02q 12PP2P1  P  Pq. Ча-


стота события Aопределяется

* m* 
n
P
n 1

  1. n. Тогда

MP

* 1 n



n1

Mx


i
m, DP* 1 Dx Dx.

n




x 2 i


n
n
1

Используя неравенство Чебышева, получаем

PP* P 1

Dx 1

n2

для

n.


Пример. Стрелок стреляет в мишень 300 раз, причем вероятность его по-

падания в мишень при каждом выстреле равна 2 3 . Оценить вероятность попа-


дание в мишень от 185 до 215 раз

P* n xn .


i
 1 

Решение.

300

mp 2 3 ,

2

15 300 0,05 . Тогда

2 3002

Dx P q1 3 2 3 2 9 и

P xi

300

3

0,05 1

9 300 152

1 0,3 0,7 .

1
    1. 1   2   3   4   5

Центральная предельная теорема


В законе больших, чисел мы рассматривали предельные значения самих

случайных величин. Теперь рассмотрим предельные законы законов распреде- ления случайных величин. Основная идея продельной теоремы состоит в том, что при суммировании достаточно большого числа случайных величин распре- деление суммы случайных величин стремится к нормальному закону. И чем больше членов в сумме, тем точнее она будет описываться нормальным зако- ном распределения. При этом не играет роли, как распределены сами члены суммы.

Перечислим требования, предъявляемые к сумме случайных величин: во-

первых, члены суммы должны быть одного порядка малости (равномерно ма- лыми) и, во-вторых, сумма должна состоять из достаточно большого числа сла-

гаемых n 20. Отметим, что центральная предельная теорема на самом де-

ле – это целый комплекс теорем для различных условий опыта. Приведем са- мую простую из них.

Теорема. Если

x1 , x2 , x3 ,, xn

– независимые случайные величины,

имеющие один и тот же закон распределения с математическим ожиданием m

и дисперсией 2 , то при неограниченном возрастании числа случайных вели-

n

чин n, закон распределения их суммы

Y xi

1

c my nm и

Dy nD


y
  

n

неограниченно приближается к нормальному

ymy 2

fy

1 e

22


y
.


и вероятность, что случайная величина Y попадет в интервал ,

приближенно равна

будет

my my

P  Y   Ф Ф ,



где
my nm
и y
n .



y

 

y
    1. 1   2   3   4   5

Характеристические функции и их свойства


Отметим, что частным случаем центральной предельной теоремы являет-

ся нелокальная теорема Муавра-Лапласа (смотрите лекцию 3) с Pnm


n
 CmPmqnm,


y
y
 mynP, DnPq,   nPq. Вероятность попадания Y в ,:

nP nP

P Y  Ф

Ф

была нами получена ранее.

   

Доказательство.Введем понятие характеристической функции (Ляпунов)

gt Meitx – здесь Xслучайная величина. Например, для дискретной слу-

чайной величины с законом распределения:






xi
x1
x2


xn

Pi
P1
P2



Pn



, gt 

k1

eitxkP,

k

Смотрите также файлы