Добавлен: 09.01.2024
Просмотров: 703
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
СОДЕРЖАНИЕ
31
(14)
∆T = T – T
0
=
0 0
u
X
k
k
k
k
0 0
−
Опять же, в рассматриваемой модели сразу после начала реа- лизации проекта по единственному наблюдению освоенного объе- ма или одного из относительных показателей возможно однозначно определить фактическое значение интенсивности, действительную продолжительность проекта, затрат и т.д.
c(t)/C
0
– фактические затраты
0 0
C
C
C
−
τ
x
(t)
T
0
100%
x(t)/X
0
– освоенный объем
t
c
0
(t)/C
0
– планируемые затраты
T
t
Рис. 8. Динамика объема во втором случае примера 1.
Обнаружив в момент времени t < T несоответствие освоенного объема (и затрат) и плановой динамики объема, возможно решение задач оперативного управления по корректировке параметров реализации проекта. Например, для того, чтобы завершить проект в плановые сроки (см. линию, выделенную точками на рисунке 8)
необходимо: либо в оставшееся время (T
0
- t) использовать ресурс в объеме:
(15) u
*
=
)
(
0 0
0
t
T
k
t
ku
X
−
−
,
32
либо увеличить интенсивность (что не всегда возможно с техноло- гической точки зрения) до величины
(16) k
*
=
)
(
0 0
0 0
t
T
u
t
ku
X
−
−
,
что в первом случае приводит к возрастанию суммарных фактиче- ских затрат по сравнению с плановыми на величину
∆C = X
0
k
k
k
k
0 0
−
, а во втором случае – не меняет суммарных затрат.
Величина
∆C позволяет оценить перерасход средств, вызванный неправильной плановой оценкой, при условии необходимости завершения проекта в срок.
3. Предположим, что присутствуют и внешняя причина, то есть
u < u
0
, и внутренняя причина - фактическая интенсивность k ис- пользования ресурса u оказалось меньше планируемой: k
≤ k
0
. Тогда динамика фактических и освоенных затрат имеет вид:
(17) c
e
(t) = c(t) = u t
≤ c
0
(t),
а значение освоенного объема отстает от планового значения:
(18) x(t) = x
e
(t) = k u t
≤ x
0
(t).
Если X
0
– суммарный объем работ по проекту, то фактическая продолжительность проекта составит:
(19) T = X
0
/ (k u)
≥ T
0
,
∆T = X
0
ku
u
k
ku
u
k
0 0
0 0
−
Вычислим основные показатели:
α
c
(t)=c
e
(t)/c
0
(t)=u/u
0
;
β
c
(t)=c
e
(t)/c(t)=1;
α
x
(t)=x
e
(t)/x
0
(t)=ku/k
0
u
0
;
β
x
(t)=x
e
(t)/x(t)=1;
τ
0с
(t)=(u
0
-u)t/u
0
;
τ
с
(t)=0;
τ
0x
(t)=
0 0
0 0
u
k
ku
u
k
−
t;
τ
x
(t)=0.
Для того, чтобы завершить проект в плановые сроки необхо- димо в оставшееся время (T
0
- t) использовать ресурс и интенсив- ность, удовлетворяющими уравнению:
(20) k
*
u
*
=
t
T
kut
X
−
−
0 0
Отметим, что для всех случаев рассматриваемого примера вы- полнено:
(21)
∆T = max {τ
0с
(T);
τ
с
(T);
τ
0x
(T);
τ
x
(T)}.
33
Рассмотрим другую задачу. Пусть за каждый день превышения планового срока завершения проекта накладываются штрафные санкции в размере
χ
0
> 0. Тогда задача минимизации упущенной выгоды будет заключаться в определении минимального суммарно- го значения ресурсов, используемых начиная с момента времени t
обнаружения отклонений реальной траектории от директивной до момента T завершения проекта (которое также необходимо опреде- лить) то есть:
(22)
=
−
+
≥
→
−
+
−
)
(
,
min
)
(
)
(
0
*
0 0
,
0 0
*
*
X
t
T
ku
t
ku
T
T
T
T
t
T
u
T
u
χ
Решение задачи (22) совпадает с выражением (15). Содержа- тельно при ненулевых штрафах за задержку в завершении проекта оптимальным является его завершение точно в срок, при этом фактические суммарные затраты на реализацию проекта совпадают с (13).
Итак, показатели освоенного объема в рассматриваемом при- мере позволяют тривиально прогнозировать (в результате единст- венного точного наблюдения за реализацией проекта) как время завершения проекта:
(23) T = T
0
/
α
x
(t),
так и фактические затраты на выполнение (и, соответственно,
завершение) проекта:
(24) C = X
0
/ e(t) = X
0
α
x
(t) /
α
c
(t).
Еще раз подчеркнем, что и в первом, и во втором случае фак- тические затраты на проект не изменялись в процессе оперативного управления, которое было нацелено на выполнение проекта в пла- новые сроки.
Более того, однократное наблюдение одного из параметров проекта позволяет в рамках введенных предположений однозначно определить и спрогнозировать будущие значения основных его параметров (так как ресурс и интенсивность считались постоянны-
34
ми во времени, то левые части выражений (23) и (24) не зависят от времени!).
•
1
Сделанный в результате рассмотрения примера вывод вполне согласован с результатами зарубежных авторов и имеющимся опытом практического применения методики освоенного объема, в частности – в крупных проектах, выполняемых по заказу Мини- стерства обороны
США.
Более конкретно, в работах
[102, 103, 113, 122] утверждается, что: 1) статистические данные по проектам указанного типа (более пятисот проектов за последние тридцать лет) свидетельствуют о том, что показатели освоенного объема (в частности – текущая эффективность использования средств) меняются не более чем на 10% относительно того значе- ния, которое было достигнуто к моменту 20% выполнения проекта;
2) оценки (23) и (24)
2
могут и должны (по стандартам того же
Министерства обороны) использоваться для определения соответ- ственно времени завершения и суммарных затрат проекта.
Таким образом, ключевая идея, лежащая в основе всей методи- ки освоенного объема заключается в следующем – показатели освоенного объема являются характеристиками, на основании исследования которых на ранних стадиях выполнения проекта возможна (иногда достаточно точная) оценка их будущих значений и, следовательно, выработка на их основе своевременных опера- тивных управляющих воздействий. Идея эта достаточно рацио- нальна и грамотное ее использование на практике действительно целесообразно.
Проблема заключается в том, что существующие на сегодняш- ний день реализации этой идеи (будем надеяться, что по крайней мере – теоретические реализации) не выдерживают никакой крити- ки. Как отмечалось выше (в частности, во введении и в примере 1),
использование оценок (23)–(24) адекватно только в рамках предпо- ложений о линейной связи затрат и объема и постоянстве интен- сивностей и ресурсов во времени, введенных в рассмотренном
1
Символ «
•» здесь и далее обозначает окончание примера, доказательст-
ва и т.д.
2
Справедливости ради, следует отметить, что оценка (23) считается
«оптимистической», а в качестве «пессимистической» оценки времени
завершения проекта иногда предлагается использовать выражение T
0
/
(
α(t) e(t)) (см. введение).
35
выше примере! Для общего случая (произвольных плановых зави- симостей между объемом и интенсивностями и произвольных плановых графиков финансирования, то есть плановой динамики затрат) они играют роль не более чем эвристик, эффективность использования которых может оказаться чрезвычайно низкой.
В чем же причина столь широкой распространенности «не очень корректной» версии методики освоенного объема? Предста- вим себе следующую ситуацию. Пусть параметры проекта (напри- мер, интенсивности или объемы ресурсов и т.д.) зависят от некото- рой внешней или внутренней причины – например - переменной,
точное значение которой неизвестно до момента начала реализации проекта, но остается постоянным в течение всего времени реализа- ции проекта. Следуя терминологии теории принятия решений назовем эту переменную «состоянием природы». На этапе плани- рования (до начала реализации проекта) приходится использовать те или иные оценки состояния природы. Например, в рассмотрен- ном выше примере состоянием природы являлись: в первом случае
(внешняя причина) – фактическое количество ресурса u, во втором случае (внутренняя причина) – фактическое значение интенсивно- сти k. До начала выполнения проекта в качестве оценок состояния природы («плановых» значений) использовались соответственно величины u
0
и k
0
Если реализовавшееся значение состояния природы взаимно однозначно связано с наблюдаемыми параметрами процесса реали- зации проекта (например, с параметрами освоенного объема), то после начала реализации проекта (причины «выжидания» примерно до 20% его завершения очевидны, хотя и эта величина может быть предметом отдельного исследования) появляется возможность на основании наблюдаемого хода его реализации «восстановить»
истинное значение состояния природы. Такая примитивная иден- тификация позволяет полностью устранить неопределенность и при необходимости оптимизировать выполнение оставшейся части проекта уже в условиях полной информированности.
Итак, описанный подход справедлив в предположении, что со- стояние природы не изменяется в течение всего времени выполне- ния проекта. Возможность использования оценок (23)-(24) допол- нительно требует линейной зависимости между объемом и ресурсами, а также - постоянства количества ресурсов во времени.
36
Иными словами, требуется «стационарность» условий, в которых выполняется проект. Быть может, такая стационарность и имеет место при реализации оборонных проектов в США, однако относи- тельно современных российских условий подобные предположения вызывают, мягко говоря, подозрения в их обоснованности, что объясняет актуальность разработки методики освоенного объема,
которая могла бы эффективно использоваться в оперативном управлении проектами в условиях современной социально- экономической ситуации. Кроме того, необходимо учитывать активность участников проекта, то есть разрабатывать механизмы управления, оперирующие показателями освоенного объема и побуждающие участников проекта к сообщению достоверной информации, выбору действий, совпадающих с планами, назначае- мыми руководством проекта и т.д.
Тем не менее, уже имеющийся на сегодняшний день опыт ис- пользования методики освоенного объема свидетельствует, что используемый в ней набор показателей (показатели освоенного объема) является информативным
1
и в ряде случаев (см., например,
условия выше) достаточным для принятия эффективных управлен- ческих решений по управлению проектами. Основными преимуще- ствами методики освоенного объема является то, что она оперирует теми же показатели, что и руководитель проекта (который делает это формально или интуитивно), достаточно проста в использова- нии и, что самое главное – позволяет принимать решения в реаль- ном режиме времени.
Последнее обстоятельство является чрезвычайно существен- ным по следующим причинам. Хорошо развитые на сегодняшний день теоретические модели сетевого планирования и управления
(СПУ) обладают высокой вычислительной сложностью и требуют для своего использования большого объема информации и доста- точных резервов времени. Следствием этого является использова- ние СПУ на этапе планирования, например, при разработке сетево- го (ресурсного, календарного и др.) графика проекта до начала его
1
Набор переменных, фигурирующих в методике освоенного объема, с
одной стороны невелик и соответствует используемым на практике
показателям, а с другой стороны – несет в себе достаточную информа-
цию о текущем состоянии проекта, для, по крайней мере, первичного
анализа.
37
реализации. В ходе реализации проекта, когда ограничены как информация, так и время принятия решений, необходимо прини- мать решения в реальном времени на основе имеющейся информа- ции. В качестве такой информации можно использовать показатели освоенного объема. Для минимизации времени принятия решений необходима разработка готовых алгоритмов и процедур обработки информации, прогнозирования, генерации и оценке вариантов и т.д.
Поэтому при создании методов идентификации, прогнозирова- ния и оперативного управления (см. таблицу 1) необходимо ориен- тироваться на включение соответствующего инструментария в существующие, модифицируемые и вновь создаваемые комплексы прикладных программ по управлению проектами. Исходя из выше- сказанного в ходе дальнейшего изложения материала настоящей работы мы будем стремиться либо сводить рассматриваемые задачи управления к уже известным (для которых существуют эффектив- ные методы и алгоритмы решения, готовые к программной реали- зации и не требующие дополнительного исследования с точки зрения специфики изучаемой области), либо описывать модели и механизмы в виде, максимально приближенном к требуемому для использования в прикладных моделях.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1.2. Общая постановка задачи оперативного управления
проектом
Предположим, что в рамках имеющейся информированности руководителя проекта – центра – он обладает достоверной инфор- мацией обо всех существенных параметрах, то есть условно можно считать, что функционирование системы происходит в условиях полной информированности [15, 17, 19, 22, 78]. Исследуем в рамках этого предположения избыточность приведенной в разделе 1.1
системы показателей освоенного объема.
Даже краткое рассмотрение частных случаев (см. пример 1)
свидетельствует, что набор показателей освоенного объема (основ- ных и производных) является избыточным как с содержательной (в рамках рассматриваемой модели не всегда ясны содержательные трактовки различий между фактическими и освоенными затратами,
а также между фактическим и освоенным объемом), так и с фор- мальной (некоторые производные показатели являются комбинаци-
38
ей других основных или производных показателей и т.д.) точек зрения. Поэтому введем следующий минимальный
1
набор показа- телей освоенного объема (см. рисунок 9), которые используются ниже в настоящей работе.
Основные показатели освоенного объема:
C
0
– планируемые суммарные затраты на проект (TB);
T
0
– планируемый срок завершения проекта;
X
0
– суммарный объем работ по проекту;
c
0
(t) – планируемая динамика затрат (BCWS);
c(t) – фактическая динамика затрат (ACWP);
x
0
(t) – планируемая динамика объемов работ (BQWS);
x(t) – освоенный объем (BQWP);
T – фактический срок окончания проекта;
C – фактические суммарные затраты на проект (EAC – Estimate
At Complete).
Производные показатели освоенного объема:
∆с(t) = c
0
(t) - c(t) - разность между плановыми и фактическими затратами;
∆x(t) = x
0
(t) - x(t) - разность между плановым и освоенным объ- емом
2
;
α(t) = x(t) / x
0
(t) – показатель освоенного объема, характеризует выполнение плана по объему;
β(t) = c(t) / c
0
(t) – показатель динамики затрат, характеризует соответствие поступления средств директивному графику;
γ(t) = x(t) / c(t) – эффективность использования средств
3
;
τ
с
(t) = t -
1 0
−
c
(c(t)) – текущая задержка по затратам;
τ
x
(t) = t -
1 0
−
x
(x(t)) – текущая задержка по объему;
e
0
= X
0
/ C
0
– плановая эффективность проекта в целом;
e
0
(t) = x
0
(t) / c
0
(t) =
β(t) γ(t) / α(t) – плановая эффективность ис- пользования средств;
1
Условно можно считать, что освоенные затраты могут быть рассчи-
таны по освоенному объему (см. подробности ниже).
2
По четырем независимым переменным с учетом размерности можно
определить две независимых их разности.
3
По четырем независимым переменным можно определить три их
независимых отношения.
39
e = X / C – фактическая эффективность проекта в целом.
Помимо перечисленных показателей освоенного объема мо- дель проекта должна включать в себя оператор G(
⋅), связывающий объем с затратами и отражающий «технологию» использования ресурсов.
τ
x
(t)
T
0
x(t)/X
0
– освоенный объем
x
0
(t)/X
0
– план по объему
100%
c(t)/C
0
– фактические затраты
t
c
0
(t)/C
0
– планируемые затраты
T
t
τ
c
(t)
C / C
0
Рис. 9. Пример динамики основных показателей освоенного объема
Докажем, что введенная система показателей освоенного объ- ема включает в себя используемую зарубежными авторами систему показателей (см. ее описание во введении) как частный случай.
Пусть x = kc, где k – коэффициент интенсивности (в примере 1
использовалось уравнение dx/dt = ku, где u = dc/dt). Получаем, что:
SPI =
α(t); CPI = γ(t) / k;
EAC = c(t) + (C
0
– c
e
(t)) / CPI = c(t) + (X
0
– x(t)) /
γ(t),
то есть в случае линейной связи между объемом и ресурсами соот- ветствие полное (с точностью до линейного преобразования).
В рамках рассматриваемой модели задача управления проек- том включает в себя задачу планирования, решаемую до начала реализации проекта, и задачу оперативного управления - выработки оперативных управляющих воздействий в ходе реализации проекта.
Задача планирования заключается в определении объема проекта
X
0
, плановых значений затрат с
0
(t), объема x
0
(t) и продолжительно-
40
сти проекта T
0
при известной «модели проекта» G
0
(
⋅); при этом
C
0
= c
0
(T
0
), x
0
(T
0
) = X
0
. Задача планирования рассматривается в разделе 1.3 настоящей работы, поэтому перейдем к рассмотрению
общей постановки задачи оперативного управления проектом,
которая включает задачи идентификации, прогнозирования и соб- ственно управления.
На рисунке 10 изображена структура системы оперативного управления проектом в рамках модели освоенного объема. Прямо- угольниками отражены реальный проект и его модель. Входом модели проекта является плановая зависимость затрат от времени
c
0
(t), выходом – плановая зависимость объема от времени x
0
(t).
Входом реального проекта является фактическая зависимость затрат от времени c(t), выходом – величина освоенного объема x(t).
Как отмечалось выше, несовпадение: x(t)
≠ x
0
(t) может быть вызва- но следующими причинами: внешней – c(t)
≠ c
0
(t) и/или внутрен- ней – G(
⋅) ≠ G
0
(
⋅).
Следовательно, первой задачей идентификации (обозначенной
«И1» на рисунке 10), которую можно также рассматривать и как задачу прогнозирования, является задача оценки зависимости фактических затрат от времени на основании сравнения наблюдае- мых значений фактических и плановых затрат.
Если представить, что на вход модели проекта подаются не плановые, а фактические затраты, то, зная оператор G
0
(
⋅), можно определить следующую зависимость от времени:
xˆ
(t) = G
0
(c(t)),
сравнение которой с плановой зависимостью x
0
(t) может служить исходными данными для решения второй задачи идентификации
(обозначенной «И2» на рисунке 10) – задачи идентификации собст- венно модели проекта, то есть «уточнения»
G
(
⋅, τ) (см. двойную линию на рисунке 10),
G
(
⋅, 0) = G
0
, соответствующего оператора
(индекс “
τ” в операторе
G
присутствует для того, чтобы подчерк- нуть зависимость от времени
τ, то есть в зависимости от продолжи- тельности имеющейся истории наблюдений за время [0;
τ] модель может изменяться).
41
c
(t’)
x
(t’)
xˆ
(t)
c
0
(t)
x
0
(t)
c(t)
)
,
(
τ
⋅
G
G
0
(
⋅)
G
0
(
⋅)
G
0
(
⋅)
МОДЕЛЬ ПРОЕКТА
Рис. 10. Структура системы
оперативного управления проектом
РЕАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ
УПРАВЛЕНИЕ
И1
И2
x(t)
ПРОГНОЗ
Итак, возникают следующие задачи идентификации:
И1. В момент времени
τ ≥ 0 на основании истории наблюдений
{c(t), c
0
(t)}
t
∈[0; τ]
определить «прогноз» затрат
c
(t’,
τ) для t’ > τ.
И2. В момент времени
τ ≥ 0 на основании истории наблюдений
{c(t), c
0
(t), x
0
(t), x(t),
xˆ
(t)}
t
∈[0; τ]
идентифицировать проект, то есть построит адекватную ему модель
G
(
⋅, τ).
Решив обе задачи идентификации, то есть имея в своем распо- ряжении зависимости
c
(t,
τ) и
G
(
⋅, τ), можно в момент времени
τ ≥ 0 решить задачу прогнозирования, то есть сделать прогноз значения освоенного объема
x
(t’,
τ) для моментов времени t’ > τ :
x
(t’,
τ) =
G
(
c
(t’,
τ), τ).
Необходимо принимать во внимание, что для решения задач идентификации и прогнозирования могут использоваться не только
42
данные о ходе реализации рассматриваемого проекта, но и инфор- мация о реализации других аналогичных проектов.
Сделав маленькое отступление, отметим, что в рамках рас- сматриваемого подхода легко показать, что введенная в настоящем разделе система показателей освоенного объема является мини- мально необходимой для полного описания проекта в рамках мето- дики освоенного объема. Для этого достаточно доказать, что пока- затели фактического объема и освоенных затрат (присутствующие в «расширенном» списке показателей освоенного объема, приве- денном во введении и в разделе 1.1) не являются независимыми и могут быть выражены, через фактические и плановые затраты, а также освоенный и плановый объем. Действительно, фактический объем может интерпретироваться как объем, который был бы освоен, если бы присутствовала только внешняя причина, а внут- ренняя причина отсутствовала, то есть фактический объем есть ни что иное, как
xˆ
(t) = G
0
(c(t)). Освоенные затраты c
e
(t) соответству- ют тем затратам, которые понадобились бы для того, чтобы показа- тель освоенного объема для реального проекта равнялся заданной величине x(t), то есть
G
(с
e
(t)) = x(t).
Решив задачи идентификации и прогнозирования, то есть имея в момент времени
τ в своем распоряжении прогнозы
c
(t’,
τ) и
x
(t’,
τ), для t’ > τ, и зная директивные (плановые) графики затрат и объема, можно решать задачи оперативного управления проек-
том – выработки таких управляющих воздействий, которые кор- ректировали бы ход реализации проекта в нужную (с точки зрения руководителя проекта – см. более подробно ниже) сторону.
Рассмотрим более подробно задачи идентификации, прогноза и оперативного управления. Отметим, что в настоящей работе при анализе и синтезе моделей оперативного управления проектами мы будем следовать следующему общему принципу. Так как конечная цель всех разрабатываемых в рамках методики освоенного объема методов и механизмов оперативного управления заключается в повышении эффективности управления реальными проектами, то критерием необходимости изучения той или иной частной задачи управления является неизвестность на сегодняшний день возмож- ности сведения ее к уже исследованным, например, оптимизацион- ным и другим задачам, методы решения которых могут быть алго- ритмизированы, то есть использованы в методиках или прикладных
43
компьютерных программах, ориентированных на использование руководителями проектов. Такая практическая направленность четко выделяет необходимую степень детализации при исследова- нии тех или иных задач управления, возникающих при описании проекта показателями освоенного объема. Другими словами, в рамках используемого подхода частная задача синтеза определен- ного механизма управления может считаться решенной, если для нее сформулированы либо алгоритм решения, либо приведена ссылка на метод решения эквивалентной ей задачи, которые могут быть использованы в прикладных методиках и алгоритмах, причем создание последних, при наличии подробно изученных с теорети- ческой точки зрения методах решения, может рассматриваться как инженерная задача.
Первая задача идентификации (И1), которую можно также рас- сматривать как задачу прогнозирования значений фактических затрат, заключается в оценке будущей зависимости фактических затрат от времени на основании сравнения наблюдаемых значений фактических и плановых затрат.
Итак, имеются два временных ряда: c
0
(t) и c(t), t
≤ τ. Прогноз
c
(t’,
τ), t’ > τ, может быть получен двумя путями. Первый путь, не учитывающий специфику рассматриваемой задачи, заключается в использовании методов «технического» анализа (статистический анализ временных рядов [2, 51, 72, 99]) для оценки величины
c
(t’,
τ), t’ > τ, только на основании наблюдаемых реализаций c(t),
t
≤ τ. Второй путь – построение модели, отражающей связь между плановыми и фактическими затратами и, быть может, учитываю- щей информацию о результатах реализации аналогичных завер- шившихся проектов, и адаптивная идентификация этой модели на основании имеющих статистических данных. Иллюстрацией второ- го пути может служить введенное в примере 1 предположение
(модель) о постоянстве ресурсов, то есть затрат в единицу времени.
Тогда однократное наблюдение фактических значений ресурсов позволяет однозначно идентифицировать модель. Таким образом,
для прогнозирования будущих значений фактических затрат
c
(t’,
τ), t’ > τ, могут быть использованы (то есть, «зашиты» в соответствующую компьютерную программу без существенной адаптации) известные методы и алгоритмы прогнозирования и идентификации [2, 74, 97-99].
44
Аналогичным образом обстоит дело и со второй задачей иден- тификации (И2) - построения в момент времени
τ ≥ 0 адекватной модели проекта
G
(
⋅, τ) на основании истории наблюдений
{c(t), c
0
(t), x
0
(t), x(t),
xˆ
(t)}
t
∈[0; τ]
, для решения которой в теории адаптивного управления и идентификации существуют хорошо развитые методы решения [98, 99 и др.]. В рамках примера 1 иден- тификация проекта означала определение коэффициентов интен- сивности на основании однократного наблюдения (которое оказы- валось достаточным) параметров фактической реализации проекта.
При известном прогнозе фактических затрат и имеющейся мо- дели проекта решение задачи прогнозирования будущих значений показателей освоенного объема тривиально – оно заключается в подстановке прогноза
c
(t’,
τ) в модель
G
(
⋅, τ), то есть
x
(t’,
τ) =
G
(
c
(t’,
τ), τ), t’ > τ:
Несколько сложнее обстоит дело с задачей собственно управ- ления – поиска оптимальных управляющих воздействий на основа- нии результатов решения задач идентификации и прогнозирования.
Этот класс задач, как и задачи планирования, заслуживает отдель- ного исследования, проводимого в разделе 1.3 настоящей работы.
Таким образом, для решения задач идентификации и прогно- зирования в рамках методики освоенного объема на сегодняшний день существуют хорошо развитые методы адаптивного управле- ния, идентификации и прогнозирования. Другими словами, возни- кающие при использовании методики освоенного объема задачи идентификации и прогнозирования, естественно, обладают собст- венной спецификой, однако, специфичны они не настолько, чтобы к ним были неприменимы известные методы и алгоритмы решения.
45
1.3. Планирование и оперативное управление проектом
в условиях полной информированности
Сохраним введенное в начале раздела 1.2 предположение о том, что руководитель проекта – центр – в рамках своей информи- рованности обладает достоверной информацией.
Часть показателей освоенного объема, введенных в разделе 1.2,
может рассматриваться как управляющие параметры (ими могут,
например, быть плановые затраты, интенсивности и т.д.). Осталь- ные показатели являются при этом зависимыми, то есть при фикси- рованной модели проекта однозначно определяемыми значениями управляющих параметров (например, если плановые затраты ин- терпретируются как управляющий параметр, то при модели проек- та G
0
(
⋅) плановое значение объема является зависимым показате- лем: x
0
(t) = G
0
(c
0
(t)) и т.д.). В зависимости от рассматриваемой модели (то есть в зависимости от рассматриваемой задачи управле- ния) одни и те же показатели могут быть либо управляющими,
либо зависимыми.
Пусть известны ограничения на значения управляющих пара- метров и задан критерий эффективности управления
1
, зависящий как от управляющих, так и от зависимых параметров. Тогда на качественном уровне задачу управления можно сформулировать следующим образом: выбрать такие допустимые значения управ- ляющих параметров, которые доставляли бы экстремум критерию эффективности управления (в частном случае – максимизировали эффективность проекта).
Задача планирования, являющаяся частным случаем сформу- лированной выше задачи управления, решается до начала реализа- ции проекта и заключается в определении на основании всей имеющейся на данный момент информации оптимальных плановых значений управляющих параметров для t’
≥ 0.
Задача оперативного управления, также являющаяся частным случаем задачи управления, решается в ходе реализации проекта и заключается в определении на основании всей имеющейся на дан- ный момент информации оптимальных текущих и будущих значе-
1
Следует различать эффективность проекта, определяемую как отно-
шение объема к затратам (см. выше), и эффективность управления.
46
ний управляющих параметров, то есть оптимальных плановых значений управляющих параметров для t’
≥ τ.
Таким образом, задачи планирования и оперативного управле- ния являются частными случаями одной и той же задачи управле- ния, отличающимися лишь той информацией, которая имеется на момент принятия решений.
Поясним последнее утверждение более подробно. При реше- нии задачи планирования имеется информация об ограничениях на допустимые значения плановых показателей и модель проекта. При решении задачи оперативного управления имеется информация об ограничениях на допустимые значения показателей освоенного объема и модель проекта, скорректированные в соответствии с решениями соответствующих задач идентификации и прогнозиро- вания, описанными в разделе 1.2, и учитывающие историю реали- зации проекта.
Коль скоро установлена качественная эквивалентность задач планирования и оперативного управления, достаточно рассмотреть подробно одну из них, поэтому ниже в настоящем разделе мы по умолчанию будем подразумевать, что формулируемые и решаемые задачи могут интерпретироваться двояко. Более того, качественно основной результат настоящего раздела заключается в следующем:
при агрегированном представлении проекта, то есть рассмотрении проекта как единого целого в рамках модели, описанной в разделе
1.2, решение задач планирования и оперативного управления в условиях полной информированности заключается в сведении к известным оптимизационным задачам, методы и алгоритмы реше- ния которых хорошо известны.
Обоснуем это утверждение.
Важную часть показателей освоенного объема составляют плановые показатели: планируемая длительность проекта, плани- руемая динамика затрат, плановые значения величины освоенного объема. Поэтому рассмотрим возможные постановки задачи плани- рования.
В разделах 1.1-1.2 была введена следующая взаимосвязь между освоенным объемом и количеством ресурса (напомним, что коли-
47
чество ресурса – объем средств – затрат, которые вкладываются в единицу времени: u(t) = c’(t), c(t) =
∫
t
d
u
0
)
(
τ
τ
):
(1)
))
(
(
)
(
t
u
w
dt
t
dx
=
, x(t) =
∫
t
d
u
w
0
))
(
(
τ
τ
,
∫
T
d
u
w
0
))
(
(
τ
τ
= X
0
,
или в более общем случае:
(2)
)
),
(
),
(
(
)
(
t
t
u
t
x
w
dt
t
dx
=
, x(0) = 0, x(T) = X
0
.
Соотношения (1) или (2) определяют модель проекта, то есть в задаче планирования ими косвенно задается оператор G
0
(
⋅), а в задаче оперативного управления – оператор
G
(
⋅, τ), причем в последнем случае нулевой момент времени в (1) или (2) заменяется на момент времени
τ. Во избежании путаницы, а также для того,
чтобы приводимые результаты с минимальной адаптацией были применимы и к задаче планирования, и к задаче оперативного управления, будем рассматривать только задачу планирования,
помня, что переход к задаче оперативного управления в момент времени
τ осуществляется следующей формальной заменой:
u(t) = c’(t),
c(t) = с(
τ) +
∫
t
dy
y
u
τ
τ )
,
(
,
)
),
,
(
(
)
(
τ
τ
t
u
w
dt
t
dx
=
,
x(t) = x(
τ) +
∫
t
dy
y
u
w
τ
τ
τ
)
,
)
,
(
(
, t
≥ τ, x(τ) +
∫
T
dy
y
u
w
τ
τ
τ
)
),
,
(
(
= X
0
,
или в более общем случае:
)
,
),
,
(
),
(
(
)
(
τ
τ t
t
u
t
x
w
dt
t
dx
=
,
x(t=
τ) = x(τ), x(T) = X
0
, где
)
,
(
τ
⋅
w
- результат идентификации модели проекта в момент времени
τ,
u
(
⋅, τ) =
'
c
(
⋅, τ) – прогноз динамики финансовых ресурсов в момент времени
τ. Кроме того,
отметим, что в задаче планирования приведенные соотношения связывают плановые показатели, а в задаче оперативного управле- ния – фактические или прогнозные. Однако, так как мы установили эквивалентность формулировок этих задач, ниже будем опускать нижние и верхние индексы, соответствующие плановым или про- гнозным значениям.
48
Аналогичным образом учитывается и другая, поступившая до момента времени
τ информация
1
. Например, если стало известно,
что завершению проекта соответствует значение суммарного объе- ма X’, отличное от X
0
, то учет этой информации приведет к замене в приведенных выше для задачи оперативного управления соотно- шениях старой величины суммарного объема на новую.
Предположим, что ограничения на ресурсы и интенсивности заданы в следующем виде:
(3) c(t)
∈ Ξ,
(4) u(t)
∈ U,
(5) w(
⋅) ∈ W,
где
Ξ, U и W – классы возможных значений соответственно затрат,
ресурсов и интенсивностей.
Возможны следующие постановки
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1.2. Общая постановка задачи оперативного управления
проектом
Предположим, что в рамках имеющейся информированности руководителя проекта – центра – он обладает достоверной инфор- мацией обо всех существенных параметрах, то есть условно можно считать, что функционирование системы происходит в условиях полной информированности [15, 17, 19, 22, 78]. Исследуем в рамках этого предположения избыточность приведенной в разделе 1.1
системы показателей освоенного объема.
Даже краткое рассмотрение частных случаев (см. пример 1)
свидетельствует, что набор показателей освоенного объема (основ- ных и производных) является избыточным как с содержательной (в рамках рассматриваемой модели не всегда ясны содержательные трактовки различий между фактическими и освоенными затратами,
а также между фактическим и освоенным объемом), так и с фор- мальной (некоторые производные показатели являются комбинаци-
38
ей других основных или производных показателей и т.д.) точек зрения. Поэтому введем следующий минимальный
1
набор показа- телей освоенного объема (см. рисунок 9), которые используются ниже в настоящей работе.
Основные показатели освоенного объема:
C
0
– планируемые суммарные затраты на проект (TB);
T
0
– планируемый срок завершения проекта;
X
0
– суммарный объем работ по проекту;
c
0
(t) – планируемая динамика затрат (BCWS);
c(t) – фактическая динамика затрат (ACWP);
x
0
(t) – планируемая динамика объемов работ (BQWS);
x(t) – освоенный объем (BQWP);
T – фактический срок окончания проекта;
C – фактические суммарные затраты на проект (EAC – Estimate
At Complete).
Производные показатели освоенного объема:
∆с(t) = c
0
(t) - c(t) - разность между плановыми и фактическими затратами;
∆x(t) = x
0
(t) - x(t) - разность между плановым и освоенным объ- емом
2
;
α(t) = x(t) / x
0
(t) – показатель освоенного объема, характеризует выполнение плана по объему;
β(t) = c(t) / c
0
(t) – показатель динамики затрат, характеризует соответствие поступления средств директивному графику;
γ(t) = x(t) / c(t) – эффективность использования средств
3
;
τ
с
(t) = t -
1 0
−
c
(c(t)) – текущая задержка по затратам;
τ
x
(t) = t -
1 0
−
x
(x(t)) – текущая задержка по объему;
e
0
= X
0
/ C
0
– плановая эффективность проекта в целом;
e
0
(t) = x
0
(t) / c
0
(t) =
β(t) γ(t) / α(t) – плановая эффективность ис- пользования средств;
1
Условно можно считать, что освоенные затраты могут быть рассчи-
таны по освоенному объему (см. подробности ниже).
2
По четырем независимым переменным с учетом размерности можно
определить две независимых их разности.
3
По четырем независимым переменным можно определить три их
независимых отношения.
39
e = X / C – фактическая эффективность проекта в целом.
Помимо перечисленных показателей освоенного объема мо- дель проекта должна включать в себя оператор G(
⋅), связывающий объем с затратами и отражающий «технологию» использования ресурсов.
τ
x
(t)
T
0
x(t)/X
0
– освоенный объем
x
0
(t)/X
0
– план по объему
100%
c(t)/C
0
– фактические затраты
t
c
0
(t)/C
0
– планируемые затраты
T
t
τ
c
(t)
C / C
0
Рис. 9. Пример динамики основных показателей освоенного объема
Докажем, что введенная система показателей освоенного объ- ема включает в себя используемую зарубежными авторами систему показателей (см. ее описание во введении) как частный случай.
Пусть x = kc, где k – коэффициент интенсивности (в примере 1
использовалось уравнение dx/dt = ku, где u = dc/dt). Получаем, что:
SPI =
α(t); CPI = γ(t) / k;
EAC = c(t) + (C
0
– c
e
(t)) / CPI = c(t) + (X
0
– x(t)) /
γ(t),
то есть в случае линейной связи между объемом и ресурсами соот- ветствие полное (с точностью до линейного преобразования).
В рамках рассматриваемой модели задача управления проек- том включает в себя задачу планирования, решаемую до начала реализации проекта, и задачу оперативного управления - выработки оперативных управляющих воздействий в ходе реализации проекта.
Задача планирования заключается в определении объема проекта
X
0
, плановых значений затрат с
0
(t), объема x
0
(t) и продолжительно-
40
сти проекта T
0
при известной «модели проекта» G
0
(
⋅); при этом
C
0
= c
0
(T
0
), x
0
(T
0
) = X
0
. Задача планирования рассматривается в разделе 1.3 настоящей работы, поэтому перейдем к рассмотрению
общей постановки задачи оперативного управления проектом,
которая включает задачи идентификации, прогнозирования и соб- ственно управления.
На рисунке 10 изображена структура системы оперативного управления проектом в рамках модели освоенного объема. Прямо- угольниками отражены реальный проект и его модель. Входом модели проекта является плановая зависимость затрат от времени
c
0
(t), выходом – плановая зависимость объема от времени x
0
(t).
Входом реального проекта является фактическая зависимость затрат от времени c(t), выходом – величина освоенного объема x(t).
Как отмечалось выше, несовпадение: x(t)
≠ x
0
(t) может быть вызва- но следующими причинами: внешней – c(t)
≠ c
0
(t) и/или внутрен- ней – G(
⋅) ≠ G
0
(
⋅).
Следовательно, первой задачей идентификации (обозначенной
«И1» на рисунке 10), которую можно также рассматривать и как задачу прогнозирования, является задача оценки зависимости фактических затрат от времени на основании сравнения наблюдае- мых значений фактических и плановых затрат.
Если представить, что на вход модели проекта подаются не плановые, а фактические затраты, то, зная оператор G
0
(
⋅), можно определить следующую зависимость от времени:
xˆ
(t) = G
0
(c(t)),
сравнение которой с плановой зависимостью x
0
(t) может служить исходными данными для решения второй задачи идентификации
(обозначенной «И2» на рисунке 10) – задачи идентификации собст- венно модели проекта, то есть «уточнения»
G
(
⋅, τ) (см. двойную линию на рисунке 10),
G
(
⋅, 0) = G
0
, соответствующего оператора
(индекс “
τ” в операторе
G
присутствует для того, чтобы подчерк- нуть зависимость от времени
τ, то есть в зависимости от продолжи- тельности имеющейся истории наблюдений за время [0;
τ] модель может изменяться).
41
c
(t’)
x
(t’)
xˆ
(t)
c
0
(t)
x
0
(t)
c(t)
)
,
(
τ
⋅
G
G
0
(
⋅)
G
0
(
⋅)
G
0
(
⋅)
МОДЕЛЬ ПРОЕКТА
Рис. 10. Структура системы
оперативного управления проектом
РЕАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ
УПРАВЛЕНИЕ
И1
И2
x(t)
ПРОГНОЗ
Итак, возникают следующие задачи идентификации:
И1. В момент времени
τ ≥ 0 на основании истории наблюдений
{c(t), c
0
(t)}
t
∈[0; τ]
определить «прогноз» затрат
c
(t’,
τ) для t’ > τ.
И2. В момент времени
τ ≥ 0 на основании истории наблюдений
{c(t), c
0
(t), x
0
(t), x(t),
xˆ
(t)}
t
∈[0; τ]
идентифицировать проект, то есть построит адекватную ему модель
G
(
⋅, τ).
Решив обе задачи идентификации, то есть имея в своем распо- ряжении зависимости
c
(t,
τ) и
G
(
⋅, τ), можно в момент времени
τ ≥ 0 решить задачу прогнозирования, то есть сделать прогноз значения освоенного объема
x
(t’,
τ) для моментов времени t’ > τ :
x
(t’,
τ) =
G
(
c
(t’,
τ), τ).
Необходимо принимать во внимание, что для решения задач идентификации и прогнозирования могут использоваться не только
42
данные о ходе реализации рассматриваемого проекта, но и инфор- мация о реализации других аналогичных проектов.
Сделав маленькое отступление, отметим, что в рамках рас- сматриваемого подхода легко показать, что введенная в настоящем разделе система показателей освоенного объема является мини- мально необходимой для полного описания проекта в рамках мето- дики освоенного объема. Для этого достаточно доказать, что пока- затели фактического объема и освоенных затрат (присутствующие в «расширенном» списке показателей освоенного объема, приве- денном во введении и в разделе 1.1) не являются независимыми и могут быть выражены, через фактические и плановые затраты, а также освоенный и плановый объем. Действительно, фактический объем может интерпретироваться как объем, который был бы освоен, если бы присутствовала только внешняя причина, а внут- ренняя причина отсутствовала, то есть фактический объем есть ни что иное, как
xˆ
(t) = G
0
(c(t)). Освоенные затраты c
e
(t) соответству- ют тем затратам, которые понадобились бы для того, чтобы показа- тель освоенного объема для реального проекта равнялся заданной величине x(t), то есть
G
(с
e
(t)) = x(t).
Решив задачи идентификации и прогнозирования, то есть имея в момент времени
τ в своем распоряжении прогнозы
c
(t’,
τ) и
x
(t’,
τ), для t’ > τ, и зная директивные (плановые) графики затрат и объема, можно решать задачи оперативного управления проек-
том – выработки таких управляющих воздействий, которые кор- ректировали бы ход реализации проекта в нужную (с точки зрения руководителя проекта – см. более подробно ниже) сторону.
Рассмотрим более подробно задачи идентификации, прогноза и оперативного управления. Отметим, что в настоящей работе при анализе и синтезе моделей оперативного управления проектами мы будем следовать следующему общему принципу. Так как конечная цель всех разрабатываемых в рамках методики освоенного объема методов и механизмов оперативного управления заключается в повышении эффективности управления реальными проектами, то критерием необходимости изучения той или иной частной задачи управления является неизвестность на сегодняшний день возмож- ности сведения ее к уже исследованным, например, оптимизацион- ным и другим задачам, методы решения которых могут быть алго- ритмизированы, то есть использованы в методиках или прикладных
43
компьютерных программах, ориентированных на использование руководителями проектов. Такая практическая направленность четко выделяет необходимую степень детализации при исследова- нии тех или иных задач управления, возникающих при описании проекта показателями освоенного объема. Другими словами, в рамках используемого подхода частная задача синтеза определен- ного механизма управления может считаться решенной, если для нее сформулированы либо алгоритм решения, либо приведена ссылка на метод решения эквивалентной ей задачи, которые могут быть использованы в прикладных методиках и алгоритмах, причем создание последних, при наличии подробно изученных с теорети- ческой точки зрения методах решения, может рассматриваться как инженерная задача.
Первая задача идентификации (И1), которую можно также рас- сматривать как задачу прогнозирования значений фактических затрат, заключается в оценке будущей зависимости фактических затрат от времени на основании сравнения наблюдаемых значений фактических и плановых затрат.
Итак, имеются два временных ряда: c
0
(t) и c(t), t
≤ τ. Прогноз
c
(t’,
τ), t’ > τ, может быть получен двумя путями. Первый путь, не учитывающий специфику рассматриваемой задачи, заключается в использовании методов «технического» анализа (статистический анализ временных рядов [2, 51, 72, 99]) для оценки величины
c
(t’,
τ), t’ > τ, только на основании наблюдаемых реализаций c(t),
t
≤ τ. Второй путь – построение модели, отражающей связь между плановыми и фактическими затратами и, быть может, учитываю- щей информацию о результатах реализации аналогичных завер- шившихся проектов, и адаптивная идентификация этой модели на основании имеющих статистических данных. Иллюстрацией второ- го пути может служить введенное в примере 1 предположение
(модель) о постоянстве ресурсов, то есть затрат в единицу времени.
Тогда однократное наблюдение фактических значений ресурсов позволяет однозначно идентифицировать модель. Таким образом,
для прогнозирования будущих значений фактических затрат
c
(t’,
τ), t’ > τ, могут быть использованы (то есть, «зашиты» в соответствующую компьютерную программу без существенной адаптации) известные методы и алгоритмы прогнозирования и идентификации [2, 74, 97-99].
44
Аналогичным образом обстоит дело и со второй задачей иден- тификации (И2) - построения в момент времени
τ ≥ 0 адекватной модели проекта
G
(
⋅, τ) на основании истории наблюдений
{c(t), c
0
(t), x
0
(t), x(t),
xˆ
(t)}
t
∈[0; τ]
, для решения которой в теории адаптивного управления и идентификации существуют хорошо развитые методы решения [98, 99 и др.]. В рамках примера 1 иден- тификация проекта означала определение коэффициентов интен- сивности на основании однократного наблюдения (которое оказы- валось достаточным) параметров фактической реализации проекта.
При известном прогнозе фактических затрат и имеющейся мо- дели проекта решение задачи прогнозирования будущих значений показателей освоенного объема тривиально – оно заключается в подстановке прогноза
c
(t’,
τ) в модель
G
(
⋅, τ), то есть
x
(t’,
τ) =
G
(
c
(t’,
τ), τ), t’ > τ:
Несколько сложнее обстоит дело с задачей собственно управ- ления – поиска оптимальных управляющих воздействий на основа- нии результатов решения задач идентификации и прогнозирования.
Этот класс задач, как и задачи планирования, заслуживает отдель- ного исследования, проводимого в разделе 1.3 настоящей работы.
Таким образом, для решения задач идентификации и прогно- зирования в рамках методики освоенного объема на сегодняшний день существуют хорошо развитые методы адаптивного управле- ния, идентификации и прогнозирования. Другими словами, возни- кающие при использовании методики освоенного объема задачи идентификации и прогнозирования, естественно, обладают собст- венной спецификой, однако, специфичны они не настолько, чтобы к ним были неприменимы известные методы и алгоритмы решения.
45
1.3. Планирование и оперативное управление проектом
в условиях полной информированности
Сохраним введенное в начале раздела 1.2 предположение о том, что руководитель проекта – центр – в рамках своей информи- рованности обладает достоверной информацией.
Часть показателей освоенного объема, введенных в разделе 1.2,
может рассматриваться как управляющие параметры (ими могут,
например, быть плановые затраты, интенсивности и т.д.). Осталь- ные показатели являются при этом зависимыми, то есть при фикси- рованной модели проекта однозначно определяемыми значениями управляющих параметров (например, если плановые затраты ин- терпретируются как управляющий параметр, то при модели проек- та G
0
(
⋅) плановое значение объема является зависимым показате- лем: x
0
(t) = G
0
(c
0
(t)) и т.д.). В зависимости от рассматриваемой модели (то есть в зависимости от рассматриваемой задачи управле- ния) одни и те же показатели могут быть либо управляющими,
либо зависимыми.
Пусть известны ограничения на значения управляющих пара- метров и задан критерий эффективности управления
1
, зависящий как от управляющих, так и от зависимых параметров. Тогда на качественном уровне задачу управления можно сформулировать следующим образом: выбрать такие допустимые значения управ- ляющих параметров, которые доставляли бы экстремум критерию эффективности управления (в частном случае – максимизировали эффективность проекта).
Задача планирования, являющаяся частным случаем сформу- лированной выше задачи управления, решается до начала реализа- ции проекта и заключается в определении на основании всей имеющейся на данный момент информации оптимальных плановых значений управляющих параметров для t’
≥ 0.
Задача оперативного управления, также являющаяся частным случаем задачи управления, решается в ходе реализации проекта и заключается в определении на основании всей имеющейся на дан- ный момент информации оптимальных текущих и будущих значе-
1
Следует различать эффективность проекта, определяемую как отно-
шение объема к затратам (см. выше), и эффективность управления.
46
ний управляющих параметров, то есть оптимальных плановых значений управляющих параметров для t’
≥ τ.
Таким образом, задачи планирования и оперативного управле- ния являются частными случаями одной и той же задачи управле- ния, отличающимися лишь той информацией, которая имеется на момент принятия решений.
Поясним последнее утверждение более подробно. При реше- нии задачи планирования имеется информация об ограничениях на допустимые значения плановых показателей и модель проекта. При решении задачи оперативного управления имеется информация об ограничениях на допустимые значения показателей освоенного объема и модель проекта, скорректированные в соответствии с решениями соответствующих задач идентификации и прогнозиро- вания, описанными в разделе 1.2, и учитывающие историю реали- зации проекта.
Коль скоро установлена качественная эквивалентность задач планирования и оперативного управления, достаточно рассмотреть подробно одну из них, поэтому ниже в настоящем разделе мы по умолчанию будем подразумевать, что формулируемые и решаемые задачи могут интерпретироваться двояко. Более того, качественно основной результат настоящего раздела заключается в следующем:
при агрегированном представлении проекта, то есть рассмотрении проекта как единого целого в рамках модели, описанной в разделе
1.2, решение задач планирования и оперативного управления в условиях полной информированности заключается в сведении к известным оптимизационным задачам, методы и алгоритмы реше- ния которых хорошо известны.
Обоснуем это утверждение.
Важную часть показателей освоенного объема составляют плановые показатели: планируемая длительность проекта, плани- руемая динамика затрат, плановые значения величины освоенного объема. Поэтому рассмотрим возможные постановки задачи плани- рования.
В разделах 1.1-1.2 была введена следующая взаимосвязь между освоенным объемом и количеством ресурса (напомним, что коли-
47
чество ресурса – объем средств – затрат, которые вкладываются в единицу времени: u(t) = c’(t), c(t) =
∫
t
d
u
0
)
(
τ
τ
):
(1)
))
(
(
)
(
t
u
w
dt
t
dx
=
, x(t) =
∫
t
d
u
w
0
))
(
(
τ
τ
,
∫
T
d
u
w
0
))
(
(
τ
τ
= X
0
,
или в более общем случае:
(2)
)
),
(
),
(
(
)
(
t
t
u
t
x
w
dt
t
dx
=
, x(0) = 0, x(T) = X
0
.
Соотношения (1) или (2) определяют модель проекта, то есть в задаче планирования ими косвенно задается оператор G
0
(
⋅), а в задаче оперативного управления – оператор
G
(
⋅, τ), причем в последнем случае нулевой момент времени в (1) или (2) заменяется на момент времени
τ. Во избежании путаницы, а также для того,
чтобы приводимые результаты с минимальной адаптацией были применимы и к задаче планирования, и к задаче оперативного управления, будем рассматривать только задачу планирования,
помня, что переход к задаче оперативного управления в момент времени
τ осуществляется следующей формальной заменой:
u(t) = c’(t),
c(t) = с(
τ) +
∫
t
dy
y
u
τ
τ )
,
(
,
)
),
,
(
(
)
(
τ
τ
t
u
w
dt
t
dx
=
,
x(t) = x(
τ) +
∫
t
dy
y
u
w
τ
τ
τ
)
,
)
,
(
(
, t
≥ τ, x(τ) +
∫
T
dy
y
u
w
τ
τ
τ
)
),
,
(
(
= X
0
,
или в более общем случае:
)
,
),
,
(
),
(
(
)
(
τ
τ t
t
u
t
x
w
dt
t
dx
=
,
x(t=
τ) = x(τ), x(T) = X
0
, где
)
,
(
τ
⋅
w
- результат идентификации модели проекта в момент времени
τ,
u
(
⋅, τ) =
'
c
(
⋅, τ) – прогноз динамики финансовых ресурсов в момент времени
τ. Кроме того,
отметим, что в задаче планирования приведенные соотношения связывают плановые показатели, а в задаче оперативного управле- ния – фактические или прогнозные. Однако, так как мы установили эквивалентность формулировок этих задач, ниже будем опускать нижние и верхние индексы, соответствующие плановым или про- гнозным значениям.
48
Аналогичным образом учитывается и другая, поступившая до момента времени
τ информация
1
. Например, если стало известно,
что завершению проекта соответствует значение суммарного объе- ма X’, отличное от X
0
, то учет этой информации приведет к замене в приведенных выше для задачи оперативного управления соотно- шениях старой величины суммарного объема на новую.
Предположим, что ограничения на ресурсы и интенсивности заданы в следующем виде:
(3) c(t)
∈ Ξ,
(4) u(t)
∈ U,
(5) w(
⋅) ∈ W,
где
Ξ, U и W – классы возможных значений соответственно затрат,
ресурсов и интенсивностей.
Возможны следующие постановки
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1.2. Общая постановка задачи оперативного управления
проектом
Предположим, что в рамках имеющейся информированности руководителя проекта – центра – он обладает достоверной инфор- мацией обо всех существенных параметрах, то есть условно можно считать, что функционирование системы происходит в условиях полной информированности [15, 17, 19, 22, 78]. Исследуем в рамках этого предположения избыточность приведенной в разделе 1.1
системы показателей освоенного объема.
Даже краткое рассмотрение частных случаев (см. пример 1)
свидетельствует, что набор показателей освоенного объема (основ- ных и производных) является избыточным как с содержательной (в рамках рассматриваемой модели не всегда ясны содержательные трактовки различий между фактическими и освоенными затратами,
а также между фактическим и освоенным объемом), так и с фор- мальной (некоторые производные показатели являются комбинаци-
38
ей других основных или производных показателей и т.д.) точек зрения. Поэтому введем следующий минимальный
1
набор показа- телей освоенного объема (см. рисунок 9), которые используются ниже в настоящей работе.
Основные показатели освоенного объема:
C
0
– планируемые суммарные затраты на проект (TB);
T
0
– планируемый срок завершения проекта;
X
0
– суммарный объем работ по проекту;
c
0
(t) – планируемая динамика затрат (BCWS);
c(t) – фактическая динамика затрат (ACWP);
x
0
(t) – планируемая динамика объемов работ (BQWS);
x(t) – освоенный объем (BQWP);
T – фактический срок окончания проекта;
C – фактические суммарные затраты на проект (EAC – Estimate
At Complete).
Производные показатели освоенного объема:
∆с(t) = c
0
(t) - c(t) - разность между плановыми и фактическими затратами;
∆x(t) = x
0
(t) - x(t) - разность между плановым и освоенным объ- емом
2
;
α(t) = x(t) / x
0
(t) – показатель освоенного объема, характеризует выполнение плана по объему;
β(t) = c(t) / c
0
(t) – показатель динамики затрат, характеризует соответствие поступления средств директивному графику;
γ(t) = x(t) / c(t) – эффективность использования средств
3
;
τ
с
(t) = t -
1 0
−
c
(c(t)) – текущая задержка по затратам;
τ
x
(t) = t -
1 0
−
x
(x(t)) – текущая задержка по объему;
e
0
= X
0
/ C
0
– плановая эффективность проекта в целом;
e
0
(t) = x
0
(t) / c
0
(t) =
β(t) γ(t) / α(t) – плановая эффективность ис- пользования средств;
1
Условно можно считать, что освоенные затраты могут быть рассчи-
таны по освоенному объему (см. подробности ниже).
2
По четырем независимым переменным с учетом размерности можно
определить две независимых их разности.
3
По четырем независимым переменным можно определить три их
независимых отношения.
39
e = X / C – фактическая эффективность проекта в целом.
Помимо перечисленных показателей освоенного объема мо- дель проекта должна включать в себя оператор G(
⋅), связывающий объем с затратами и отражающий «технологию» использования ресурсов.
τ
x
(t)
T
0
x(t)/X
0
– освоенный объем
x
0
(t)/X
0
– план по объему
100%
c(t)/C
0
– фактические затраты
t
c
0
(t)/C
0
– планируемые затраты
T
t
τ
c
(t)
C / C
0
Рис. 9. Пример динамики основных показателей освоенного объема
Докажем, что введенная система показателей освоенного объ- ема включает в себя используемую зарубежными авторами систему показателей (см. ее описание во введении) как частный случай.
Пусть x = kc, где k – коэффициент интенсивности (в примере 1
использовалось уравнение dx/dt = ku, где u = dc/dt). Получаем, что:
SPI =
α(t); CPI = γ(t) / k;
EAC = c(t) + (C
0
– c
e
(t)) / CPI = c(t) + (X
0
– x(t)) /
γ(t),
то есть в случае линейной связи между объемом и ресурсами соот- ветствие полное (с точностью до линейного преобразования).
В рамках рассматриваемой модели задача управления проек- том включает в себя задачу планирования, решаемую до начала реализации проекта, и задачу оперативного управления - выработки оперативных управляющих воздействий в ходе реализации проекта.
Задача планирования заключается в определении объема проекта
X
0
, плановых значений затрат с
0
(t), объема x
0
(t) и продолжительно-
40
сти проекта T
0
при известной «модели проекта» G
0
(
⋅); при этом
C
0
= c
0
(T
0
), x
0
(T
0
) = X
0
. Задача планирования рассматривается в разделе 1.3 настоящей работы, поэтому перейдем к рассмотрению
общей постановки задачи оперативного управления проектом,
которая включает задачи идентификации, прогнозирования и соб- ственно управления.
На рисунке 10 изображена структура системы оперативного управления проектом в рамках модели освоенного объема. Прямо- угольниками отражены реальный проект и его модель. Входом модели проекта является плановая зависимость затрат от времени
c
0
(t), выходом – плановая зависимость объема от времени x
0
(t).
Входом реального проекта является фактическая зависимость затрат от времени c(t), выходом – величина освоенного объема x(t).
Как отмечалось выше, несовпадение: x(t)
≠ x
0
(t) может быть вызва- но следующими причинами: внешней – c(t)
≠ c
0
(t) и/или внутрен- ней – G(
⋅) ≠ G
0
(
⋅).
Следовательно, первой задачей идентификации (обозначенной
«И1» на рисунке 10), которую можно также рассматривать и как задачу прогнозирования, является задача оценки зависимости фактических затрат от времени на основании сравнения наблюдае- мых значений фактических и плановых затрат.
Если представить, что на вход модели проекта подаются не плановые, а фактические затраты, то, зная оператор G
0
(
⋅), можно определить следующую зависимость от времени:
xˆ
(t) = G
0
(c(t)),
сравнение которой с плановой зависимостью x
0
(t) может служить исходными данными для решения второй задачи идентификации
(обозначенной «И2» на рисунке 10) – задачи идентификации собст- венно модели проекта, то есть «уточнения»
G
(
⋅, τ) (см. двойную линию на рисунке 10),
G
(
⋅, 0) = G
0
, соответствующего оператора
(индекс “
τ” в операторе
G
присутствует для того, чтобы подчерк- нуть зависимость от времени
τ, то есть в зависимости от продолжи- тельности имеющейся истории наблюдений за время [0;
τ] модель может изменяться).
41
c
(t’)
x
(t’)
xˆ
(t)
c
0
(t)
x
0
(t)
c(t)
)
,
(
τ
⋅
G
G
0
(
⋅)
G
0
(
⋅)
G
0
(
⋅)
МОДЕЛЬ ПРОЕКТА
Рис. 10. Структура системы
оперативного управления проектом
РЕАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ
УПРАВЛЕНИЕ
И1
И2
x(t)
ПРОГНОЗ
Итак, возникают следующие задачи идентификации:
И1. В момент времени
τ ≥ 0 на основании истории наблюдений
{c(t), c
0
(t)}
t
∈[0; τ]
определить «прогноз» затрат
c
(t’,
τ) для t’ > τ.
И2. В момент времени
τ ≥ 0 на основании истории наблюдений
{c(t), c
0
(t), x
0
(t), x(t),
xˆ
(t)}
t
∈[0; τ]
идентифицировать проект, то есть построит адекватную ему модель
G
(
⋅, τ).
Решив обе задачи идентификации, то есть имея в своем распо- ряжении зависимости
c
(t,
τ) и
G
(
⋅, τ), можно в момент времени
τ ≥ 0 решить задачу прогнозирования, то есть сделать прогноз значения освоенного объема
x
(t’,
τ) для моментов времени t’ > τ :
x
(t’,
τ) =
G
(
c
(t’,
τ), τ).
Необходимо принимать во внимание, что для решения задач идентификации и прогнозирования могут использоваться не только
42
данные о ходе реализации рассматриваемого проекта, но и инфор- мация о реализации других аналогичных проектов.
Сделав маленькое отступление, отметим, что в рамках рас- сматриваемого подхода легко показать, что введенная в настоящем разделе система показателей освоенного объема является мини- мально необходимой для полного описания проекта в рамках мето- дики освоенного объема. Для этого достаточно доказать, что пока- затели фактического объема и освоенных затрат (присутствующие в «расширенном» списке показателей освоенного объема, приве- денном во введении и в разделе 1.1) не являются независимыми и могут быть выражены, через фактические и плановые затраты, а также освоенный и плановый объем. Действительно, фактический объем может интерпретироваться как объем, который был бы освоен, если бы присутствовала только внешняя причина, а внут- ренняя причина отсутствовала, то есть фактический объем есть ни что иное, как
xˆ
(t) = G
0
(c(t)). Освоенные затраты c
e
(t) соответству- ют тем затратам, которые понадобились бы для того, чтобы показа- тель освоенного объема для реального проекта равнялся заданной величине x(t), то есть
G
(с
e
(t)) = x(t).
Решив задачи идентификации и прогнозирования, то есть имея в момент времени
τ в своем распоряжении прогнозы
c
(t’,
τ) и
x
(t’,
τ), для t’ > τ, и зная директивные (плановые) графики затрат и объема, можно решать задачи оперативного управления проек-
том – выработки таких управляющих воздействий, которые кор- ректировали бы ход реализации проекта в нужную (с точки зрения руководителя проекта – см. более подробно ниже) сторону.
Рассмотрим более подробно задачи идентификации, прогноза и оперативного управления. Отметим, что в настоящей работе при анализе и синтезе моделей оперативного управления проектами мы будем следовать следующему общему принципу. Так как конечная цель всех разрабатываемых в рамках методики освоенного объема методов и механизмов оперативного управления заключается в повышении эффективности управления реальными проектами, то критерием необходимости изучения той или иной частной задачи управления является неизвестность на сегодняшний день возмож- ности сведения ее к уже исследованным, например, оптимизацион- ным и другим задачам, методы решения которых могут быть алго- ритмизированы, то есть использованы в методиках или прикладных
43
компьютерных программах, ориентированных на использование руководителями проектов. Такая практическая направленность четко выделяет необходимую степень детализации при исследова- нии тех или иных задач управления, возникающих при описании проекта показателями освоенного объема. Другими словами, в рамках используемого подхода частная задача синтеза определен- ного механизма управления может считаться решенной, если для нее сформулированы либо алгоритм решения, либо приведена ссылка на метод решения эквивалентной ей задачи, которые могут быть использованы в прикладных методиках и алгоритмах, причем создание последних, при наличии подробно изученных с теорети- ческой точки зрения методах решения, может рассматриваться как инженерная задача.
Первая задача идентификации (И1), которую можно также рас- сматривать как задачу прогнозирования значений фактических затрат, заключается в оценке будущей зависимости фактических затрат от времени на основании сравнения наблюдаемых значений фактических и плановых затрат.
Итак, имеются два временных ряда: c
0
(t) и c(t), t
≤ τ. Прогноз
c
(t’,
τ), t’ > τ, может быть получен двумя путями. Первый путь, не учитывающий специфику рассматриваемой задачи, заключается в использовании методов «технического» анализа (статистический анализ временных рядов [2, 51, 72, 99]) для оценки величины
c
(t’,
τ), t’ > τ, только на основании наблюдаемых реализаций c(t),
t
≤ τ. Второй путь – построение модели, отражающей связь между плановыми и фактическими затратами и, быть может, учитываю- щей информацию о результатах реализации аналогичных завер- шившихся проектов, и адаптивная идентификация этой модели на основании имеющих статистических данных. Иллюстрацией второ- го пути может служить введенное в примере 1 предположение
(модель) о постоянстве ресурсов, то есть затрат в единицу времени.
Тогда однократное наблюдение фактических значений ресурсов позволяет однозначно идентифицировать модель. Таким образом,
для прогнозирования будущих значений фактических затрат
c
(t’,
τ), t’ > τ, могут быть использованы (то есть, «зашиты» в соответствующую компьютерную программу без существенной адаптации) известные методы и алгоритмы прогнозирования и идентификации [2, 74, 97-99].
44
Аналогичным образом обстоит дело и со второй задачей иден- тификации (И2) - построения в момент времени
τ ≥ 0 адекватной модели проекта
G
(
⋅, τ) на основании истории наблюдений
{c(t), c
0
(t), x
0
(t), x(t),
xˆ
(t)}
t
∈[0; τ]
, для решения которой в теории адаптивного управления и идентификации существуют хорошо развитые методы решения [98, 99 и др.]. В рамках примера 1 иден- тификация проекта означала определение коэффициентов интен- сивности на основании однократного наблюдения (которое оказы- валось достаточным) параметров фактической реализации проекта.
При известном прогнозе фактических затрат и имеющейся мо- дели проекта решение задачи прогнозирования будущих значений показателей освоенного объема тривиально – оно заключается в подстановке прогноза
c
(t’,
τ) в модель
G
(
⋅, τ), то есть
x
(t’,
τ) =
G
(
c
(t’,
τ), τ), t’ > τ:
Несколько сложнее обстоит дело с задачей собственно управ- ления – поиска оптимальных управляющих воздействий на основа- нии результатов решения задач идентификации и прогнозирования.
Этот класс задач, как и задачи планирования, заслуживает отдель- ного исследования, проводимого в разделе 1.3 настоящей работы.
Таким образом, для решения задач идентификации и прогно- зирования в рамках методики освоенного объема на сегодняшний день существуют хорошо развитые методы адаптивного управле- ния, идентификации и прогнозирования. Другими словами, возни- кающие при использовании методики освоенного объема задачи идентификации и прогнозирования, естественно, обладают собст- венной спецификой, однако, специфичны они не настолько, чтобы к ним были неприменимы известные методы и алгоритмы решения.
45
1.3. Планирование и оперативное управление проектом
в условиях полной информированности
Сохраним введенное в начале раздела 1.2 предположение о том, что руководитель проекта – центр – в рамках своей информи- рованности обладает достоверной информацией.
Часть показателей освоенного объема, введенных в разделе 1.2,
может рассматриваться как управляющие параметры (ими могут,
например, быть плановые затраты, интенсивности и т.д.). Осталь- ные показатели являются при этом зависимыми, то есть при фикси- рованной модели проекта однозначно определяемыми значениями управляющих параметров (например, если плановые затраты ин- терпретируются как управляющий параметр, то при модели проек- та G
0
(
⋅) плановое значение объема является зависимым показате- лем: x
0
(t) = G
0
(c
0
(t)) и т.д.). В зависимости от рассматриваемой модели (то есть в зависимости от рассматриваемой задачи управле- ния) одни и те же показатели могут быть либо управляющими,
либо зависимыми.
Пусть известны ограничения на значения управляющих пара- метров и задан критерий эффективности управления
1
, зависящий как от управляющих, так и от зависимых параметров. Тогда на качественном уровне задачу управления можно сформулировать следующим образом: выбрать такие допустимые значения управ- ляющих параметров, которые доставляли бы экстремум критерию эффективности управления (в частном случае – максимизировали эффективность проекта).
Задача планирования, являющаяся частным случаем сформу- лированной выше задачи управления, решается до начала реализа- ции проекта и заключается в определении на основании всей имеющейся на данный момент информации оптимальных плановых значений управляющих параметров для t’
≥ 0.
Задача оперативного управления, также являющаяся частным случаем задачи управления, решается в ходе реализации проекта и заключается в определении на основании всей имеющейся на дан- ный момент информации оптимальных текущих и будущих значе-
1
Следует различать эффективность проекта, определяемую как отно-
шение объема к затратам (см. выше), и эффективность управления.
46
ний управляющих параметров, то есть оптимальных плановых значений управляющих параметров для t’
≥ τ.
Таким образом, задачи планирования и оперативного управле- ния являются частными случаями одной и той же задачи управле- ния, отличающимися лишь той информацией, которая имеется на момент принятия решений.
Поясним последнее утверждение более подробно. При реше- нии задачи планирования имеется информация об ограничениях на допустимые значения плановых показателей и модель проекта. При решении задачи оперативного управления имеется информация об ограничениях на допустимые значения показателей освоенного объема и модель проекта, скорректированные в соответствии с решениями соответствующих задач идентификации и прогнозиро- вания, описанными в разделе 1.2, и учитывающие историю реали- зации проекта.
Коль скоро установлена качественная эквивалентность задач планирования и оперативного управления, достаточно рассмотреть подробно одну из них, поэтому ниже в настоящем разделе мы по умолчанию будем подразумевать, что формулируемые и решаемые задачи могут интерпретироваться двояко. Более того, качественно основной результат настоящего раздела заключается в следующем:
при агрегированном представлении проекта, то есть рассмотрении проекта как единого целого в рамках модели, описанной в разделе
1.2, решение задач планирования и оперативного управления в условиях полной информированности заключается в сведении к известным оптимизационным задачам, методы и алгоритмы реше- ния которых хорошо известны.
Обоснуем это утверждение.
Важную часть показателей освоенного объема составляют плановые показатели: планируемая длительность проекта, плани- руемая динамика затрат, плановые значения величины освоенного объема. Поэтому рассмотрим возможные постановки задачи плани- рования.
В разделах 1.1-1.2 была введена следующая взаимосвязь между освоенным объемом и количеством ресурса (напомним, что коли-
47
чество ресурса – объем средств – затрат, которые вкладываются в единицу времени: u(t) = c’(t), c(t) =
∫
t
d
u
0
)
(
τ
τ
):
(1)
))
(
(
)
(
t
u
w
dt
t
dx
=
, x(t) =
∫
t
d
u
w
0
))
(
(
τ
τ
,
∫
T
d
u
w
0
))
(
(
τ
τ
= X
0
,
или в более общем случае:
(2)
)
),
(
),
(
(
)
(
t
t
u
t
x
w
dt
t
dx
=
, x(0) = 0, x(T) = X
0
.
Соотношения (1) или (2) определяют модель проекта, то есть в задаче планирования ими косвенно задается оператор G
0
(
⋅), а в задаче оперативного управления – оператор
G
(
⋅, τ), причем в последнем случае нулевой момент времени в (1) или (2) заменяется на момент времени
τ. Во избежании путаницы, а также для того,
чтобы приводимые результаты с минимальной адаптацией были применимы и к задаче планирования, и к задаче оперативного управления, будем рассматривать только задачу планирования,
помня, что переход к задаче оперативного управления в момент времени
τ осуществляется следующей формальной заменой:
u(t) = c’(t),
c(t) = с(
τ) +
∫
t
dy
y
u
τ
τ )
,
(
,
)
),
,
(
(
)
(
τ
τ
t
u
w
dt
t
dx
=
,
x(t) = x(
τ) +
∫
t
dy
y
u
w
τ
τ
τ
)
,
)
,
(
(
, t
≥ τ, x(τ) +
∫
T
dy
y
u
w
τ
τ
τ
)
),
,
(
(
= X
0
,
или в более общем случае:
)
,
),
,
(
),
(
(
)
(
τ
τ t
t
u
t
x
w
dt
t
dx
=
,
x(t=
τ) = x(τ), x(T) = X
0
, где
)
,
(
τ
⋅
w
- результат идентификации модели проекта в момент времени
τ,
u
(
⋅, τ) =
'
c
(
⋅, τ) – прогноз динамики финансовых ресурсов в момент времени
τ. Кроме того,
отметим, что в задаче планирования приведенные соотношения связывают плановые показатели, а в задаче оперативного управле- ния – фактические или прогнозные. Однако, так как мы установили эквивалентность формулировок этих задач, ниже будем опускать нижние и верхние индексы, соответствующие плановым или про- гнозным значениям.
48
Аналогичным образом учитывается и другая, поступившая до момента времени
τ информация
1
. Например, если стало известно,
что завершению проекта соответствует значение суммарного объе- ма X’, отличное от X
0
, то учет этой информации приведет к замене в приведенных выше для задачи оперативного управления соотно- шениях старой величины суммарного объема на новую.
Предположим, что ограничения на ресурсы и интенсивности заданы в следующем виде:
(3) c(t)
∈ Ξ,
(4) u(t)
∈ U,
(5) w(
⋅) ∈ W,
где
Ξ, U и W – классы возможных значений соответственно затрат,
ресурсов и интенсивностей.
Возможны следующие постановки
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1.2. Общая постановка задачи оперативного управления
проектом
Предположим, что в рамках имеющейся информированности руководителя проекта – центра – он обладает достоверной инфор- мацией обо всех существенных параметрах, то есть условно можно считать, что функционирование системы происходит в условиях полной информированности [15, 17, 19, 22, 78]. Исследуем в рамках этого предположения избыточность приведенной в разделе 1.1
системы показателей освоенного объема.
Даже краткое рассмотрение частных случаев (см. пример 1)
свидетельствует, что набор показателей освоенного объема (основ- ных и производных) является избыточным как с содержательной (в рамках рассматриваемой модели не всегда ясны содержательные трактовки различий между фактическими и освоенными затратами,
а также между фактическим и освоенным объемом), так и с фор- мальной (некоторые производные показатели являются комбинаци-
38
ей других основных или производных показателей и т.д.) точек зрения. Поэтому введем следующий минимальный
1
набор показа- телей освоенного объема (см. рисунок 9), которые используются ниже в настоящей работе.
Основные показатели освоенного объема:
C
0
– планируемые суммарные затраты на проект (TB);
T
0
– планируемый срок завершения проекта;
X
0
– суммарный объем работ по проекту;
c
0
(t) – планируемая динамика затрат (BCWS);
c(t) – фактическая динамика затрат (ACWP);
x
0
(t) – планируемая динамика объемов работ (BQWS);
x(t) – освоенный объем (BQWP);
T – фактический срок окончания проекта;
C – фактические суммарные затраты на проект (EAC – Estimate
At Complete).
Производные показатели освоенного объема:
∆с(t) = c
0
(t) - c(t) - разность между плановыми и фактическими затратами;
∆x(t) = x
0
(t) - x(t) - разность между плановым и освоенным объ- емом
2
;
α(t) = x(t) / x
0
(t) – показатель освоенного объема, характеризует выполнение плана по объему;
β(t) = c(t) / c
0
(t) – показатель динамики затрат, характеризует соответствие поступления средств директивному графику;
γ(t) = x(t) / c(t) – эффективность использования средств
3
;
τ
с
(t) = t -
1 0
−
c
(c(t)) – текущая задержка по затратам;
τ
x
(t) = t -
1 0
−
x
(x(t)) – текущая задержка по объему;
e
0
= X
0
/ C
0
– плановая эффективность проекта в целом;
e
0
(t) = x
0
(t) / c
0
(t) =
β(t) γ(t) / α(t) – плановая эффективность ис- пользования средств;
1
Условно можно считать, что освоенные затраты могут быть рассчи-
таны по освоенному объему (см. подробности ниже).
2
По четырем независимым переменным с учетом размерности можно
определить две независимых их разности.
3
По четырем независимым переменным можно определить три их
независимых отношения.
39
e = X / C – фактическая эффективность проекта в целом.
Помимо перечисленных показателей освоенного объема мо- дель проекта должна включать в себя оператор G(
⋅), связывающий объем с затратами и отражающий «технологию» использования ресурсов.
τ
x
(t)
T
0
x(t)/X
0
– освоенный объем
x
0
(t)/X
0
– план по объему
100%
c(t)/C
0
– фактические затраты
t
c
0
(t)/C
0
– планируемые затраты
T
t
τ
c
(t)
C / C
0
Рис. 9. Пример динамики основных показателей освоенного объема
Докажем, что введенная система показателей освоенного объ- ема включает в себя используемую зарубежными авторами систему показателей (см. ее описание во введении) как частный случай.
Пусть x = kc, где k – коэффициент интенсивности (в примере 1
использовалось уравнение dx/dt = ku, где u = dc/dt). Получаем, что:
SPI =
α(t); CPI = γ(t) / k;
EAC = c(t) + (C
0
– c
e
(t)) / CPI = c(t) + (X
0
– x(t)) /
γ(t),
то есть в случае линейной связи между объемом и ресурсами соот- ветствие полное (с точностью до линейного преобразования).
В рамках рассматриваемой модели задача управления проек- том включает в себя задачу планирования, решаемую до начала реализации проекта, и задачу оперативного управления - выработки оперативных управляющих воздействий в ходе реализации проекта.
Задача планирования заключается в определении объема проекта
X
0
, плановых значений затрат с
0
(t), объема x
0
(t) и продолжительно-
40
сти проекта T
0
при известной «модели проекта» G
0
(
⋅); при этом
C
0
= c
0
(T
0
), x
0
(T
0
) = X
0
. Задача планирования рассматривается в разделе 1.3 настоящей работы, поэтому перейдем к рассмотрению
общей постановки задачи оперативного управления проектом,
которая включает задачи идентификации, прогнозирования и соб- ственно управления.
На рисунке 10 изображена структура системы оперативного управления проектом в рамках модели освоенного объема. Прямо- угольниками отражены реальный проект и его модель. Входом модели проекта является плановая зависимость затрат от времени
c
0
(t), выходом – плановая зависимость объема от времени x
0
(t).
Входом реального проекта является фактическая зависимость затрат от времени c(t), выходом – величина освоенного объема x(t).
Как отмечалось выше, несовпадение: x(t)
≠ x
0
(t) может быть вызва- но следующими причинами: внешней – c(t)
≠ c
0
(t) и/или внутрен- ней – G(
⋅) ≠ G
0
(
⋅).
Следовательно, первой задачей идентификации (обозначенной
«И1» на рисунке 10), которую можно также рассматривать и как задачу прогнозирования, является задача оценки зависимости фактических затрат от времени на основании сравнения наблюдае- мых значений фактических и плановых затрат.
Если представить, что на вход модели проекта подаются не плановые, а фактические затраты, то, зная оператор G
0
(
⋅), можно определить следующую зависимость от времени:
xˆ
(t) = G
0
(c(t)),
сравнение которой с плановой зависимостью x
0
(t) может служить исходными данными для решения второй задачи идентификации
(обозначенной «И2» на рисунке 10) – задачи идентификации собст- венно модели проекта, то есть «уточнения»
G
(
⋅, τ) (см. двойную линию на рисунке 10),
G
(
⋅, 0) = G
0
, соответствующего оператора
(индекс “
τ” в операторе
G
присутствует для того, чтобы подчерк- нуть зависимость от времени
τ, то есть в зависимости от продолжи- тельности имеющейся истории наблюдений за время [0;
τ] модель может изменяться).
41
c
(t’)
x
(t’)
xˆ
(t)
c
0
(t)
x
0
(t)
c(t)
)
,
(
τ
⋅
G
G
0
(
⋅)
G
0
(
⋅)
G
0
(
⋅)
МОДЕЛЬ ПРОЕКТА
Рис. 10. Структура системы
оперативного управления проектом
РЕАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ
УПРАВЛЕНИЕ
И1
И2
x(t)
ПРОГНОЗ
Итак, возникают следующие задачи идентификации:
И1. В момент времени
τ ≥ 0 на основании истории наблюдений
{c(t), c
0
(t)}
t
∈[0; τ]
определить «прогноз» затрат
c
(t’,
τ) для t’ > τ.
И2. В момент времени
τ ≥ 0 на основании истории наблюдений
{c(t), c
0
(t), x
0
(t), x(t),
xˆ
(t)}
t
∈[0; τ]
идентифицировать проект, то есть построит адекватную ему модель
G
(
⋅, τ).
Решив обе задачи идентификации, то есть имея в своем распо- ряжении зависимости
c
(t,
τ) и
G
(
⋅, τ), можно в момент времени
τ ≥ 0 решить задачу прогнозирования, то есть сделать прогноз значения освоенного объема
x
(t’,
τ) для моментов времени t’ > τ :
x
(t’,
τ) =
G
(
c
(t’,
τ), τ).
Необходимо принимать во внимание, что для решения задач идентификации и прогнозирования могут использоваться не только
42
данные о ходе реализации рассматриваемого проекта, но и инфор- мация о реализации других аналогичных проектов.
Сделав маленькое отступление, отметим, что в рамках рас- сматриваемого подхода легко показать, что введенная в настоящем разделе система показателей освоенного объема является мини- мально необходимой для полного описания проекта в рамках мето- дики освоенного объема. Для этого достаточно доказать, что пока- затели фактического объема и освоенных затрат (присутствующие в «расширенном» списке показателей освоенного объема, приве- денном во введении и в разделе 1.1) не являются независимыми и могут быть выражены, через фактические и плановые затраты, а также освоенный и плановый объем. Действительно, фактический объем может интерпретироваться как объем, который был бы освоен, если бы присутствовала только внешняя причина, а внут- ренняя причина отсутствовала, то есть фактический объем есть ни что иное, как
xˆ
(t) = G
0
(c(t)). Освоенные затраты c
e
(t) соответству- ют тем затратам, которые понадобились бы для того, чтобы показа- тель освоенного объема для реального проекта равнялся заданной величине x(t), то есть
G
(с
e
(t)) = x(t).
Решив задачи идентификации и прогнозирования, то есть имея в момент времени
τ в своем распоряжении прогнозы
c
(t’,
τ) и
x
(t’,
τ), для t’ > τ, и зная директивные (плановые) графики затрат и объема, можно решать задачи оперативного управления проек-
том – выработки таких управляющих воздействий, которые кор- ректировали бы ход реализации проекта в нужную (с точки зрения руководителя проекта – см. более подробно ниже) сторону.
Рассмотрим более подробно задачи идентификации, прогноза и оперативного управления. Отметим, что в настоящей работе при анализе и синтезе моделей оперативного управления проектами мы будем следовать следующему общему принципу. Так как конечная цель всех разрабатываемых в рамках методики освоенного объема методов и механизмов оперативного управления заключается в повышении эффективности управления реальными проектами, то критерием необходимости изучения той или иной частной задачи управления является неизвестность на сегодняшний день возмож- ности сведения ее к уже исследованным, например, оптимизацион- ным и другим задачам, методы решения которых могут быть алго- ритмизированы, то есть использованы в методиках или прикладных
43
компьютерных программах, ориентированных на использование руководителями проектов. Такая практическая направленность четко выделяет необходимую степень детализации при исследова- нии тех или иных задач управления, возникающих при описании проекта показателями освоенного объема. Другими словами, в рамках используемого подхода частная задача синтеза определен- ного механизма управления может считаться решенной, если для нее сформулированы либо алгоритм решения, либо приведена ссылка на метод решения эквивалентной ей задачи, которые могут быть использованы в прикладных методиках и алгоритмах, причем создание последних, при наличии подробно изученных с теорети- ческой точки зрения методах решения, может рассматриваться как инженерная задача.
Первая задача идентификации (И1), которую можно также рас- сматривать как задачу прогнозирования значений фактических затрат, заключается в оценке будущей зависимости фактических затрат от времени на основании сравнения наблюдаемых значений фактических и плановых затрат.
Итак, имеются два временных ряда: c
0
(t) и c(t), t
≤ τ. Прогноз
c
(t’,
τ), t’ > τ, может быть получен двумя путями. Первый путь, не учитывающий специфику рассматриваемой задачи, заключается в использовании методов «технического» анализа (статистический анализ временных рядов [2, 51, 72, 99]) для оценки величины
c
(t’,
τ), t’ > τ, только на основании наблюдаемых реализаций c(t),
t
≤ τ. Второй путь – построение модели, отражающей связь между плановыми и фактическими затратами и, быть может, учитываю- щей информацию о результатах реализации аналогичных завер- шившихся проектов, и адаптивная идентификация этой модели на основании имеющих статистических данных. Иллюстрацией второ- го пути может служить введенное в примере 1 предположение
(модель) о постоянстве ресурсов, то есть затрат в единицу времени.
Тогда однократное наблюдение фактических значений ресурсов позволяет однозначно идентифицировать модель. Таким образом,
для прогнозирования будущих значений фактических затрат
c
(t’,
τ), t’ > τ, могут быть использованы (то есть, «зашиты» в соответствующую компьютерную программу без существенной адаптации) известные методы и алгоритмы прогнозирования и идентификации [2, 74, 97-99].
44
Аналогичным образом обстоит дело и со второй задачей иден- тификации (И2) - построения в момент времени
τ ≥ 0 адекватной модели проекта
G
(
⋅, τ) на основании истории наблюдений
{c(t), c
0
(t), x
0
(t), x(t),
xˆ
(t)}
t
∈[0; τ]
, для решения которой в теории адаптивного управления и идентификации существуют хорошо развитые методы решения [98, 99 и др.]. В рамках примера 1 иден- тификация проекта означала определение коэффициентов интен- сивности на основании однократного наблюдения (которое оказы- валось достаточным) параметров фактической реализации проекта.
При известном прогнозе фактических затрат и имеющейся мо- дели проекта решение задачи прогнозирования будущих значений показателей освоенного объема тривиально – оно заключается в подстановке прогноза
c
(t’,
τ) в модель
G
(
⋅, τ), то есть
x
(t’,
τ) =
G
(
c
(t’,
τ), τ), t’ > τ:
Несколько сложнее обстоит дело с задачей собственно управ- ления – поиска оптимальных управляющих воздействий на основа- нии результатов решения задач идентификации и прогнозирования.
Этот класс задач, как и задачи планирования, заслуживает отдель- ного исследования, проводимого в разделе 1.3 настоящей работы.
Таким образом, для решения задач идентификации и прогно- зирования в рамках методики освоенного объема на сегодняшний день существуют хорошо развитые методы адаптивного управле- ния, идентификации и прогнозирования. Другими словами, возни- кающие при использовании методики освоенного объема задачи идентификации и прогнозирования, естественно, обладают собст- венной спецификой, однако, специфичны они не настолько, чтобы к ним были неприменимы известные методы и алгоритмы решения.
45
1.3. Планирование и оперативное управление проектом
в условиях полной информированности
Сохраним введенное в начале раздела 1.2 предположение о том, что руководитель проекта – центр – в рамках своей информи- рованности обладает достоверной информацией.
Часть показателей освоенного объема, введенных в разделе 1.2,
может рассматриваться как управляющие параметры (ими могут,
например, быть плановые затраты, интенсивности и т.д.). Осталь- ные показатели являются при этом зависимыми, то есть при фикси- рованной модели проекта однозначно определяемыми значениями управляющих параметров (например, если плановые затраты ин- терпретируются как управляющий параметр, то при модели проек- та G
0
(
⋅) плановое значение объема является зависимым показате- лем: x
0
(t) = G
0
(c
0
(t)) и т.д.). В зависимости от рассматриваемой модели (то есть в зависимости от рассматриваемой задачи управле- ния) одни и те же показатели могут быть либо управляющими,
либо зависимыми.
Пусть известны ограничения на значения управляющих пара- метров и задан критерий эффективности управления
1
, зависящий как от управляющих, так и от зависимых параметров. Тогда на качественном уровне задачу управления можно сформулировать следующим образом: выбрать такие допустимые значения управ- ляющих параметров, которые доставляли бы экстремум критерию эффективности управления (в частном случае – максимизировали эффективность проекта).
Задача планирования, являющаяся частным случаем сформу- лированной выше задачи управления, решается до начала реализа- ции проекта и заключается в определении на основании всей имеющейся на данный момент информации оптимальных плановых значений управляющих параметров для t’
≥ 0.
Задача оперативного управления, также являющаяся частным случаем задачи управления, решается в ходе реализации проекта и заключается в определении на основании всей имеющейся на дан- ный момент информации оптимальных текущих и будущих значе-
1
Следует различать эффективность проекта, определяемую как отно-
шение объема к затратам (см. выше), и эффективность управления.
46
ний управляющих параметров, то есть оптимальных плановых значений управляющих параметров для t’
≥ τ.
Таким образом, задачи планирования и оперативного управле- ния являются частными случаями одной и той же задачи управле- ния, отличающимися лишь той информацией, которая имеется на момент принятия решений.
Поясним последнее утверждение более подробно. При реше- нии задачи планирования имеется информация об ограничениях на допустимые значения плановых показателей и модель проекта. При решении задачи оперативного управления имеется информация об ограничениях на допустимые значения показателей освоенного объема и модель проекта, скорректированные в соответствии с решениями соответствующих задач идентификации и прогнозиро- вания, описанными в разделе 1.2, и учитывающие историю реали- зации проекта.
Коль скоро установлена качественная эквивалентность задач планирования и оперативного управления, достаточно рассмотреть подробно одну из них, поэтому ниже в настоящем разделе мы по умолчанию будем подразумевать, что формулируемые и решаемые задачи могут интерпретироваться двояко. Более того, качественно основной результат настоящего раздела заключается в следующем:
при агрегированном представлении проекта, то есть рассмотрении проекта как единого целого в рамках модели, описанной в разделе
1.2, решение задач планирования и оперативного управления в условиях полной информированности заключается в сведении к известным оптимизационным задачам, методы и алгоритмы реше- ния которых хорошо известны.
Обоснуем это утверждение.
Важную часть показателей освоенного объема составляют плановые показатели: планируемая длительность проекта, плани- руемая динамика затрат, плановые значения величины освоенного объема. Поэтому рассмотрим возможные постановки задачи плани- рования.
В разделах 1.1-1.2 была введена следующая взаимосвязь между освоенным объемом и количеством ресурса (напомним, что коли-
47
чество ресурса – объем средств – затрат, которые вкладываются в единицу времени: u(t) = c’(t), c(t) =
∫
t
d
u
0
)
(
τ
τ
):
(1)
))
(
(
)
(
t
u
w
dt
t
dx
=
, x(t) =
∫
t
d
u
w
0
))
(
(
τ
τ
,
∫
T
d
u
w
0
))
(
(
τ
τ
= X
0
,
или в более общем случае:
(2)
)
),
(
),
(
(
)
(
t
t
u
t
x
w
dt
t
dx
=
, x(0) = 0, x(T) = X
0
.
Соотношения (1) или (2) определяют модель проекта, то есть в задаче планирования ими косвенно задается оператор G
0
(
⋅), а в задаче оперативного управления – оператор
G
(
⋅, τ), причем в последнем случае нулевой момент времени в (1) или (2) заменяется на момент времени
τ. Во избежании путаницы, а также для того,
чтобы приводимые результаты с минимальной адаптацией были применимы и к задаче планирования, и к задаче оперативного управления, будем рассматривать только задачу планирования,
помня, что переход к задаче оперативного управления в момент времени
τ осуществляется следующей формальной заменой:
u(t) = c’(t),
c(t) = с(
τ) +
∫
t
dy
y
u
τ
τ )
,
(
,
)
),
,
(
(
)
(
τ
τ
t
u
w
dt
t
dx
=
,
x(t) = x(
τ) +
∫
t
dy
y
u
w
τ
τ
τ
)
,
)
,
(
(
, t
≥ τ, x(τ) +
∫
T
dy
y
u
w
τ
τ
τ
)
),
,
(
(
= X
0
,
или в более общем случае:
)
,
),
,
(
),
(
(
)
(
τ
τ t
t
u
t
x
w
dt
t
dx
=
,
x(t=
τ) = x(τ), x(T) = X
0
, где
)
,
(
τ
⋅
w
- результат идентификации модели проекта в момент времени
τ,
u
(
⋅, τ) =
'
c
(
⋅, τ) – прогноз динамики финансовых ресурсов в момент времени
τ. Кроме того,
отметим, что в задаче планирования приведенные соотношения связывают плановые показатели, а в задаче оперативного управле- ния – фактические или прогнозные. Однако, так как мы установили эквивалентность формулировок этих задач, ниже будем опускать нижние и верхние индексы, соответствующие плановым или про- гнозным значениям.
48
Аналогичным образом учитывается и другая, поступившая до момента времени
τ информация
1
. Например, если стало известно,
что завершению проекта соответствует значение суммарного объе- ма X’, отличное от X
0
, то учет этой информации приведет к замене в приведенных выше для задачи оперативного управления соотно- шениях старой величины суммарного объема на новую.
Предположим, что ограничения на ресурсы и интенсивности заданы в следующем виде:
(3) c(t)
∈ Ξ,
(4) u(t)
∈ U,
(5) w(
⋅) ∈ W,
где
Ξ, U и W – классы возможных значений соответственно затрат,
ресурсов и интенсивностей.
Возможны следующие постановки
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1.2. Общая постановка задачи оперативного управления
проектом
Предположим, что в рамках имеющейся информированности руководителя проекта – центра – он обладает достоверной инфор- мацией обо всех существенных параметрах, то есть условно можно считать, что функционирование системы происходит в условиях полной информированности [15, 17, 19, 22, 78]. Исследуем в рамках этого предположения избыточность приведенной в разделе 1.1
системы показателей освоенного объема.
Даже краткое рассмотрение частных случаев (см. пример 1)
свидетельствует, что набор показателей освоенного объема (основ- ных и производных) является избыточным как с содержательной (в рамках рассматриваемой модели не всегда ясны содержательные трактовки различий между фактическими и освоенными затратами,
а также между фактическим и освоенным объемом), так и с фор- мальной (некоторые производные показатели являются комбинаци-
38
ей других основных или производных показателей и т.д.) точек зрения. Поэтому введем следующий минимальный
1
набор показа- телей освоенного объема (см. рисунок 9), которые используются ниже в настоящей работе.
Основные показатели освоенного объема:
C
0
– планируемые суммарные затраты на проект (TB);
T
0
– планируемый срок завершения проекта;
X
0
– суммарный объем работ по проекту;
c
0
(t) – планируемая динамика затрат (BCWS);
c(t) – фактическая динамика затрат (ACWP);
x
0
(t) – планируемая динамика объемов работ (BQWS);
x(t) – освоенный объем (BQWP);
T – фактический срок окончания проекта;
C – фактические суммарные затраты на проект (EAC – Estimate
At Complete).
Производные показатели освоенного объема:
∆с(t) = c
0
(t) - c(t) - разность между плановыми и фактическими затратами;
∆x(t) = x
0
(t) - x(t) - разность между плановым и освоенным объ- емом
2
;
α(t) = x(t) / x
0
(t) – показатель освоенного объема, характеризует выполнение плана по объему;
β(t) = c(t) / c
0
(t) – показатель динамики затрат, характеризует соответствие поступления средств директивному графику;
γ(t) = x(t) / c(t) – эффективность использования средств
3
;
τ
с
(t) = t -
1 0
−
c
(c(t)) – текущая задержка по затратам;
τ
x
(t) = t -
1 0
−
x
(x(t)) – текущая задержка по объему;
e
0
= X
0
/ C
0
– плановая эффективность проекта в целом;
e
0
(t) = x
0
(t) / c
0
(t) =
β(t) γ(t) / α(t) – плановая эффективность ис- пользования средств;
1
Условно можно считать, что освоенные затраты могут быть рассчи-
таны по освоенному объему (см. подробности ниже).
2
По четырем независимым переменным с учетом размерности можно
определить две независимых их разности.
3
По четырем независимым переменным можно определить три их
независимых отношения.
39
e = X / C – фактическая эффективность проекта в целом.
Помимо перечисленных показателей освоенного объема мо- дель проекта должна включать в себя оператор G(
⋅), связывающий объем с затратами и отражающий «технологию» использования ресурсов.
τ
x
(t)
T
0
x(t)/X
0
– освоенный объем
x
0
(t)/X
0
– план по объему
100%
c(t)/C
0
– фактические затраты
t
c
0
(t)/C
0
– планируемые затраты
T
t
τ
c
(t)
C / C
0
Рис. 9. Пример динамики основных показателей освоенного объема
Докажем, что введенная система показателей освоенного объ- ема включает в себя используемую зарубежными авторами систему показателей (см. ее описание во введении) как частный случай.
Пусть x = kc, где k – коэффициент интенсивности (в примере 1
использовалось уравнение dx/dt = ku, где u = dc/dt). Получаем, что:
SPI =
α(t); CPI = γ(t) / k;
EAC = c(t) + (C
0
– c
e
(t)) / CPI = c(t) + (X
0
– x(t)) /
γ(t),
то есть в случае линейной связи между объемом и ресурсами соот- ветствие полное (с точностью до линейного преобразования).
В рамках рассматриваемой модели задача управления проек- том включает в себя задачу планирования, решаемую до начала реализации проекта, и задачу оперативного управления - выработки оперативных управляющих воздействий в ходе реализации проекта.
Задача планирования заключается в определении объема проекта
X
0
, плановых значений затрат с
0
(t), объема x
0
(t) и продолжительно-
40
сти проекта T
0
при известной «модели проекта» G
0
(
⋅); при этом
C
0
= c
0
(T
0
), x
0
(T
0
) = X
0
. Задача планирования рассматривается в разделе 1.3 настоящей работы, поэтому перейдем к рассмотрению
общей постановки задачи оперативного управления проектом,
которая включает задачи идентификации, прогнозирования и соб- ственно управления.
На рисунке 10 изображена структура системы оперативного управления проектом в рамках модели освоенного объема. Прямо- угольниками отражены реальный проект и его модель. Входом модели проекта является плановая зависимость затрат от времени
c
0
(t), выходом – плановая зависимость объема от времени x
0
(t).
Входом реального проекта является фактическая зависимость затрат от времени c(t), выходом – величина освоенного объема x(t).
Как отмечалось выше, несовпадение: x(t)
≠ x
0
(t) может быть вызва- но следующими причинами: внешней – c(t)
≠ c
0
(t) и/или внутрен- ней – G(
⋅) ≠ G
0
(
⋅).
Следовательно, первой задачей идентификации (обозначенной
«И1» на рисунке 10), которую можно также рассматривать и как задачу прогнозирования, является задача оценки зависимости фактических затрат от времени на основании сравнения наблюдае- мых значений фактических и плановых затрат.
Если представить, что на вход модели проекта подаются не плановые, а фактические затраты, то, зная оператор G
0
(
⋅), можно определить следующую зависимость от времени:
xˆ
(t) = G
0
(c(t)),
сравнение которой с плановой зависимостью x
0
(t) может служить исходными данными для решения второй задачи идентификации
(обозначенной «И2» на рисунке 10) – задачи идентификации собст- венно модели проекта, то есть «уточнения»
G
(
⋅, τ) (см. двойную линию на рисунке 10),
G
(
⋅, 0) = G
0
, соответствующего оператора
(индекс “
τ” в операторе
G
присутствует для того, чтобы подчерк- нуть зависимость от времени
τ, то есть в зависимости от продолжи- тельности имеющейся истории наблюдений за время [0;
τ] модель может изменяться).
41
c
(t’)
x
(t’)
xˆ
(t)
c
0
(t)
x
0
(t)
c(t)
)
,
(
τ
⋅
G
G
0
(
⋅)
G
0
(
⋅)
G
0
(
⋅)
МОДЕЛЬ ПРОЕКТА
Рис. 10. Структура системы
оперативного управления проектом
РЕАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ
УПРАВЛЕНИЕ
И1
И2
x(t)
ПРОГНОЗ
Итак, возникают следующие задачи идентификации:
И1. В момент времени
τ ≥ 0 на основании истории наблюдений
{c(t), c
0
(t)}
t
∈[0; τ]
определить «прогноз» затрат
c
(t’,
τ) для t’ > τ.
И2. В момент времени
τ ≥ 0 на основании истории наблюдений
{c(t), c
0
(t), x
0
(t), x(t),
xˆ
(t)}
t
∈[0; τ]
идентифицировать проект, то есть построит адекватную ему модель
G
(
⋅, τ).
Решив обе задачи идентификации, то есть имея в своем распо- ряжении зависимости
c
(t,
τ) и
G
(
⋅, τ), можно в момент времени
τ ≥ 0 решить задачу прогнозирования, то есть сделать прогноз значения освоенного объема
x
(t’,
τ) для моментов времени t’ > τ :
x
(t’,
τ) =
G
(
c
(t’,
τ), τ).
Необходимо принимать во внимание, что для решения задач идентификации и прогнозирования могут использоваться не только
42
данные о ходе реализации рассматриваемого проекта, но и инфор- мация о реализации других аналогичных проектов.
Сделав маленькое отступление, отметим, что в рамках рас- сматриваемого подхода легко показать, что введенная в настоящем разделе система показателей освоенного объема является мини- мально необходимой для полного описания проекта в рамках мето- дики освоенного объема. Для этого достаточно доказать, что пока- затели фактического объема и освоенных затрат (присутствующие в «расширенном» списке показателей освоенного объема, приве- денном во введении и в разделе 1.1) не являются независимыми и могут быть выражены, через фактические и плановые затраты, а также освоенный и плановый объем. Действительно, фактический объем может интерпретироваться как объем, который был бы освоен, если бы присутствовала только внешняя причина, а внут- ренняя причина отсутствовала, то есть фактический объем есть ни что иное, как
xˆ
(t) = G
0
(c(t)). Освоенные затраты c
e
(t) соответству- ют тем затратам, которые понадобились бы для того, чтобы показа- тель освоенного объема для реального проекта равнялся заданной величине x(t), то есть
G
(с
e
(t)) = x(t).
Решив задачи идентификации и прогнозирования, то есть имея в момент времени
τ в своем распоряжении прогнозы
c
(t’,
τ) и
x
(t’,
τ), для t’ > τ, и зная директивные (плановые) графики затрат и объема, можно решать задачи оперативного управления проек-
том – выработки таких управляющих воздействий, которые кор- ректировали бы ход реализации проекта в нужную (с точки зрения руководителя проекта – см. более подробно ниже) сторону.
Рассмотрим более подробно задачи идентификации, прогноза и оперативного управления. Отметим, что в настоящей работе при анализе и синтезе моделей оперативного управления проектами мы будем следовать следующему общему принципу. Так как конечная цель всех разрабатываемых в рамках методики освоенного объема методов и механизмов оперативного управления заключается в повышении эффективности управления реальными проектами, то критерием необходимости изучения той или иной частной задачи управления является неизвестность на сегодняшний день возмож- ности сведения ее к уже исследованным, например, оптимизацион- ным и другим задачам, методы решения которых могут быть алго- ритмизированы, то есть использованы в методиках или прикладных
43
компьютерных программах, ориентированных на использование руководителями проектов. Такая практическая направленность четко выделяет необходимую степень детализации при исследова- нии тех или иных задач управления, возникающих при описании проекта показателями освоенного объема. Другими словами, в рамках используемого подхода частная задача синтеза определен- ного механизма управления может считаться решенной, если для нее сформулированы либо алгоритм решения, либо приведена ссылка на метод решения эквивалентной ей задачи, которые могут быть использованы в прикладных методиках и алгоритмах, причем создание последних, при наличии подробно изученных с теорети- ческой точки зрения методах решения, может рассматриваться как инженерная задача.
Первая задача идентификации (И1), которую можно также рас- сматривать как задачу прогнозирования значений фактических затрат, заключается в оценке будущей зависимости фактических затрат от времени на основании сравнения наблюдаемых значений фактических и плановых затрат.
Итак, имеются два временных ряда: c
0
(t) и c(t), t
≤ τ. Прогноз
c
(t’,
τ), t’ > τ, может быть получен двумя путями. Первый путь, не учитывающий специфику рассматриваемой задачи, заключается в использовании методов «технического» анализа (статистический анализ временных рядов [2, 51, 72, 99]) для оценки величины
c
(t’,
τ), t’ > τ, только на основании наблюдаемых реализаций c(t),
t
≤ τ. Второй путь – построение модели, отражающей связь между плановыми и фактическими затратами и, быть может, учитываю- щей информацию о результатах реализации аналогичных завер- шившихся проектов, и адаптивная идентификация этой модели на основании имеющих статистических данных. Иллюстрацией второ- го пути может служить введенное в примере 1 предположение
(модель) о постоянстве ресурсов, то есть затрат в единицу времени.
Тогда однократное наблюдение фактических значений ресурсов позволяет однозначно идентифицировать модель. Таким образом,
для прогнозирования будущих значений фактических затрат
c
(t’,
τ), t’ > τ, могут быть использованы (то есть, «зашиты» в соответствующую компьютерную программу без существенной адаптации) известные методы и алгоритмы прогнозирования и идентификации [2, 74, 97-99].
44
Аналогичным образом обстоит дело и со второй задачей иден- тификации (И2) - построения в момент времени
τ ≥ 0 адекватной модели проекта
G
(
⋅, τ) на основании истории наблюдений
{c(t), c
0
(t), x
0
(t), x(t),
xˆ
(t)}
t
∈[0; τ]
, для решения которой в теории адаптивного управления и идентификации существуют хорошо развитые методы решения [98, 99 и др.]. В рамках примера 1 иден- тификация проекта означала определение коэффициентов интен- сивности на основании однократного наблюдения (которое оказы- валось достаточным) параметров фактической реализации проекта.
При известном прогнозе фактических затрат и имеющейся мо- дели проекта решение задачи прогнозирования будущих значений показателей освоенного объема тривиально – оно заключается в подстановке прогноза
c
(t’,
τ) в модель
G
(
⋅, τ), то есть
x
(t’,
τ) =
G
(
c
(t’,
τ), τ), t’ > τ:
Несколько сложнее обстоит дело с задачей собственно управ- ления – поиска оптимальных управляющих воздействий на основа- нии результатов решения задач идентификации и прогнозирования.
Этот класс задач, как и задачи планирования, заслуживает отдель- ного исследования, проводимого в разделе 1.3 настоящей работы.
Таким образом, для решения задач идентификации и прогно- зирования в рамках методики освоенного объема на сегодняшний день существуют хорошо развитые методы адаптивного управле- ния, идентификации и прогнозирования. Другими словами, возни- кающие при использовании методики освоенного объема задачи идентификации и прогнозирования, естественно, обладают собст- венной спецификой, однако, специфичны они не настолько, чтобы к ним были неприменимы известные методы и алгоритмы решения.
45
1.3. Планирование и оперативное управление проектом
в условиях полной информированности
Сохраним введенное в начале раздела 1.2 предположение о том, что руководитель проекта – центр – в рамках своей информи- рованности обладает достоверной информацией.
Часть показателей освоенного объема, введенных в разделе 1.2,
может рассматриваться как управляющие параметры (ими могут,
например, быть плановые затраты, интенсивности и т.д.). Осталь- ные показатели являются при этом зависимыми, то есть при фикси- рованной модели проекта однозначно определяемыми значениями управляющих параметров (например, если плановые затраты ин- терпретируются как управляющий параметр, то при модели проек- та G
0
(
⋅) плановое значение объема является зависимым показате- лем: x
0
(t) = G
0
(c
0
(t)) и т.д.). В зависимости от рассматриваемой модели (то есть в зависимости от рассматриваемой задачи управле- ния) одни и те же показатели могут быть либо управляющими,
либо зависимыми.
Пусть известны ограничения на значения управляющих пара- метров и задан критерий эффективности управления
1
, зависящий как от управляющих, так и от зависимых параметров. Тогда на качественном уровне задачу управления можно сформулировать следующим образом: выбрать такие допустимые значения управ- ляющих параметров, которые доставляли бы экстремум критерию эффективности управления (в частном случае – максимизировали эффективность проекта).
Задача планирования, являющаяся частным случаем сформу- лированной выше задачи управления, решается до начала реализа- ции проекта и заключается в определении на основании всей имеющейся на данный момент информации оптимальных плановых значений управляющих параметров для t’
≥ 0.
Задача оперативного управления, также являющаяся частным случаем задачи управления, решается в ходе реализации проекта и заключается в определении на основании всей имеющейся на дан- ный момент информации оптимальных текущих и будущих значе-
1
Следует различать эффективность проекта, определяемую как отно-
шение объема к затратам (см. выше), и эффективность управления.
46
ний управляющих параметров, то есть оптимальных плановых значений управляющих параметров для t’
≥ τ.
Таким образом, задачи планирования и оперативного управле- ния являются частными случаями одной и той же задачи управле- ния, отличающимися лишь той информацией, которая имеется на момент принятия решений.
Поясним последнее утверждение более подробно. При реше- нии задачи планирования имеется информация об ограничениях на допустимые значения плановых показателей и модель проекта. При решении задачи оперативного управления имеется информация об ограничениях на допустимые значения показателей освоенного объема и модель проекта, скорректированные в соответствии с решениями соответствующих задач идентификации и прогнозиро- вания, описанными в разделе 1.2, и учитывающие историю реали- зации проекта.
Коль скоро установлена качественная эквивалентность задач планирования и оперативного управления, достаточно рассмотреть подробно одну из них, поэтому ниже в настоящем разделе мы по умолчанию будем подразумевать, что формулируемые и решаемые задачи могут интерпретироваться двояко. Более того, качественно основной результат настоящего раздела заключается в следующем:
при агрегированном представлении проекта, то есть рассмотрении проекта как единого целого в рамках модели, описанной в разделе
1.2, решение задач планирования и оперативного управления в условиях полной информированности заключается в сведении к известным оптимизационным задачам, методы и алгоритмы реше- ния которых хорошо известны.
Обоснуем это утверждение.
Важную часть показателей освоенного объема составляют плановые показатели: планируемая длительность проекта, плани- руемая динамика затрат, плановые значения величины освоенного объема. Поэтому рассмотрим возможные постановки задачи плани- рования.
В разделах 1.1-1.2 была введена следующая взаимосвязь между освоенным объемом и количеством ресурса (напомним, что коли-
47
чество ресурса – объем средств – затрат, которые вкладываются в единицу времени: u(t) = c’(t), c(t) =
∫
t
d
u
0
)
(
τ
τ
):
(1)
))
(
(
)
(
t
u
w
dt
t
dx
=
, x(t) =
∫
t
d
u
w
0
))
(
(
τ
τ
,
∫
T
d
u
w
0
))
(
(
τ
τ
= X
0
,
или в более общем случае:
(2)
)
),
(
),
(
(
)
(
t
t
u
t
x
w
dt
t
dx
=
, x(0) = 0, x(T) = X
0
.
Соотношения (1) или (2) определяют модель проекта, то есть в задаче планирования ими косвенно задается оператор G
0
(
⋅), а в задаче оперативного управления – оператор
G
(
⋅, τ), причем в последнем случае нулевой момент времени в (1) или (2) заменяется на момент времени
τ. Во избежании путаницы, а также для того,
чтобы приводимые результаты с минимальной адаптацией были применимы и к задаче планирования, и к задаче оперативного управления, будем рассматривать только задачу планирования,
помня, что переход к задаче оперативного управления в момент времени
τ осуществляется следующей формальной заменой:
u(t) = c’(t),
c(t) = с(
τ) +
∫
t
dy
y
u
τ
τ )
,
(
,
)
),
,
(
(
)
(
τ
τ
t
u
w
dt
t
dx
=
,
x(t) = x(
τ) +
∫
t
dy
y
u
w
τ
τ
τ
)
,
)
,
(
(
, t
≥ τ, x(τ) +
∫
T
dy
y
u
w
τ
τ
τ
)
),
,
(
(
= X
0
,
или в более общем случае:
)
,
),
,
(
),
(
(
)
(
τ
τ t
t
u
t
x
w
dt
t
dx
=
,
x(t=
τ) = x(τ), x(T) = X
0
, где
)
,
(
τ
⋅
w
- результат идентификации модели проекта в момент времени
τ,
u
(
⋅, τ) =
'
c
(
⋅, τ) – прогноз динамики финансовых ресурсов в момент времени
τ. Кроме того,
отметим, что в задаче планирования приведенные соотношения связывают плановые показатели, а в задаче оперативного управле- ния – фактические или прогнозные. Однако, так как мы установили эквивалентность формулировок этих задач, ниже будем опускать нижние и верхние индексы, соответствующие плановым или про- гнозным значениям.
48
Аналогичным образом учитывается и другая, поступившая до момента времени
τ информация
1
. Например, если стало известно,
что завершению проекта соответствует значение суммарного объе- ма X’, отличное от X
0
, то учет этой информации приведет к замене в приведенных выше для задачи оперативного управления соотно- шениях старой величины суммарного объема на новую.
Предположим, что ограничения на ресурсы и интенсивности заданы в следующем виде:
(3) c(t)
∈ Ξ,
(4) u(t)
∈ U,
(5) w(
⋅) ∈ W,
где
Ξ, U и W – классы возможных значений соответственно затрат,
ресурсов и интенсивностей.
Возможны следующие постановки
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1.2. Общая постановка задачи оперативного управления
проектом
Предположим, что в рамках имеющейся информированности руководителя проекта – центра – он обладает достоверной инфор- мацией обо всех существенных параметрах, то есть условно можно считать, что функционирование системы происходит в условиях полной информированности [15, 17, 19, 22, 78]. Исследуем в рамках этого предположения избыточность приведенной в разделе 1.1
системы показателей освоенного объема.
Даже краткое рассмотрение частных случаев (см. пример 1)
свидетельствует, что набор показателей освоенного объема (основ- ных и производных) является избыточным как с содержательной (в рамках рассматриваемой модели не всегда ясны содержательные трактовки различий между фактическими и освоенными затратами,
а также между фактическим и освоенным объемом), так и с фор- мальной (некоторые производные показатели являются комбинаци-
38
ей других основных или производных показателей и т.д.) точек зрения. Поэтому введем следующий минимальный
1
набор показа- телей освоенного объема (см. рисунок 9), которые используются ниже в настоящей работе.
Основные показатели освоенного объема:
C
0
– планируемые суммарные затраты на проект (TB);
T
0
– планируемый срок завершения проекта;
X
0
– суммарный объем работ по проекту;
c
0
(t) – планируемая динамика затрат (BCWS);
c(t) – фактическая динамика затрат (ACWP);
x
0
(t) – планируемая динамика объемов работ (BQWS);
x(t) – освоенный объем (BQWP);
T – фактический срок окончания проекта;
C – фактические суммарные затраты на проект (EAC – Estimate
At Complete).
Производные показатели освоенного объема:
∆с(t) = c
0
(t) - c(t) - разность между плановыми и фактическими затратами;
∆x(t) = x
0
(t) - x(t) - разность между плановым и освоенным объ- емом
2
;
α(t) = x(t) / x
0
(t) – показатель освоенного объема, характеризует выполнение плана по объему;
β(t) = c(t) / c
0
(t) – показатель динамики затрат, характеризует соответствие поступления средств директивному графику;
γ(t) = x(t) / c(t) – эффективность использования средств
3
;
τ
с
(t) = t -
1 0
−
c
(c(t)) – текущая задержка по затратам;
τ
x
(t) = t -
1 0
−
x
(x(t)) – текущая задержка по объему;
e
0
= X
0
/ C
0
– плановая эффективность проекта в целом;
e
0
(t) = x
0
(t) / c
0
(t) =
β(t) γ(t) / α(t) – плановая эффективность ис- пользования средств;
1
Условно можно считать, что освоенные затраты могут быть рассчи-
таны по освоенному объему (см. подробности ниже).
2
По четырем независимым переменным с учетом размерности можно
определить две независимых их разности.
3
По четырем независимым переменным можно определить три их
независимых отношения.
39
e = X / C – фактическая эффективность проекта в целом.
Помимо перечисленных показателей освоенного объема мо- дель проекта должна включать в себя оператор G(
⋅), связывающий объем с затратами и отражающий «технологию» использования ресурсов.
τ
x
(t)
T
0
x(t)/X
0
– освоенный объем
x
0
(t)/X
0
– план по объему
100%
c(t)/C
0
– фактические затраты
t
c
0
(t)/C
0
– планируемые затраты
T
t
τ
c
(t)
C / C
0
Рис. 9. Пример динамики основных показателей освоенного объема
Докажем, что введенная система показателей освоенного объ- ема включает в себя используемую зарубежными авторами систему показателей (см. ее описание во введении) как частный случай.
Пусть x = kc, где k – коэффициент интенсивности (в примере 1
использовалось уравнение dx/dt = ku, где u = dc/dt). Получаем, что:
SPI =
α(t); CPI = γ(t) / k;
EAC = c(t) + (C
0
– c
e
(t)) / CPI = c(t) + (X
0
– x(t)) /
γ(t),
то есть в случае линейной связи между объемом и ресурсами соот- ветствие полное (с точностью до линейного преобразования).
В рамках рассматриваемой модели задача управления проек- том включает в себя задачу планирования, решаемую до начала реализации проекта, и задачу оперативного управления - выработки оперативных управляющих воздействий в ходе реализации проекта.
Задача планирования заключается в определении объема проекта
X
0
, плановых значений затрат с
0
(t), объема x
0
(t) и продолжительно-
40
сти проекта T
0
при известной «модели проекта» G
0
(
⋅); при этом
C
0
= c
0
(T
0
), x
0
(T
0
) = X
0
. Задача планирования рассматривается в разделе 1.3 настоящей работы, поэтому перейдем к рассмотрению
общей постановки задачи оперативного управления проектом,
которая включает задачи идентификации, прогнозирования и соб- ственно управления.
На рисунке 10 изображена структура системы оперативного управления проектом в рамках модели освоенного объема. Прямо- угольниками отражены реальный проект и его модель. Входом модели проекта является плановая зависимость затрат от времени
c
0
(t), выходом – плановая зависимость объема от времени x
0
(t).
Входом реального проекта является фактическая зависимость затрат от времени c(t), выходом – величина освоенного объема x(t).
Как отмечалось выше, несовпадение: x(t)
≠ x
0
(t) может быть вызва- но следующими причинами: внешней – c(t)
≠ c
0
(t) и/или внутрен- ней – G(
⋅) ≠ G
0
(
⋅).
Следовательно, первой задачей идентификации (обозначенной
«И1» на рисунке 10), которую можно также рассматривать и как задачу прогнозирования, является задача оценки зависимости фактических затрат от времени на основании сравнения наблюдае- мых значений фактических и плановых затрат.
Если представить, что на вход модели проекта подаются не плановые, а фактические затраты, то, зная оператор G
0
(
⋅), можно определить следующую зависимость от времени:
xˆ
(t) = G
0
(c(t)),
сравнение которой с плановой зависимостью x
0
(t) может служить исходными данными для решения второй задачи идентификации
(обозначенной «И2» на рисунке 10) – задачи идентификации собст- венно модели проекта, то есть «уточнения»
G
(
⋅, τ) (см. двойную линию на рисунке 10),
G
(
⋅, 0) = G
0
, соответствующего оператора
(индекс “
τ” в операторе
G
присутствует для того, чтобы подчерк- нуть зависимость от времени
τ, то есть в зависимости от продолжи- тельности имеющейся истории наблюдений за время [0;
τ] модель может изменяться).
41
c
(t’)
x
(t’)
xˆ
(t)
c
0
(t)
x
0
(t)
c(t)
)
,
(
τ
⋅
G
G
0
(
⋅)
G
0
(
⋅)
G
0
(
⋅)
МОДЕЛЬ ПРОЕКТА
Рис. 10. Структура системы
оперативного управления проектом
РЕАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ
УПРАВЛЕНИЕ
И1
И2
x(t)
ПРОГНОЗ
Итак, возникают следующие задачи идентификации:
И1. В момент времени
τ ≥ 0 на основании истории наблюдений
{c(t), c
0
(t)}
t
∈[0; τ]
определить «прогноз» затрат
c
(t’,
τ) для t’ > τ.
И2. В момент времени
τ ≥ 0 на основании истории наблюдений
{c(t), c
0
(t), x
0
(t), x(t),
xˆ
(t)}
t
∈[0; τ]
идентифицировать проект, то есть построит адекватную ему модель
G
(
⋅, τ).
Решив обе задачи идентификации, то есть имея в своем распо- ряжении зависимости
c
(t,
τ) и
G
(
⋅, τ), можно в момент времени
τ ≥ 0 решить задачу прогнозирования, то есть сделать прогноз значения освоенного объема
x
(t’,
τ) для моментов времени t’ > τ :
x
(t’,
τ) =
G
(
c
(t’,
τ), τ).
Необходимо принимать во внимание, что для решения задач идентификации и прогнозирования могут использоваться не только
42
данные о ходе реализации рассматриваемого проекта, но и инфор- мация о реализации других аналогичных проектов.
Сделав маленькое отступление, отметим, что в рамках рас- сматриваемого подхода легко показать, что введенная в настоящем разделе система показателей освоенного объема является мини- мально необходимой для полного описания проекта в рамках мето- дики освоенного объема. Для этого достаточно доказать, что пока- затели фактического объема и освоенных затрат (присутствующие в «расширенном» списке показателей освоенного объема, приве- денном во введении и в разделе 1.1) не являются независимыми и могут быть выражены, через фактические и плановые затраты, а также освоенный и плановый объем. Действительно, фактический объем может интерпретироваться как объем, который был бы освоен, если бы присутствовала только внешняя причина, а внут- ренняя причина отсутствовала, то есть фактический объем есть ни что иное, как
xˆ
(t) = G
0
(c(t)). Освоенные затраты c
e
(t) соответству- ют тем затратам, которые понадобились бы для того, чтобы показа- тель освоенного объема для реального проекта равнялся заданной величине x(t), то есть
G
(с
e
(t)) = x(t).
Решив задачи идентификации и прогнозирования, то есть имея в момент времени
τ в своем распоряжении прогнозы
c
(t’,
τ) и
x
(t’,
τ), для t’ > τ, и зная директивные (плановые) графики затрат и объема, можно решать задачи оперативного управления проек-
том – выработки таких управляющих воздействий, которые кор- ректировали бы ход реализации проекта в нужную (с точки зрения руководителя проекта – см. более подробно ниже) сторону.
Рассмотрим более подробно задачи идентификации, прогноза и оперативного управления. Отметим, что в настоящей работе при анализе и синтезе моделей оперативного управления проектами мы будем следовать следующему общему принципу. Так как конечная цель всех разрабатываемых в рамках методики освоенного объема методов и механизмов оперативного управления заключается в повышении эффективности управления реальными проектами, то критерием необходимости изучения той или иной частной задачи управления является неизвестность на сегодняшний день возмож- ности сведения ее к уже исследованным, например, оптимизацион- ным и другим задачам, методы решения которых могут быть алго- ритмизированы, то есть использованы в методиках или прикладных
43
компьютерных программах, ориентированных на использование руководителями проектов. Такая практическая направленность четко выделяет необходимую степень детализации при исследова- нии тех или иных задач управления, возникающих при описании проекта показателями освоенного объема. Другими словами, в рамках используемого подхода частная задача синтеза определен- ного механизма управления может считаться решенной, если для нее сформулированы либо алгоритм решения, либо приведена ссылка на метод решения эквивалентной ей задачи, которые могут быть использованы в прикладных методиках и алгоритмах, причем создание последних, при наличии подробно изученных с теорети- ческой точки зрения методах решения, может рассматриваться как инженерная задача.
Первая задача идентификации (И1), которую можно также рас- сматривать как задачу прогнозирования значений фактических затрат, заключается в оценке будущей зависимости фактических затрат от времени на основании сравнения наблюдаемых значений фактических и плановых затрат.
Итак, имеются два временных ряда: c
0
(t) и c(t), t
≤ τ. Прогноз
c
(t’,
τ), t’ > τ, может быть получен двумя путями. Первый путь, не учитывающий специфику рассматриваемой задачи, заключается в использовании методов «технического» анализа (статистический анализ временных рядов [2, 51, 72, 99]) для оценки величины
c
(t’,
τ), t’ > τ, только на основании наблюдаемых реализаций c(t),
t
≤ τ. Второй путь – построение модели, отражающей связь между плановыми и фактическими затратами и, быть может, учитываю- щей информацию о результатах реализации аналогичных завер- шившихся проектов, и адаптивная идентификация этой модели на основании имеющих статистических данных. Иллюстрацией второ- го пути может служить введенное в примере 1 предположение
(модель) о постоянстве ресурсов, то есть затрат в единицу времени.
Тогда однократное наблюдение фактических значений ресурсов позволяет однозначно идентифицировать модель. Таким образом,
для прогнозирования будущих значений фактических затрат
c
(t’,
τ), t’ > τ, могут быть использованы (то есть, «зашиты» в соответствующую компьютерную программу без существенной адаптации) известные методы и алгоритмы прогнозирования и идентификации [2, 74, 97-99].
44
Аналогичным образом обстоит дело и со второй задачей иден- тификации (И2) - построения в момент времени
τ ≥ 0 адекватной модели проекта
G
(
⋅, τ) на основании истории наблюдений
{c(t), c
0
(t), x
0
(t), x(t),
xˆ
(t)}
t
∈[0; τ]
, для решения которой в теории адаптивного управления и идентификации существуют хорошо развитые методы решения [98, 99 и др.]. В рамках примера 1 иден- тификация проекта означала определение коэффициентов интен- сивности на основании однократного наблюдения (которое оказы- валось достаточным) параметров фактической реализации проекта.
При известном прогнозе фактических затрат и имеющейся мо- дели проекта решение задачи прогнозирования будущих значений показателей освоенного объема тривиально – оно заключается в подстановке прогноза
c
(t’,
τ) в модель
G
(
⋅, τ), то есть
x
(t’,
τ) =
G
(
c
(t’,
τ), τ), t’ > τ:
Несколько сложнее обстоит дело с задачей собственно управ- ления – поиска оптимальных управляющих воздействий на основа- нии результатов решения задач идентификации и прогнозирования.
Этот класс задач, как и задачи планирования, заслуживает отдель- ного исследования, проводимого в разделе 1.3 настоящей работы.
Таким образом, для решения задач идентификации и прогно- зирования в рамках методики освоенного объема на сегодняшний день существуют хорошо развитые методы адаптивного управле- ния, идентификации и прогнозирования. Другими словами, возни- кающие при использовании методики освоенного объема задачи идентификации и прогнозирования, естественно, обладают собст- венной спецификой, однако, специфичны они не настолько, чтобы к ним были неприменимы известные методы и алгоритмы решения.
45
1.3. Планирование и оперативное управление проектом
в условиях полной информированности
Сохраним введенное в начале раздела 1.2 предположение о том, что руководитель проекта – центр – в рамках своей информи- рованности обладает достоверной информацией.
Часть показателей освоенного объема, введенных в разделе 1.2,
может рассматриваться как управляющие параметры (ими могут,
например, быть плановые затраты, интенсивности и т.д.). Осталь- ные показатели являются при этом зависимыми, то есть при фикси- рованной модели проекта однозначно определяемыми значениями управляющих параметров (например, если плановые затраты ин- терпретируются как управляющий параметр, то при модели проек- та G
0
(
⋅) плановое значение объема является зависимым показате- лем: x
0
(t) = G
0
(c
0
(t)) и т.д.). В зависимости от рассматриваемой модели (то есть в зависимости от рассматриваемой задачи управле- ния) одни и те же показатели могут быть либо управляющими,
либо зависимыми.
Пусть известны ограничения на значения управляющих пара- метров и задан критерий эффективности управления
1
, зависящий как от управляющих, так и от зависимых параметров. Тогда на качественном уровне задачу управления можно сформулировать следующим образом: выбрать такие допустимые значения управ- ляющих параметров, которые доставляли бы экстремум критерию эффективности управления (в частном случае – максимизировали эффективность проекта).
Задача планирования, являющаяся частным случаем сформу- лированной выше задачи управления, решается до начала реализа- ции проекта и заключается в определении на основании всей имеющейся на данный момент информации оптимальных плановых значений управляющих параметров для t’
≥ 0.
Задача оперативного управления, также являющаяся частным случаем задачи управления, решается в ходе реализации проекта и заключается в определении на основании всей имеющейся на дан- ный момент информации оптимальных текущих и будущих значе-
1
Следует различать эффективность проекта, определяемую как отно-
шение объема к затратам (см. выше), и эффективность управления.
46
ний управляющих параметров, то есть оптимальных плановых значений управляющих параметров для t’
≥ τ.
Таким образом, задачи планирования и оперативного управле- ния являются частными случаями одной и той же задачи управле- ния, отличающимися лишь той информацией, которая имеется на момент принятия решений.
Поясним последнее утверждение более подробно. При реше- нии задачи планирования имеется информация об ограничениях на допустимые значения плановых показателей и модель проекта. При решении задачи оперативного управления имеется информация об ограничениях на допустимые значения показателей освоенного объема и модель проекта, скорректированные в соответствии с решениями соответствующих задач идентификации и прогнозиро- вания, описанными в разделе 1.2, и учитывающие историю реали- зации проекта.
Коль скоро установлена качественная эквивалентность задач планирования и оперативного управления, достаточно рассмотреть подробно одну из них, поэтому ниже в настоящем разделе мы по умолчанию будем подразумевать, что формулируемые и решаемые задачи могут интерпретироваться двояко. Более того, качественно основной результат настоящего раздела заключается в следующем:
при агрегированном представлении проекта, то есть рассмотрении проекта как единого целого в рамках модели, описанной в разделе
1.2, решение задач планирования и оперативного управления в условиях полной информированности заключается в сведении к известным оптимизационным задачам, методы и алгоритмы реше- ния которых хорошо известны.
Обоснуем это утверждение.
Важную часть показателей освоенного объема составляют плановые показатели: планируемая длительность проекта, плани- руемая динамика затрат, плановые значения величины освоенного объема. Поэтому рассмотрим возможные постановки задачи плани- рования.
В разделах 1.1-1.2 была введена следующая взаимосвязь между освоенным объемом и количеством ресурса (напомним, что коли-
47
чество ресурса – объем средств – затрат, которые вкладываются в единицу времени: u(t) = c’(t), c(t) =
∫
t
d
u
0
)
(
τ
τ
):
(1)
))
(
(
)
(
t
u
w
dt
t
dx
=
, x(t) =
∫
t
d
u
w
0
))
(
(
τ
τ
,
∫
T
d
u
w
0
))
(
(
τ
τ
= X
0
,
или в более общем случае:
(2)
)
),
(
),
(
(
)
(
t
t
u
t
x
w
dt
t
dx
=
, x(0) = 0, x(T) = X
0
.
Соотношения (1) или (2) определяют модель проекта, то есть в задаче планирования ими косвенно задается оператор G
0
(
⋅), а в задаче оперативного управления – оператор
G
(
⋅, τ), причем в последнем случае нулевой момент времени в (1) или (2) заменяется на момент времени
τ. Во избежании путаницы, а также для того,
чтобы приводимые результаты с минимальной адаптацией были применимы и к задаче планирования, и к задаче оперативного управления, будем рассматривать только задачу планирования,
помня, что переход к задаче оперативного управления в момент времени
τ осуществляется следующей формальной заменой:
u(t) = c’(t),
c(t) = с(
τ) +
∫
t
dy
y
u
τ
τ )
,
(
,
)
),
,
(
(
)
(
τ
τ
t
u
w
dt
t
dx
=
,
x(t) = x(
τ) +
∫
t
dy
y
u
w
τ
τ
τ
)
,
)
,
(
(
, t
≥ τ, x(τ) +
∫
T
dy
y
u
w
τ
τ
τ
)
),
,
(
(
= X
0
,
или в более общем случае:
)
,
),
,
(
),
(
(
)
(
τ
τ t
t
u
t
x
w
dt
t
dx
=
,
x(t=
τ) = x(τ), x(T) = X
0
, где
)
,
(
τ
⋅
w
- результат идентификации модели проекта в момент времени
τ,
u
(
⋅, τ) =
'
c
(
⋅, τ) – прогноз динамики финансовых ресурсов в момент времени
τ. Кроме того,
отметим, что в задаче планирования приведенные соотношения связывают плановые показатели, а в задаче оперативного управле- ния – фактические или прогнозные. Однако, так как мы установили эквивалентность формулировок этих задач, ниже будем опускать нижние и верхние индексы, соответствующие плановым или про- гнозным значениям.
48
Аналогичным образом учитывается и другая, поступившая до момента времени
τ информация
1
. Например, если стало известно,
что завершению проекта соответствует значение суммарного объе- ма X’, отличное от X
0
, то учет этой информации приведет к замене в приведенных выше для задачи оперативного управления соотно- шениях старой величины суммарного объема на новую.
Предположим, что ограничения на ресурсы и интенсивности заданы в следующем виде:
(3) c(t)
∈ Ξ,
(4) u(t)
∈ U,
(5) w(
⋅) ∈ W,
где
Ξ, U и W – классы возможных значений соответственно затрат,
ресурсов и интенсивностей.
Возможны следующие постановки
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1.2. Общая постановка задачи оперативного управления
проектом
Предположим, что в рамках имеющейся информированности руководителя проекта – центра – он обладает достоверной инфор- мацией обо всех существенных параметрах, то есть условно можно считать, что функционирование системы происходит в условиях полной информированности [15, 17, 19, 22, 78]. Исследуем в рамках этого предположения избыточность приведенной в разделе 1.1
системы показателей освоенного объема.
Даже краткое рассмотрение частных случаев (см. пример 1)
свидетельствует, что набор показателей освоенного объема (основ- ных и производных) является избыточным как с содержательной (в рамках рассматриваемой модели не всегда ясны содержательные трактовки различий между фактическими и освоенными затратами,
а также между фактическим и освоенным объемом), так и с фор- мальной (некоторые производные показатели являются комбинаци-
38
ей других основных или производных показателей и т.д.) точек зрения. Поэтому введем следующий минимальный
1
набор показа- телей освоенного объема (см. рисунок 9), которые используются ниже в настоящей работе.
Основные показатели освоенного объема:
C
0
– планируемые суммарные затраты на проект (TB);
T
0
– планируемый срок завершения проекта;
X
0
– суммарный объем работ по проекту;
c
0
(t) – планируемая динамика затрат (BCWS);
c(t) – фактическая динамика затрат (ACWP);
x
0
(t) – планируемая динамика объемов работ (BQWS);
x(t) – освоенный объем (BQWP);
T – фактический срок окончания проекта;
C – фактические суммарные затраты на проект (EAC – Estimate
At Complete).
Производные показатели освоенного объема:
∆с(t) = c
0
(t) - c(t) - разность между плановыми и фактическими затратами;
∆x(t) = x
0
(t) - x(t) - разность между плановым и освоенным объ- емом
2
;
α(t) = x(t) / x
0
(t) – показатель освоенного объема, характеризует выполнение плана по объему;
β(t) = c(t) / c
0
(t) – показатель динамики затрат, характеризует соответствие поступления средств директивному графику;
γ(t) = x(t) / c(t) – эффективность использования средств
3
;
τ
с
(t) = t -
1 0
−
c
(c(t)) – текущая задержка по затратам;
τ
x
(t) = t -
1 0
−
x
(x(t)) – текущая задержка по объему;
e
0
= X
0
/ C
0
– плановая эффективность проекта в целом;
e
0
(t) = x
0
(t) / c
0
(t) =
β(t) γ(t) / α(t) – плановая эффективность ис- пользования средств;
1
Условно можно считать, что освоенные затраты могут быть рассчи-
таны по освоенному объему (см. подробности ниже).
2
По четырем независимым переменным с учетом размерности можно
определить две независимых их разности.
3
По четырем независимым переменным можно определить три их
независимых отношения.
39
e = X / C – фактическая эффективность проекта в целом.
Помимо перечисленных показателей освоенного объема мо- дель проекта должна включать в себя оператор G(
⋅), связывающий объем с затратами и отражающий «технологию» использования ресурсов.
τ
x
(t)
T
0
x(t)/X
0
– освоенный объем
x
0
(t)/X
0
– план по объему
100%
c(t)/C
0
– фактические затраты
t
c
0
(t)/C
0
– планируемые затраты
T
t
τ
c
(t)
C / C
0
Рис. 9. Пример динамики основных показателей освоенного объема
Докажем, что введенная система показателей освоенного объ- ема включает в себя используемую зарубежными авторами систему показателей (см. ее описание во введении) как частный случай.
Пусть x = kc, где k – коэффициент интенсивности (в примере 1
использовалось уравнение dx/dt = ku, где u = dc/dt). Получаем, что:
SPI =
α(t); CPI = γ(t) / k;
EAC = c(t) + (C
0
– c
e
(t)) / CPI = c(t) + (X
0
– x(t)) /
γ(t),
то есть в случае линейной связи между объемом и ресурсами соот- ветствие полное (с точностью до линейного преобразования).
В рамках рассматриваемой модели задача управления проек- том включает в себя задачу планирования, решаемую до начала реализации проекта, и задачу оперативного управления - выработки оперативных управляющих воздействий в ходе реализации проекта.
Задача планирования заключается в определении объема проекта
X
0
, плановых значений затрат с
0
(t), объема x
0
(t) и продолжительно-
40
сти проекта T
0
при известной «модели проекта» G
0
(
⋅); при этом
C
0
= c
0
(T
0
), x
0
(T
0
) = X
0
. Задача планирования рассматривается в разделе 1.3 настоящей работы, поэтому перейдем к рассмотрению
общей постановки задачи оперативного управления проектом,
которая включает задачи идентификации, прогнозирования и соб- ственно управления.
На рисунке 10 изображена структура системы оперативного управления проектом в рамках модели освоенного объема. Прямо- угольниками отражены реальный проект и его модель. Входом модели проекта является плановая зависимость затрат от времени
c
0
(t), выходом – плановая зависимость объема от времени x
0
(t).
Входом реального проекта является фактическая зависимость затрат от времени c(t), выходом – величина освоенного объема x(t).
Как отмечалось выше, несовпадение: x(t)
≠ x
0
(t) может быть вызва- но следующими причинами: внешней – c(t)
≠ c
0
(t) и/или внутрен- ней – G(
⋅) ≠ G
0
(
⋅).
Следовательно, первой задачей идентификации (обозначенной
«И1» на рисунке 10), которую можно также рассматривать и как задачу прогнозирования, является задача оценки зависимости фактических затрат от времени на основании сравнения наблюдае- мых значений фактических и плановых затрат.
Если представить, что на вход модели проекта подаются не плановые, а фактические затраты, то, зная оператор G
0
(
⋅), можно определить следующую зависимость от времени:
xˆ
(t) = G
0
(c(t)),
сравнение которой с плановой зависимостью x
0
(t) может служить исходными данными для решения второй задачи идентификации
(обозначенной «И2» на рисунке 10) – задачи идентификации собст- венно модели проекта, то есть «уточнения»
G
(
⋅, τ) (см. двойную линию на рисунке 10),
G
(
⋅, 0) = G
0
, соответствующего оператора
(индекс “
τ” в операторе
G
присутствует для того, чтобы подчерк- нуть зависимость от времени
τ, то есть в зависимости от продолжи- тельности имеющейся истории наблюдений за время [0;
τ] модель может изменяться).
41
c
(t’)
x
(t’)
xˆ
(t)
c
0
(t)
x
0
(t)
c(t)
)
,
(
τ
⋅
G
G
0
(
⋅)
G
0
(
⋅)
G
0
(
⋅)
МОДЕЛЬ ПРОЕКТА
Рис. 10. Структура системы
оперативного управления проектом
РЕАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ
УПРАВЛЕНИЕ
И1
И2
x(t)
ПРОГНОЗ
Итак, возникают следующие задачи идентификации:
И1. В момент времени
τ ≥ 0 на основании истории наблюдений
{c(t), c
0
(t)}
t
∈[0; τ]
определить «прогноз» затрат
c
(t’,
τ) для t’ > τ.
И2. В момент времени
τ ≥ 0 на основании истории наблюдений
{c(t), c
0
(t), x
0
(t), x(t),
xˆ
(t)}
t
∈[0; τ]
идентифицировать проект, то есть построит адекватную ему модель
G
(
⋅, τ).
Решив обе задачи идентификации, то есть имея в своем распо- ряжении зависимости
c
(t,
τ) и
G
(
⋅, τ), можно в момент времени
τ ≥ 0 решить задачу прогнозирования, то есть сделать прогноз значения освоенного объема
x
(t’,
τ) для моментов времени t’ > τ :
x
(t’,
τ) =
G
(
c
(t’,
τ), τ).
Необходимо принимать во внимание, что для решения задач идентификации и прогнозирования могут использоваться не только
42
данные о ходе реализации рассматриваемого проекта, но и инфор- мация о реализации других аналогичных проектов.
Сделав маленькое отступление, отметим, что в рамках рас- сматриваемого подхода легко показать, что введенная в настоящем разделе система показателей освоенного объема является мини- мально необходимой для полного описания проекта в рамках мето- дики освоенного объема. Для этого достаточно доказать, что пока- затели фактического объема и освоенных затрат (присутствующие в «расширенном» списке показателей освоенного объема, приве- денном во введении и в разделе 1.1) не являются независимыми и могут быть выражены, через фактические и плановые затраты, а также освоенный и плановый объем. Действительно, фактический объем может интерпретироваться как объем, который был бы освоен, если бы присутствовала только внешняя причина, а внут- ренняя причина отсутствовала, то есть фактический объем есть ни что иное, как
xˆ
(t) = G
0
(c(t)). Освоенные затраты c
e
(t) соответству- ют тем затратам, которые понадобились бы для того, чтобы показа- тель освоенного объема для реального проекта равнялся заданной величине x(t), то есть
G
(с
e
(t)) = x(t).
Решив задачи идентификации и прогнозирования, то есть имея в момент времени
τ в своем распоряжении прогнозы
c
(t’,
τ) и
x
(t’,
τ), для t’ > τ, и зная директивные (плановые) графики затрат и объема, можно решать задачи оперативного управления проек-
том – выработки таких управляющих воздействий, которые кор- ректировали бы ход реализации проекта в нужную (с точки зрения руководителя проекта – см. более подробно ниже) сторону.
Рассмотрим более подробно задачи идентификации, прогноза и оперативного управления. Отметим, что в настоящей работе при анализе и синтезе моделей оперативного управления проектами мы будем следовать следующему общему принципу. Так как конечная цель всех разрабатываемых в рамках методики освоенного объема методов и механизмов оперативного управления заключается в повышении эффективности управления реальными проектами, то критерием необходимости изучения той или иной частной задачи управления является неизвестность на сегодняшний день возмож- ности сведения ее к уже исследованным, например, оптимизацион- ным и другим задачам, методы решения которых могут быть алго- ритмизированы, то есть использованы в методиках или прикладных
43
компьютерных программах, ориентированных на использование руководителями проектов. Такая практическая направленность четко выделяет необходимую степень детализации при исследова- нии тех или иных задач управления, возникающих при описании проекта показателями освоенного объема. Другими словами, в рамках используемого подхода частная задача синтеза определен- ного механизма управления может считаться решенной, если для нее сформулированы либо алгоритм решения, либо приведена ссылка на метод решения эквивалентной ей задачи, которые могут быть использованы в прикладных методиках и алгоритмах, причем создание последних, при наличии подробно изученных с теорети- ческой точки зрения методах решения, может рассматриваться как инженерная задача.
Первая задача идентификации (И1), которую можно также рас- сматривать как задачу прогнозирования значений фактических затрат, заключается в оценке будущей зависимости фактических затрат от времени на основании сравнения наблюдаемых значений фактических и плановых затрат.
Итак, имеются два временных ряда: c
0
(t) и c(t), t
≤ τ. Прогноз
c
(t’,
τ), t’ > τ, может быть получен двумя путями. Первый путь, не учитывающий специфику рассматриваемой задачи, заключается в использовании методов «технического» анализа (статистический анализ временных рядов [2, 51, 72, 99]) для оценки величины
c
(t’,
τ), t’ > τ, только на основании наблюдаемых реализаций c(t),
t
≤ τ. Второй путь – построение модели, отражающей связь между плановыми и фактическими затратами и, быть может, учитываю- щей информацию о результатах реализации аналогичных завер- шившихся проектов, и адаптивная идентификация этой модели на основании имеющих статистических данных. Иллюстрацией второ- го пути может служить введенное в примере 1 предположение
(модель) о постоянстве ресурсов, то есть затрат в единицу времени.
Тогда однократное наблюдение фактических значений ресурсов позволяет однозначно идентифицировать модель. Таким образом,
для прогнозирования будущих значений фактических затрат
c
(t’,
τ), t’ > τ, могут быть использованы (то есть, «зашиты» в соответствующую компьютерную программу без существенной адаптации) известные методы и алгоритмы прогнозирования и идентификации [2, 74, 97-99].
44
Аналогичным образом обстоит дело и со второй задачей иден- тификации (И2) - построения в момент времени
τ ≥ 0 адекватной модели проекта
G
(
⋅, τ) на основании истории наблюдений
{c(t), c
0
(t), x
0
(t), x(t),
xˆ
(t)}
t
∈[0; τ]
, для решения которой в теории адаптивного управления и идентификации существуют хорошо развитые методы решения [98, 99 и др.]. В рамках примера 1 иден- тификация проекта означала определение коэффициентов интен- сивности на основании однократного наблюдения (которое оказы- валось достаточным) параметров фактической реализации проекта.
При известном прогнозе фактических затрат и имеющейся мо- дели проекта решение задачи прогнозирования будущих значений показателей освоенного объема тривиально – оно заключается в подстановке прогноза
c
(t’,
τ) в модель
G
(
⋅, τ), то есть
x
(t’,
τ) =
G
(
c
(t’,
τ), τ), t’ > τ:
Несколько сложнее обстоит дело с задачей собственно управ- ления – поиска оптимальных управляющих воздействий на основа- нии результатов решения задач идентификации и прогнозирования.
Этот класс задач, как и задачи планирования, заслуживает отдель- ного исследования, проводимого в разделе 1.3 настоящей работы.
Таким образом, для решения задач идентификации и прогно- зирования в рамках методики освоенного объема на сегодняшний день существуют хорошо развитые методы адаптивного управле- ния, идентификации и прогнозирования. Другими словами, возни- кающие при использовании методики освоенного объема задачи идентификации и прогнозирования, естественно, обладают собст- венной спецификой, однако, специфичны они не настолько, чтобы к ним были неприменимы известные методы и алгоритмы решения.
45
1.3. Планирование и оперативное управление проектом
в условиях полной информированности
Сохраним введенное в начале раздела 1.2 предположение о том, что руководитель проекта – центр – в рамках своей информи- рованности обладает достоверной информацией.
Часть показателей освоенного объема, введенных в разделе 1.2,
может рассматриваться как управляющие параметры (ими могут,
например, быть плановые затраты, интенсивности и т.д.). Осталь- ные показатели являются при этом зависимыми, то есть при фикси- рованной модели проекта однозначно определяемыми значениями управляющих параметров (например, если плановые затраты ин- терпретируются как управляющий параметр, то при модели проек- та G
0
(
⋅) плановое значение объема является зависимым показате- лем: x
0
(t) = G
0
(c
0
(t)) и т.д.). В зависимости от рассматриваемой модели (то есть в зависимости от рассматриваемой задачи управле- ния) одни и те же показатели могут быть либо управляющими,
либо зависимыми.
Пусть известны ограничения на значения управляющих пара- метров и задан критерий эффективности управления
1
, зависящий как от управляющих, так и от зависимых параметров. Тогда на качественном уровне задачу управления можно сформулировать следующим образом: выбрать такие допустимые значения управ- ляющих параметров, которые доставляли бы экстремум критерию эффективности управления (в частном случае – максимизировали эффективность проекта).
Задача планирования, являющаяся частным случаем сформу- лированной выше задачи управления, решается до начала реализа- ции проекта и заключается в определении на основании всей имеющейся на данный момент информации оптимальных плановых значений управляющих параметров для t’
≥ 0.
Задача оперативного управления, также являющаяся частным случаем задачи управления, решается в ходе реализации проекта и заключается в определении на основании всей имеющейся на дан- ный момент информации оптимальных текущих и будущих значе-
1
Следует различать эффективность проекта, определяемую как отно-
шение объема к затратам (см. выше), и эффективность управления.
46
ний управляющих параметров, то есть оптимальных плановых значений управляющих параметров для t’
≥ τ.
Таким образом, задачи планирования и оперативного управле- ния являются частными случаями одной и той же задачи управле- ния, отличающимися лишь той информацией, которая имеется на момент принятия решений.
Поясним последнее утверждение более подробно. При реше- нии задачи планирования имеется информация об ограничениях на допустимые значения плановых показателей и модель проекта. При решении задачи оперативного управления имеется информация об ограничениях на допустимые значения показателей освоенного объема и модель проекта, скорректированные в соответствии с решениями соответствующих задач идентификации и прогнозиро- вания, описанными в разделе 1.2, и учитывающие историю реали- зации проекта.
Коль скоро установлена качественная эквивалентность задач планирования и оперативного управления, достаточно рассмотреть подробно одну из них, поэтому ниже в настоящем разделе мы по умолчанию будем подразумевать, что формулируемые и решаемые задачи могут интерпретироваться двояко. Более того, качественно основной результат настоящего раздела заключается в следующем:
при агрегированном представлении проекта, то есть рассмотрении проекта как единого целого в рамках модели, описанной в разделе
1.2, решение задач планирования и оперативного управления в условиях полной информированности заключается в сведении к известным оптимизационным задачам, методы и алгоритмы реше- ния которых хорошо известны.
Обоснуем это утверждение.
Важную часть показателей освоенного объема составляют плановые показатели: планируемая длительность проекта, плани- руемая динамика затрат, плановые значения величины освоенного объема. Поэтому рассмотрим возможные постановки задачи плани- рования.
В разделах 1.1-1.2 была введена следующая взаимосвязь между освоенным объемом и количеством ресурса (напомним, что коли-
47
чество ресурса – объем средств – затрат, которые вкладываются в единицу времени: u(t) = c’(t), c(t) =
∫
t
d
u
0
)
(
τ
τ
):
(1)
))
(
(
)
(
t
u
w
dt
t
dx
=
, x(t) =
∫
t
d
u
w
0
))
(
(
τ
τ
,
∫
T
d
u
w
0
))
(
(
τ
τ
= X
0
,
или в более общем случае:
(2)
)
),
(
),
(
(
)
(
t
t
u
t
x
w
dt
t
dx
=
, x(0) = 0, x(T) = X
0
.
Соотношения (1) или (2) определяют модель проекта, то есть в задаче планирования ими косвенно задается оператор G
0
(
⋅), а в задаче оперативного управления – оператор
G
(
⋅, τ), причем в последнем случае нулевой момент времени в (1) или (2) заменяется на момент времени
τ. Во избежании путаницы, а также для того,
чтобы приводимые результаты с минимальной адаптацией были применимы и к задаче планирования, и к задаче оперативного управления, будем рассматривать только задачу планирования,
помня, что переход к задаче оперативного управления в момент времени
τ осуществляется следующей формальной заменой:
u(t) = c’(t),
c(t) = с(
τ) +
∫
t
dy
y
u
τ
τ )
,
(
,
)
),
,
(
(
)
(
τ
τ
t
u
w
dt
t
dx
=
,
x(t) = x(
τ) +
∫
t
dy
y
u
w
τ
τ
τ
)
,
)
,
(
(
, t
≥ τ, x(τ) +
∫
T
dy
y
u
w
τ
τ
τ
)
),
,
(
(
= X
0
,
или в более общем случае:
)
,
),
,
(
),
(
(
)
(
τ
τ t
t
u
t
x
w
dt
t
dx
=
,
x(t=
τ) = x(τ), x(T) = X
0
, где
)
,
(
τ
⋅
w
- результат идентификации модели проекта в момент времени
τ,
u
(
⋅, τ) =
'
c
(
⋅, τ) – прогноз динамики финансовых ресурсов в момент времени
τ. Кроме того,
отметим, что в задаче планирования приведенные соотношения связывают плановые показатели, а в задаче оперативного управле- ния – фактические или прогнозные. Однако, так как мы установили эквивалентность формулировок этих задач, ниже будем опускать нижние и верхние индексы, соответствующие плановым или про- гнозным значениям.
48
Аналогичным образом учитывается и другая, поступившая до момента времени
τ информация
1
. Например, если стало известно,
что завершению проекта соответствует значение суммарного объе- ма X’, отличное от X
0
, то учет этой информации приведет к замене в приведенных выше для задачи оперативного управления соотно- шениях старой величины суммарного объема на новую.
Предположим, что ограничения на ресурсы и интенсивности заданы в следующем виде:
(3) c(t)
∈ Ξ,
(4) u(t)
∈ U,
(5) w(
⋅) ∈ W,
где
Ξ, U и W – классы возможных значений соответственно затрат,
ресурсов и интенсивностей.
Возможны следующие постановки
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1.2. Общая постановка задачи оперативного управления
проектом
Предположим, что в рамках имеющейся информированности руководителя проекта – центра – он обладает достоверной инфор- мацией обо всех существенных параметрах, то есть условно можно считать, что функционирование системы происходит в условиях полной информированности [15, 17, 19, 22, 78]. Исследуем в рамках этого предположения избыточность приведенной в разделе 1.1
системы показателей освоенного объема.
Даже краткое рассмотрение частных случаев (см. пример 1)
свидетельствует, что набор показателей освоенного объема (основ- ных и производных) является избыточным как с содержательной (в рамках рассматриваемой модели не всегда ясны содержательные трактовки различий между фактическими и освоенными затратами,
а также между фактическим и освоенным объемом), так и с фор- мальной (некоторые производные показатели являются комбинаци-
38
ей других основных или производных показателей и т.д.) точек зрения. Поэтому введем следующий минимальный
1
набор показа- телей освоенного объема (см. рисунок 9), которые используются ниже в настоящей работе.
Основные показатели освоенного объема:
C
0
– планируемые суммарные затраты на проект (TB);
T
0
– планируемый срок завершения проекта;
X
0
– суммарный объем работ по проекту;
c
0
(t) – планируемая динамика затрат (BCWS);
c(t) – фактическая динамика затрат (ACWP);
x
0
(t) – планируемая динамика объемов работ (BQWS);
x(t) – освоенный объем (BQWP);
T – фактический срок окончания проекта;
C – фактические суммарные затраты на проект (EAC – Estimate
At Complete).
Производные показатели освоенного объема:
∆с(t) = c
0
(t) - c(t) - разность между плановыми и фактическими затратами;
∆x(t) = x
0
(t) - x(t) - разность между плановым и освоенным объ- емом
2
;
α(t) = x(t) / x
0
(t) – показатель освоенного объема, характеризует выполнение плана по объему;
β(t) = c(t) / c
0
(t) – показатель динамики затрат, характеризует соответствие поступления средств директивному графику;
γ(t) = x(t) / c(t) – эффективность использования средств
3
;
τ
с
(t) = t -
1 0
−
c
(c(t)) – текущая задержка по затратам;
τ
x
(t) = t -
1 0
−
x
(x(t)) – текущая задержка по объему;
e
0
= X
0
/ C
0
– плановая эффективность проекта в целом;
e
0
(t) = x
0
(t) / c
0
(t) =
β(t) γ(t) / α(t) – плановая эффективность ис- пользования средств;
1
Условно можно считать, что освоенные затраты могут быть рассчи-
таны по освоенному объему (см. подробности ниже).
2
По четырем независимым переменным с учетом размерности можно
определить две независимых их разности.
3
По четырем независимым переменным можно определить три их
независимых отношения.
39
e = X / C – фактическая эффективность проекта в целом.
Помимо перечисленных показателей освоенного объема мо- дель проекта должна включать в себя оператор G(
⋅), связывающий объем с затратами и отражающий «технологию» использования ресурсов.
τ
x
(t)
T
0
x(t)/X
0
– освоенный объем
x
0
(t)/X
0
– план по объему
100%
c(t)/C
0
– фактические затраты
t
c
0
(t)/C
0
– планируемые затраты
T
t
τ
c
(t)
C / C
0
Рис. 9. Пример динамики основных показателей освоенного объема
Докажем, что введенная система показателей освоенного объ- ема включает в себя используемую зарубежными авторами систему показателей (см. ее описание во введении) как частный случай.
Пусть x = kc, где k – коэффициент интенсивности (в примере 1
использовалось уравнение dx/dt = ku, где u = dc/dt). Получаем, что:
SPI =
α(t); CPI = γ(t) / k;
EAC = c(t) + (C
0
– c
e
(t)) / CPI = c(t) + (X
0
– x(t)) /
γ(t),
то есть в случае линейной связи между объемом и ресурсами соот- ветствие полное (с точностью до линейного преобразования).
В рамках рассматриваемой модели задача управления проек- том включает в себя задачу планирования, решаемую до начала реализации проекта, и задачу оперативного управления - выработки оперативных управляющих воздействий в ходе реализации проекта.
Задача планирования заключается в определении объема проекта
X
0
, плановых значений затрат с
0
(t), объема x
0
(t) и продолжительно-
40
сти проекта T
0
при известной «модели проекта» G
0
(
⋅); при этом
C
0
= c
0
(T
0
), x
0
(T
0
) = X
0
. Задача планирования рассматривается в разделе 1.3 настоящей работы, поэтому перейдем к рассмотрению
общей постановки задачи оперативного управления проектом,
которая включает задачи идентификации, прогнозирования и соб- ственно управления.
На рисунке 10 изображена структура системы оперативного управления проектом в рамках модели освоенного объема. Прямо- угольниками отражены реальный проект и его модель. Входом модели проекта является плановая зависимость затрат от времени
c
0
(t), выходом – плановая зависимость объема от времени x
0
(t).
Входом реального проекта является фактическая зависимость затрат от времени c(t), выходом – величина освоенного объема x(t).
Как отмечалось выше, несовпадение: x(t)
≠ x
0
(t) может быть вызва- но следующими причинами: внешней – c(t)
≠ c
0
(t) и/или внутрен- ней – G(
⋅) ≠ G
0
(
⋅).
Следовательно, первой задачей идентификации (обозначенной
«И1» на рисунке 10), которую можно также рассматривать и как задачу прогнозирования, является задача оценки зависимости фактических затрат от времени на основании сравнения наблюдае- мых значений фактических и плановых затрат.
Если представить, что на вход модели проекта подаются не плановые, а фактические затраты, то, зная оператор G
0
(
⋅), можно определить следующую зависимость от времени:
xˆ
(t) = G
0
(c(t)),
сравнение которой с плановой зависимостью x
0
(t) может служить исходными данными для решения второй задачи идентификации
(обозначенной «И2» на рисунке 10) – задачи идентификации собст- венно модели проекта, то есть «уточнения»
G
(
⋅, τ) (см. двойную линию на рисунке 10),
G
(
⋅, 0) = G
0
, соответствующего оператора
(индекс “
τ” в операторе
G
присутствует для того, чтобы подчерк- нуть зависимость от времени
τ, то есть в зависимости от продолжи- тельности имеющейся истории наблюдений за время [0;
τ] модель может изменяться).
41
c
(t’)
x
(t’)
xˆ
(t)
c
0
(t)
x
0
(t)
c(t)
)
,
(
τ
⋅
G
G
0
(
⋅)
G
0
(
⋅)
G
0
(
⋅)
МОДЕЛЬ ПРОЕКТА
Рис. 10. Структура системы
оперативного управления проектом
РЕАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ
УПРАВЛЕНИЕ
И1
И2
x(t)
ПРОГНОЗ
Итак, возникают следующие задачи идентификации:
И1. В момент времени
τ ≥ 0 на основании истории наблюдений
{c(t), c
0
(t)}
t
∈[0; τ]
определить «прогноз» затрат
c
(t’,
τ) для t’ > τ.
И2. В момент времени
τ ≥ 0 на основании истории наблюдений
{c(t), c
0
(t), x
0
(t), x(t),
xˆ
(t)}
t
∈[0; τ]
идентифицировать проект, то есть построит адекватную ему модель
G
(
⋅, τ).
Решив обе задачи идентификации, то есть имея в своем распо- ряжении зависимости
c
(t,
τ) и
G
(
⋅, τ), можно в момент времени
τ ≥ 0 решить задачу прогнозирования, то есть сделать прогноз значения освоенного объема
x
(t’,
τ) для моментов времени t’ > τ :
x
(t’,
τ) =
G
(
c
(t’,
τ), τ).
Необходимо принимать во внимание, что для решения задач идентификации и прогнозирования могут использоваться не только
42
данные о ходе реализации рассматриваемого проекта, но и инфор- мация о реализации других аналогичных проектов.
Сделав маленькое отступление, отметим, что в рамках рас- сматриваемого подхода легко показать, что введенная в настоящем разделе система показателей освоенного объема является мини- мально необходимой для полного описания проекта в рамках мето- дики освоенного объема. Для этого достаточно доказать, что пока- затели фактического объема и освоенных затрат (присутствующие в «расширенном» списке показателей освоенного объема, приве- денном во введении и в разделе 1.1) не являются независимыми и могут быть выражены, через фактические и плановые затраты, а также освоенный и плановый объем. Действительно, фактический объем может интерпретироваться как объем, который был бы освоен, если бы присутствовала только внешняя причина, а внут- ренняя причина отсутствовала, то есть фактический объем есть ни что иное, как
xˆ
(t) = G
0
(c(t)). Освоенные затраты c
e
(t) соответству- ют тем затратам, которые понадобились бы для того, чтобы показа- тель освоенного объема для реального проекта равнялся заданной величине x(t), то есть
G
(с
e
(t)) = x(t).
Решив задачи идентификации и прогнозирования, то есть имея в момент времени
τ в своем распоряжении прогнозы
c
(t’,
τ) и
x
(t’,
τ), для t’ > τ, и зная директивные (плановые) графики затрат и объема, можно решать задачи оперативного управления проек-
том – выработки таких управляющих воздействий, которые кор- ректировали бы ход реализации проекта в нужную (с точки зрения руководителя проекта – см. более подробно ниже) сторону.
Рассмотрим более подробно задачи идентификации, прогноза и оперативного управления. Отметим, что в настоящей работе при анализе и синтезе моделей оперативного управления проектами мы будем следовать следующему общему принципу. Так как конечная цель всех разрабатываемых в рамках методики освоенного объема методов и механизмов оперативного управления заключается в повышении эффективности управления реальными проектами, то критерием необходимости изучения той или иной частной задачи управления является неизвестность на сегодняшний день возмож- ности сведения ее к уже исследованным, например, оптимизацион- ным и другим задачам, методы решения которых могут быть алго- ритмизированы, то есть использованы в методиках или прикладных
43
компьютерных программах, ориентированных на использование руководителями проектов. Такая практическая направленность четко выделяет необходимую степень детализации при исследова- нии тех или иных задач управления, возникающих при описании проекта показателями освоенного объема. Другими словами, в рамках используемого подхода частная задача синтеза определен- ного механизма управления может считаться решенной, если для нее сформулированы либо алгоритм решения, либо приведена ссылка на метод решения эквивалентной ей задачи, которые могут быть использованы в прикладных методиках и алгоритмах, причем создание последних, при наличии подробно изученных с теорети- ческой точки зрения методах решения, может рассматриваться как инженерная задача.
Первая задача идентификации (И1), которую можно также рас- сматривать как задачу прогнозирования значений фактических затрат, заключается в оценке будущей зависимости фактических затрат от времени на основании сравнения наблюдаемых значений фактических и плановых затрат.
Итак, имеются два временных ряда: c
0
(t) и c(t), t
≤ τ. Прогноз
c
(t’,
τ), t’ > τ, может быть получен двумя путями. Первый путь, не учитывающий специфику рассматриваемой задачи, заключается в использовании методов «технического» анализа (статистический анализ временных рядов [2, 51, 72, 99]) для оценки величины
c
(t’,
τ), t’ > τ, только на основании наблюдаемых реализаций c(t),
t
≤ τ. Второй путь – построение модели, отражающей связь между плановыми и фактическими затратами и, быть может, учитываю- щей информацию о результатах реализации аналогичных завер- шившихся проектов, и адаптивная идентификация этой модели на основании имеющих статистических данных. Иллюстрацией второ- го пути может служить введенное в примере 1 предположение
(модель) о постоянстве ресурсов, то есть затрат в единицу времени.
Тогда однократное наблюдение фактических значений ресурсов позволяет однозначно идентифицировать модель. Таким образом,
для прогнозирования будущих значений фактических затрат
c
(t’,
τ), t’ > τ, могут быть использованы (то есть, «зашиты» в соответствующую компьютерную программу без существенной адаптации) известные методы и алгоритмы прогнозирования и идентификации [2, 74, 97-99].
44
Аналогичным образом обстоит дело и со второй задачей иден- тификации (И2) - построения в момент времени
τ ≥ 0 адекватной модели проекта
G
(
⋅, τ) на основании истории наблюдений
{c(t), c
0
(t), x
0
(t), x(t),
xˆ
(t)}
t
∈[0; τ]
, для решения которой в теории адаптивного управления и идентификации существуют хорошо развитые методы решения [98, 99 и др.]. В рамках примера 1 иден- тификация проекта означала определение коэффициентов интен- сивности на основании однократного наблюдения (которое оказы- валось достаточным) параметров фактической реализации проекта.
При известном прогнозе фактических затрат и имеющейся мо- дели проекта решение задачи прогнозирования будущих значений показателей освоенного объема тривиально – оно заключается в подстановке прогноза
c
(t’,
τ) в модель
G
(
⋅, τ), то есть
x
(t’,
τ) =
G
(
c
(t’,
τ), τ), t’ > τ:
Несколько сложнее обстоит дело с задачей собственно управ- ления – поиска оптимальных управляющих воздействий на основа- нии результатов решения задач идентификации и прогнозирования.
Этот класс задач, как и задачи планирования, заслуживает отдель- ного исследования, проводимого в разделе 1.3 настоящей работы.
Таким образом, для решения задач идентификации и прогно- зирования в рамках методики освоенного объема на сегодняшний день существуют хорошо развитые методы адаптивного управле- ния, идентификации и прогнозирования. Другими словами, возни- кающие при использовании методики освоенного объема задачи идентификации и прогнозирования, естественно, обладают собст- венной спецификой, однако, специфичны они не настолько, чтобы к ним были неприменимы известные методы и алгоритмы решения.
45
1.3. Планирование и оперативное управление проектом
в условиях полной информированности
Сохраним введенное в начале раздела 1.2 предположение о том, что руководитель проекта – центр – в рамках своей информи- рованности обладает достоверной информацией.
Часть показателей освоенного объема, введенных в разделе 1.2,
может рассматриваться как управляющие параметры (ими могут,
например, быть плановые затраты, интенсивности и т.д.). Осталь- ные показатели являются при этом зависимыми, то есть при фикси- рованной модели проекта однозначно определяемыми значениями управляющих параметров (например, если плановые затраты ин- терпретируются как управляющий параметр, то при модели проек- та G
0
(
⋅) плановое значение объема является зависимым показате- лем: x
0
(t) = G
0
(c
0
(t)) и т.д.). В зависимости от рассматриваемой модели (то есть в зависимости от рассматриваемой задачи управле- ния) одни и те же показатели могут быть либо управляющими,
либо зависимыми.
Пусть известны ограничения на значения управляющих пара- метров и задан критерий эффективности управления
1
, зависящий как от управляющих, так и от зависимых параметров. Тогда на качественном уровне задачу управления можно сформулировать следующим образом: выбрать такие допустимые значения управ- ляющих параметров, которые доставляли бы экстремум критерию эффективности управления (в частном случае – максимизировали эффективность проекта).
Задача планирования, являющаяся частным случаем сформу- лированной выше задачи управления, решается до начала реализа- ции проекта и заключается в определении на основании всей имеющейся на данный момент информации оптимальных плановых значений управляющих параметров для t’
≥ 0.
Задача оперативного управления, также являющаяся частным случаем задачи управления, решается в ходе реализации проекта и заключается в определении на основании всей имеющейся на дан- ный момент информации оптимальных текущих и будущих значе-
1
Следует различать эффективность проекта, определяемую как отно-
шение объема к затратам (см. выше), и эффективность управления.
46
ний управляющих параметров, то есть оптимальных плановых значений управляющих параметров для t’
≥ τ.
Таким образом, задачи планирования и оперативного управле- ния являются частными случаями одной и той же задачи управле- ния, отличающимися лишь той информацией, которая имеется на момент принятия решений.
Поясним последнее утверждение более подробно. При реше- нии задачи планирования имеется информация об ограничениях на допустимые значения плановых показателей и модель проекта. При решении задачи оперативного управления имеется информация об ограничениях на допустимые значения показателей освоенного объема и модель проекта, скорректированные в соответствии с решениями соответствующих задач идентификации и прогнозиро- вания, описанными в разделе 1.2, и учитывающие историю реали- зации проекта.
Коль скоро установлена качественная эквивалентность задач планирования и оперативного управления, достаточно рассмотреть подробно одну из них, поэтому ниже в настоящем разделе мы по умолчанию будем подразумевать, что формулируемые и решаемые задачи могут интерпретироваться двояко. Более того, качественно основной результат настоящего раздела заключается в следующем:
при агрегированном представлении проекта, то есть рассмотрении проекта как единого целого в рамках модели, описанной в разделе
1.2, решение задач планирования и оперативного управления в условиях полной информированности заключается в сведении к известным оптимизационным задачам, методы и алгоритмы реше- ния которых хорошо известны.
Обоснуем это утверждение.
Важную часть показателей освоенного объема составляют плановые показатели: планируемая длительность проекта, плани- руемая динамика затрат, плановые значения величины освоенного объема. Поэтому рассмотрим возможные постановки задачи плани- рования.
В разделах 1.1-1.2 была введена следующая взаимосвязь между освоенным объемом и количеством ресурса (напомним, что коли-
47
чество ресурса – объем средств – затрат, которые вкладываются в единицу времени: u(t) = c’(t), c(t) =
∫
t
d
u
0
)
(
τ
τ
):
(1)
))
(
(
)
(
t
u
w
dt
t
dx
=
, x(t) =
∫
t
d
u
w
0
))
(
(
τ
τ
,
∫
T
d
u
w
0
))
(
(
τ
τ
= X
0
,
или в более общем случае:
(2)
)
),
(
),
(
(
)
(
t
t
u
t
x
w
dt
t
dx
=
, x(0) = 0, x(T) = X
0
.
Соотношения (1) или (2) определяют модель проекта, то есть в задаче планирования ими косвенно задается оператор G
0
(
⋅), а в задаче оперативного управления – оператор
G
(
⋅, τ), причем в последнем случае нулевой момент времени в (1) или (2) заменяется на момент времени
τ. Во избежании путаницы, а также для того,
чтобы приводимые результаты с минимальной адаптацией были применимы и к задаче планирования, и к задаче оперативного управления, будем рассматривать только задачу планирования,
помня, что переход к задаче оперативного управления в момент времени
τ осуществляется следующей формальной заменой:
u(t) = c’(t),
c(t) = с(
τ) +
∫
t
dy
y
u
τ
τ )
,
(
,
)
),
,
(
(
)
(
τ
τ
t
u
w
dt
t
dx
=
,
x(t) = x(
τ) +
∫
t
dy
y
u
w
τ
τ
τ
)
,
)
,
(
(
, t
≥ τ, x(τ) +
∫
T
dy
y
u
w
τ
τ
τ
)
),
,
(
(
= X
0
,
или в более общем случае:
)
,
),
,
(
),
(
(
)
(
τ
τ t
t
u
t
x
w
dt
t
dx
=
,
x(t=
τ) = x(τ), x(T) = X
0
, где
)
,
(
τ
⋅
w
- результат идентификации модели проекта в момент времени
τ,
u
(
⋅, τ) =
'
c
(
⋅, τ) – прогноз динамики финансовых ресурсов в момент времени
τ. Кроме того,
отметим, что в задаче планирования приведенные соотношения связывают плановые показатели, а в задаче оперативного управле- ния – фактические или прогнозные. Однако, так как мы установили эквивалентность формулировок этих задач, ниже будем опускать нижние и верхние индексы, соответствующие плановым или про- гнозным значениям.
48
Аналогичным образом учитывается и другая, поступившая до момента времени
τ информация
1
. Например, если стало известно,
что завершению проекта соответствует значение суммарного объе- ма X’, отличное от X
0
, то учет этой информации приведет к замене в приведенных выше для задачи оперативного управления соотно- шениях старой величины суммарного объема на новую.
Предположим, что ограничения на ресурсы и интенсивности заданы в следующем виде:
(3) c(t)
∈ Ξ,
(4) u(t)
∈ U,
(5) w(
⋅) ∈ W,
где
Ξ, U и W – классы возможных значений соответственно затрат,
ресурсов и интенсивностей.
Возможны следующие постановки
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1.2. Общая постановка задачи оперативного управления
проектом
Предположим, что в рамках имеющейся информированности руководителя проекта – центра – он обладает достоверной инфор- мацией обо всех существенных параметрах, то есть условно можно считать, что функционирование системы происходит в условиях полной информированности [15, 17, 19, 22, 78]. Исследуем в рамках этого предположения избыточность приведенной в разделе 1.1
системы показателей освоенного объема.
Даже краткое рассмотрение частных случаев (см. пример 1)
свидетельствует, что набор показателей освоенного объема (основ- ных и производных) является избыточным как с содержательной (в рамках рассматриваемой модели не всегда ясны содержательные трактовки различий между фактическими и освоенными затратами,
а также между фактическим и освоенным объемом), так и с фор- мальной (некоторые производные показатели являются комбинаци-
38
ей других основных или производных показателей и т.д.) точек зрения. Поэтому введем следующий минимальный
1
набор показа- телей освоенного объема (см. рисунок 9), которые используются ниже в настоящей работе.
Основные показатели освоенного объема:
C
0
– планируемые суммарные затраты на проект (TB);
T
0
– планируемый срок завершения проекта;
X
0
– суммарный объем работ по проекту;
c
0
(t) – планируемая динамика затрат (BCWS);
c(t) – фактическая динамика затрат (ACWP);
x
0
(t) – планируемая динамика объемов работ (BQWS);
x(t) – освоенный объем (BQWP);
T – фактический срок окончания проекта;
C – фактические суммарные затраты на проект (EAC – Estimate
At Complete).
Производные показатели освоенного объема:
∆с(t) = c
0
(t) - c(t) - разность между плановыми и фактическими затратами;
∆x(t) = x
0
(t) - x(t) - разность между плановым и освоенным объ- емом
2
;
α(t) = x(t) / x
0
(t) – показатель освоенного объема, характеризует выполнение плана по объему;
β(t) = c(t) / c
0
(t) – показатель динамики затрат, характеризует соответствие поступления средств директивному графику;
γ(t) = x(t) / c(t) – эффективность использования средств
3
;
τ
с
(t) = t -
1 0
−
c
(c(t)) – текущая задержка по затратам;
τ
x
(t) = t -
1 0
−
x
(x(t)) – текущая задержка по объему;
e
0
= X
0
/ C
0
– плановая эффективность проекта в целом;
e
0
(t) = x
0
(t) / c
0
(t) =
β(t) γ(t) / α(t) – плановая эффективность ис- пользования средств;
1
Условно можно считать, что освоенные затраты могут быть рассчи-
таны по освоенному объему (см. подробности ниже).
2
По четырем независимым переменным с учетом размерности можно
определить две независимых их разности.
3
По четырем независимым переменным можно определить три их
независимых отношения.
39
e = X / C – фактическая эффективность проекта в целом.
Помимо перечисленных показателей освоенного объема мо- дель проекта должна включать в себя оператор G(
⋅), связывающий объем с затратами и отражающий «технологию» использования ресурсов.
τ
x
(t)
T
0
x(t)/X
0
– освоенный объем
x
0
(t)/X
0
– план по объему
100%
c(t)/C
0
– фактические затраты
t
c
0
(t)/C
0
– планируемые затраты
T
t
τ
c
(t)
C / C
0
Рис. 9. Пример динамики основных показателей освоенного объема
Докажем, что введенная система показателей освоенного объ- ема включает в себя используемую зарубежными авторами систему показателей (см. ее описание во введении) как частный случай.
Пусть x = kc, где k – коэффициент интенсивности (в примере 1
использовалось уравнение dx/dt = ku, где u = dc/dt). Получаем, что:
SPI =
α(t); CPI = γ(t) / k;
EAC = c(t) + (C
0
– c
e
(t)) / CPI = c(t) + (X
0
– x(t)) /
γ(t),
то есть в случае линейной связи между объемом и ресурсами соот- ветствие полное (с точностью до линейного преобразования).
В рамках рассматриваемой модели задача управления проек- том включает в себя задачу планирования, решаемую до начала реализации проекта, и задачу оперативного управления - выработки оперативных управляющих воздействий в ходе реализации проекта.
Задача планирования заключается в определении объема проекта
X
0
, плановых значений затрат с
0
(t), объема x
0
(t) и продолжительно-
40
сти проекта T
0
при известной «модели проекта» G
0
(
⋅); при этом
C
0
= c
0
(T
0
), x
0
(T
0
) = X
0
. Задача планирования рассматривается в разделе 1.3 настоящей работы, поэтому перейдем к рассмотрению
общей постановки задачи оперативного управления проектом,
которая включает задачи идентификации, прогнозирования и соб- ственно управления.
На рисунке 10 изображена структура системы оперативного управления проектом в рамках модели освоенного объема. Прямо- угольниками отражены реальный проект и его модель. Входом модели проекта является плановая зависимость затрат от времени
c
0
(t), выходом – плановая зависимость объема от времени x
0
(t).
Входом реального проекта является фактическая зависимость затрат от времени c(t), выходом – величина освоенного объема x(t).
Как отмечалось выше, несовпадение: x(t)
≠ x
0
(t) может быть вызва- но следующими причинами: внешней – c(t)
≠ c
0
(t) и/или внутрен- ней – G(
⋅) ≠ G
0
(
⋅).
Следовательно, первой задачей идентификации (обозначенной
«И1» на рисунке 10), которую можно также рассматривать и как задачу прогнозирования, является задача оценки зависимости фактических затрат от времени на основании сравнения наблюдае- мых значений фактических и плановых затрат.
Если представить, что на вход модели проекта подаются не плановые, а фактические затраты, то, зная оператор G
0
(
⋅), можно определить следующую зависимость от времени:
xˆ
(t) = G
0
(c(t)),
сравнение которой с плановой зависимостью x
0
(t) может служить исходными данными для решения второй задачи идентификации
(обозначенной «И2» на рисунке 10) – задачи идентификации собст- венно модели проекта, то есть «уточнения»
G
(
⋅, τ) (см. двойную линию на рисунке 10),
G
(
⋅, 0) = G
0
, соответствующего оператора
(индекс “
τ” в операторе
G
присутствует для того, чтобы подчерк- нуть зависимость от времени
τ, то есть в зависимости от продолжи- тельности имеющейся истории наблюдений за время [0;
τ] модель может изменяться).
41
c
(t’)
x
(t’)
xˆ
(t)
c
0
(t)
x
0
(t)
c(t)
)
,
(
τ
⋅
G
G
0
(
⋅)
G
0
(
⋅)
G
0
(
⋅)
МОДЕЛЬ ПРОЕКТА
Рис. 10. Структура системы
оперативного управления проектом
РЕАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ
УПРАВЛЕНИЕ
И1
И2
x(t)
ПРОГНОЗ
Итак, возникают следующие задачи идентификации:
И1. В момент времени
τ ≥ 0 на основании истории наблюдений
{c(t), c
0
(t)}
t
∈[0; τ]
определить «прогноз» затрат
c
(t’,
τ) для t’ > τ.
И2. В момент времени
τ ≥ 0 на основании истории наблюдений
{c(t), c
0
(t), x
0
(t), x(t),
xˆ
(t)}
t
∈[0; τ]
идентифицировать проект, то есть построит адекватную ему модель
G
(
⋅, τ).
Решив обе задачи идентификации, то есть имея в своем распо- ряжении зависимости
c
(t,
τ) и
G
(
⋅, τ), можно в момент времени
τ ≥ 0 решить задачу прогнозирования, то есть сделать прогноз значения освоенного объема
x
(t’,
τ) для моментов времени t’ > τ :
x
(t’,
τ) =
G
(
c
(t’,
τ), τ).
Необходимо принимать во внимание, что для решения задач идентификации и прогнозирования могут использоваться не только
42
данные о ходе реализации рассматриваемого проекта, но и инфор- мация о реализации других аналогичных проектов.
Сделав маленькое отступление, отметим, что в рамках рас- сматриваемого подхода легко показать, что введенная в настоящем разделе система показателей освоенного объема является мини- мально необходимой для полного описания проекта в рамках мето- дики освоенного объема. Для этого достаточно доказать, что пока- затели фактического объема и освоенных затрат (присутствующие в «расширенном» списке показателей освоенного объема, приве- денном во введении и в разделе 1.1) не являются независимыми и могут быть выражены, через фактические и плановые затраты, а также освоенный и плановый объем. Действительно, фактический объем может интерпретироваться как объем, который был бы освоен, если бы присутствовала только внешняя причина, а внут- ренняя причина отсутствовала, то есть фактический объем есть ни что иное, как
xˆ
(t) = G
0
(c(t)). Освоенные затраты c
e
(t) соответству- ют тем затратам, которые понадобились бы для того, чтобы показа- тель освоенного объема для реального проекта равнялся заданной величине x(t), то есть
G
(с
e
(t)) = x(t).
Решив задачи идентификации и прогнозирования, то есть имея в момент времени
τ в своем распоряжении прогнозы
c
(t’,
τ) и
x
(t’,
τ), для t’ > τ, и зная директивные (плановые) графики затрат и объема, можно решать задачи оперативного управления проек-
том – выработки таких управляющих воздействий, которые кор- ректировали бы ход реализации проекта в нужную (с точки зрения руководителя проекта – см. более подробно ниже) сторону.
Рассмотрим более подробно задачи идентификации, прогноза и оперативного управления. Отметим, что в настоящей работе при анализе и синтезе моделей оперативного управления проектами мы будем следовать следующему общему принципу. Так как конечная цель всех разрабатываемых в рамках методики освоенного объема методов и механизмов оперативного управления заключается в повышении эффективности управления реальными проектами, то критерием необходимости изучения той или иной частной задачи управления является неизвестность на сегодняшний день возмож- ности сведения ее к уже исследованным, например, оптимизацион- ным и другим задачам, методы решения которых могут быть алго- ритмизированы, то есть использованы в методиках или прикладных
43
компьютерных программах, ориентированных на использование руководителями проектов. Такая практическая направленность четко выделяет необходимую степень детализации при исследова- нии тех или иных задач управления, возникающих при описании проекта показателями освоенного объема. Другими словами, в рамках используемого подхода частная задача синтеза определен- ного механизма управления может считаться решенной, если для нее сформулированы либо алгоритм решения, либо приведена ссылка на метод решения эквивалентной ей задачи, которые могут быть использованы в прикладных методиках и алгоритмах, причем создание последних, при наличии подробно изученных с теорети- ческой точки зрения методах решения, может рассматриваться как инженерная задача.
Первая задача идентификации (И1), которую можно также рас- сматривать как задачу прогнозирования значений фактических затрат, заключается в оценке будущей зависимости фактических затрат от времени на основании сравнения наблюдаемых значений фактических и плановых затрат.
Итак, имеются два временных ряда: c
0
(t) и c(t), t
≤ τ. Прогноз
c
(t’,
τ), t’ > τ, может быть получен двумя путями. Первый путь, не учитывающий специфику рассматриваемой задачи, заключается в использовании методов «технического» анализа (статистический анализ временных рядов [2, 51, 72, 99]) для оценки величины
c
(t’,
τ), t’ > τ, только на основании наблюдаемых реализаций c(t),
t
≤ τ. Второй путь – построение модели, отражающей связь между плановыми и фактическими затратами и, быть может, учитываю- щей информацию о результатах реализации аналогичных завер- шившихся проектов, и адаптивная идентификация этой модели на основании имеющих статистических данных. Иллюстрацией второ- го пути может служить введенное в примере 1 предположение
(модель) о постоянстве ресурсов, то есть затрат в единицу времени.
Тогда однократное наблюдение фактических значений ресурсов позволяет однозначно идентифицировать модель. Таким образом,
для прогнозирования будущих значений фактических затрат
c
(t’,
τ), t’ > τ, могут быть использованы (то есть, «зашиты» в соответствующую компьютерную программу без существенной адаптации) известные методы и алгоритмы прогнозирования и идентификации [2, 74, 97-99].
44
Аналогичным образом обстоит дело и со второй задачей иден- тификации (И2) - построения в момент времени
τ ≥ 0 адекватной модели проекта
G
(
⋅, τ) на основании истории наблюдений
{c(t), c
0
(t), x
0
(t), x(t),
xˆ
(t)}
t
∈[0; τ]
, для решения которой в теории адаптивного управления и идентификации существуют хорошо развитые методы решения [98, 99 и др.]. В рамках примера 1 иден- тификация проекта означала определение коэффициентов интен- сивности на основании однократного наблюдения (которое оказы- валось достаточным) параметров фактической реализации проекта.
При известном прогнозе фактических затрат и имеющейся мо- дели проекта решение задачи прогнозирования будущих значений показателей освоенного объема тривиально – оно заключается в подстановке прогноза
c
(t’,
τ) в модель
G
(
⋅, τ), то есть
x
(t’,
τ) =
G
(
c
(t’,
τ), τ), t’ > τ:
Несколько сложнее обстоит дело с задачей собственно управ- ления – поиска оптимальных управляющих воздействий на основа- нии результатов решения задач идентификации и прогнозирования.
Этот класс задач, как и задачи планирования, заслуживает отдель- ного исследования, проводимого в разделе 1.3 настоящей работы.
Таким образом, для решения задач идентификации и прогно- зирования в рамках методики освоенного объема на сегодняшний день существуют хорошо развитые методы адаптивного управле- ния, идентификации и прогнозирования. Другими словами, возни- кающие при использовании методики освоенного объема задачи идентификации и прогнозирования, естественно, обладают собст- венной спецификой, однако, специфичны они не настолько, чтобы к ним были неприменимы известные методы и алгоритмы решения.
45
1.3. Планирование и оперативное управление проектом
в условиях полной информированности
Сохраним введенное в начале раздела 1.2 предположение о том, что руководитель проекта – центр – в рамках своей информи- рованности обладает достоверной информацией.
Часть показателей освоенного объема, введенных в разделе 1.2,
может рассматриваться как управляющие параметры (ими могут,
например, быть плановые затраты, интенсивности и т.д.). Осталь- ные показатели являются при этом зависимыми, то есть при фикси- рованной модели проекта однозначно определяемыми значениями управляющих параметров (например, если плановые затраты ин- терпретируются как управляющий параметр, то при модели проек- та G
0
(
⋅) плановое значение объема является зависимым показате- лем: x
0
(t) = G
0
(c
0
(t)) и т.д.). В зависимости от рассматриваемой модели (то есть в зависимости от рассматриваемой задачи управле- ния) одни и те же показатели могут быть либо управляющими,
либо зависимыми.
Пусть известны ограничения на значения управляющих пара- метров и задан критерий эффективности управления
1
, зависящий как от управляющих, так и от зависимых параметров. Тогда на качественном уровне задачу управления можно сформулировать следующим образом: выбрать такие допустимые значения управ- ляющих параметров, которые доставляли бы экстремум критерию эффективности управления (в частном случае – максимизировали эффективность проекта).
Задача планирования, являющаяся частным случаем сформу- лированной выше задачи управления, решается до начала реализа- ции проекта и заключается в определении на основании всей имеющейся на данный момент информации оптимальных плановых значений управляющих параметров для t’
≥ 0.
Задача оперативного управления, также являющаяся частным случаем задачи управления, решается в ходе реализации проекта и заключается в определении на основании всей имеющейся на дан- ный момент информации оптимальных текущих и будущих значе-
1
Следует различать эффективность проекта, определяемую как отно-
шение объема к затратам (см. выше), и эффективность управления.
46
ний управляющих параметров, то есть оптимальных плановых значений управляющих параметров для t’
≥ τ.
Таким образом, задачи планирования и оперативного управле- ния являются частными случаями одной и той же задачи управле- ния, отличающимися лишь той информацией, которая имеется на момент принятия решений.
Поясним последнее утверждение более подробно. При реше- нии задачи планирования имеется информация об ограничениях на допустимые значения плановых показателей и модель проекта. При решении задачи оперативного управления имеется информация об ограничениях на допустимые значения показателей освоенного объема и модель проекта, скорректированные в соответствии с решениями соответствующих задач идентификации и прогнозиро- вания, описанными в разделе 1.2, и учитывающие историю реали- зации проекта.
Коль скоро установлена качественная эквивалентность задач планирования и оперативного управления, достаточно рассмотреть подробно одну из них, поэтому ниже в настоящем разделе мы по умолчанию будем подразумевать, что формулируемые и решаемые задачи могут интерпретироваться двояко. Более того, качественно основной результат настоящего раздела заключается в следующем:
при агрегированном представлении проекта, то есть рассмотрении проекта как единого целого в рамках модели, описанной в разделе
1.2, решение задач планирования и оперативного управления в условиях полной информированности заключается в сведении к известным оптимизационным задачам, методы и алгоритмы реше- ния которых хорошо известны.
Обоснуем это утверждение.
Важную часть показателей освоенного объема составляют плановые показатели: планируемая длительность проекта, плани- руемая динамика затрат, плановые значения величины освоенного объема. Поэтому рассмотрим возможные постановки задачи плани- рования.
В разделах 1.1-1.2 была введена следующая взаимосвязь между освоенным объемом и количеством ресурса (напомним, что коли-
47
чество ресурса – объем средств – затрат, которые вкладываются в единицу времени: u(t) = c’(t), c(t) =
∫
t
d
u
0
)
(
τ
τ
):
(1)
))
(
(
)
(
t
u
w
dt
t
dx
=
, x(t) =
∫
t
d
u
w
0
))
(
(
τ
τ
,
∫
T
d
u
w
0
))
(
(
τ
τ
= X
0
,
или в более общем случае:
(2)
)
),
(
),
(
(
)
(
t
t
u
t
x
w
dt
t
dx
=
, x(0) = 0, x(T) = X
0
.
Соотношения (1) или (2) определяют модель проекта, то есть в задаче планирования ими косвенно задается оператор G
0
(
⋅), а в задаче оперативного управления – оператор
G
(
⋅, τ), причем в последнем случае нулевой момент времени в (1) или (2) заменяется на момент времени
τ. Во избежании путаницы, а также для того,
чтобы приводимые результаты с минимальной адаптацией были применимы и к задаче планирования, и к задаче оперативного управления, будем рассматривать только задачу планирования,
помня, что переход к задаче оперативного управления в момент времени
τ осуществляется следующей формальной заменой:
u(t) = c’(t),
c(t) = с(
τ) +
∫
t
dy
y
u
τ
τ )
,
(
,
)
),
,
(
(
)
(
τ
τ
t
u
w
dt
t
dx
=
,
x(t) = x(
τ) +
∫
t
dy
y
u
w
τ
τ
τ
)
,
)
,
(
(
, t
≥ τ, x(τ) +
∫
T
dy
y
u
w
τ
τ
τ
)
),
,
(
(
= X
0
,
или в более общем случае:
)
,
),
,
(
),
(
(
)
(
τ
τ t
t
u
t
x
w
dt
t
dx
=
,
x(t=
τ) = x(τ), x(T) = X
0
, где
)
,
(
τ
⋅
w
- результат идентификации модели проекта в момент времени
τ,
u
(
⋅, τ) =
'
c
(
⋅, τ) – прогноз динамики финансовых ресурсов в момент времени
τ. Кроме того,
отметим, что в задаче планирования приведенные соотношения связывают плановые показатели, а в задаче оперативного управле- ния – фактические или прогнозные. Однако, так как мы установили эквивалентность формулировок этих задач, ниже будем опускать нижние и верхние индексы, соответствующие плановым или про- гнозным значениям.
48
Аналогичным образом учитывается и другая, поступившая до момента времени
τ информация
1
. Например, если стало известно,
что завершению проекта соответствует значение суммарного объе- ма X’, отличное от X
0
, то учет этой информации приведет к замене в приведенных выше для задачи оперативного управления соотно- шениях старой величины суммарного объема на новую.
Предположим, что ограничения на ресурсы и интенсивности заданы в следующем виде:
(3) c(t)
∈ Ξ,
(4) u(t)
∈ U,
(5) w(
⋅) ∈ W,
где
Ξ, U и W – классы возможных значений соответственно затрат,
ресурсов и интенсивностей.
Возможны следующие постановки
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1.2. Общая постановка задачи оперативного управления
проектом
Предположим, что в рамках имеющейся информированности руководителя проекта – центра – он обладает достоверной инфор- мацией обо всех существенных параметрах, то есть условно можно считать, что функционирование системы происходит в условиях полной информированности [15, 17, 19, 22, 78]. Исследуем в рамках этого предположения избыточность приведенной в разделе 1.1
системы показателей освоенного объема.
Даже краткое рассмотрение частных случаев (см. пример 1)
свидетельствует, что набор показателей освоенного объема (основ- ных и производных) является избыточным как с содержательной (в рамках рассматриваемой модели не всегда ясны содержательные трактовки различий между фактическими и освоенными затратами,
а также между фактическим и освоенным объемом), так и с фор- мальной (некоторые производные показатели являются комбинаци-
38
ей других основных или производных показателей и т.д.) точек зрения. Поэтому введем следующий минимальный
1
набор показа- телей освоенного объема (см. рисунок 9), которые используются ниже в настоящей работе.
Основные показатели освоенного объема:
C
0
– планируемые суммарные затраты на проект (TB);
T
0
– планируемый срок завершения проекта;
X
0
– суммарный объем работ по проекту;
c
0
(t) – планируемая динамика затрат (BCWS);
c(t) – фактическая динамика затрат (ACWP);
x
0
(t) – планируемая динамика объемов работ (BQWS);
x(t) – освоенный объем (BQWP);
T – фактический срок окончания проекта;
C – фактические суммарные затраты на проект (EAC – Estimate
At Complete).
Производные показатели освоенного объема:
∆с(t) = c
0
(t) - c(t) - разность между плановыми и фактическими затратами;
∆x(t) = x
0
(t) - x(t) - разность между плановым и освоенным объ- емом
2
;
α(t) = x(t) / x
0
(t) – показатель освоенного объема, характеризует выполнение плана по объему;
β(t) = c(t) / c
0
(t) – показатель динамики затрат, характеризует соответствие поступления средств директивному графику;
γ(t) = x(t) / c(t) – эффективность использования средств
3
;
τ
с
(t) = t -
1 0
−
c
(c(t)) – текущая задержка по затратам;
τ
x
(t) = t -
1 0
−
x
(x(t)) – текущая задержка по объему;
e
0
= X
0
/ C
0
– плановая эффективность проекта в целом;
e
0
(t) = x
0
(t) / c
0
(t) =
β(t) γ(t) / α(t) – плановая эффективность ис- пользования средств;
1
Условно можно считать, что освоенные затраты могут быть рассчи-
таны по освоенному объему (см. подробности ниже).
2
По четырем независимым переменным с учетом размерности можно
определить две независимых их разности.
3
По четырем независимым переменным можно определить три их
независимых отношения.
39
e = X / C – фактическая эффективность проекта в целом.
Помимо перечисленных показателей освоенного объема мо- дель проекта должна включать в себя оператор G(
⋅), связывающий объем с затратами и отражающий «технологию» использования ресурсов.
τ
x
(t)
T
0
x(t)/X
0
– освоенный объем
x
0
(t)/X
0
– план по объему
100%
c(t)/C
0
– фактические затраты
t
c
0
(t)/C
0
– планируемые затраты
T
t
τ
c
(t)
C / C
0
Рис. 9. Пример динамики основных показателей освоенного объема
Докажем, что введенная система показателей освоенного объ- ема включает в себя используемую зарубежными авторами систему показателей (см. ее описание во введении) как частный случай.
Пусть x = kc, где k – коэффициент интенсивности (в примере 1
использовалось уравнение dx/dt = ku, где u = dc/dt). Получаем, что:
SPI =
α(t); CPI = γ(t) / k;
EAC = c(t) + (C
0
– c
e
(t)) / CPI = c(t) + (X
0
– x(t)) /
γ(t),
то есть в случае линейной связи между объемом и ресурсами соот- ветствие полное (с точностью до линейного преобразования).
В рамках рассматриваемой модели задача управления проек- том включает в себя задачу планирования, решаемую до начала реализации проекта, и задачу оперативного управления - выработки оперативных управляющих воздействий в ходе реализации проекта.
Задача планирования заключается в определении объема проекта
X
0
, плановых значений затрат с
0
(t), объема x
0
(t) и продолжительно-
40
сти проекта T
0
при известной «модели проекта» G
0
(
⋅); при этом
C
0
= c
0
(T
0
), x
0
(T
0
) = X
0
. Задача планирования рассматривается в разделе 1.3 настоящей работы, поэтому перейдем к рассмотрению
общей постановки задачи оперативного управления проектом,
которая включает задачи идентификации, прогнозирования и соб- ственно управления.
На рисунке 10 изображена структура системы оперативного управления проектом в рамках модели освоенного объема. Прямо- угольниками отражены реальный проект и его модель. Входом модели проекта является плановая зависимость затрат от времени
c
0
(t), выходом – плановая зависимость объема от времени x
0
(t).
Входом реального проекта является фактическая зависимость затрат от времени c(t), выходом – величина освоенного объема x(t).
Как отмечалось выше, несовпадение: x(t)
≠ x
0
(t) может быть вызва- но следующими причинами: внешней – c(t)
≠ c
0
(t) и/или внутрен- ней – G(
⋅) ≠ G
0
(
⋅).
Следовательно, первой задачей идентификации (обозначенной
«И1» на рисунке 10), которую можно также рассматривать и как задачу прогнозирования, является задача оценки зависимости фактических затрат от времени на основании сравнения наблюдае- мых значений фактических и плановых затрат.
Если представить, что на вход модели проекта подаются не плановые, а фактические затраты, то, зная оператор G
0
(
⋅), можно определить следующую зависимость от времени:
xˆ
(t) = G
0
(c(t)),
сравнение которой с плановой зависимостью x
0
(t) может служить исходными данными для решения второй задачи идентификации
(обозначенной «И2» на рисунке 10) – задачи идентификации собст- венно модели проекта, то есть «уточнения»
G
(
⋅, τ) (см. двойную линию на рисунке 10),
G
(
⋅, 0) = G
0
, соответствующего оператора
(индекс “
τ” в операторе
G
присутствует для того, чтобы подчерк- нуть зависимость от времени
τ, то есть в зависимости от продолжи- тельности имеющейся истории наблюдений за время [0;
τ] модель может изменяться).
41
c
(t’)
x
(t’)
xˆ
(t)
c
0
(t)
x
0
(t)
c(t)
)
,
(
τ
⋅
G
G
0
(
⋅)
G
0
(
⋅)
G
0
(
⋅)
МОДЕЛЬ ПРОЕКТА
Рис. 10. Структура системы
оперативного управления проектом
РЕАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ
УПРАВЛЕНИЕ
И1
И2
x(t)
ПРОГНОЗ
Итак, возникают следующие задачи идентификации:
И1. В момент времени
τ ≥ 0 на основании истории наблюдений
{c(t), c
0
(t)}
t
∈[0; τ]
определить «прогноз» затрат
c
(t’,
τ) для t’ > τ.
И2. В момент времени
τ ≥ 0 на основании истории наблюдений
{c(t), c
0
(t), x
0
(t), x(t),
xˆ
(t)}
t
∈[0; τ]
идентифицировать проект, то есть построит адекватную ему модель
G
(
⋅, τ).
Решив обе задачи идентификации, то есть имея в своем распо- ряжении зависимости
c
(t,
τ) и
G
(
⋅, τ), можно в момент времени
τ ≥ 0 решить задачу прогнозирования, то есть сделать прогноз значения освоенного объема
x
(t’,
τ) для моментов времени t’ > τ :
x
(t’,
τ) =
G
(
c
(t’,
τ), τ).
Необходимо принимать во внимание, что для решения задач идентификации и прогнозирования могут использоваться не только
42
данные о ходе реализации рассматриваемого проекта, но и инфор- мация о реализации других аналогичных проектов.
Сделав маленькое отступление, отметим, что в рамках рас- сматриваемого подхода легко показать, что введенная в настоящем разделе система показателей освоенного объема является мини- мально необходимой для полного описания проекта в рамках мето- дики освоенного объема. Для этого достаточно доказать, что пока- затели фактического объема и освоенных затрат (присутствующие в «расширенном» списке показателей освоенного объема, приве- денном во введении и в разделе 1.1) не являются независимыми и могут быть выражены, через фактические и плановые затраты, а также освоенный и плановый объем. Действительно, фактический объем может интерпретироваться как объем, который был бы освоен, если бы присутствовала только внешняя причина, а внут- ренняя причина отсутствовала, то есть фактический объем есть ни что иное, как
xˆ
(t) = G
0
(c(t)). Освоенные затраты c
e
(t) соответству- ют тем затратам, которые понадобились бы для того, чтобы показа- тель освоенного объема для реального проекта равнялся заданной величине x(t), то есть
G
(с
e
(t)) = x(t).
Решив задачи идентификации и прогнозирования, то есть имея в момент времени
τ в своем распоряжении прогнозы
c
(t’,
τ) и
x
(t’,
τ), для t’ > τ, и зная директивные (плановые) графики затрат и объема, можно решать задачи оперативного управления проек-
том – выработки таких управляющих воздействий, которые кор- ректировали бы ход реализации проекта в нужную (с точки зрения руководителя проекта – см. более подробно ниже) сторону.
Рассмотрим более подробно задачи идентификации, прогноза и оперативного управления. Отметим, что в настоящей работе при анализе и синтезе моделей оперативного управления проектами мы будем следовать следующему общему принципу. Так как конечная цель всех разрабатываемых в рамках методики освоенного объема методов и механизмов оперативного управления заключается в повышении эффективности управления реальными проектами, то критерием необходимости изучения той или иной частной задачи управления является неизвестность на сегодняшний день возмож- ности сведения ее к уже исследованным, например, оптимизацион- ным и другим задачам, методы решения которых могут быть алго- ритмизированы, то есть использованы в методиках или прикладных
43
компьютерных программах, ориентированных на использование руководителями проектов. Такая практическая направленность четко выделяет необходимую степень детализации при исследова- нии тех или иных задач управления, возникающих при описании проекта показателями освоенного объема. Другими словами, в рамках используемого подхода частная задача синтеза определен- ного механизма управления может считаться решенной, если для нее сформулированы либо алгоритм решения, либо приведена ссылка на метод решения эквивалентной ей задачи, которые могут быть использованы в прикладных методиках и алгоритмах, причем создание последних, при наличии подробно изученных с теорети- ческой точки зрения методах решения, может рассматриваться как инженерная задача.
Первая задача идентификации (И1), которую можно также рас- сматривать как задачу прогнозирования значений фактических затрат, заключается в оценке будущей зависимости фактических затрат от времени на основании сравнения наблюдаемых значений фактических и плановых затрат.
Итак, имеются два временных ряда: c
0
(t) и c(t), t
≤ τ. Прогноз
c
(t’,
τ), t’ > τ, может быть получен двумя путями. Первый путь, не учитывающий специфику рассматриваемой задачи, заключается в использовании методов «технического» анализа (статистический анализ временных рядов [2, 51, 72, 99]) для оценки величины
c
(t’,
τ), t’ > τ, только на основании наблюдаемых реализаций c(t),
t
≤ τ. Второй путь – построение модели, отражающей связь между плановыми и фактическими затратами и, быть может, учитываю- щей информацию о результатах реализации аналогичных завер- шившихся проектов, и адаптивная идентификация этой модели на основании имеющих статистических данных. Иллюстрацией второ- го пути может служить введенное в примере 1 предположение
(модель) о постоянстве ресурсов, то есть затрат в единицу времени.
Тогда однократное наблюдение фактических значений ресурсов позволяет однозначно идентифицировать модель. Таким образом,
для прогнозирования будущих значений фактических затрат
c
(t’,
τ), t’ > τ, могут быть использованы (то есть, «зашиты» в соответствующую компьютерную программу без существенной адаптации) известные методы и алгоритмы прогнозирования и идентификации [2, 74, 97-99].
44
Аналогичным образом обстоит дело и со второй задачей иден- тификации (И2) - построения в момент времени
τ ≥ 0 адекватной модели проекта
G
(
⋅, τ) на основании истории наблюдений
{c(t), c
0
(t), x
0
(t), x(t),
xˆ
(t)}
t
∈[0; τ]
, для решения которой в теории адаптивного управления и идентификации существуют хорошо развитые методы решения [98, 99 и др.]. В рамках примера 1 иден- тификация проекта означала определение коэффициентов интен- сивности на основании однократного наблюдения (которое оказы- валось достаточным) параметров фактической реализации проекта.
При известном прогнозе фактических затрат и имеющейся мо- дели проекта решение задачи прогнозирования будущих значений показателей освоенного объема тривиально – оно заключается в подстановке прогноза
c
(t’,
τ) в модель
G
(
⋅, τ), то есть
x
(t’,
τ) =
G
(
c
(t’,
τ), τ), t’ > τ:
Несколько сложнее обстоит дело с задачей собственно управ- ления – поиска оптимальных управляющих воздействий на основа- нии результатов решения задач идентификации и прогнозирования.
Этот класс задач, как и задачи планирования, заслуживает отдель- ного исследования, проводимого в разделе 1.3 настоящей работы.
Таким образом, для решения задач идентификации и прогно- зирования в рамках методики освоенного объема на сегодняшний день существуют хорошо развитые методы адаптивного управле- ния, идентификации и прогнозирования. Другими словами, возни- кающие при использовании методики освоенного объема задачи идентификации и прогнозирования, естественно, обладают собст- венной спецификой, однако, специфичны они не настолько, чтобы к ним были неприменимы известные методы и алгоритмы решения.
45
1.3. Планирование и оперативное управление проектом
в условиях полной информированности
Сохраним введенное в начале раздела 1.2 предположение о том, что руководитель проекта – центр – в рамках своей информи- рованности обладает достоверной информацией.
Часть показателей освоенного объема, введенных в разделе 1.2,
может рассматриваться как управляющие параметры (ими могут,
например, быть плановые затраты, интенсивности и т.д.). Осталь- ные показатели являются при этом зависимыми, то есть при фикси- рованной модели проекта однозначно определяемыми значениями управляющих параметров (например, если плановые затраты ин- терпретируются как управляющий параметр, то при модели проек- та G
0
(
⋅) плановое значение объема является зависимым показате- лем: x
0
(t) = G
0
(c
0
(t)) и т.д.). В зависимости от рассматриваемой модели (то есть в зависимости от рассматриваемой задачи управле- ния) одни и те же показатели могут быть либо управляющими,
либо зависимыми.
Пусть известны ограничения на значения управляющих пара- метров и задан критерий эффективности управления
1
, зависящий как от управляющих, так и от зависимых параметров. Тогда на качественном уровне задачу управления можно сформулировать следующим образом: выбрать такие допустимые значения управ- ляющих параметров, которые доставляли бы экстремум критерию эффективности управления (в частном случае – максимизировали эффективность проекта).
Задача планирования, являющаяся частным случаем сформу- лированной выше задачи управления, решается до начала реализа- ции проекта и заключается в определении на основании всей имеющейся на данный момент информации оптимальных плановых значений управляющих параметров для t’
≥ 0.
Задача оперативного управления, также являющаяся частным случаем задачи управления, решается в ходе реализации проекта и заключается в определении на основании всей имеющейся на дан- ный момент информации оптимальных текущих и будущих значе-
1
Следует различать эффективность проекта, определяемую как отно-
шение объема к затратам (см. выше), и эффективность управления.
46
ний управляющих параметров, то есть оптимальных плановых значений управляющих параметров для t’
≥ τ.
Таким образом, задачи планирования и оперативного управле- ния являются частными случаями одной и той же задачи управле- ния, отличающимися лишь той информацией, которая имеется на момент принятия решений.
Поясним последнее утверждение более подробно. При реше- нии задачи планирования имеется информация об ограничениях на допустимые значения плановых показателей и модель проекта. При решении задачи оперативного управления имеется информация об ограничениях на допустимые значения показателей освоенного объема и модель проекта, скорректированные в соответствии с решениями соответствующих задач идентификации и прогнозиро- вания, описанными в разделе 1.2, и учитывающие историю реали- зации проекта.
Коль скоро установлена качественная эквивалентность задач планирования и оперативного управления, достаточно рассмотреть подробно одну из них, поэтому ниже в настоящем разделе мы по умолчанию будем подразумевать, что формулируемые и решаемые задачи могут интерпретироваться двояко. Более того, качественно основной результат настоящего раздела заключается в следующем:
при агрегированном представлении проекта, то есть рассмотрении проекта как единого целого в рамках модели, описанной в разделе
1.2, решение задач планирования и оперативного управления в условиях полной информированности заключается в сведении к известным оптимизационным задачам, методы и алгоритмы реше- ния которых хорошо известны.
Обоснуем это утверждение.
Важную часть показателей освоенного объема составляют плановые показатели: планируемая длительность проекта, плани- руемая динамика затрат, плановые значения величины освоенного объема. Поэтому рассмотрим возможные постановки задачи плани- рования.
В разделах 1.1-1.2 была введена следующая взаимосвязь между освоенным объемом и количеством ресурса (напомним, что коли-
47
чество ресурса – объем средств – затрат, которые вкладываются в единицу времени: u(t) = c’(t), c(t) =
∫
t
d
u
0
)
(
τ
τ
):
(1)
))
(
(
)
(
t
u
w
dt
t
dx
=
, x(t) =
∫
t
d
u
w
0
))
(
(
τ
τ
,
∫
T
d
u
w
0
))
(
(
τ
τ
= X
0
,
или в более общем случае:
(2)
)
),
(
),
(
(
)
(
t
t
u
t
x
w
dt
t
dx
=
, x(0) = 0, x(T) = X
0
.
Соотношения (1) или (2) определяют модель проекта, то есть в задаче планирования ими косвенно задается оператор G
0
(
⋅), а в задаче оперативного управления – оператор
G
(
⋅, τ), причем в последнем случае нулевой момент времени в (1) или (2) заменяется на момент времени
τ. Во избежании путаницы, а также для того,
чтобы приводимые результаты с минимальной адаптацией были применимы и к задаче планирования, и к задаче оперативного управления, будем рассматривать только задачу планирования,
помня, что переход к задаче оперативного управления в момент времени
τ осуществляется следующей формальной заменой:
u(t) = c’(t),
c(t) = с(
τ) +
∫
t
dy
y
u
τ
τ )
,
(
,
)
),
,
(
(
)
(
τ
τ
t
u
w
dt
t
dx
=
,
x(t) = x(
τ) +
∫
t
dy
y
u
w
τ
τ
τ
)
,
)
,
(
(
, t
≥ τ, x(τ) +
∫
T
dy
y
u
w
τ
τ
τ
)
),
,
(
(
= X
0
,
или в более общем случае:
)
,
),
,
(
),
(
(
)
(
τ
τ t
t
u
t
x
w
dt
t
dx
=
,
x(t=
τ) = x(τ), x(T) = X
0
, где
)
,
(
τ
⋅
w
- результат идентификации модели проекта в момент времени
τ,
u
(
⋅, τ) =
'
c
(
⋅, τ) – прогноз динамики финансовых ресурсов в момент времени
τ. Кроме того,
отметим, что в задаче планирования приведенные соотношения связывают плановые показатели, а в задаче оперативного управле- ния – фактические или прогнозные. Однако, так как мы установили эквивалентность формулировок этих задач, ниже будем опускать нижние и верхние индексы, соответствующие плановым или про- гнозным значениям.
48
Аналогичным образом учитывается и другая, поступившая до момента времени
τ информация
1
. Например, если стало известно,
что завершению проекта соответствует значение суммарного объе- ма X’, отличное от X
0
, то учет этой информации приведет к замене в приведенных выше для задачи оперативного управления соотно- шениях старой величины суммарного объема на новую.
Предположим, что ограничения на ресурсы и интенсивности заданы в следующем виде:
(3) c(t)
∈ Ξ,
(4) u(t)
∈ U,
(5) w(
⋅) ∈ W,
где
Ξ, U и W – классы возможных значений соответственно затрат,
ресурсов и интенсивностей.
Возможны следующие постановки
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1.2. Общая постановка задачи оперативного управления
проектом
Предположим, что в рамках имеющейся информированности руководителя проекта – центра – он обладает достоверной инфор- мацией обо всех существенных параметрах, то есть условно можно считать, что функционирование системы происходит в условиях полной информированности [15, 17, 19, 22, 78]. Исследуем в рамках этого предположения избыточность приведенной в разделе 1.1
системы показателей освоенного объема.
Даже краткое рассмотрение частных случаев (см. пример 1)
свидетельствует, что набор показателей освоенного объема (основ- ных и производных) является избыточным как с содержательной (в рамках рассматриваемой модели не всегда ясны содержательные трактовки различий между фактическими и освоенными затратами,
а также между фактическим и освоенным объемом), так и с фор- мальной (некоторые производные показатели являются комбинаци-
38
ей других основных или производных показателей и т.д.) точек зрения. Поэтому введем следующий минимальный
1
набор показа- телей освоенного объема (см. рисунок 9), которые используются ниже в настоящей работе.
Основные показатели освоенного объема:
C
0
– планируемые суммарные затраты на проект (TB);
T
0
– планируемый срок завершения проекта;
X
0
– суммарный объем работ по проекту;
c
0
(t) – планируемая динамика затрат (BCWS);
c(t) – фактическая динамика затрат (ACWP);
x
0
(t) – планируемая динамика объемов работ (BQWS);
x(t) – освоенный объем (BQWP);
T – фактический срок окончания проекта;
C – фактические суммарные затраты на проект (EAC – Estimate
At Complete).
Производные показатели освоенного объема:
∆с(t) = c
0
(t) - c(t) - разность между плановыми и фактическими затратами;
∆x(t) = x
0
(t) - x(t) - разность между плановым и освоенным объ- емом
2
;
α(t) = x(t) / x
0
(t) – показатель освоенного объема, характеризует выполнение плана по объему;
β(t) = c(t) / c
0
(t) – показатель динамики затрат, характеризует соответствие поступления средств директивному графику;
γ(t) = x(t) / c(t) – эффективность использования средств
3
;
τ
с
(t) = t -
1 0
−
c
(c(t)) – текущая задержка по затратам;
τ
x
(t) = t -
1 0
−
x
(x(t)) – текущая задержка по объему;
e
0
= X
0
/ C
0
– плановая эффективность проекта в целом;
e
0
(t) = x
0
(t) / c
0
(t) =
β(t) γ(t) / α(t) – плановая эффективность ис- пользования средств;
1
Условно можно считать, что освоенные затраты могут быть рассчи-
таны по освоенному объему (см. подробности ниже).
2
По четырем независимым переменным с учетом размерности можно
определить две независимых их разности.
3
По четырем независимым переменным можно определить три их
независимых отношения.
39
e = X / C – фактическая эффективность проекта в целом.
Помимо перечисленных показателей освоенного объема мо- дель проекта должна включать в себя оператор G(
⋅), связывающий объем с затратами и отражающий «технологию» использования ресурсов.
τ
x
(t)
T
0
x(t)/X
0
– освоенный объем
x
0
(t)/X
0
– план по объему
100%
c(t)/C
0
– фактические затраты
t
c
0
(t)/C
0
– планируемые затраты
T
t
τ
c
(t)
C / C
0
Рис. 9. Пример динамики основных показателей освоенного объема
Докажем, что введенная система показателей освоенного объ- ема включает в себя используемую зарубежными авторами систему показателей (см. ее описание во введении) как частный случай.
Пусть x = kc, где k – коэффициент интенсивности (в примере 1
использовалось уравнение dx/dt = ku, где u = dc/dt). Получаем, что:
SPI =
α(t); CPI = γ(t) / k;
EAC = c(t) + (C
0
– c
e
(t)) / CPI = c(t) + (X
0
– x(t)) /
γ(t),
то есть в случае линейной связи между объемом и ресурсами соот- ветствие полное (с точностью до линейного преобразования).
В рамках рассматриваемой модели задача управления проек- том включает в себя задачу планирования, решаемую до начала реализации проекта, и задачу оперативного управления - выработки оперативных управляющих воздействий в ходе реализации проекта.
Задача планирования заключается в определении объема проекта
X
0
, плановых значений затрат с
0
(t), объема x
0
(t) и продолжительно-
40
сти проекта T
0
при известной «модели проекта» G
0
(
⋅); при этом
C
0
= c
0
(T
0
), x
0
(T
0
) = X
0
. Задача планирования рассматривается в разделе 1.3 настоящей работы, поэтому перейдем к рассмотрению
общей постановки задачи оперативного управления проектом,
которая включает задачи идентификации, прогнозирования и соб- ственно управления.
На рисунке 10 изображена структура системы оперативного управления проектом в рамках модели освоенного объема. Прямо- угольниками отражены реальный проект и его модель. Входом модели проекта является плановая зависимость затрат от времени
c
0
(t), выходом – плановая зависимость объема от времени x
0
(t).
Входом реального проекта является фактическая зависимость затрат от времени c(t), выходом – величина освоенного объема x(t).
Как отмечалось выше, несовпадение: x(t)
≠ x
0
(t) может быть вызва- но следующими причинами: внешней – c(t)
≠ c
0
(t) и/или внутрен- ней – G(
⋅) ≠ G
0
(
⋅).
Следовательно, первой задачей идентификации (обозначенной
«И1» на рисунке 10), которую можно также рассматривать и как задачу прогнозирования, является задача оценки зависимости фактических затрат от времени на основании сравнения наблюдае- мых значений фактических и плановых затрат.
Если представить, что на вход модели проекта подаются не плановые, а фактические затраты, то, зная оператор G
0
(
⋅), можно определить следующую зависимость от времени:
xˆ
(t) = G
0
(c(t)),
сравнение которой с плановой зависимостью x
0
(t) может служить исходными данными для решения второй задачи идентификации
(обозначенной «И2» на рисунке 10) – задачи идентификации собст- венно модели проекта, то есть «уточнения»
G
(
⋅, τ) (см. двойную линию на рисунке 10),
G
(
⋅, 0) = G
0
, соответствующего оператора
(индекс “
τ” в операторе
G
присутствует для того, чтобы подчерк- нуть зависимость от времени
τ, то есть в зависимости от продолжи- тельности имеющейся истории наблюдений за время [0;
τ] модель может изменяться).
41
c
(t’)
x
(t’)
xˆ
(t)
c
0
(t)
x
0
(t)
c(t)
)
,
(
τ
⋅
G
G
0
(
⋅)
G
0
(
⋅)
G
0
(
⋅)
МОДЕЛЬ ПРОЕКТА
Рис. 10. Структура системы
оперативного управления проектом
РЕАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ
УПРАВЛЕНИЕ
И1
И2
x(t)
ПРОГНОЗ
Итак, возникают следующие задачи идентификации:
И1. В момент времени
τ ≥ 0 на основании истории наблюдений
{c(t), c
0
(t)}
t
∈[0; τ]
определить «прогноз» затрат
c
(t’,
τ) для t’ > τ.
И2. В момент времени
τ ≥ 0 на основании истории наблюдений
{c(t), c
0
(t), x
0
(t), x(t),
xˆ
(t)}
t
∈[0; τ]
идентифицировать проект, то есть построит адекватную ему модель
G
(
⋅, τ).
Решив обе задачи идентификации, то есть имея в своем распо- ряжении зависимости
c
(t,
τ) и
G
(
⋅, τ), можно в момент времени
τ ≥ 0 решить задачу прогнозирования, то есть сделать прогноз значения освоенного объема
x
(t’,
τ) для моментов времени t’ > τ :
x
(t’,
τ) =
G
(
c
(t’,
τ), τ).
Необходимо принимать во внимание, что для решения задач идентификации и прогнозирования могут использоваться не только
42
данные о ходе реализации рассматриваемого проекта, но и инфор- мация о реализации других аналогичных проектов.
Сделав маленькое отступление, отметим, что в рамках рас- сматриваемого подхода легко показать, что введенная в настоящем разделе система показателей освоенного объема является мини- мально необходимой для полного описания проекта в рамках мето- дики освоенного объема. Для этого достаточно доказать, что пока- затели фактического объема и освоенных затрат (присутствующие в «расширенном» списке показателей освоенного объема, приве- денном во введении и в разделе 1.1) не являются независимыми и могут быть выражены, через фактические и плановые затраты, а также освоенный и плановый объем. Действительно, фактический объем может интерпретироваться как объем, который был бы освоен, если бы присутствовала только внешняя причина, а внут- ренняя причина отсутствовала, то есть фактический объем есть ни что иное, как
xˆ
(t) = G
0
(c(t)). Освоенные затраты c
e
(t) соответству- ют тем затратам, которые понадобились бы для того, чтобы показа- тель освоенного объема для реального проекта равнялся заданной величине x(t), то есть
G
(с
e
(t)) = x(t).
Решив задачи идентификации и прогнозирования, то есть имея в момент времени
τ в своем распоряжении прогнозы
c
(t’,
τ) и
x
(t’,
τ), для t’ > τ, и зная директивные (плановые) графики затрат и объема, можно решать задачи оперативного управления проек-
том – выработки таких управляющих воздействий, которые кор- ректировали бы ход реализации проекта в нужную (с точки зрения руководителя проекта – см. более подробно ниже) сторону.
Рассмотрим более подробно задачи идентификации, прогноза и оперативного управления. Отметим, что в настоящей работе при анализе и синтезе моделей оперативного управления проектами мы будем следовать следующему общему принципу. Так как конечная цель всех разрабатываемых в рамках методики освоенного объема методов и механизмов оперативного управления заключается в повышении эффективности управления реальными проектами, то критерием необходимости изучения той или иной частной задачи управления является неизвестность на сегодняшний день возмож- ности сведения ее к уже исследованным, например, оптимизацион- ным и другим задачам, методы решения которых могут быть алго- ритмизированы, то есть использованы в методиках или прикладных
43
компьютерных программах, ориентированных на использование руководителями проектов. Такая практическая направленность четко выделяет необходимую степень детализации при исследова- нии тех или иных задач управления, возникающих при описании проекта показателями освоенного объема. Другими словами, в рамках используемого подхода частная задача синтеза определен- ного механизма управления может считаться решенной, если для нее сформулированы либо алгоритм решения, либо приведена ссылка на метод решения эквивалентной ей задачи, которые могут быть использованы в прикладных методиках и алгоритмах, причем создание последних, при наличии подробно изученных с теорети- ческой точки зрения методах решения, может рассматриваться как инженерная задача.
Первая задача идентификации (И1), которую можно также рас- сматривать как задачу прогнозирования значений фактических затрат, заключается в оценке будущей зависимости фактических затрат от времени на основании сравнения наблюдаемых значений фактических и плановых затрат.
Итак, имеются два временных ряда: c
0
(t) и c(t), t
≤ τ. Прогноз
c
(t’,
τ), t’ > τ, может быть получен двумя путями. Первый путь, не учитывающий специфику рассматриваемой задачи, заключается в использовании методов «технического» анализа (статистический анализ временных рядов [2, 51, 72, 99]) для оценки величины
c
(t’,
τ), t’ > τ, только на основании наблюдаемых реализаций c(t),
t
≤ τ. Второй путь – построение модели, отражающей связь между плановыми и фактическими затратами и, быть может, учитываю- щей информацию о результатах реализации аналогичных завер- шившихся проектов, и адаптивная идентификация этой модели на основании имеющих статистических данных. Иллюстрацией второ- го пути может служить введенное в примере 1 предположение
(модель) о постоянстве ресурсов, то есть затрат в единицу времени.
Тогда однократное наблюдение фактических значений ресурсов позволяет однозначно идентифицировать модель. Таким образом,
для прогнозирования будущих значений фактических затрат
c
(t’,
τ), t’ > τ, могут быть использованы (то есть, «зашиты» в соответствующую компьютерную программу без существенной адаптации) известные методы и алгоритмы прогнозирования и идентификации [2, 74, 97-99].
44
Аналогичным образом обстоит дело и со второй задачей иден- тификации (И2) - построения в момент времени
τ ≥ 0 адекватной модели проекта
G
(
⋅, τ) на основании истории наблюдений
{c(t), c
0
(t), x
0
(t), x(t),
xˆ
(t)}
t
∈[0; τ]
, для решения которой в теории адаптивного управления и идентификации существуют хорошо развитые методы решения [98, 99 и др.]. В рамках примера 1 иден- тификация проекта означала определение коэффициентов интен- сивности на основании однократного наблюдения (которое оказы- валось достаточным) параметров фактической реализации проекта.
При известном прогнозе фактических затрат и имеющейся мо- дели проекта решение задачи прогнозирования будущих значений показателей освоенного объема тривиально – оно заключается в подстановке прогноза
c
(t’,
τ) в модель
G
(
⋅, τ), то есть
x
(t’,
τ) =
G
(
c
(t’,
τ), τ), t’ > τ:
Несколько сложнее обстоит дело с задачей собственно управ- ления – поиска оптимальных управляющих воздействий на основа- нии результатов решения задач идентификации и прогнозирования.
Этот класс задач, как и задачи планирования, заслуживает отдель- ного исследования, проводимого в разделе 1.3 настоящей работы.
Таким образом, для решения задач идентификации и прогно- зирования в рамках методики освоенного объема на сегодняшний день существуют хорошо развитые методы адаптивного управле- ния, идентификации и прогнозирования. Другими словами, возни- кающие при использовании методики освоенного объема задачи идентификации и прогнозирования, естественно, обладают собст- венной спецификой, однако, специфичны они не настолько, чтобы к ним были неприменимы известные методы и алгоритмы решения.
45
1.3. Планирование и оперативное управление проектом
в условиях полной информированности
Сохраним введенное в начале раздела 1.2 предположение о том, что руководитель проекта – центр – в рамках своей информи- рованности обладает достоверной информацией.
Часть показателей освоенного объема, введенных в разделе 1.2,
может рассматриваться как управляющие параметры (ими могут,
например, быть плановые затраты, интенсивности и т.д.). Осталь- ные показатели являются при этом зависимыми, то есть при фикси- рованной модели проекта однозначно определяемыми значениями управляющих параметров (например, если плановые затраты ин- терпретируются как управляющий параметр, то при модели проек- та G
0
(
⋅) плановое значение объема является зависимым показате- лем: x
0
(t) = G
0
(c
0
(t)) и т.д.). В зависимости от рассматриваемой модели (то есть в зависимости от рассматриваемой задачи управле- ния) одни и те же показатели могут быть либо управляющими,
либо зависимыми.
Пусть известны ограничения на значения управляющих пара- метров и задан критерий эффективности управления
1
, зависящий как от управляющих, так и от зависимых параметров. Тогда на качественном уровне задачу управления можно сформулировать следующим образом: выбрать такие допустимые значения управ- ляющих параметров, которые доставляли бы экстремум критерию эффективности управления (в частном случае – максимизировали эффективность проекта).
Задача планирования, являющаяся частным случаем сформу- лированной выше задачи управления, решается до начала реализа- ции проекта и заключается в определении на основании всей имеющейся на данный момент информации оптимальных плановых значений управляющих параметров для t’
≥ 0.
Задача оперативного управления, также являющаяся частным случаем задачи управления, решается в ходе реализации проекта и заключается в определении на основании всей имеющейся на дан- ный момент информации оптимальных текущих и будущих значе-
1
Следует различать эффективность проекта, определяемую как отно-
шение объема к затратам (см. выше), и эффективность управления.
46
ний управляющих параметров, то есть оптимальных плановых значений управляющих параметров для t’
≥ τ.
Таким образом, задачи планирования и оперативного управле- ния являются частными случаями одной и той же задачи управле- ния, отличающимися лишь той информацией, которая имеется на момент принятия решений.
Поясним последнее утверждение более подробно. При реше- нии задачи планирования имеется информация об ограничениях на допустимые значения плановых показателей и модель проекта. При решении задачи оперативного управления имеется информация об ограничениях на допустимые значения показателей освоенного объема и модель проекта, скорректированные в соответствии с решениями соответствующих задач идентификации и прогнозиро- вания, описанными в разделе 1.2, и учитывающие историю реали- зации проекта.
Коль скоро установлена качественная эквивалентность задач планирования и оперативного управления, достаточно рассмотреть подробно одну из них, поэтому ниже в настоящем разделе мы по умолчанию будем подразумевать, что формулируемые и решаемые задачи могут интерпретироваться двояко. Более того, качественно основной результат настоящего раздела заключается в следующем:
при агрегированном представлении проекта, то есть рассмотрении проекта как единого целого в рамках модели, описанной в разделе
1.2, решение задач планирования и оперативного управления в условиях полной информированности заключается в сведении к известным оптимизационным задачам, методы и алгоритмы реше- ния которых хорошо известны.
Обоснуем это утверждение.
Важную часть показателей освоенного объема составляют плановые показатели: планируемая длительность проекта, плани- руемая динамика затрат, плановые значения величины освоенного объема. Поэтому рассмотрим возможные постановки задачи плани- рования.
В разделах 1.1-1.2 была введена следующая взаимосвязь между освоенным объемом и количеством ресурса (напомним, что коли-
47
чество ресурса – объем средств – затрат, которые вкладываются в единицу времени: u(t) = c’(t), c(t) =
∫
t
d
u
0
)
(
τ
τ
):
(1)
))
(
(
)
(
t
u
w
dt
t
dx
=
, x(t) =
∫
t
d
u
w
0
))
(
(
τ
τ
,
∫
T
d
u
w
0
))
(
(
τ
τ
= X
0
,
или в более общем случае:
(2)
)
),
(
),
(
(
)
(
t
t
u
t
x
w
dt
t
dx
=
, x(0) = 0, x(T) = X
0
.
Соотношения (1) или (2) определяют модель проекта, то есть в задаче планирования ими косвенно задается оператор G
0
(
⋅), а в задаче оперативного управления – оператор
G
(
⋅, τ), причем в последнем случае нулевой момент времени в (1) или (2) заменяется на момент времени
τ. Во избежании путаницы, а также для того,
чтобы приводимые результаты с минимальной адаптацией были применимы и к задаче планирования, и к задаче оперативного управления, будем рассматривать только задачу планирования,
помня, что переход к задаче оперативного управления в момент времени
τ осуществляется следующей формальной заменой:
u(t) = c’(t),
c(t) = с(
τ) +
∫
t
dy
y
u
τ
τ )
,
(
,
)
),
,
(
(
)
(
τ
τ
t
u
w
dt
t
dx
=
,
x(t) = x(
τ) +
∫
t
dy
y
u
w
τ
τ
τ
)
,
)
,
(
(
, t
≥ τ, x(τ) +
∫
T
dy
y
u
w
τ
τ
τ
)
),
,
(
(
= X
0
,
или в более общем случае:
)
,
),
,
(
),
(
(
)
(
τ
τ t
t
u
t
x
w
dt
t
dx
=
,
x(t=
τ) = x(τ), x(T) = X
0
, где
)
,
(
τ
⋅
w
- результат идентификации модели проекта в момент времени
τ,
u
(
⋅, τ) =
'
c
(
⋅, τ) – прогноз динамики финансовых ресурсов в момент времени
τ. Кроме того,
отметим, что в задаче планирования приведенные соотношения связывают плановые показатели, а в задаче оперативного управле- ния – фактические или прогнозные. Однако, так как мы установили эквивалентность формулировок этих задач, ниже будем опускать нижние и верхние индексы, соответствующие плановым или про- гнозным значениям.
48
Аналогичным образом учитывается и другая, поступившая до момента времени
τ информация
1
. Например, если стало известно,
что завершению проекта соответствует значение суммарного объе- ма X’, отличное от X
0
, то учет этой информации приведет к замене в приведенных выше для задачи оперативного управления соотно- шениях старой величины суммарного объема на новую.
Предположим, что ограничения на ресурсы и интенсивности заданы в следующем виде:
(3) c(t)
∈ Ξ,
(4) u(t)
∈ U,
(5) w(
⋅) ∈ W,
где
Ξ, U и W – классы возможных значений соответственно затрат,
ресурсов и интенсивностей.
Возможны следующие постановки
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1.2. Общая постановка задачи оперативного управления
проектом
Предположим, что в рамках имеющейся информированности руководителя проекта – центра – он обладает достоверной инфор- мацией обо всех существенных параметрах, то есть условно можно считать, что функционирование системы происходит в условиях полной информированности [15, 17, 19, 22, 78]. Исследуем в рамках этого предположения избыточность приведенной в разделе 1.1
системы показателей освоенного объема.
Даже краткое рассмотрение частных случаев (см. пример 1)
свидетельствует, что набор показателей освоенного объема (основ- ных и производных) является избыточным как с содержательной (в рамках рассматриваемой модели не всегда ясны содержательные трактовки различий между фактическими и освоенными затратами,
а также между фактическим и освоенным объемом), так и с фор- мальной (некоторые производные показатели являются комбинаци-
38
ей других основных или производных показателей и т.д.) точек зрения. Поэтому введем следующий минимальный
1
набор показа- телей освоенного объема (см. рисунок 9), которые используются ниже в настоящей работе.
Основные показатели освоенного объема:
C
0
– планируемые суммарные затраты на проект (TB);
T
0
– планируемый срок завершения проекта;
X
0
– суммарный объем работ по проекту;
c
0
(t) – планируемая динамика затрат (BCWS);
c(t) – фактическая динамика затрат (ACWP);
x
0
(t) – планируемая динамика объемов работ (BQWS);
x(t) – освоенный объем (BQWP);
T – фактический срок окончания проекта;
C – фактические суммарные затраты на проект (EAC – Estimate
At Complete).
Производные показатели освоенного объема:
∆с(t) = c
0
(t) - c(t) - разность между плановыми и фактическими затратами;
∆x(t) = x
0
(t) - x(t) - разность между плановым и освоенным объ- емом
2
;
α(t) = x(t) / x
0
(t) – показатель освоенного объема, характеризует выполнение плана по объему;
β(t) = c(t) / c
0
(t) – показатель динамики затрат, характеризует соответствие поступления средств директивному графику;
γ(t) = x(t) / c(t) – эффективность использования средств
3
;
τ
с
(t) = t -
1 0
−
c
(c(t)) – текущая задержка по затратам;
τ
x
(t) = t -
1 0
−
x
(x(t)) – текущая задержка по объему;
e
0
= X
0
/ C
0
– плановая эффективность проекта в целом;
e
0
(t) = x
0
(t) / c
0
(t) =
β(t) γ(t) / α(t) – плановая эффективность ис- пользования средств;
1
Условно можно считать, что освоенные затраты могут быть рассчи-
таны по освоенному объему (см. подробности ниже).
2
По четырем независимым переменным с учетом размерности можно
определить две независимых их разности.
3
По четырем независимым переменным можно определить три их
независимых отношения.
39
e = X / C – фактическая эффективность проекта в целом.
Помимо перечисленных показателей освоенного объема мо- дель проекта должна включать в себя оператор G(
⋅), связывающий объем с затратами и отражающий «технологию» использования ресурсов.
τ
x
(t)
T
0
x(t)/X
0
– освоенный объем
x
0
(t)/X
0
– план по объему
100%
c(t)/C
0
– фактические затраты
t
c
0
(t)/C
0
– планируемые затраты
T
t
τ
c
(t)
C / C
0
Рис. 9. Пример динамики основных показателей освоенного объема
Докажем, что введенная система показателей освоенного объ- ема включает в себя используемую зарубежными авторами систему показателей (см. ее описание во введении) как частный случай.
Пусть x = kc, где k – коэффициент интенсивности (в примере 1
использовалось уравнение dx/dt = ku, где u = dc/dt). Получаем, что:
SPI =
α(t); CPI = γ(t) / k;
EAC = c(t) + (C
0
– c
e
(t)) / CPI = c(t) + (X
0
– x(t)) /
γ(t),
то есть в случае линейной связи между объемом и ресурсами соот- ветствие полное (с точностью до линейного преобразования).
В рамках рассматриваемой модели задача управления проек- том включает в себя задачу планирования, решаемую до начала реализации проекта, и задачу оперативного управления - выработки оперативных управляющих воздействий в ходе реализации проекта.
Задача планирования заключается в определении объема проекта
X
0
, плановых значений затрат с
0
(t), объема x
0
(t) и продолжительно-
40
сти проекта T
0
при известной «модели проекта» G
0
(
⋅); при этом
C
0
= c
0
(T
0
), x
0
(T
0
) = X
0
. Задача планирования рассматривается в разделе 1.3 настоящей работы, поэтому перейдем к рассмотрению
общей постановки задачи оперативного управления проектом,
которая включает задачи идентификации, прогнозирования и соб- ственно управления.
На рисунке 10 изображена структура системы оперативного управления проектом в рамках модели освоенного объема. Прямо- угольниками отражены реальный проект и его модель. Входом модели проекта является плановая зависимость затрат от времени
c
0
(t), выходом – плановая зависимость объема от времени x
0
(t).
Входом реального проекта является фактическая зависимость затрат от времени c(t), выходом – величина освоенного объема x(t).
Как отмечалось выше, несовпадение: x(t)
≠ x
0
(t) может быть вызва- но следующими причинами: внешней – c(t)
≠ c
0
(t) и/или внутрен- ней – G(
⋅) ≠ G
0
(
⋅).
Следовательно, первой задачей идентификации (обозначенной
«И1» на рисунке 10), которую можно также рассматривать и как задачу прогнозирования, является задача оценки зависимости фактических затрат от времени на основании сравнения наблюдае- мых значений фактических и плановых затрат.
Если представить, что на вход модели проекта подаются не плановые, а фактические затраты, то, зная оператор G
0
(
⋅), можно определить следующую зависимость от времени:
xˆ
(t) = G
0
(c(t)),
сравнение которой с плановой зависимостью x
0
(t) может служить исходными данными для решения второй задачи идентификации
(обозначенной «И2» на рисунке 10) – задачи идентификации собст- венно модели проекта, то есть «уточнения»
G
(
⋅, τ) (см. двойную линию на рисунке 10),
G
(
⋅, 0) = G
0
, соответствующего оператора
(индекс “
τ” в операторе
G
присутствует для того, чтобы подчерк- нуть зависимость от времени
τ, то есть в зависимости от продолжи- тельности имеющейся истории наблюдений за время [0;
τ] модель может изменяться).
41
c
(t’)
x
(t’)
xˆ
(t)
c
0
(t)
x
0
(t)
c(t)
)
,
(
τ
⋅
G
G
0
(
⋅)
G
0
(
⋅)
G
0
(
⋅)
МОДЕЛЬ ПРОЕКТА
Рис. 10. Структура системы
оперативного управления проектом
РЕАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ
УПРАВЛЕНИЕ
И1
И2
x(t)
ПРОГНОЗ
Итак, возникают следующие задачи идентификации:
И1. В момент времени
τ ≥ 0 на основании истории наблюдений
{c(t), c
0
(t)}
t
∈[0; τ]
определить «прогноз» затрат
c
(t’,
τ) для t’ > τ.
И2. В момент времени
τ ≥ 0 на основании истории наблюдений
{c(t), c
0
(t), x
0
(t), x(t),
xˆ
(t)}
t
∈[0; τ]
идентифицировать проект, то есть построит адекватную ему модель
G
(
⋅, τ).
Решив обе задачи идентификации, то есть имея в своем распо- ряжении зависимости
c
(t,
τ) и
G
(
⋅, τ), можно в момент времени
τ ≥ 0 решить задачу прогнозирования, то есть сделать прогноз значения освоенного объема
x
(t’,
τ) для моментов времени t’ > τ :
x
(t’,
τ) =
G
(
c
(t’,
τ), τ).
Необходимо принимать во внимание, что для решения задач идентификации и прогнозирования могут использоваться не только
42
данные о ходе реализации рассматриваемого проекта, но и инфор- мация о реализации других аналогичных проектов.
Сделав маленькое отступление, отметим, что в рамках рас- сматриваемого подхода легко показать, что введенная в настоящем разделе система показателей освоенного объема является мини- мально необходимой для полного описания проекта в рамках мето- дики освоенного объема. Для этого достаточно доказать, что пока- затели фактического объема и освоенных затрат (присутствующие в «расширенном» списке показателей освоенного объема, приве- денном во введении и в разделе 1.1) не являются независимыми и могут быть выражены, через фактические и плановые затраты, а также освоенный и плановый объем. Действительно, фактический объем может интерпретироваться как объем, который был бы освоен, если бы присутствовала только внешняя причина, а внут- ренняя причина отсутствовала, то есть фактический объем есть ни что иное, как
xˆ
(t) = G
0
(c(t)). Освоенные затраты c
e
(t) соответству- ют тем затратам, которые понадобились бы для того, чтобы показа- тель освоенного объема для реального проекта равнялся заданной величине x(t), то есть
G
(с
e
(t)) = x(t).
Решив задачи идентификации и прогнозирования, то есть имея в момент времени
τ в своем распоряжении прогнозы
c
(t’,
τ) и
x
(t’,
τ), для t’ > τ, и зная директивные (плановые) графики затрат и объема, можно решать задачи оперативного управления проек-
том – выработки таких управляющих воздействий, которые кор- ректировали бы ход реализации проекта в нужную (с точки зрения руководителя проекта – см. более подробно ниже) сторону.
Рассмотрим более подробно задачи идентификации, прогноза и оперативного управления. Отметим, что в настоящей работе при анализе и синтезе моделей оперативного управления проектами мы будем следовать следующему общему принципу. Так как конечная цель всех разрабатываемых в рамках методики освоенного объема методов и механизмов оперативного управления заключается в повышении эффективности управления реальными проектами, то критерием необходимости изучения той или иной частной задачи управления является неизвестность на сегодняшний день возмож- ности сведения ее к уже исследованным, например, оптимизацион- ным и другим задачам, методы решения которых могут быть алго- ритмизированы, то есть использованы в методиках или прикладных
43
компьютерных программах, ориентированных на использование руководителями проектов. Такая практическая направленность четко выделяет необходимую степень детализации при исследова- нии тех или иных задач управления, возникающих при описании проекта показателями освоенного объема. Другими словами, в рамках используемого подхода частная задача синтеза определен- ного механизма управления может считаться решенной, если для нее сформулированы либо алгоритм решения, либо приведена ссылка на метод решения эквивалентной ей задачи, которые могут быть использованы в прикладных методиках и алгоритмах, причем создание последних, при наличии подробно изученных с теорети- ческой точки зрения методах решения, может рассматриваться как инженерная задача.
Первая задача идентификации (И1), которую можно также рас- сматривать как задачу прогнозирования значений фактических затрат, заключается в оценке будущей зависимости фактических затрат от времени на основании сравнения наблюдаемых значений фактических и плановых затрат.
Итак, имеются два временных ряда: c
0
(t) и c(t), t
≤ τ. Прогноз
c
(t’,
τ), t’ > τ, может быть получен двумя путями. Первый путь, не учитывающий специфику рассматриваемой задачи, заключается в использовании методов «технического» анализа (статистический анализ временных рядов [2, 51, 72, 99]) для оценки величины
c
(t’,
τ), t’ > τ, только на основании наблюдаемых реализаций c(t),
t
≤ τ. Второй путь – построение модели, отражающей связь между плановыми и фактическими затратами и, быть может, учитываю- щей информацию о результатах реализации аналогичных завер- шившихся проектов, и адаптивная идентификация этой модели на основании имеющих статистических данных. Иллюстрацией второ- го пути может служить введенное в примере 1 предположение
(модель) о постоянстве ресурсов, то есть затрат в единицу времени.
Тогда однократное наблюдение фактических значений ресурсов позволяет однозначно идентифицировать модель. Таким образом,
для прогнозирования будущих значений фактических затрат
c
(t’,
τ), t’ > τ, могут быть использованы (то есть, «зашиты» в соответствующую компьютерную программу без существенной адаптации) известные методы и алгоритмы прогнозирования и идентификации [2, 74, 97-99].
44
Аналогичным образом обстоит дело и со второй задачей иден- тификации (И2) - построения в момент времени
τ ≥ 0 адекватной модели проекта
G
(
⋅, τ) на основании истории наблюдений
{c(t), c
0
(t), x
0
(t), x(t),
xˆ
(t)}
t
∈[0; τ]
, для решения которой в теории адаптивного управления и идентификации существуют хорошо развитые методы решения [98, 99 и др.]. В рамках примера 1 иден- тификация проекта означала определение коэффициентов интен- сивности на основании однократного наблюдения (которое оказы- валось достаточным) параметров фактической реализации проекта.
При известном прогнозе фактических затрат и имеющейся мо- дели проекта решение задачи прогнозирования будущих значений показателей освоенного объема тривиально – оно заключается в подстановке прогноза
c
(t’,
τ) в модель
G
(
⋅, τ), то есть
x
(t’,
τ) =
G
(
c
(t’,
τ), τ), t’ > τ:
Несколько сложнее обстоит дело с задачей собственно управ- ления – поиска оптимальных управляющих воздействий на основа- нии результатов решения задач идентификации и прогнозирования.
Этот класс задач, как и задачи планирования, заслуживает отдель- ного исследования, проводимого в разделе 1.3 настоящей работы.
Таким образом, для решения задач идентификации и прогно- зирования в рамках методики освоенного объема на сегодняшний день существуют хорошо развитые методы адаптивного управле- ния, идентификации и прогнозирования. Другими словами, возни- кающие при использовании методики освоенного объема задачи идентификации и прогнозирования, естественно, обладают собст- венной спецификой, однако, специфичны они не настолько, чтобы к ним были неприменимы известные методы и алгоритмы решения.
45
1.3. Планирование и оперативное управление проектом
в условиях полной информированности
Сохраним введенное в начале раздела 1.2 предположение о том, что руководитель проекта – центр – в рамках своей информи- рованности обладает достоверной информацией.
Часть показателей освоенного объема, введенных в разделе 1.2,
может рассматриваться как управляющие параметры (ими могут,
например, быть плановые затраты, интенсивности и т.д.). Осталь- ные показатели являются при этом зависимыми, то есть при фикси- рованной модели проекта однозначно определяемыми значениями управляющих параметров (например, если плановые затраты ин- терпретируются как управляющий параметр, то при модели проек- та G
0
(
⋅) плановое значение объема является зависимым показате- лем: x
0
(t) = G
0
(c
0
(t)) и т.д.). В зависимости от рассматриваемой модели (то есть в зависимости от рассматриваемой задачи управле- ния) одни и те же показатели могут быть либо управляющими,
либо зависимыми.
Пусть известны ограничения на значения управляющих пара- метров и задан критерий эффективности управления
1
, зависящий как от управляющих, так и от зависимых параметров. Тогда на качественном уровне задачу управления можно сформулировать следующим образом: выбрать такие допустимые значения управ- ляющих параметров, которые доставляли бы экстремум критерию эффективности управления (в частном случае – максимизировали эффективность проекта).
Задача планирования, являющаяся частным случаем сформу- лированной выше задачи управления, решается до начала реализа- ции проекта и заключается в определении на основании всей имеющейся на данный момент информации оптимальных плановых значений управляющих параметров для t’
≥ 0.
Задача оперативного управления, также являющаяся частным случаем задачи управления, решается в ходе реализации проекта и заключается в определении на основании всей имеющейся на дан- ный момент информации оптимальных текущих и будущих значе-
1
Следует различать эффективность проекта, определяемую как отно-
шение объема к затратам (см. выше), и эффективность управления.
46
ний управляющих параметров, то есть оптимальных плановых значений управляющих параметров для t’
≥ τ.
Таким образом, задачи планирования и оперативного управле- ния являются частными случаями одной и той же задачи управле- ния, отличающимися лишь той информацией, которая имеется на момент принятия решений.
Поясним последнее утверждение более подробно. При реше- нии задачи планирования имеется информация об ограничениях на допустимые значения плановых показателей и модель проекта. При решении задачи оперативного управления имеется информация об ограничениях на допустимые значения показателей освоенного объема и модель проекта, скорректированные в соответствии с решениями соответствующих задач идентификации и прогнозиро- вания, описанными в разделе 1.2, и учитывающие историю реали- зации проекта.
Коль скоро установлена качественная эквивалентность задач планирования и оперативного управления, достаточно рассмотреть подробно одну из них, поэтому ниже в настоящем разделе мы по умолчанию будем подразумевать, что формулируемые и решаемые задачи могут интерпретироваться двояко. Более того, качественно основной результат настоящего раздела заключается в следующем:
при агрегированном представлении проекта, то есть рассмотрении проекта как единого целого в рамках модели, описанной в разделе
1.2, решение задач планирования и оперативного управления в условиях полной информированности заключается в сведении к известным оптимизационным задачам, методы и алгоритмы реше- ния которых хорошо известны.
Обоснуем это утверждение.
Важную часть показателей освоенного объема составляют плановые показатели: планируемая длительность проекта, плани- руемая динамика затрат, плановые значения величины освоенного объема. Поэтому рассмотрим возможные постановки задачи плани- рования.
В разделах 1.1-1.2 была введена следующая взаимосвязь между освоенным объемом и количеством ресурса (напомним, что коли-
47
чество ресурса – объем средств – затрат, которые вкладываются в единицу времени: u(t) = c’(t), c(t) =
∫
t
d
u
0
)
(
τ
τ
):
(1)
))
(
(
)
(
t
u
w
dt
t
dx
=
, x(t) =
∫
t
d
u
w
0
))
(
(
τ
τ
,
∫
T
d
u
w
0
))
(
(
τ
τ
= X
0
,
или в более общем случае:
(2)
)
),
(
),
(
(
)
(
t
t
u
t
x
w
dt
t
dx
=
, x(0) = 0, x(T) = X
0
.
Соотношения (1) или (2) определяют модель проекта, то есть в задаче планирования ими косвенно задается оператор G
0
(
⋅), а в задаче оперативного управления – оператор
G
(
⋅, τ), причем в последнем случае нулевой момент времени в (1) или (2) заменяется на момент времени
τ. Во избежании путаницы, а также для того,
чтобы приводимые результаты с минимальной адаптацией были применимы и к задаче планирования, и к задаче оперативного управления, будем рассматривать только задачу планирования,
помня, что переход к задаче оперативного управления в момент времени
τ осуществляется следующей формальной заменой:
u(t) = c’(t),
c(t) = с(
τ) +
∫
t
dy
y
u
τ
τ )
,
(
,
)
),
,
(
(
)
(
τ
τ
t
u
w
dt
t
dx
=
,
x(t) = x(
τ) +
∫
t
dy
y
u
w
τ
τ
τ
)
,
)
,
(
(
, t
≥ τ, x(τ) +
∫
T
dy
y
u
w
τ
τ
τ
)
),
,
(
(
= X
0
,
или в более общем случае:
)
,
),
,
(
),
(
(
)
(
τ
τ t
t
u
t
x
w
dt
t
dx
=
,
x(t=
τ) = x(τ), x(T) = X
0
, где
)
,
(
τ
⋅
w
- результат идентификации модели проекта в момент времени
τ,
u
(
⋅, τ) =
'
c
(
⋅, τ) – прогноз динамики финансовых ресурсов в момент времени
τ. Кроме того,
отметим, что в задаче планирования приведенные соотношения связывают плановые показатели, а в задаче оперативного управле- ния – фактические или прогнозные. Однако, так как мы установили эквивалентность формулировок этих задач, ниже будем опускать нижние и верхние индексы, соответствующие плановым или про- гнозным значениям.
48
Аналогичным образом учитывается и другая, поступившая до момента времени
τ информация
1
. Например, если стало известно,
что завершению проекта соответствует значение суммарного объе- ма X’, отличное от X
0
, то учет этой информации приведет к замене в приведенных выше для задачи оперативного управления соотно- шениях старой величины суммарного объема на новую.
Предположим, что ограничения на ресурсы и интенсивности заданы в следующем виде:
(3) c(t)
∈ Ξ,
(4) u(t)
∈ U,
(5) w(
⋅) ∈ W,
где
Ξ, U и W – классы возможных значений соответственно затрат,
ресурсов и интенсивностей.
Возможны следующие постановки
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1.2. Общая постановка задачи оперативного управления
проектом
Предположим, что в рамках имеющейся информированности руководителя проекта – центра – он обладает достоверной инфор- мацией обо всех существенных параметрах, то есть условно можно считать, что функционирование системы происходит в условиях полной информированности [15, 17, 19, 22, 78]. Исследуем в рамках этого предположения избыточность приведенной в разделе 1.1
системы показателей освоенного объема.
Даже краткое рассмотрение частных случаев (см. пример 1)
свидетельствует, что набор показателей освоенного объема (основ- ных и производных) является избыточным как с содержательной (в рамках рассматриваемой модели не всегда ясны содержательные трактовки различий между фактическими и освоенными затратами,
а также между фактическим и освоенным объемом), так и с фор- мальной (некоторые производные показатели являются комбинаци-
38
ей других основных или производных показателей и т.д.) точек зрения. Поэтому введем следующий минимальный
1
набор показа- телей освоенного объема (см. рисунок 9), которые используются ниже в настоящей работе.
Основные показатели освоенного объема:
C
0
– планируемые суммарные затраты на проект (TB);
T
0
– планируемый срок завершения проекта;
X
0
– суммарный объем работ по проекту;
c
0
(t) – планируемая динамика затрат (BCWS);
c(t) – фактическая динамика затрат (ACWP);
x
0
(t) – планируемая динамика объемов работ (BQWS);
x(t) – освоенный объем (BQWP);
T – фактический срок окончания проекта;
C – фактические суммарные затраты на проект (EAC – Estimate
At Complete).
Производные показатели освоенного объема:
∆с(t) = c
0
(t) - c(t) - разность между плановыми и фактическими затратами;
∆x(t) = x
0
(t) - x(t) - разность между плановым и освоенным объ- емом
2
;
α(t) = x(t) / x
0
(t) – показатель освоенного объема, характеризует выполнение плана по объему;
β(t) = c(t) / c
0
(t) – показатель динамики затрат, характеризует соответствие поступления средств директивному графику;
γ(t) = x(t) / c(t) – эффективность использования средств
3
;
τ
с
(t) = t -
1 0
−
c
(c(t)) – текущая задержка по затратам;
τ
x
(t) = t -
1 0
−
x
(x(t)) – текущая задержка по объему;
e
0
= X
0
/ C
0
– плановая эффективность проекта в целом;
e
0
(t) = x
0
(t) / c
0
(t) =
β(t) γ(t) / α(t) – плановая эффективность ис- пользования средств;
1
Условно можно считать, что освоенные затраты могут быть рассчи-
таны по освоенному объему (см. подробности ниже).
2
По четырем независимым переменным с учетом размерности можно
определить две независимых их разности.
3
По четырем независимым переменным можно определить три их
независимых отношения.
39
e = X / C – фактическая эффективность проекта в целом.
Помимо перечисленных показателей освоенного объема мо- дель проекта должна включать в себя оператор G(
⋅), связывающий объем с затратами и отражающий «технологию» использования ресурсов.
τ
x
(t)
T
0
x(t)/X
0
– освоенный объем
x
0
(t)/X
0
– план по объему
100%
c(t)/C
0
– фактические затраты
t
c
0
(t)/C
0
– планируемые затраты
T
t
τ
c
(t)
C / C
0
Рис. 9. Пример динамики основных показателей освоенного объема
Докажем, что введенная система показателей освоенного объ- ема включает в себя используемую зарубежными авторами систему показателей (см. ее описание во введении) как частный случай.
Пусть x = kc, где k – коэффициент интенсивности (в примере 1
использовалось уравнение dx/dt = ku, где u = dc/dt). Получаем, что:
SPI =
α(t); CPI = γ(t) / k;
EAC = c(t) + (C
0
– c
e
(t)) / CPI = c(t) + (X
0
– x(t)) /
γ(t),
то есть в случае линейной связи между объемом и ресурсами соот- ветствие полное (с точностью до линейного преобразования).
В рамках рассматриваемой модели задача управления проек- том включает в себя задачу планирования, решаемую до начала реализации проекта, и задачу оперативного управления - выработки оперативных управляющих воздействий в ходе реализации проекта.
Задача планирования заключается в определении объема проекта
X
0
, плановых значений затрат с
0
(t), объема x
0
(t) и продолжительно-
40
сти проекта T
0
при известной «модели проекта» G
0
(
⋅); при этом
C
0
= c
0
(T
0
), x
0
(T
0
) = X
0
. Задача планирования рассматривается в разделе 1.3 настоящей работы, поэтому перейдем к рассмотрению
общей постановки задачи оперативного управления проектом,
которая включает задачи идентификации, прогнозирования и соб- ственно управления.
На рисунке 10 изображена структура системы оперативного управления проектом в рамках модели освоенного объема. Прямо- угольниками отражены реальный проект и его модель. Входом модели проекта является плановая зависимость затрат от времени
c
0
(t), выходом – плановая зависимость объема от времени x
0
(t).
Входом реального проекта является фактическая зависимость затрат от времени c(t), выходом – величина освоенного объема x(t).
Как отмечалось выше, несовпадение: x(t)
≠ x
0
(t) может быть вызва- но следующими причинами: внешней – c(t)
≠ c
0
(t) и/или внутрен- ней – G(
⋅) ≠ G
0
(
⋅).
Следовательно, первой задачей идентификации (обозначенной
«И1» на рисунке 10), которую можно также рассматривать и как задачу прогнозирования, является задача оценки зависимости фактических затрат от времени на основании сравнения наблюдае- мых значений фактических и плановых затрат.
Если представить, что на вход модели проекта подаются не плановые, а фактические затраты, то, зная оператор G
0
(
⋅), можно определить следующую зависимость от времени:
xˆ
(t) = G
0
(c(t)),
сравнение которой с плановой зависимостью x
0
(t) может служить исходными данными для решения второй задачи идентификации
(обозначенной «И2» на рисунке 10) – задачи идентификации собст- венно модели проекта, то есть «уточнения»
G
(
⋅, τ) (см. двойную линию на рисунке 10),
G
(
⋅, 0) = G
0
, соответствующего оператора
(индекс “
τ” в операторе
G
присутствует для того, чтобы подчерк- нуть зависимость от времени
τ, то есть в зависимости от продолжи- тельности имеющейся истории наблюдений за время [0;
τ] модель может изменяться).
41
c
(t’)
x
(t’)
xˆ
(t)
c
0
(t)
x
0
(t)
c(t)
)
,
(
τ
⋅
G
G
0
(
⋅)
G
0
(
⋅)
G
0
(
⋅)
МОДЕЛЬ ПРОЕКТА
Рис. 10. Структура системы
оперативного управления проектом
РЕАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ
УПРАВЛЕНИЕ
И1
И2
x(t)
ПРОГНОЗ
Итак, возникают следующие задачи идентификации:
И1. В момент времени
τ ≥ 0 на основании истории наблюдений
{c(t), c
0
(t)}
t
∈[0; τ]
определить «прогноз» затрат
c
(t’,
τ) для t’ > τ.
И2. В момент времени
τ ≥ 0 на основании истории наблюдений
{c(t), c
0
(t), x
0
(t), x(t),
xˆ
(t)}
t
∈[0; τ]
идентифицировать проект, то есть построит адекватную ему модель
G
(
⋅, τ).
Решив обе задачи идентификации, то есть имея в своем распо- ряжении зависимости
c
(t,
τ) и
G
(
⋅, τ), можно в момент времени
τ ≥ 0 решить задачу прогнозирования, то есть сделать прогноз значения освоенного объема
x
(t’,
τ) для моментов времени t’ > τ :
x
(t’,
τ) =
G
(
c
(t’,
τ), τ).
Необходимо принимать во внимание, что для решения задач идентификации и прогнозирования могут использоваться не только
42
данные о ходе реализации рассматриваемого проекта, но и инфор- мация о реализации других аналогичных проектов.
Сделав маленькое отступление, отметим, что в рамках рас- сматриваемого подхода легко показать, что введенная в настоящем разделе система показателей освоенного объема является мини- мально необходимой для полного описания проекта в рамках мето- дики освоенного объема. Для этого достаточно доказать, что пока- затели фактического объема и освоенных затрат (присутствующие в «расширенном» списке показателей освоенного объема, приве- денном во введении и в разделе 1.1) не являются независимыми и могут быть выражены, через фактические и плановые затраты, а также освоенный и плановый объем. Действительно, фактический объем может интерпретироваться как объем, который был бы освоен, если бы присутствовала только внешняя причина, а внут- ренняя причина отсутствовала, то есть фактический объем есть ни что иное, как
xˆ
(t) = G
0
(c(t)). Освоенные затраты c
e
(t) соответству- ют тем затратам, которые понадобились бы для того, чтобы показа- тель освоенного объема для реального проекта равнялся заданной величине x(t), то есть
G
(с
e
(t)) = x(t).
Решив задачи идентификации и прогнозирования, то есть имея в момент времени
τ в своем распоряжении прогнозы
c
(t’,
τ) и
x
(t’,
τ), для t’ > τ, и зная директивные (плановые) графики затрат и объема, можно решать задачи оперативного управления проек-
том – выработки таких управляющих воздействий, которые кор- ректировали бы ход реализации проекта в нужную (с точки зрения руководителя проекта – см. более подробно ниже) сторону.
Рассмотрим более подробно задачи идентификации, прогноза и оперативного управления. Отметим, что в настоящей работе при анализе и синтезе моделей оперативного управления проектами мы будем следовать следующему общему принципу. Так как конечная цель всех разрабатываемых в рамках методики освоенного объема методов и механизмов оперативного управления заключается в повышении эффективности управления реальными проектами, то критерием необходимости изучения той или иной частной задачи управления является неизвестность на сегодняшний день возмож- ности сведения ее к уже исследованным, например, оптимизацион- ным и другим задачам, методы решения которых могут быть алго- ритмизированы, то есть использованы в методиках или прикладных
43
компьютерных программах, ориентированных на использование руководителями проектов. Такая практическая направленность четко выделяет необходимую степень детализации при исследова- нии тех или иных задач управления, возникающих при описании проекта показателями освоенного объема. Другими словами, в рамках используемого подхода частная задача синтеза определен- ного механизма управления может считаться решенной, если для нее сформулированы либо алгоритм решения, либо приведена ссылка на метод решения эквивалентной ей задачи, которые могут быть использованы в прикладных методиках и алгоритмах, причем создание последних, при наличии подробно изученных с теорети- ческой точки зрения методах решения, может рассматриваться как инженерная задача.
Первая задача идентификации (И1), которую можно также рас- сматривать как задачу прогнозирования значений фактических затрат, заключается в оценке будущей зависимости фактических затрат от времени на основании сравнения наблюдаемых значений фактических и плановых затрат.
Итак, имеются два временных ряда: c
0
(t) и c(t), t
≤ τ. Прогноз
c
(t’,
τ), t’ > τ, может быть получен двумя путями. Первый путь, не учитывающий специфику рассматриваемой задачи, заключается в использовании методов «технического» анализа (статистический анализ временных рядов [2, 51, 72, 99]) для оценки величины
c
(t’,
τ), t’ > τ, только на основании наблюдаемых реализаций c(t),
t
≤ τ. Второй путь – построение модели, отражающей связь между плановыми и фактическими затратами и, быть может, учитываю- щей информацию о результатах реализации аналогичных завер- шившихся проектов, и адаптивная идентификация этой модели на основании имеющих статистических данных. Иллюстрацией второ- го пути может служить введенное в примере 1 предположение
(модель) о постоянстве ресурсов, то есть затрат в единицу времени.
Тогда однократное наблюдение фактических значений ресурсов позволяет однозначно идентифицировать модель. Таким образом,
для прогнозирования будущих значений фактических затрат
c
(t’,
τ), t’ > τ, могут быть использованы (то есть, «зашиты» в соответствующую компьютерную программу без существенной адаптации) известные методы и алгоритмы прогнозирования и идентификации [2, 74, 97-99].
44
Аналогичным образом обстоит дело и со второй задачей иден- тификации (И2) - построения в момент времени
τ ≥ 0 адекватной модели проекта
G
(
⋅, τ) на основании истории наблюдений
{c(t), c
0
(t), x
0
(t), x(t),
xˆ
(t)}
t
∈[0; τ]
, для решения которой в теории адаптивного управления и идентификации существуют хорошо развитые методы решения [98, 99 и др.]. В рамках примера 1 иден- тификация проекта означала определение коэффициентов интен- сивности на основании однократного наблюдения (которое оказы- валось достаточным) параметров фактической реализации проекта.
При известном прогнозе фактических затрат и имеющейся мо- дели проекта решение задачи прогнозирования будущих значений показателей освоенного объема тривиально – оно заключается в подстановке прогноза
c
(t’,
τ) в модель
G
(
⋅, τ), то есть
x
(t’,
τ) =
G
(
c
(t’,
τ), τ), t’ > τ:
Несколько сложнее обстоит дело с задачей собственно управ- ления – поиска оптимальных управляющих воздействий на основа- нии результатов решения задач идентификации и прогнозирования.
Этот класс задач, как и задачи планирования, заслуживает отдель- ного исследования, проводимого в разделе 1.3 настоящей работы.
Таким образом, для решения задач идентификации и прогно- зирования в рамках методики освоенного объема на сегодняшний день существуют хорошо развитые методы адаптивного управле- ния, идентификации и прогнозирования. Другими словами, возни- кающие при использовании методики освоенного объема задачи идентификации и прогнозирования, естественно, обладают собст- венной спецификой, однако, специфичны они не настолько, чтобы к ним были неприменимы известные методы и алгоритмы решения.
45
1.3. Планирование и оперативное управление проектом
в условиях полной информированности
Сохраним введенное в начале раздела 1.2 предположение о том, что руководитель проекта – центр – в рамках своей информи- рованности обладает достоверной информацией.
Часть показателей освоенного объема, введенных в разделе 1.2,
может рассматриваться как управляющие параметры (ими могут,
например, быть плановые затраты, интенсивности и т.д.). Осталь- ные показатели являются при этом зависимыми, то есть при фикси- рованной модели проекта однозначно определяемыми значениями управляющих параметров (например, если плановые затраты ин- терпретируются как управляющий параметр, то при модели проек- та G
0
(
⋅) плановое значение объема является зависимым показате- лем: x
0
(t) = G
0
(c
0
(t)) и т.д.). В зависимости от рассматриваемой модели (то есть в зависимости от рассматриваемой задачи управле- ния) одни и те же показатели могут быть либо управляющими,
либо зависимыми.
Пусть известны ограничения на значения управляющих пара- метров и задан критерий эффективности управления
1
, зависящий как от управляющих, так и от зависимых параметров. Тогда на качественном уровне задачу управления можно сформулировать следующим образом: выбрать такие допустимые значения управ- ляющих параметров, которые доставляли бы экстремум критерию эффективности управления (в частном случае – максимизировали эффективность проекта).
Задача планирования, являющаяся частным случаем сформу- лированной выше задачи управления, решается до начала реализа- ции проекта и заключается в определении на основании всей имеющейся на данный момент информации оптимальных плановых значений управляющих параметров для t’
≥ 0.
Задача оперативного управления, также являющаяся частным случаем задачи управления, решается в ходе реализации проекта и заключается в определении на основании всей имеющейся на дан- ный момент информации оптимальных текущих и будущих значе-
1
Следует различать эффективность проекта, определяемую как отно-
шение объема к затратам (см. выше), и эффективность управления.
46
ний управляющих параметров, то есть оптимальных плановых значений управляющих параметров для t’
≥ τ.
Таким образом, задачи планирования и оперативного управле- ния являются частными случаями одной и той же задачи управле- ния, отличающимися лишь той информацией, которая имеется на момент принятия решений.
Поясним последнее утверждение более подробно. При реше- нии задачи планирования имеется информация об ограничениях на допустимые значения плановых показателей и модель проекта. При решении задачи оперативного управления имеется информация об ограничениях на допустимые значения показателей освоенного объема и модель проекта, скорректированные в соответствии с решениями соответствующих задач идентификации и прогнозиро- вания, описанными в разделе 1.2, и учитывающие историю реали- зации проекта.
Коль скоро установлена качественная эквивалентность задач планирования и оперативного управления, достаточно рассмотреть подробно одну из них, поэтому ниже в настоящем разделе мы по умолчанию будем подразумевать, что формулируемые и решаемые задачи могут интерпретироваться двояко. Более того, качественно основной результат настоящего раздела заключается в следующем:
при агрегированном представлении проекта, то есть рассмотрении проекта как единого целого в рамках модели, описанной в разделе
1.2, решение задач планирования и оперативного управления в условиях полной информированности заключается в сведении к известным оптимизационным задачам, методы и алгоритмы реше- ния которых хорошо известны.
Обоснуем это утверждение.
Важную часть показателей освоенного объема составляют плановые показатели: планируемая длительность проекта, плани- руемая динамика затрат, плановые значения величины освоенного объема. Поэтому рассмотрим возможные постановки задачи плани- рования.
В разделах 1.1-1.2 была введена следующая взаимосвязь между освоенным объемом и количеством ресурса (напомним, что коли-
47
чество ресурса – объем средств – затрат, которые вкладываются в единицу времени: u(t) = c’(t), c(t) =
∫
t
d
u
0
)
(
τ
τ
):
(1)
))
(
(
)
(
t
u
w
dt
t
dx
=
, x(t) =
∫
t
d
u
w
0
))
(
(
τ
τ
,
∫
T
d
u
w
0
))
(
(
τ
τ
= X
0
,
или в более общем случае:
(2)
)
),
(
),
(
(
)
(
t
t
u
t
x
w
dt
t
dx
=
, x(0) = 0, x(T) = X
0
.
Соотношения (1) или (2) определяют модель проекта, то есть в задаче планирования ими косвенно задается оператор G
0
(
⋅), а в задаче оперативного управления – оператор
G
(
⋅, τ), причем в последнем случае нулевой момент времени в (1) или (2) заменяется на момент времени
τ. Во избежании путаницы, а также для того,
чтобы приводимые результаты с минимальной адаптацией были применимы и к задаче планирования, и к задаче оперативного управления, будем рассматривать только задачу планирования,
помня, что переход к задаче оперативного управления в момент времени
τ осуществляется следующей формальной заменой:
u(t) = c’(t),
c(t) = с(
τ) +
∫
t
dy
y
u
τ
τ )
,
(
,
)
),
,
(
(
)
(
τ
τ
t
u
w
dt
t
dx
=
,
x(t) = x(
τ) +
∫
t
dy
y
u
w
τ
τ
τ
)
,
)
,
(
(
, t
≥ τ, x(τ) +
∫
T
dy
y
u
w
τ
τ
τ
)
),
,
(
(
= X
0
,
или в более общем случае:
)
,
),
,
(
),
(
(
)
(
τ
τ t
t
u
t
x
w
dt
t
dx
=
,
x(t=
τ) = x(τ), x(T) = X
0
, где
)
,
(
τ
⋅
w
- результат идентификации модели проекта в момент времени
τ,
u
(
⋅, τ) =
'
c
(
⋅, τ) – прогноз динамики финансовых ресурсов в момент времени
τ. Кроме того,
отметим, что в задаче планирования приведенные соотношения связывают плановые показатели, а в задаче оперативного управле- ния – фактические или прогнозные. Однако, так как мы установили эквивалентность формулировок этих задач, ниже будем опускать нижние и верхние индексы, соответствующие плановым или про- гнозным значениям.
48
Аналогичным образом учитывается и другая, поступившая до момента времени
τ информация
1
. Например, если стало известно,
что завершению проекта соответствует значение суммарного объе- ма X’, отличное от X
0
, то учет этой информации приведет к замене в приведенных выше для задачи оперативного управления соотно- шениях старой величины суммарного объема на новую.
Предположим, что ограничения на ресурсы и интенсивности заданы в следующем виде:
(3) c(t)
∈ Ξ,
(4) u(t)
∈ U,
(5) w(
⋅) ∈ W,
где
Ξ, U и W – классы возможных значений соответственно затрат,
ресурсов и интенсивностей.
Возможны следующие постановки
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1.2. Общая постановка задачи оперативного управления
проектом
Предположим, что в рамках имеющейся информированности руководителя проекта – центра – он обладает достоверной инфор- мацией обо всех существенных параметрах, то есть условно можно считать, что функционирование системы происходит в условиях полной информированности [15, 17, 19, 22, 78]. Исследуем в рамках этого предположения избыточность приведенной в разделе 1.1
системы показателей освоенного объема.
Даже краткое рассмотрение частных случаев (см. пример 1)
свидетельствует, что набор показателей освоенного объема (основ- ных и производных) является избыточным как с содержательной (в рамках рассматриваемой модели не всегда ясны содержательные трактовки различий между фактическими и освоенными затратами,
а также между фактическим и освоенным объемом), так и с фор- мальной (некоторые производные показатели являются комбинаци-
38
ей других основных или производных показателей и т.д.) точек зрения. Поэтому введем следующий минимальный
1
набор показа- телей освоенного объема (см. рисунок 9), которые используются ниже в настоящей работе.
Основные показатели освоенного объема:
C
0
– планируемые суммарные затраты на проект (TB);
T
0
– планируемый срок завершения проекта;
X
0
– суммарный объем работ по проекту;
c
0
(t) – планируемая динамика затрат (BCWS);
c(t) – фактическая динамика затрат (ACWP);
x
0
(t) – планируемая динамика объемов работ (BQWS);
x(t) – освоенный объем (BQWP);
T – фактический срок окончания проекта;
C – фактические суммарные затраты на проект (EAC – Estimate
At Complete).
Производные показатели освоенного объема:
∆с(t) = c
0
(t) - c(t) - разность между плановыми и фактическими затратами;
∆x(t) = x
0
(t) - x(t) - разность между плановым и освоенным объ- емом
2
;
α(t) = x(t) / x
0
(t) – показатель освоенного объема, характеризует выполнение плана по объему;
β(t) = c(t) / c
0
(t) – показатель динамики затрат, характеризует соответствие поступления средств директивному графику;
γ(t) = x(t) / c(t) – эффективность использования средств
3
;
τ
с
(t) = t -
1 0
−
c
(c(t)) – текущая задержка по затратам;
τ
x
(t) = t -
1 0
−
x
(x(t)) – текущая задержка по объему;
e
0
= X
0
/ C
0
– плановая эффективность проекта в целом;
e
0
(t) = x
0
(t) / c
0
(t) =
β(t) γ(t) / α(t) – плановая эффективность ис- пользования средств;
1
Условно можно считать, что освоенные затраты могут быть рассчи-
таны по освоенному объему (см. подробности ниже).
2
По четырем независимым переменным с учетом размерности можно
определить две независимых их разности.
3
По четырем независимым переменным можно определить три их
независимых отношения.
39
e = X / C – фактическая эффективность проекта в целом.
Помимо перечисленных показателей освоенного объема мо- дель проекта должна включать в себя оператор G(
⋅), связывающий объем с затратами и отражающий «технологию» использования ресурсов.
τ
x
(t)
T
0
x(t)/X
0
– освоенный объем
x
0
(t)/X
0
– план по объему
100%
c(t)/C
0
– фактические затраты
t
c
0
(t)/C
0
– планируемые затраты
T
t
τ
c
(t)
C / C
0
Рис. 9. Пример динамики основных показателей освоенного объема
Докажем, что введенная система показателей освоенного объ- ема включает в себя используемую зарубежными авторами систему показателей (см. ее описание во введении) как частный случай.
Пусть x = kc, где k – коэффициент интенсивности (в примере 1
использовалось уравнение dx/dt = ku, где u = dc/dt). Получаем, что:
SPI =
α(t); CPI = γ(t) / k;
EAC = c(t) + (C
0
– c
e
(t)) / CPI = c(t) + (X
0
– x(t)) /
γ(t),
то есть в случае линейной связи между объемом и ресурсами соот- ветствие полное (с точностью до линейного преобразования).
В рамках рассматриваемой модели задача управления проек- том включает в себя задачу планирования, решаемую до начала реализации проекта, и задачу оперативного управления - выработки оперативных управляющих воздействий в ходе реализации проекта.
Задача планирования заключается в определении объема проекта
X
0
, плановых значений затрат с
0
(t), объема x
0
(t) и продолжительно-
40
сти проекта T
0
при известной «модели проекта» G
0
(
⋅); при этом
C
0
= c
0
(T
0
), x
0
(T
0
) = X
0
. Задача планирования рассматривается в разделе 1.3 настоящей работы, поэтому перейдем к рассмотрению
общей постановки задачи оперативного управления проектом,
которая включает задачи идентификации, прогнозирования и соб- ственно управления.
На рисунке 10 изображена структура системы оперативного управления проектом в рамках модели освоенного объема. Прямо- угольниками отражены реальный проект и его модель. Входом модели проекта является плановая зависимость затрат от времени
c
0
(t), выходом – плановая зависимость объема от времени x
0
(t).
Входом реального проекта является фактическая зависимость затрат от времени c(t), выходом – величина освоенного объема x(t).
Как отмечалось выше, несовпадение: x(t)
≠ x
0
(t) может быть вызва- но следующими причинами: внешней – c(t)
≠ c
0
(t) и/или внутрен- ней – G(
⋅) ≠ G
0
(
⋅).
Следовательно, первой задачей идентификации (обозначенной
«И1» на рисунке 10), которую можно также рассматривать и как задачу прогнозирования, является задача оценки зависимости фактических затрат от времени на основании сравнения наблюдае- мых значений фактических и плановых затрат.
Если представить, что на вход модели проекта подаются не плановые, а фактические затраты, то, зная оператор G
0
(
⋅), можно определить следующую зависимость от времени:
xˆ
(t) = G
0
(c(t)),
сравнение которой с плановой зависимостью x
0
(t) может служить исходными данными для решения второй задачи идентификации
(обозначенной «И2» на рисунке 10) – задачи идентификации собст- венно модели проекта, то есть «уточнения»
G
(
⋅, τ) (см. двойную линию на рисунке 10),
G
(
⋅, 0) = G
0
, соответствующего оператора
(индекс “
τ” в операторе
G
присутствует для того, чтобы подчерк- нуть зависимость от времени
τ, то есть в зависимости от продолжи- тельности имеющейся истории наблюдений за время [0;
τ] модель может изменяться).
41
c
(t’)
x
(t’)
xˆ
(t)
c
0
(t)
x
0
(t)
c(t)
)
,
(
τ
⋅
G
G
0
(
⋅)
G
0
(
⋅)
G
0
(
⋅)
МОДЕЛЬ ПРОЕКТА
Рис. 10. Структура системы
оперативного управления проектом
РЕАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ
УПРАВЛЕНИЕ
И1
И2
x(t)
ПРОГНОЗ
Итак, возникают следующие задачи идентификации:
И1. В момент времени
τ ≥ 0 на основании истории наблюдений
{c(t), c
0
(t)}
t
∈[0; τ]
определить «прогноз» затрат
c
(t’,
τ) для t’ > τ.
И2. В момент времени
τ ≥ 0 на основании истории наблюдений
{c(t), c
0
(t), x
0
(t), x(t),
xˆ
(t)}
t
∈[0; τ]
идентифицировать проект, то есть построит адекватную ему модель
G
(
⋅, τ).
Решив обе задачи идентификации, то есть имея в своем распо- ряжении зависимости
c
(t,
τ) и
G
(
⋅, τ), можно в момент времени
τ ≥ 0 решить задачу прогнозирования, то есть сделать прогноз значения освоенного объема
x
(t’,
τ) для моментов времени t’ > τ :
x
(t’,
τ) =
G
(
c
(t’,
τ), τ).
Необходимо принимать во внимание, что для решения задач идентификации и прогнозирования могут использоваться не только
42
данные о ходе реализации рассматриваемого проекта, но и инфор- мация о реализации других аналогичных проектов.
Сделав маленькое отступление, отметим, что в рамках рас- сматриваемого подхода легко показать, что введенная в настоящем разделе система показателей освоенного объема является мини- мально необходимой для полного описания проекта в рамках мето- дики освоенного объема. Для этого достаточно доказать, что пока- затели фактического объема и освоенных затрат (присутствующие в «расширенном» списке показателей освоенного объема, приве- денном во введении и в разделе 1.1) не являются независимыми и могут быть выражены, через фактические и плановые затраты, а также освоенный и плановый объем. Действительно, фактический объем может интерпретироваться как объем, который был бы освоен, если бы присутствовала только внешняя причина, а внут- ренняя причина отсутствовала, то есть фактический объем есть ни что иное, как
xˆ
(t) = G
0
(c(t)). Освоенные затраты c
e
(t) соответству- ют тем затратам, которые понадобились бы для того, чтобы показа- тель освоенного объема для реального проекта равнялся заданной величине x(t), то есть
G
(с
e
(t)) = x(t).
Решив задачи идентификации и прогнозирования, то есть имея в момент времени
τ в своем распоряжении прогнозы
c
(t’,
τ) и
x
(t’,
τ), для t’ > τ, и зная директивные (плановые) графики затрат и объема, можно решать задачи оперативного управления проек-
том – выработки таких управляющих воздействий, которые кор- ректировали бы ход реализации проекта в нужную (с точки зрения руководителя проекта – см. более подробно ниже) сторону.
Рассмотрим более подробно задачи идентификации, прогноза и оперативного управления. Отметим, что в настоящей работе при анализе и синтезе моделей оперативного управления проектами мы будем следовать следующему общему принципу. Так как конечная цель всех разрабатываемых в рамках методики освоенного объема методов и механизмов оперативного управления заключается в повышении эффективности управления реальными проектами, то критерием необходимости изучения той или иной частной задачи управления является неизвестность на сегодняшний день возмож- ности сведения ее к уже исследованным, например, оптимизацион- ным и другим задачам, методы решения которых могут быть алго- ритмизированы, то есть использованы в методиках или прикладных
43
компьютерных программах, ориентированных на использование руководителями проектов. Такая практическая направленность четко выделяет необходимую степень детализации при исследова- нии тех или иных задач управления, возникающих при описании проекта показателями освоенного объема. Другими словами, в рамках используемого подхода частная задача синтеза определен- ного механизма управления может считаться решенной, если для нее сформулированы либо алгоритм решения, либо приведена ссылка на метод решения эквивалентной ей задачи, которые могут быть использованы в прикладных методиках и алгоритмах, причем создание последних, при наличии подробно изученных с теорети- ческой точки зрения методах решения, может рассматриваться как инженерная задача.
Первая задача идентификации (И1), которую можно также рас- сматривать как задачу прогнозирования значений фактических затрат, заключается в оценке будущей зависимости фактических затрат от времени на основании сравнения наблюдаемых значений фактических и плановых затрат.
Итак, имеются два временных ряда: c
0
(t) и c(t), t
≤ τ. Прогноз
c
(t’,
τ), t’ > τ, может быть получен двумя путями. Первый путь, не учитывающий специфику рассматриваемой задачи, заключается в использовании методов «технического» анализа (статистический анализ временных рядов [2, 51, 72, 99]) для оценки величины
c
(t’,
τ), t’ > τ, только на основании наблюдаемых реализаций c(t),
t
≤ τ. Второй путь – построение модели, отражающей связь между плановыми и фактическими затратами и, быть может, учитываю- щей информацию о результатах реализации аналогичных завер- шившихся проектов, и адаптивная идентификация этой модели на основании имеющих статистических данных. Иллюстрацией второ- го пути может служить введенное в примере 1 предположение
(модель) о постоянстве ресурсов, то есть затрат в единицу времени.
Тогда однократное наблюдение фактических значений ресурсов позволяет однозначно идентифицировать модель. Таким образом,
для прогнозирования будущих значений фактических затрат
c
(t’,
τ), t’ > τ, могут быть использованы (то есть, «зашиты» в соответствующую компьютерную программу без существенной адаптации) известные методы и алгоритмы прогнозирования и идентификации [2, 74, 97-99].
44
Аналогичным образом обстоит дело и со второй задачей иден- тификации (И2) - построения в момент времени
τ ≥ 0 адекватной модели проекта
G
(
⋅, τ) на основании истории наблюдений
{c(t), c
0
(t), x
0
(t), x(t),
xˆ
(t)}
t
∈[0; τ]
, для решения которой в теории адаптивного управления и идентификации существуют хорошо развитые методы решения [98, 99 и др.]. В рамках примера 1 иден- тификация проекта означала определение коэффициентов интен- сивности на основании однократного наблюдения (которое оказы- валось достаточным) параметров фактической реализации проекта.
При известном прогнозе фактических затрат и имеющейся мо- дели проекта решение задачи прогнозирования будущих значений показателей освоенного объема тривиально – оно заключается в подстановке прогноза
c
(t’,
τ) в модель
G
(
⋅, τ), то есть
x
(t’,
τ) =
G
(
c
(t’,
τ), τ), t’ > τ:
Несколько сложнее обстоит дело с задачей собственно управ- ления – поиска оптимальных управляющих воздействий на основа- нии результатов решения задач идентификации и прогнозирования.
Этот класс задач, как и задачи планирования, заслуживает отдель- ного исследования, проводимого в разделе 1.3 настоящей работы.
Таким образом, для решения задач идентификации и прогно- зирования в рамках методики освоенного объема на сегодняшний день существуют хорошо развитые методы адаптивного управле- ния, идентификации и прогнозирования. Другими словами, возни- кающие при использовании методики освоенного объема задачи идентификации и прогнозирования, естественно, обладают собст- венной спецификой, однако, специфичны они не настолько, чтобы к ним были неприменимы известные методы и алгоритмы решения.
45
1.3. Планирование и оперативное управление проектом
в условиях полной информированности
Сохраним введенное в начале раздела 1.2 предположение о том, что руководитель проекта – центр – в рамках своей информи- рованности обладает достоверной информацией.
Часть показателей освоенного объема, введенных в разделе 1.2,
может рассматриваться как управляющие параметры (ими могут,
например, быть плановые затраты, интенсивности и т.д.). Осталь- ные показатели являются при этом зависимыми, то есть при фикси- рованной модели проекта однозначно определяемыми значениями управляющих параметров (например, если плановые затраты ин- терпретируются как управляющий параметр, то при модели проек- та G
0
(
⋅) плановое значение объема является зависимым показате- лем: x
0
(t) = G
0
(c
0
(t)) и т.д.). В зависимости от рассматриваемой модели (то есть в зависимости от рассматриваемой задачи управле- ния) одни и те же показатели могут быть либо управляющими,
либо зависимыми.
Пусть известны ограничения на значения управляющих пара- метров и задан критерий эффективности управления
1
, зависящий как от управляющих, так и от зависимых параметров. Тогда на качественном уровне задачу управления можно сформулировать следующим образом: выбрать такие допустимые значения управ- ляющих параметров, которые доставляли бы экстремум критерию эффективности управления (в частном случае – максимизировали эффективность проекта).
Задача планирования, являющаяся частным случаем сформу- лированной выше задачи управления, решается до начала реализа- ции проекта и заключается в определении на основании всей имеющейся на данный момент информации оптимальных плановых значений управляющих параметров для t’
≥ 0.
Задача оперативного управления, также являющаяся частным случаем задачи управления, решается в ходе реализации проекта и заключается в определении на основании всей имеющейся на дан- ный момент информации оптимальных текущих и будущих значе-
1
Следует различать эффективность проекта, определяемую как отно-
шение объема к затратам (см. выше), и эффективность управления.
46
ний управляющих параметров, то есть оптимальных плановых значений управляющих параметров для t’
≥ τ.
Таким образом, задачи планирования и оперативного управле- ния являются частными случаями одной и той же задачи управле- ния, отличающимися лишь той информацией, которая имеется на момент принятия решений.
Поясним последнее утверждение более подробно. При реше- нии задачи планирования имеется информация об ограничениях на допустимые значения плановых показателей и модель проекта. При решении задачи оперативного управления имеется информация об ограничениях на допустимые значения показателей освоенного объема и модель проекта, скорректированные в соответствии с решениями соответствующих задач идентификации и прогнозиро- вания, описанными в разделе 1.2, и учитывающие историю реали- зации проекта.
Коль скоро установлена качественная эквивалентность задач планирования и оперативного управления, достаточно рассмотреть подробно одну из них, поэтому ниже в настоящем разделе мы по умолчанию будем подразумевать, что формулируемые и решаемые задачи могут интерпретироваться двояко. Более того, качественно основной результат настоящего раздела заключается в следующем:
при агрегированном представлении проекта, то есть рассмотрении проекта как единого целого в рамках модели, описанной в разделе
1.2, решение задач планирования и оперативного управления в условиях полной информированности заключается в сведении к известным оптимизационным задачам, методы и алгоритмы реше- ния которых хорошо известны.
Обоснуем это утверждение.
Важную часть показателей освоенного объема составляют плановые показатели: планируемая длительность проекта, плани- руемая динамика затрат, плановые значения величины освоенного объема. Поэтому рассмотрим возможные постановки задачи плани- рования.
В разделах 1.1-1.2 была введена следующая взаимосвязь между освоенным объемом и количеством ресурса (напомним, что коли-
47
чество ресурса – объем средств – затрат, которые вкладываются в единицу времени: u(t) = c’(t), c(t) =
∫
t
d
u
0
)
(
τ
τ
):
(1)
))
(
(
)
(
t
u
w
dt
t
dx
=
, x(t) =
∫
t
d
u
w
0
))
(
(
τ
τ
,
∫
T
d
u
w
0
))
(
(
τ
τ
= X
0
,
или в более общем случае:
(2)
)
),
(
),
(
(
)
(
t
t
u
t
x
w
dt
t
dx
=
, x(0) = 0, x(T) = X
0
.
Соотношения (1) или (2) определяют модель проекта, то есть в задаче планирования ими косвенно задается оператор G
0
(
⋅), а в задаче оперативного управления – оператор
G
(
⋅, τ), причем в последнем случае нулевой момент времени в (1) или (2) заменяется на момент времени
τ. Во избежании путаницы, а также для того,
чтобы приводимые результаты с минимальной адаптацией были применимы и к задаче планирования, и к задаче оперативного управления, будем рассматривать только задачу планирования,
помня, что переход к задаче оперативного управления в момент времени
τ осуществляется следующей формальной заменой:
u(t) = c’(t),
c(t) = с(
τ) +
∫
t
dy
y
u
τ
τ )
,
(
,
)
),
,
(
(
)
(
τ
τ
t
u
w
dt
t
dx
=
,
x(t) = x(
τ) +
∫
t
dy
y
u
w
τ
τ
τ
)
,
)
,
(
(
, t
≥ τ, x(τ) +
∫
T
dy
y
u
w
τ
τ
τ
)
),
,
(
(
= X
0
,
или в более общем случае:
)
,
),
,
(
),
(
(
)
(
τ
τ t
t
u
t
x
w
dt
t
dx
=
,
x(t=
τ) = x(τ), x(T) = X
0
, где
)
,
(
τ
⋅
w
- результат идентификации модели проекта в момент времени
τ,
u
(
⋅, τ) =
'
c
(
⋅, τ) – прогноз динамики финансовых ресурсов в момент времени
τ. Кроме того,
отметим, что в задаче планирования приведенные соотношения связывают плановые показатели, а в задаче оперативного управле- ния – фактические или прогнозные. Однако, так как мы установили эквивалентность формулировок этих задач, ниже будем опускать нижние и верхние индексы, соответствующие плановым или про- гнозным значениям.
48
Аналогичным образом учитывается и другая, поступившая до момента времени
τ информация
1
. Например, если стало известно,
что завершению проекта соответствует значение суммарного объе- ма X’, отличное от X
0
, то учет этой информации приведет к замене в приведенных выше для задачи оперативного управления соотно- шениях старой величины суммарного объема на новую.
Предположим, что ограничения на ресурсы и интенсивности заданы в следующем виде:
(3) c(t)
∈ Ξ,
(4) u(t)
∈ U,
(5) w(
⋅) ∈ W,
где
Ξ, U и W – классы возможных значений соответственно затрат,
ресурсов и интенсивностей.
Возможны следующие постановки
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1.2. Общая постановка задачи оперативного управления
проектом
Предположим, что в рамках имеющейся информированности руководителя проекта – центра – он обладает достоверной инфор- мацией обо всех существенных параметрах, то есть условно можно считать, что функционирование системы происходит в условиях полной информированности [15, 17, 19, 22, 78]. Исследуем в рамках этого предположения избыточность приведенной в разделе 1.1
системы показателей освоенного объема.
Даже краткое рассмотрение частных случаев (см. пример 1)
свидетельствует, что набор показателей освоенного объема (основ- ных и производных) является избыточным как с содержательной (в рамках рассматриваемой модели не всегда ясны содержательные трактовки различий между фактическими и освоенными затратами,
а также между фактическим и освоенным объемом), так и с фор- мальной (некоторые производные показатели являются комбинаци-
38
ей других основных или производных показателей и т.д.) точек зрения. Поэтому введем следующий минимальный
1
набор показа- телей освоенного объема (см. рисунок 9), которые используются ниже в настоящей работе.
Основные показатели освоенного объема:
C
0
– планируемые суммарные затраты на проект (TB);
T
0
– планируемый срок завершения проекта;
X
0
– суммарный объем работ по проекту;
c
0
(t) – планируемая динамика затрат (BCWS);
c(t) – фактическая динамика затрат (ACWP);
x
0
(t) – планируемая динамика объемов работ (BQWS);
x(t) – освоенный объем (BQWP);
T – фактический срок окончания проекта;
C – фактические суммарные затраты на проект (EAC – Estimate
At Complete).
Производные показатели освоенного объема:
∆с(t) = c
0
(t) - c(t) - разность между плановыми и фактическими затратами;
∆x(t) = x
0
(t) - x(t) - разность между плановым и освоенным объ- емом
2
;
α(t) = x(t) / x
0
(t) – показатель освоенного объема, характеризует выполнение плана по объему;
β(t) = c(t) / c
0
(t) – показатель динамики затрат, характеризует соответствие поступления средств директивному графику;
γ(t) = x(t) / c(t) – эффективность использования средств
3
;
τ
с
(t) = t -
1 0
−
c
(c(t)) – текущая задержка по затратам;
τ
x
(t) = t -
1 0
−
x
(x(t)) – текущая задержка по объему;
e
0
= X
0
/ C
0
– плановая эффективность проекта в целом;
e
0
(t) = x
0
(t) / c
0
(t) =
β(t) γ(t) / α(t) – плановая эффективность ис- пользования средств;
1
Условно можно считать, что освоенные затраты могут быть рассчи-
таны по освоенному объему (см. подробности ниже).
2
По четырем независимым переменным с учетом размерности можно
определить две независимых их разности.
3
По четырем независимым переменным можно определить три их
независимых отношения.
39
e = X / C – фактическая эффективность проекта в целом.
Помимо перечисленных показателей освоенного объема мо- дель проекта должна включать в себя оператор G(
⋅), связывающий объем с затратами и отражающий «технологию» использования ресурсов.
τ
x
(t)
T
0
x(t)/X
0
– освоенный объем
x
0
(t)/X
0
– план по объему
100%
c(t)/C
0
– фактические затраты
t
c
0
(t)/C
0
– планируемые затраты
T
t
τ
c
(t)
C / C
0
Рис. 9. Пример динамики основных показателей освоенного объема
Докажем, что введенная система показателей освоенного объ- ема включает в себя используемую зарубежными авторами систему показателей (см. ее описание во введении) как частный случай.
Пусть x = kc, где k – коэффициент интенсивности (в примере 1
использовалось уравнение dx/dt = ku, где u = dc/dt). Получаем, что:
SPI =
α(t); CPI = γ(t) / k;
EAC = c(t) + (C
0
– c
e
(t)) / CPI = c(t) + (X
0
– x(t)) /
γ(t),
то есть в случае линейной связи между объемом и ресурсами соот- ветствие полное (с точностью до линейного преобразования).
В рамках рассматриваемой модели задача управления проек- том включает в себя задачу планирования, решаемую до начала реализации проекта, и задачу оперативного управления - выработки оперативных управляющих воздействий в ходе реализации проекта.
Задача планирования заключается в определении объема проекта
X
0
, плановых значений затрат с
0
(t), объема x
0
(t) и продолжительно-
40
сти проекта T
0
при известной «модели проекта» G
0
(
⋅); при этом
C
0
= c
0
(T
0
), x
0
(T
0
) = X
0
. Задача планирования рассматривается в разделе 1.3 настоящей работы, поэтому перейдем к рассмотрению
общей постановки задачи оперативного управления проектом,
которая включает задачи идентификации, прогнозирования и соб- ственно управления.
На рисунке 10 изображена структура системы оперативного управления проектом в рамках модели освоенного объема. Прямо- угольниками отражены реальный проект и его модель. Входом модели проекта является плановая зависимость затрат от времени
c
0
(t), выходом – плановая зависимость объема от времени x
0
(t).
Входом реального проекта является фактическая зависимость затрат от времени c(t), выходом – величина освоенного объема x(t).
Как отмечалось выше, несовпадение: x(t)
≠ x
0
(t) может быть вызва- но следующими причинами: внешней – c(t)
≠ c
0
(t) и/или внутрен- ней – G(
⋅) ≠ G
0
(
⋅).
Следовательно, первой задачей идентификации (обозначенной
«И1» на рисунке 10), которую можно также рассматривать и как задачу прогнозирования, является задача оценки зависимости фактических затрат от времени на основании сравнения наблюдае- мых значений фактических и плановых затрат.
Если представить, что на вход модели проекта подаются не плановые, а фактические затраты, то, зная оператор G
0
(
⋅), можно определить следующую зависимость от времени:
xˆ
(t) = G
0
(c(t)),
сравнение которой с плановой зависимостью x
0
(t) может служить исходными данными для решения второй задачи идентификации
(обозначенной «И2» на рисунке 10) – задачи идентификации собст- венно модели проекта, то есть «уточнения»
G
(
⋅, τ) (см. двойную линию на рисунке 10),
G
(
⋅, 0) = G
0
, соответствующего оператора
(индекс “
τ” в операторе
G
присутствует для того, чтобы подчерк- нуть зависимость от времени
τ, то есть в зависимости от продолжи- тельности имеющейся истории наблюдений за время [0;
τ] модель может изменяться).
41
c
(t’)
x
(t’)
xˆ
(t)
c
0
(t)
x
0
(t)
c(t)
)
,
(
τ
⋅
G
G
0
(
⋅)
G
0
(
⋅)
G
0
(
⋅)
МОДЕЛЬ ПРОЕКТА
Рис. 10. Структура системы
оперативного управления проектом
РЕАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ
УПРАВЛЕНИЕ
И1
И2
x(t)
ПРОГНОЗ
Итак, возникают следующие задачи идентификации:
И1. В момент времени
τ ≥ 0 на основании истории наблюдений
{c(t), c
0
(t)}
t
∈[0; τ]
определить «прогноз» затрат
c
(t’,
τ) для t’ > τ.
И2. В момент времени
τ ≥ 0 на основании истории наблюдений
{c(t), c
0
(t), x
0
(t), x(t),
xˆ
(t)}
t
∈[0; τ]
идентифицировать проект, то есть построит адекватную ему модель
G
(
⋅, τ).
Решив обе задачи идентификации, то есть имея в своем распо- ряжении зависимости
c
(t,
τ) и
G
(
⋅, τ), можно в момент времени
τ ≥ 0 решить задачу прогнозирования, то есть сделать прогноз значения освоенного объема
x
(t’,
τ) для моментов времени t’ > τ :
x
(t’,
τ) =
G
(
c
(t’,
τ), τ).
Необходимо принимать во внимание, что для решения задач идентификации и прогнозирования могут использоваться не только
42
данные о ходе реализации рассматриваемого проекта, но и инфор- мация о реализации других аналогичных проектов.
Сделав маленькое отступление, отметим, что в рамках рас- сматриваемого подхода легко показать, что введенная в настоящем разделе система показателей освоенного объема является мини- мально необходимой для полного описания проекта в рамках мето- дики освоенного объема. Для этого достаточно доказать, что пока- затели фактического объема и освоенных затрат (присутствующие в «расширенном» списке показателей освоенного объема, приве- денном во введении и в разделе 1.1) не являются независимыми и могут быть выражены, через фактические и плановые затраты, а также освоенный и плановый объем. Действительно, фактический объем может интерпретироваться как объем, который был бы освоен, если бы присутствовала только внешняя причина, а внут- ренняя причина отсутствовала, то есть фактический объем есть ни что иное, как
xˆ
(t) = G
0
(c(t)). Освоенные затраты c
e
(t) соответству- ют тем затратам, которые понадобились бы для того, чтобы показа- тель освоенного объема для реального проекта равнялся заданной величине x(t), то есть
G
(с
e
(t)) = x(t).
Решив задачи идентификации и прогнозирования, то есть имея в момент времени
τ в своем распоряжении прогнозы
c
(t’,
τ) и
x
(t’,
τ), для t’ > τ, и зная директивные (плановые) графики затрат и объема, можно решать задачи оперативного управления проек-
том – выработки таких управляющих воздействий, которые кор- ректировали бы ход реализации проекта в нужную (с точки зрения руководителя проекта – см. более подробно ниже) сторону.
Рассмотрим более подробно задачи идентификации, прогноза и оперативного управления. Отметим, что в настоящей работе при анализе и синтезе моделей оперативного управления проектами мы будем следовать следующему общему принципу. Так как конечная цель всех разрабатываемых в рамках методики освоенного объема методов и механизмов оперативного управления заключается в повышении эффективности управления реальными проектами, то критерием необходимости изучения той или иной частной задачи управления является неизвестность на сегодняшний день возмож- ности сведения ее к уже исследованным, например, оптимизацион- ным и другим задачам, методы решения которых могут быть алго- ритмизированы, то есть использованы в методиках или прикладных
43
компьютерных программах, ориентированных на использование руководителями проектов. Такая практическая направленность четко выделяет необходимую степень детализации при исследова- нии тех или иных задач управления, возникающих при описании проекта показателями освоенного объема. Другими словами, в рамках используемого подхода частная задача синтеза определен- ного механизма управления может считаться решенной, если для нее сформулированы либо алгоритм решения, либо приведена ссылка на метод решения эквивалентной ей задачи, которые могут быть использованы в прикладных методиках и алгоритмах, причем создание последних, при наличии подробно изученных с теорети- ческой точки зрения методах решения, может рассматриваться как инженерная задача.
Первая задача идентификации (И1), которую можно также рас- сматривать как задачу прогнозирования значений фактических затрат, заключается в оценке будущей зависимости фактических затрат от времени на основании сравнения наблюдаемых значений фактических и плановых затрат.
Итак, имеются два временных ряда: c
0
(t) и c(t), t
≤ τ. Прогноз
c
(t’,
τ), t’ > τ, может быть получен двумя путями. Первый путь, не учитывающий специфику рассматриваемой задачи, заключается в использовании методов «технического» анализа (статистический анализ временных рядов [2, 51, 72, 99]) для оценки величины
c
(t’,
τ), t’ > τ, только на основании наблюдаемых реализаций c(t),
t
≤ τ. Второй путь – построение модели, отражающей связь между плановыми и фактическими затратами и, быть может, учитываю- щей информацию о результатах реализации аналогичных завер- шившихся проектов, и адаптивная идентификация этой модели на основании имеющих статистических данных. Иллюстрацией второ- го пути может служить введенное в примере 1 предположение
(модель) о постоянстве ресурсов, то есть затрат в единицу времени.
Тогда однократное наблюдение фактических значений ресурсов позволяет однозначно идентифицировать модель. Таким образом,
для прогнозирования будущих значений фактических затрат
c
(t’,
τ), t’ > τ, могут быть использованы (то есть, «зашиты» в соответствующую компьютерную программу без существенной адаптации) известные методы и алгоритмы прогнозирования и идентификации [2, 74, 97-99].
44
Аналогичным образом обстоит дело и со второй задачей иден- тификации (И2) - построения в момент времени
τ ≥ 0 адекватной модели проекта
G
(
⋅, τ) на основании истории наблюдений
{c(t), c
0
(t), x
0
(t), x(t),
xˆ
(t)}
t
∈[0; τ]
, для решения которой в теории адаптивного управления и идентификации существуют хорошо развитые методы решения [98, 99 и др.]. В рамках примера 1 иден- тификация проекта означала определение коэффициентов интен- сивности на основании однократного наблюдения (которое оказы- валось достаточным) параметров фактической реализации проекта.
При известном прогнозе фактических затрат и имеющейся мо- дели проекта решение задачи прогнозирования будущих значений показателей освоенного объема тривиально – оно заключается в подстановке прогноза
c
(t’,
τ) в модель
G
(
⋅, τ), то есть
x
(t’,
τ) =
G
(
c
(t’,
τ), τ), t’ > τ:
Несколько сложнее обстоит дело с задачей собственно управ- ления – поиска оптимальных управляющих воздействий на основа- нии результатов решения задач идентификации и прогнозирования.
Этот класс задач, как и задачи планирования, заслуживает отдель- ного исследования, проводимого в разделе 1.3 настоящей работы.
Таким образом, для решения задач идентификации и прогно- зирования в рамках методики освоенного объема на сегодняшний день существуют хорошо развитые методы адаптивного управле- ния, идентификации и прогнозирования. Другими словами, возни- кающие при использовании методики освоенного объема задачи идентификации и прогнозирования, естественно, обладают собст- венной спецификой, однако, специфичны они не настолько, чтобы к ним были неприменимы известные методы и алгоритмы решения.
45
1.3. Планирование и оперативное управление проектом
в условиях полной информированности
Сохраним введенное в начале раздела 1.2 предположение о том, что руководитель проекта – центр – в рамках своей информи- рованности обладает достоверной информацией.
Часть показателей освоенного объема, введенных в разделе 1.2,
может рассматриваться как управляющие параметры (ими могут,
например, быть плановые затраты, интенсивности и т.д.). Осталь- ные показатели являются при этом зависимыми, то есть при фикси- рованной модели проекта однозначно определяемыми значениями управляющих параметров (например, если плановые затраты ин- терпретируются как управляющий параметр, то при модели проек- та G
0
(
⋅) плановое значение объема является зависимым показате- лем: x
0
(t) = G
0
(c
0
(t)) и т.д.). В зависимости от рассматриваемой модели (то есть в зависимости от рассматриваемой задачи управле- ния) одни и те же показатели могут быть либо управляющими,
либо зависимыми.
Пусть известны ограничения на значения управляющих пара- метров и задан критерий эффективности управления
1
, зависящий как от управляющих, так и от зависимых параметров. Тогда на качественном уровне задачу управления можно сформулировать следующим образом: выбрать такие допустимые значения управ- ляющих параметров, которые доставляли бы экстремум критерию эффективности управления (в частном случае – максимизировали эффективность проекта).
Задача планирования, являющаяся частным случаем сформу- лированной выше задачи управления, решается до начала реализа- ции проекта и заключается в определении на основании всей имеющейся на данный момент информации оптимальных плановых значений управляющих параметров для t’
≥ 0.
Задача оперативного управления, также являющаяся частным случаем задачи управления, решается в ходе реализации проекта и заключается в определении на основании всей имеющейся на дан- ный момент информации оптимальных текущих и будущих значе-
1
Следует различать эффективность проекта, определяемую как отно-
шение объема к затратам (см. выше), и эффективность управления.
46
ний управляющих параметров, то есть оптимальных плановых значений управляющих параметров для t’
≥ τ.
Таким образом, задачи планирования и оперативного управле- ния являются частными случаями одной и той же задачи управле- ния, отличающимися лишь той информацией, которая имеется на момент принятия решений.
Поясним последнее утверждение более подробно. При реше- нии задачи планирования имеется информация об ограничениях на допустимые значения плановых показателей и модель проекта. При решении задачи оперативного управления имеется информация об ограничениях на допустимые значения показателей освоенного объема и модель проекта, скорректированные в соответствии с решениями соответствующих задач идентификации и прогнозиро- вания, описанными в разделе 1.2, и учитывающие историю реали- зации проекта.
Коль скоро установлена качественная эквивалентность задач планирования и оперативного управления, достаточно рассмотреть подробно одну из них, поэтому ниже в настоящем разделе мы по умолчанию будем подразумевать, что формулируемые и решаемые задачи могут интерпретироваться двояко. Более того, качественно основной результат настоящего раздела заключается в следующем:
при агрегированном представлении проекта, то есть рассмотрении проекта как единого целого в рамках модели, описанной в разделе
1.2, решение задач планирования и оперативного управления в условиях полной информированности заключается в сведении к известным оптимизационным задачам, методы и алгоритмы реше- ния которых хорошо известны.
Обоснуем это утверждение.
Важную часть показателей освоенного объема составляют плановые показатели: планируемая длительность проекта, плани- руемая динамика затрат, плановые значения величины освоенного объема. Поэтому рассмотрим возможные постановки задачи плани- рования.
В разделах 1.1-1.2 была введена следующая взаимосвязь между освоенным объемом и количеством ресурса (напомним, что коли-
47
чество ресурса – объем средств – затрат, которые вкладываются в единицу времени: u(t) = c’(t), c(t) =
∫
t
d
u
0
)
(
τ
τ
):
(1)
))
(
(
)
(
t
u
w
dt
t
dx
=
, x(t) =
∫
t
d
u
w
0
))
(
(
τ
τ
,
∫
T
d
u
w
0
))
(
(
τ
τ
= X
0
,
или в более общем случае:
(2)
)
),
(
),
(
(
)
(
t
t
u
t
x
w
dt
t
dx
=
, x(0) = 0, x(T) = X
0
.
Соотношения (1) или (2) определяют модель проекта, то есть в задаче планирования ими косвенно задается оператор G
0
(
⋅), а в задаче оперативного управления – оператор
G
(
⋅, τ), причем в последнем случае нулевой момент времени в (1) или (2) заменяется на момент времени
τ. Во избежании путаницы, а также для того,
чтобы приводимые результаты с минимальной адаптацией были применимы и к задаче планирования, и к задаче оперативного управления, будем рассматривать только задачу планирования,
помня, что переход к задаче оперативного управления в момент времени
τ осуществляется следующей формальной заменой:
u(t) = c’(t),
c(t) = с(
τ) +
∫
t
dy
y
u
τ
τ )
,
(
,
)
),
,
(
(
)
(
τ
τ
t
u
w
dt
t
dx
=
,
x(t) = x(
τ) +
∫
t
dy
y
u
w
τ
τ
τ
)
,
)
,
(
(
, t
≥ τ, x(τ) +
∫
T
dy
y
u
w
τ
τ
τ
)
),
,
(
(
= X
0
,
или в более общем случае:
)
,
),
,
(
),
(
(
)
(
τ
τ t
t
u
t
x
w
dt
t
dx
=
,
x(t=
τ) = x(τ), x(T) = X
0
, где
)
,
(
τ
⋅
w
- результат идентификации модели проекта в момент времени
τ,
u
(
⋅, τ) =
'
c
(
⋅, τ) – прогноз динамики финансовых ресурсов в момент времени
τ. Кроме того,
отметим, что в задаче планирования приведенные соотношения связывают плановые показатели, а в задаче оперативного управле- ния – фактические или прогнозные. Однако, так как мы установили эквивалентность формулировок этих задач, ниже будем опускать нижние и верхние индексы, соответствующие плановым или про- гнозным значениям.
48
Аналогичным образом учитывается и другая, поступившая до момента времени
τ информация
1
. Например, если стало известно,
что завершению проекта соответствует значение суммарного объе- ма X’, отличное от X
0
, то учет этой информации приведет к замене в приведенных выше для задачи оперативного управления соотно- шениях старой величины суммарного объема на новую.
Предположим, что ограничения на ресурсы и интенсивности заданы в следующем виде:
(3) c(t)
∈ Ξ,
(4) u(t)
∈ U,
(5) w(
⋅) ∈ W,
где
Ξ, U и W – классы возможных значений соответственно затрат,
ресурсов и интенсивностей.
Возможны следующие постановки
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1.2. Общая постановка задачи оперативного управления
проектом
Предположим, что в рамках имеющейся информированности руководителя проекта – центра – он обладает достоверной инфор- мацией обо всех существенных параметрах, то есть условно можно считать, что функционирование системы происходит в условиях полной информированности [15, 17, 19, 22, 78]. Исследуем в рамках этого предположения избыточность приведенной в разделе 1.1
системы показателей освоенного объема.
Даже краткое рассмотрение частных случаев (см. пример 1)
свидетельствует, что набор показателей освоенного объема (основ- ных и производных) является избыточным как с содержательной (в рамках рассматриваемой модели не всегда ясны содержательные трактовки различий между фактическими и освоенными затратами,
а также между фактическим и освоенным объемом), так и с фор- мальной (некоторые производные показатели являются комбинаци-
38
ей других основных или производных показателей и т.д.) точек зрения. Поэтому введем следующий минимальный
1
набор показа- телей освоенного объема (см. рисунок 9), которые используются ниже в настоящей работе.
Основные показатели освоенного объема:
C
0
– планируемые суммарные затраты на проект (TB);
T
0
– планируемый срок завершения проекта;
X
0
– суммарный объем работ по проекту;
c
0
(t) – планируемая динамика затрат (BCWS);
c(t) – фактическая динамика затрат (ACWP);
x
0
(t) – планируемая динамика объемов работ (BQWS);
x(t) – освоенный объем (BQWP);
T – фактический срок окончания проекта;
C – фактические суммарные затраты на проект (EAC – Estimate
At Complete).
Производные показатели освоенного объема:
∆с(t) = c
0
(t) - c(t) - разность между плановыми и фактическими затратами;
∆x(t) = x
0
(t) - x(t) - разность между плановым и освоенным объ- емом
2
;
α(t) = x(t) / x
0
(t) – показатель освоенного объема, характеризует выполнение плана по объему;
β(t) = c(t) / c
0
(t) – показатель динамики затрат, характеризует соответствие поступления средств директивному графику;
γ(t) = x(t) / c(t) – эффективность использования средств
3
;
τ
с
(t) = t -
1 0
−
c
(c(t)) – текущая задержка по затратам;
τ
x
(t) = t -
1 0
−
x
(x(t)) – текущая задержка по объему;
e
0
= X
0
/ C
0
– плановая эффективность проекта в целом;
e
0
(t) = x
0
(t) / c
0
(t) =
β(t) γ(t) / α(t) – плановая эффективность ис- пользования средств;
1
Условно можно считать, что освоенные затраты могут быть рассчи-
таны по освоенному объему (см. подробности ниже).
2
По четырем независимым переменным с учетом размерности можно
определить две независимых их разности.
3
По четырем независимым переменным можно определить три их
независимых отношения.
39
e = X / C – фактическая эффективность проекта в целом.
Помимо перечисленных показателей освоенного объема мо- дель проекта должна включать в себя оператор G(
⋅), связывающий объем с затратами и отражающий «технологию» использования ресурсов.
τ
x
(t)
T
0
x(t)/X
0
– освоенный объем
x
0
(t)/X
0
– план по объему
100%
c(t)/C
0
– фактические затраты
t
c
0
(t)/C
0
– планируемые затраты
T
t
τ
c
(t)
C / C
0
Рис. 9. Пример динамики основных показателей освоенного объема
Докажем, что введенная система показателей освоенного объ- ема включает в себя используемую зарубежными авторами систему показателей (см. ее описание во введении) как частный случай.
Пусть x = kc, где k – коэффициент интенсивности (в примере 1
использовалось уравнение dx/dt = ku, где u = dc/dt). Получаем, что:
SPI =
α(t); CPI = γ(t) / k;
EAC = c(t) + (C
0
– c
e
(t)) / CPI = c(t) + (X
0
– x(t)) /
γ(t),
то есть в случае линейной связи между объемом и ресурсами соот- ветствие полное (с точностью до линейного преобразования).
В рамках рассматриваемой модели задача управления проек- том включает в себя задачу планирования, решаемую до начала реализации проекта, и задачу оперативного управления - выработки оперативных управляющих воздействий в ходе реализации проекта.
Задача планирования заключается в определении объема проекта
X
0
, плановых значений затрат с
0
(t), объема x
0
(t) и продолжительно-
40
сти проекта T
0
при известной «модели проекта» G
0
(
⋅); при этом
C
0
= c
0
(T
0
), x
0
(T
0
) = X
0
. Задача планирования рассматривается в разделе 1.3 настоящей работы, поэтому перейдем к рассмотрению
общей постановки задачи оперативного управления проектом,
которая включает задачи идентификации, прогнозирования и соб- ственно управления.
На рисунке 10 изображена структура системы оперативного управления проектом в рамках модели освоенного объема. Прямо- угольниками отражены реальный проект и его модель. Входом модели проекта является плановая зависимость затрат от времени
c
0
(t), выходом – плановая зависимость объема от времени x
0
(t).
Входом реального проекта является фактическая зависимость затрат от времени c(t), выходом – величина освоенного объема x(t).
Как отмечалось выше, несовпадение: x(t)
≠ x
0
(t) может быть вызва- но следующими причинами: внешней – c(t)
≠ c
0
(t) и/или внутрен- ней – G(
⋅) ≠ G
0
(
⋅).
Следовательно, первой задачей идентификации (обозначенной
«И1» на рисунке 10), которую можно также рассматривать и как задачу прогнозирования, является задача оценки зависимости фактических затрат от времени на основании сравнения наблюдае- мых значений фактических и плановых затрат.
Если представить, что на вход модели проекта подаются не плановые, а фактические затраты, то, зная оператор G
0
(
⋅), можно определить следующую зависимость от времени:
xˆ
(t) = G
0
(c(t)),
сравнение которой с плановой зависимостью x
0
(t) может служить исходными данными для решения второй задачи идентификации
(обозначенной «И2» на рисунке 10) – задачи идентификации собст- венно модели проекта, то есть «уточнения»
G
(
⋅, τ) (см. двойную линию на рисунке 10),
G
(
⋅, 0) = G
0
, соответствующего оператора
(индекс “
τ” в операторе
G
присутствует для того, чтобы подчерк- нуть зависимость от времени
τ, то есть в зависимости от продолжи- тельности имеющейся истории наблюдений за время [0;
τ] модель может изменяться).
41
c
(t’)
x
(t’)
xˆ
(t)
c
0
(t)
x
0
(t)
c(t)
)
,
(
τ
⋅
G
G
0
(
⋅)
G
0
(
⋅)
G
0
(
⋅)
МОДЕЛЬ ПРОЕКТА
Рис. 10. Структура системы
оперативного управления проектом
РЕАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ
УПРАВЛЕНИЕ
И1
И2
x(t)
ПРОГНОЗ
Итак, возникают следующие задачи идентификации:
И1. В момент времени
τ ≥ 0 на основании истории наблюдений
{c(t), c
0
(t)}
t
∈[0; τ]
определить «прогноз» затрат
c
(t’,
τ) для t’ > τ.
И2. В момент времени
τ ≥ 0 на основании истории наблюдений
{c(t), c
0
(t), x
0
(t), x(t),
xˆ
(t)}
t
∈[0; τ]
идентифицировать проект, то есть построит адекватную ему модель
G
(
⋅, τ).
Решив обе задачи идентификации, то есть имея в своем распо- ряжении зависимости
c
(t,
τ) и
G
(
⋅, τ), можно в момент времени
τ ≥ 0 решить задачу прогнозирования, то есть сделать прогноз значения освоенного объема
x
(t’,
τ) для моментов времени t’ > τ :
x
(t’,
τ) =
G
(
c
(t’,
τ), τ).
Необходимо принимать во внимание, что для решения задач идентификации и прогнозирования могут использоваться не только
42
данные о ходе реализации рассматриваемого проекта, но и инфор- мация о реализации других аналогичных проектов.
Сделав маленькое отступление, отметим, что в рамках рас- сматриваемого подхода легко показать, что введенная в настоящем разделе система показателей освоенного объема является мини- мально необходимой для полного описания проекта в рамках мето- дики освоенного объема. Для этого достаточно доказать, что пока- затели фактического объема и освоенных затрат (присутствующие в «расширенном» списке показателей освоенного объема, приве- денном во введении и в разделе 1.1) не являются независимыми и могут быть выражены, через фактические и плановые затраты, а также освоенный и плановый объем. Действительно, фактический объем может интерпретироваться как объем, который был бы освоен, если бы присутствовала только внешняя причина, а внут- ренняя причина отсутствовала, то есть фактический объем есть ни что иное, как
xˆ
(t) = G
0
(c(t)). Освоенные затраты c
e
(t) соответству- ют тем затратам, которые понадобились бы для того, чтобы показа- тель освоенного объема для реального проекта равнялся заданной величине x(t), то есть
G
(с
e
(t)) = x(t).
Решив задачи идентификации и прогнозирования, то есть имея в момент времени
τ в своем распоряжении прогнозы
c
(t’,
τ) и
x
(t’,
τ), для t’ > τ, и зная директивные (плановые) графики затрат и объема, можно решать задачи оперативного управления проек-
том – выработки таких управляющих воздействий, которые кор- ректировали бы ход реализации проекта в нужную (с точки зрения руководителя проекта – см. более подробно ниже) сторону.
Рассмотрим более подробно задачи идентификации, прогноза и оперативного управления. Отметим, что в настоящей работе при анализе и синтезе моделей оперативного управления проектами мы будем следовать следующему общему принципу. Так как конечная цель всех разрабатываемых в рамках методики освоенного объема методов и механизмов оперативного управления заключается в повышении эффективности управления реальными проектами, то критерием необходимости изучения той или иной частной задачи управления является неизвестность на сегодняшний день возмож- ности сведения ее к уже исследованным, например, оптимизацион- ным и другим задачам, методы решения которых могут быть алго- ритмизированы, то есть использованы в методиках или прикладных
43
компьютерных программах, ориентированных на использование руководителями проектов. Такая практическая направленность четко выделяет необходимую степень детализации при исследова- нии тех или иных задач управления, возникающих при описании проекта показателями освоенного объема. Другими словами, в рамках используемого подхода частная задача синтеза определен- ного механизма управления может считаться решенной, если для нее сформулированы либо алгоритм решения, либо приведена ссылка на метод решения эквивалентной ей задачи, которые могут быть использованы в прикладных методиках и алгоритмах, причем создание последних, при наличии подробно изученных с теорети- ческой точки зрения методах решения, может рассматриваться как инженерная задача.
Первая задача идентификации (И1), которую можно также рас- сматривать как задачу прогнозирования значений фактических затрат, заключается в оценке будущей зависимости фактических затрат от времени на основании сравнения наблюдаемых значений фактических и плановых затрат.
Итак, имеются два временных ряда: c
0
(t) и c(t), t
≤ τ. Прогноз
c
(t’,
τ), t’ > τ, может быть получен двумя путями. Первый путь, не учитывающий специфику рассматриваемой задачи, заключается в использовании методов «технического» анализа (статистический анализ временных рядов [2, 51, 72, 99]) для оценки величины
c
(t’,
τ), t’ > τ, только на основании наблюдаемых реализаций c(t),
t
≤ τ. Второй путь – построение модели, отражающей связь между плановыми и фактическими затратами и, быть может, учитываю- щей информацию о результатах реализации аналогичных завер- шившихся проектов, и адаптивная идентификация этой модели на основании имеющих статистических данных. Иллюстрацией второ- го пути может служить введенное в примере 1 предположение
(модель) о постоянстве ресурсов, то есть затрат в единицу времени.
Тогда однократное наблюдение фактических значений ресурсов позволяет однозначно идентифицировать модель. Таким образом,
для прогнозирования будущих значений фактических затрат
c
(t’,
τ), t’ > τ, могут быть использованы (то есть, «зашиты» в соответствующую компьютерную программу без существенной адаптации) известные методы и алгоритмы прогнозирования и идентификации [2, 74, 97-99].
44
Аналогичным образом обстоит дело и со второй задачей иден- тификации (И2) - построения в момент времени
τ ≥ 0 адекватной модели проекта
G
(
⋅, τ) на основании истории наблюдений
{c(t), c
0
(t), x
0
(t), x(t),
xˆ
(t)}
t
∈[0; τ]
, для решения которой в теории адаптивного управления и идентификации существуют хорошо развитые методы решения [98, 99 и др.]. В рамках примера 1 иден- тификация проекта означала определение коэффициентов интен- сивности на основании однократного наблюдения (которое оказы- валось достаточным) параметров фактической реализации проекта.
При известном прогнозе фактических затрат и имеющейся мо- дели проекта решение задачи прогнозирования будущих значений показателей освоенного объема тривиально – оно заключается в подстановке прогноза
c
(t’,
τ) в модель
G
(
⋅, τ), то есть
x
(t’,
τ) =
G
(
c
(t’,
τ), τ), t’ > τ:
Несколько сложнее обстоит дело с задачей собственно управ- ления – поиска оптимальных управляющих воздействий на основа- нии результатов решения задач идентификации и прогнозирования.
Этот класс задач, как и задачи планирования, заслуживает отдель- ного исследования, проводимого в разделе 1.3 настоящей работы.
Таким образом, для решения задач идентификации и прогно- зирования в рамках методики освоенного объема на сегодняшний день существуют хорошо развитые методы адаптивного управле- ния, идентификации и прогнозирования. Другими словами, возни- кающие при использовании методики освоенного объема задачи идентификации и прогнозирования, естественно, обладают собст- венной спецификой, однако, специфичны они не настолько, чтобы к ним были неприменимы известные методы и алгоритмы решения.
45
1.3. Планирование и оперативное управление проектом
в условиях полной информированности
Сохраним введенное в начале раздела 1.2 предположение о том, что руководитель проекта – центр – в рамках своей информи- рованности обладает достоверной информацией.
Часть показателей освоенного объема, введенных в разделе 1.2,
может рассматриваться как управляющие параметры (ими могут,
например, быть плановые затраты, интенсивности и т.д.). Осталь- ные показатели являются при этом зависимыми, то есть при фикси- рованной модели проекта однозначно определяемыми значениями управляющих параметров (например, если плановые затраты ин- терпретируются как управляющий параметр, то при модели проек- та G
0
(
⋅) плановое значение объема является зависимым показате- лем: x
0
(t) = G
0
(c
0
(t)) и т.д.). В зависимости от рассматриваемой модели (то есть в зависимости от рассматриваемой задачи управле- ния) одни и те же показатели могут быть либо управляющими,
либо зависимыми.
Пусть известны ограничения на значения управляющих пара- метров и задан критерий эффективности управления
1
, зависящий как от управляющих, так и от зависимых параметров. Тогда на качественном уровне задачу управления можно сформулировать следующим образом: выбрать такие допустимые значения управ- ляющих параметров, которые доставляли бы экстремум критерию эффективности управления (в частном случае – максимизировали эффективность проекта).
Задача планирования, являющаяся частным случаем сформу- лированной выше задачи управления, решается до начала реализа- ции проекта и заключается в определении на основании всей имеющейся на данный момент информации оптимальных плановых значений управляющих параметров для t’
≥ 0.
Задача оперативного управления, также являющаяся частным случаем задачи управления, решается в ходе реализации проекта и заключается в определении на основании всей имеющейся на дан- ный момент информации оптимальных текущих и будущих значе-
1
Следует различать эффективность проекта, определяемую как отно-
шение объема к затратам (см. выше), и эффективность управления.
46
ний управляющих параметров, то есть оптимальных плановых значений управляющих параметров для t’
≥ τ.
Таким образом, задачи планирования и оперативного управле- ния являются частными случаями одной и той же задачи управле- ния, отличающимися лишь той информацией, которая имеется на момент принятия решений.
Поясним последнее утверждение более подробно. При реше- нии задачи планирования имеется информация об ограничениях на допустимые значения плановых показателей и модель проекта. При решении задачи оперативного управления имеется информация об ограничениях на допустимые значения показателей освоенного объема и модель проекта, скорректированные в соответствии с решениями соответствующих задач идентификации и прогнозиро- вания, описанными в разделе 1.2, и учитывающие историю реали- зации проекта.
Коль скоро установлена качественная эквивалентность задач планирования и оперативного управления, достаточно рассмотреть подробно одну из них, поэтому ниже в настоящем разделе мы по умолчанию будем подразумевать, что формулируемые и решаемые задачи могут интерпретироваться двояко. Более того, качественно основной результат настоящего раздела заключается в следующем:
при агрегированном представлении проекта, то есть рассмотрении проекта как единого целого в рамках модели, описанной в разделе
1.2, решение задач планирования и оперативного управления в условиях полной информированности заключается в сведении к известным оптимизационным задачам, методы и алгоритмы реше- ния которых хорошо известны.
Обоснуем это утверждение.
Важную часть показателей освоенного объема составляют плановые показатели: планируемая длительность проекта, плани- руемая динамика затрат, плановые значения величины освоенного объема. Поэтому рассмотрим возможные постановки задачи плани- рования.
В разделах 1.1-1.2 была введена следующая взаимосвязь между освоенным объемом и количеством ресурса (напомним, что коли-
47
чество ресурса – объем средств – затрат, которые вкладываются в единицу времени: u(t) = c’(t), c(t) =
∫
t
d
u
0
)
(
τ
τ
):
(1)
))
(
(
)
(
t
u
w
dt
t
dx
=
, x(t) =
∫
t
d
u
w
0
))
(
(
τ
τ
,
∫
T
d
u
w
0
))
(
(
τ
τ
= X
0
,
или в более общем случае:
(2)
)
),
(
),
(
(
)
(
t
t
u
t
x
w
dt
t
dx
=
, x(0) = 0, x(T) = X
0
.
Соотношения (1) или (2) определяют модель проекта, то есть в задаче планирования ими косвенно задается оператор G
0
(
⋅), а в задаче оперативного управления – оператор
G
(
⋅, τ), причем в последнем случае нулевой момент времени в (1) или (2) заменяется на момент времени
τ. Во избежании путаницы, а также для того,
чтобы приводимые результаты с минимальной адаптацией были применимы и к задаче планирования, и к задаче оперативного управления, будем рассматривать только задачу планирования,
помня, что переход к задаче оперативного управления в момент времени
τ осуществляется следующей формальной заменой:
u(t) = c’(t),
c(t) = с(
τ) +
∫
t
dy
y
u
τ
τ )
,
(
,
)
),
,
(
(
)
(
τ
τ
t
u
w
dt
t
dx
=
,
x(t) = x(
τ) +
∫
t
dy
y
u
w
τ
τ
τ
)
,
)
,
(
(
, t
≥ τ, x(τ) +
∫
T
dy
y
u
w
τ
τ
τ
)
),
,
(
(
= X
0
,
или в более общем случае:
)
,
),
,
(
),
(
(
)
(
τ
τ t
t
u
t
x
w
dt
t
dx
=
,
x(t=
τ) = x(τ), x(T) = X
0
, где
)
,
(
τ
⋅
w
- результат идентификации модели проекта в момент времени
τ,
u
(
⋅, τ) =
'
c
(
⋅, τ) – прогноз динамики финансовых ресурсов в момент времени
τ. Кроме того,
отметим, что в задаче планирования приведенные соотношения связывают плановые показатели, а в задаче оперативного управле- ния – фактические или прогнозные. Однако, так как мы установили эквивалентность формулировок этих задач, ниже будем опускать нижние и верхние индексы, соответствующие плановым или про- гнозным значениям.
48
Аналогичным образом учитывается и другая, поступившая до момента времени
τ информация
1
. Например, если стало известно,
что завершению проекта соответствует значение суммарного объе- ма X’, отличное от X
0
, то учет этой информации приведет к замене в приведенных выше для задачи оперативного управления соотно- шениях старой величины суммарного объема на новую.
Предположим, что ограничения на ресурсы и интенсивности заданы в следующем виде:
(3) c(t)
∈ Ξ,
(4) u(t)
∈ U,
(5) w(
⋅) ∈ W,
где
Ξ, U и W – классы возможных значений соответственно затрат,
ресурсов и интенсивностей.
Возможны следующие постановки
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1.2. Общая постановка задачи оперативного управления
проектом
Предположим, что в рамках имеющейся информированности руководителя проекта – центра – он обладает достоверной инфор- мацией обо всех существенных параметрах, то есть условно можно считать, что функционирование системы происходит в условиях полной информированности [15, 17, 19, 22, 78]. Исследуем в рамках этого предположения избыточность приведенной в разделе 1.1
системы показателей освоенного объема.
Даже краткое рассмотрение частных случаев (см. пример 1)
свидетельствует, что набор показателей освоенного объема (основ- ных и производных) является избыточным как с содержательной (в рамках рассматриваемой модели не всегда ясны содержательные трактовки различий между фактическими и освоенными затратами,
а также между фактическим и освоенным объемом), так и с фор- мальной (некоторые производные показатели являются комбинаци-
38
ей других основных или производных показателей и т.д.) точек зрения. Поэтому введем следующий минимальный
1
набор показа- телей освоенного объема (см. рисунок 9), которые используются ниже в настоящей работе.
Основные показатели освоенного объема:
C
0
– планируемые суммарные затраты на проект (TB);
T
0
– планируемый срок завершения проекта;
X
0
– суммарный объем работ по проекту;
c
0
(t) – планируемая динамика затрат (BCWS);
c(t) – фактическая динамика затрат (ACWP);
x
0
(t) – планируемая динамика объемов работ (BQWS);
x(t) – освоенный объем (BQWP);
T – фактический срок окончания проекта;
C – фактические суммарные затраты на проект (EAC – Estimate
At Complete).
Производные показатели освоенного объема:
∆с(t) = c
0
(t) - c(t) - разность между плановыми и фактическими затратами;
∆x(t) = x
0
(t) - x(t) - разность между плановым и освоенным объ- емом
2
;
α(t) = x(t) / x
0
(t) – показатель освоенного объема, характеризует выполнение плана по объему;
β(t) = c(t) / c
0
(t) – показатель динамики затрат, характеризует соответствие поступления средств директивному графику;
γ(t) = x(t) / c(t) – эффективность использования средств
3
;
τ
с
(t) = t -
1 0
−
c
(c(t)) – текущая задержка по затратам;
τ
x
(t) = t -
1 0
−
x
(x(t)) – текущая задержка по объему;
e
0
= X
0
/ C
0
– плановая эффективность проекта в целом;
e
0
(t) = x
0
(t) / c
0
(t) =
β(t) γ(t) / α(t) – плановая эффективность ис- пользования средств;
1
Условно можно считать, что освоенные затраты могут быть рассчи-
таны по освоенному объему (см. подробности ниже).
2
По четырем независимым переменным с учетом размерности можно
определить две независимых их разности.
3
По четырем независимым переменным можно определить три их
независимых отношения.
39
e = X / C – фактическая эффективность проекта в целом.
Помимо перечисленных показателей освоенного объема мо- дель проекта должна включать в себя оператор G(
⋅), связывающий объем с затратами и отражающий «технологию» использования ресурсов.
τ
x
(t)
T
0
x(t)/X
0
– освоенный объем
x
0
(t)/X
0
– план по объему
100%
c(t)/C
0
– фактические затраты
t
c
0
(t)/C
0
– планируемые затраты
T
t
τ
c
(t)
C / C
0
Рис. 9. Пример динамики основных показателей освоенного объема
Докажем, что введенная система показателей освоенного объ- ема включает в себя используемую зарубежными авторами систему показателей (см. ее описание во введении) как частный случай.
Пусть x = kc, где k – коэффициент интенсивности (в примере 1
использовалось уравнение dx/dt = ku, где u = dc/dt). Получаем, что:
SPI =
α(t); CPI = γ(t) / k;
EAC = c(t) + (C
0
– c
e
(t)) / CPI = c(t) + (X
0
– x(t)) /
γ(t),
то есть в случае линейной связи между объемом и ресурсами соот- ветствие полное (с точностью до линейного преобразования).
В рамках рассматриваемой модели задача управления проек- том включает в себя задачу планирования, решаемую до начала реализации проекта, и задачу оперативного управления - выработки оперативных управляющих воздействий в ходе реализации проекта.
Задача планирования заключается в определении объема проекта
X
0
, плановых значений затрат с
0
(t), объема x
0
(t) и продолжительно-
40
сти проекта T
0
при известной «модели проекта» G
0
(
⋅); при этом
C
0
= c
0
(T
0
), x
0
(T
0
) = X
0
. Задача планирования рассматривается в разделе 1.3 настоящей работы, поэтому перейдем к рассмотрению
общей постановки задачи оперативного управления проектом,
которая включает задачи идентификации, прогнозирования и соб- ственно управления.
На рисунке 10 изображена структура системы оперативного управления проектом в рамках модели освоенного объема. Прямо- угольниками отражены реальный проект и его модель. Входом модели проекта является плановая зависимость затрат от времени
c
0
(t), выходом – плановая зависимость объема от времени x
0
(t).
Входом реального проекта является фактическая зависимость затрат от времени c(t), выходом – величина освоенного объема x(t).
Как отмечалось выше, несовпадение: x(t)
≠ x
0
(t) может быть вызва- но следующими причинами: внешней – c(t)
≠ c
0
(t) и/или внутрен- ней – G(
⋅) ≠ G
0
(
⋅).
Следовательно, первой задачей идентификации (обозначенной
«И1» на рисунке 10), которую можно также рассматривать и как задачу прогнозирования, является задача оценки зависимости фактических затрат от времени на основании сравнения наблюдае- мых значений фактических и плановых затрат.
Если представить, что на вход модели проекта подаются не плановые, а фактические затраты, то, зная оператор G
0
(
⋅), можно определить следующую зависимость от времени:
xˆ
(t) = G
0
(c(t)),
сравнение которой с плановой зависимостью x
0
(t) может служить исходными данными для решения второй задачи идентификации
(обозначенной «И2» на рисунке 10) – задачи идентификации собст- венно модели проекта, то есть «уточнения»
G
(
⋅, τ) (см. двойную линию на рисунке 10),
G
(
⋅, 0) = G
0
, соответствующего оператора
(индекс “
τ” в операторе
G
присутствует для того, чтобы подчерк- нуть зависимость от времени
τ, то есть в зависимости от продолжи- тельности имеющейся истории наблюдений за время [0;
τ] модель может изменяться).
41
c
(t’)
x
(t’)
xˆ
(t)
c
0
(t)
x
0
(t)
c(t)
)
,
(
τ
⋅
G
G
0
(
⋅)
G
0
(
⋅)
G
0
(
⋅)
МОДЕЛЬ ПРОЕКТА
Рис. 10. Структура системы
оперативного управления проектом
РЕАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ
УПРАВЛЕНИЕ
И1
И2
x(t)
ПРОГНОЗ
Итак, возникают следующие задачи идентификации:
И1. В момент времени
τ ≥ 0 на основании истории наблюдений
{c(t), c
0
(t)}
t
∈[0; τ]
определить «прогноз» затрат
c
(t’,
τ) для t’ > τ.
И2. В момент времени
τ ≥ 0 на основании истории наблюдений
{c(t), c
0
(t), x
0
(t), x(t),
xˆ
(t)}
t
∈[0; τ]
идентифицировать проект, то есть построит адекватную ему модель
G
(
⋅, τ).
Решив обе задачи идентификации, то есть имея в своем распо- ряжении зависимости
c
(t,
τ) и
G
(
⋅, τ), можно в момент времени
τ ≥ 0 решить задачу прогнозирования, то есть сделать прогноз значения освоенного объема
x
(t’,
τ) для моментов времени t’ > τ :
x
(t’,
τ) =
G
(
c
(t’,
τ), τ).
Необходимо принимать во внимание, что для решения задач идентификации и прогнозирования могут использоваться не только
42
данные о ходе реализации рассматриваемого проекта, но и инфор- мация о реализации других аналогичных проектов.
Сделав маленькое отступление, отметим, что в рамках рас- сматриваемого подхода легко показать, что введенная в настоящем разделе система показателей освоенного объема является мини- мально необходимой для полного описания проекта в рамках мето- дики освоенного объема. Для этого достаточно доказать, что пока- затели фактического объема и освоенных затрат (присутствующие в «расширенном» списке показателей освоенного объема, приве- денном во введении и в разделе 1.1) не являются независимыми и могут быть выражены, через фактические и плановые затраты, а также освоенный и плановый объем. Действительно, фактический объем может интерпретироваться как объем, который был бы освоен, если бы присутствовала только внешняя причина, а внут- ренняя причина отсутствовала, то есть фактический объем есть ни что иное, как
xˆ
(t) = G
0
(c(t)). Освоенные затраты c
e
(t) соответству- ют тем затратам, которые понадобились бы для того, чтобы показа- тель освоенного объема для реального проекта равнялся заданной величине x(t), то есть
G
(с
e
(t)) = x(t).
Решив задачи идентификации и прогнозирования, то есть имея в момент времени
τ в своем распоряжении прогнозы
c
(t’,
τ) и
x
(t’,
τ), для t’ > τ, и зная директивные (плановые) графики затрат и объема, можно решать задачи оперативного управления проек-
том – выработки таких управляющих воздействий, которые кор- ректировали бы ход реализации проекта в нужную (с точки зрения руководителя проекта – см. более подробно ниже) сторону.
Рассмотрим более подробно задачи идентификации, прогноза и оперативного управления. Отметим, что в настоящей работе при анализе и синтезе моделей оперативного управления проектами мы будем следовать следующему общему принципу. Так как конечная цель всех разрабатываемых в рамках методики освоенного объема методов и механизмов оперативного управления заключается в повышении эффективности управления реальными проектами, то критерием необходимости изучения той или иной частной задачи управления является неизвестность на сегодняшний день возмож- ности сведения ее к уже исследованным, например, оптимизацион- ным и другим задачам, методы решения которых могут быть алго- ритмизированы, то есть использованы в методиках или прикладных
43
компьютерных программах, ориентированных на использование руководителями проектов. Такая практическая направленность четко выделяет необходимую степень детализации при исследова- нии тех или иных задач управления, возникающих при описании проекта показателями освоенного объема. Другими словами, в рамках используемого подхода частная задача синтеза определен- ного механизма управления может считаться решенной, если для нее сформулированы либо алгоритм решения, либо приведена ссылка на метод решения эквивалентной ей задачи, которые могут быть использованы в прикладных методиках и алгоритмах, причем создание последних, при наличии подробно изученных с теорети- ческой точки зрения методах решения, может рассматриваться как инженерная задача.
Первая задача идентификации (И1), которую можно также рас- сматривать как задачу прогнозирования значений фактических затрат, заключается в оценке будущей зависимости фактических затрат от времени на основании сравнения наблюдаемых значений фактических и плановых затрат.
Итак, имеются два временных ряда: c
0
(t) и c(t), t
≤ τ. Прогноз
c
(t’,
τ), t’ > τ, может быть получен двумя путями. Первый путь, не учитывающий специфику рассматриваемой задачи, заключается в использовании методов «технического» анализа (статистический анализ временных рядов [2, 51, 72, 99]) для оценки величины
c
(t’,
τ), t’ > τ, только на основании наблюдаемых реализаций c(t),
t
≤ τ. Второй путь – построение модели, отражающей связь между плановыми и фактическими затратами и, быть может, учитываю- щей информацию о результатах реализации аналогичных завер- шившихся проектов, и адаптивная идентификация этой модели на основании имеющих статистических данных. Иллюстрацией второ- го пути может служить введенное в примере 1 предположение
(модель) о постоянстве ресурсов, то есть затрат в единицу времени.
Тогда однократное наблюдение фактических значений ресурсов позволяет однозначно идентифицировать модель. Таким образом,
для прогнозирования будущих значений фактических затрат
c
(t’,
τ), t’ > τ, могут быть использованы (то есть, «зашиты» в соответствующую компьютерную программу без существенной адаптации) известные методы и алгоритмы прогнозирования и идентификации [2, 74, 97-99].
44
Аналогичным образом обстоит дело и со второй задачей иден- тификации (И2) - построения в момент времени
τ ≥ 0 адекватной модели проекта
G
(
⋅, τ) на основании истории наблюдений
{c(t), c
0
(t), x
0
(t), x(t),
xˆ
(t)}
t
∈[0; τ]
, для решения которой в теории адаптивного управления и идентификации существуют хорошо развитые методы решения [98, 99 и др.]. В рамках примера 1 иден- тификация проекта означала определение коэффициентов интен- сивности на основании однократного наблюдения (которое оказы- валось достаточным) параметров фактической реализации проекта.
При известном прогнозе фактических затрат и имеющейся мо- дели проекта решение задачи прогнозирования будущих значений показателей освоенного объема тривиально – оно заключается в подстановке прогноза
c
(t’,
τ) в модель
G
(
⋅, τ), то есть
x
(t’,
τ) =
G
(
c
(t’,
τ), τ), t’ > τ:
Несколько сложнее обстоит дело с задачей собственно управ- ления – поиска оптимальных управляющих воздействий на основа- нии результатов решения задач идентификации и прогнозирования.
Этот класс задач, как и задачи планирования, заслуживает отдель- ного исследования, проводимого в разделе 1.3 настоящей работы.
Таким образом, для решения задач идентификации и прогно- зирования в рамках методики освоенного объема на сегодняшний день существуют хорошо развитые методы адаптивного управле- ния, идентификации и прогнозирования. Другими словами, возни- кающие при использовании методики освоенного объема задачи идентификации и прогнозирования, естественно, обладают собст- венной спецификой, однако, специфичны они не настолько, чтобы к ним были неприменимы известные методы и алгоритмы решения.
45
1.3. Планирование и оперативное управление проектом
в условиях полной информированности
Сохраним введенное в начале раздела 1.2 предположение о том, что руководитель проекта – центр – в рамках своей информи- рованности обладает достоверной информацией.
Часть показателей освоенного объема, введенных в разделе 1.2,
может рассматриваться как управляющие параметры (ими могут,
например, быть плановые затраты, интенсивности и т.д.). Осталь- ные показатели являются при этом зависимыми, то есть при фикси- рованной модели проекта однозначно определяемыми значениями управляющих параметров (например, если плановые затраты ин- терпретируются как управляющий параметр, то при модели проек- та G
0
(
⋅) плановое значение объема является зависимым показате- лем: x
0
(t) = G
0
(c
0
(t)) и т.д.). В зависимости от рассматриваемой модели (то есть в зависимости от рассматриваемой задачи управле- ния) одни и те же показатели могут быть либо управляющими,
либо зависимыми.
Пусть известны ограничения на значения управляющих пара- метров и задан критерий эффективности управления
1
, зависящий как от управляющих, так и от зависимых параметров. Тогда на качественном уровне задачу управления можно сформулировать следующим образом: выбрать такие допустимые значения управ- ляющих параметров, которые доставляли бы экстремум критерию эффективности управления (в частном случае – максимизировали эффективность проекта).
Задача планирования, являющаяся частным случаем сформу- лированной выше задачи управления, решается до начала реализа- ции проекта и заключается в определении на основании всей имеющейся на данный момент информации оптимальных плановых значений управляющих параметров для t’
≥ 0.
Задача оперативного управления, также являющаяся частным случаем задачи управления, решается в ходе реализации проекта и заключается в определении на основании всей имеющейся на дан- ный момент информации оптимальных текущих и будущих значе-
1
Следует различать эффективность проекта, определяемую как отно-
шение объема к затратам (см. выше), и эффективность управления.
46
ний управляющих параметров, то есть оптимальных плановых значений управляющих параметров для t’
≥ τ.
Таким образом, задачи планирования и оперативного управле- ния являются частными случаями одной и той же задачи управле- ния, отличающимися лишь той информацией, которая имеется на момент принятия решений.
Поясним последнее утверждение более подробно. При реше- нии задачи планирования имеется информация об ограничениях на допустимые значения плановых показателей и модель проекта. При решении задачи оперативного управления имеется информация об ограничениях на допустимые значения показателей освоенного объема и модель проекта, скорректированные в соответствии с решениями соответствующих задач идентификации и прогнозиро- вания, описанными в разделе 1.2, и учитывающие историю реали- зации проекта.
Коль скоро установлена качественная эквивалентность задач планирования и оперативного управления, достаточно рассмотреть подробно одну из них, поэтому ниже в настоящем разделе мы по умолчанию будем подразумевать, что формулируемые и решаемые задачи могут интерпретироваться двояко. Более того, качественно основной результат настоящего раздела заключается в следующем:
при агрегированном представлении проекта, то есть рассмотрении проекта как единого целого в рамках модели, описанной в разделе
1.2, решение задач планирования и оперативного управления в условиях полной информированности заключается в сведении к известным оптимизационным задачам, методы и алгоритмы реше- ния которых хорошо известны.
Обоснуем это утверждение.
Важную часть показателей освоенного объема составляют плановые показатели: планируемая длительность проекта, плани- руемая динамика затрат, плановые значения величины освоенного объема. Поэтому рассмотрим возможные постановки задачи плани- рования.
В разделах 1.1-1.2 была введена следующая взаимосвязь между освоенным объемом и количеством ресурса (напомним, что коли-
47
чество ресурса – объем средств – затрат, которые вкладываются в единицу времени: u(t) = c’(t), c(t) =
∫
t
d
u
0
)
(
τ
τ
):
(1)
))
(
(
)
(
t
u
w
dt
t
dx
=
, x(t) =
∫
t
d
u
w
0
))
(
(
τ
τ
,
∫
T
d
u
w
0
))
(
(
τ
τ
= X
0
,
или в более общем случае:
(2)
)
),
(
),
(
(
)
(
t
t
u
t
x
w
dt
t
dx
=
, x(0) = 0, x(T) = X
0
.
Соотношения (1) или (2) определяют модель проекта, то есть в задаче планирования ими косвенно задается оператор G
0
(
⋅), а в задаче оперативного управления – оператор
G
(
⋅, τ), причем в последнем случае нулевой момент времени в (1) или (2) заменяется на момент времени
τ. Во избежании путаницы, а также для того,
чтобы приводимые результаты с минимальной адаптацией были применимы и к задаче планирования, и к задаче оперативного управления, будем рассматривать только задачу планирования,
помня, что переход к задаче оперативного управления в момент времени
τ осуществляется следующей формальной заменой:
u(t) = c’(t),
c(t) = с(
τ) +
∫
t
dy
y
u
τ
τ )
,
(
,
)
),
,
(
(
)
(
τ
τ
t
u
w
dt
t
dx
=
,
x(t) = x(
τ) +
∫
t
dy
y
u
w
τ
τ
τ
)
,
)
,
(
(
, t
≥ τ, x(τ) +
∫
T
dy
y
u
w
τ
τ
τ
)
),
,
(
(
= X
0
,
или в более общем случае:
)
,
),
,
(
),
(
(
)
(
τ
τ t
t
u
t
x
w
dt
t
dx
=
,
x(t=
τ) = x(τ), x(T) = X
0
, где
)
,
(
τ
⋅
w
- результат идентификации модели проекта в момент времени
τ,
u
(
⋅, τ) =
'
c
(
⋅, τ) – прогноз динамики финансовых ресурсов в момент времени
τ. Кроме того,
отметим, что в задаче планирования приведенные соотношения связывают плановые показатели, а в задаче оперативного управле- ния – фактические или прогнозные. Однако, так как мы установили эквивалентность формулировок этих задач, ниже будем опускать нижние и верхние индексы, соответствующие плановым или про- гнозным значениям.
48
Аналогичным образом учитывается и другая, поступившая до момента времени
τ информация
1
. Например, если стало известно,
что завершению проекта соответствует значение суммарного объе- ма X’, отличное от X
0
, то учет этой информации приведет к замене в приведенных выше для задачи оперативного управления соотно- шениях старой величины суммарного объема на новую.
Предположим, что ограничения на ресурсы и интенсивности заданы в следующем виде:
(3) c(t)
∈ Ξ,
(4) u(t)
∈ U,
(5) w(
⋅) ∈ W,
где
Ξ, U и W – классы возможных значений соответственно затрат,
ресурсов и интенсивностей.
Возможны следующие постановки
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1.2. Общая постановка задачи оперативного управления
проектом
Предположим, что в рамках имеющейся информированности руководителя проекта – центра – он обладает достоверной инфор- мацией обо всех существенных параметрах, то есть условно можно считать, что функционирование системы происходит в условиях полной информированности [15, 17, 19, 22, 78]. Исследуем в рамках этого предположения избыточность приведенной в разделе 1.1
системы показателей освоенного объема.
Даже краткое рассмотрение частных случаев (см. пример 1)
свидетельствует, что набор показателей освоенного объема (основ- ных и производных) является избыточным как с содержательной (в рамках рассматриваемой модели не всегда ясны содержательные трактовки различий между фактическими и освоенными затратами,
а также между фактическим и освоенным объемом), так и с фор- мальной (некоторые производные показатели являются комбинаци-
38
ей других основных или производных показателей и т.д.) точек зрения. Поэтому введем следующий минимальный
1
набор показа- телей освоенного объема (см. рисунок 9), которые используются ниже в настоящей работе.
Основные показатели освоенного объема:
C
0
– планируемые суммарные затраты на проект (TB);
T
0
– планируемый срок завершения проекта;
X
0
– суммарный объем работ по проекту;
c
0
(t) – планируемая динамика затрат (BCWS);
c(t) – фактическая динамика затрат (ACWP);
x
0
(t) – планируемая динамика объемов работ (BQWS);
x(t) – освоенный объем (BQWP);
T – фактический срок окончания проекта;
C – фактические суммарные затраты на проект (EAC – Estimate
At Complete).
Производные показатели освоенного объема:
∆с(t) = c
0
(t) - c(t) - разность между плановыми и фактическими затратами;
∆x(t) = x
0
(t) - x(t) - разность между плановым и освоенным объ- емом
2
;
α(t) = x(t) / x
0
(t) – показатель освоенного объема, характеризует выполнение плана по объему;
β(t) = c(t) / c
0
(t) – показатель динамики затрат, характеризует соответствие поступления средств директивному графику;
γ(t) = x(t) / c(t) – эффективность использования средств
3
;
τ
с
(t) = t -
1 0
−
c
(c(t)) – текущая задержка по затратам;
τ
x
(t) = t -
1 0
−
x
(x(t)) – текущая задержка по объему;
e
0
= X
0
/ C
0
– плановая эффективность проекта в целом;
e
0
(t) = x
0
(t) / c
0
(t) =
β(t) γ(t) / α(t) – плановая эффективность ис- пользования средств;
1
Условно можно считать, что освоенные затраты могут быть рассчи-
таны по освоенному объему (см. подробности ниже).
2
По четырем независимым переменным с учетом размерности можно
определить две независимых их разности.
3
По четырем независимым переменным можно определить три их
независимых отношения.
39
e = X / C – фактическая эффективность проекта в целом.
Помимо перечисленных показателей освоенного объема мо- дель проекта должна включать в себя оператор G(
⋅), связывающий объем с затратами и отражающий «технологию» использования ресурсов.
τ
x
(t)
T
0
x(t)/X
0
– освоенный объем
x
0
(t)/X
0
– план по объему
100%
c(t)/C
0
– фактические затраты
t
c
0
(t)/C
0
– планируемые затраты
T
t
τ
c
(t)
C / C
0
Рис. 9. Пример динамики основных показателей освоенного объема
Докажем, что введенная система показателей освоенного объ- ема включает в себя используемую зарубежными авторами систему показателей (см. ее описание во введении) как частный случай.
Пусть x = kc, где k – коэффициент интенсивности (в примере 1
использовалось уравнение dx/dt = ku, где u = dc/dt). Получаем, что:
SPI =
α(t); CPI = γ(t) / k;
EAC = c(t) + (C
0
– c
e
(t)) / CPI = c(t) + (X
0
– x(t)) /
γ(t),
то есть в случае линейной связи между объемом и ресурсами соот- ветствие полное (с точностью до линейного преобразования).
В рамках рассматриваемой модели задача управления проек- том включает в себя задачу планирования, решаемую до начала реализации проекта, и задачу оперативного управления - выработки оперативных управляющих воздействий в ходе реализации проекта.
Задача планирования заключается в определении объема проекта
X
0
, плановых значений затрат с
0
(t), объема x
0
(t) и продолжительно-
40
сти проекта T
0
при известной «модели проекта» G
0
(
⋅); при этом
C
0
= c
0
(T
0
), x
0
(T
0
) = X
0
. Задача планирования рассматривается в разделе 1.3 настоящей работы, поэтому перейдем к рассмотрению
общей постановки задачи оперативного управления проектом,
которая включает задачи идентификации, прогнозирования и соб- ственно управления.
На рисунке 10 изображена структура системы оперативного управления проектом в рамках модели освоенного объема. Прямо- угольниками отражены реальный проект и его модель. Входом модели проекта является плановая зависимость затрат от времени
c
0
(t), выходом – плановая зависимость объема от времени x
0
(t).
Входом реального проекта является фактическая зависимость затрат от времени c(t), выходом – величина освоенного объема x(t).
Как отмечалось выше, несовпадение: x(t)
≠ x
0
(t) может быть вызва- но следующими причинами: внешней – c(t)
≠ c
0
(t) и/или внутрен- ней – G(
⋅) ≠ G
0
(
⋅).
Следовательно, первой задачей идентификации (обозначенной
«И1» на рисунке 10), которую можно также рассматривать и как задачу прогнозирования, является задача оценки зависимости фактических затрат от времени на основании сравнения наблюдае- мых значений фактических и плановых затрат.
Если представить, что на вход модели проекта подаются не плановые, а фактические затраты, то, зная оператор G
0
(
⋅), можно определить следующую зависимость от времени:
xˆ
(t) = G
0
(c(t)),
сравнение которой с плановой зависимостью x
0
(t) может служить исходными данными для решения второй задачи идентификации
(обозначенной «И2» на рисунке 10) – задачи идентификации собст- венно модели проекта, то есть «уточнения»
G
(
⋅, τ) (см. двойную линию на рисунке 10),
G
(
⋅, 0) = G
0
, соответствующего оператора
(индекс “
τ” в операторе
G
присутствует для того, чтобы подчерк- нуть зависимость от времени
τ, то есть в зависимости от продолжи- тельности имеющейся истории наблюдений за время [0;
τ] модель может изменяться).
41
c
(t’)
x
(t’)
xˆ
(t)
c
0
(t)
x
0
(t)
c(t)
)
,
(
τ
⋅
G
G
0
(
⋅)
G
0
(
⋅)
G
0
(
⋅)
МОДЕЛЬ ПРОЕКТА
Рис. 10. Структура системы
оперативного управления проектом
РЕАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ
УПРАВЛЕНИЕ
И1
И2
x(t)
ПРОГНОЗ
Итак, возникают следующие задачи идентификации:
И1. В момент времени
τ ≥ 0 на основании истории наблюдений
{c(t), c
0
(t)}
t
∈[0; τ]
определить «прогноз» затрат
c
(t’,
τ) для t’ > τ.
И2. В момент времени
τ ≥ 0 на основании истории наблюдений
{c(t), c
0
(t), x
0
(t), x(t),
xˆ
(t)}
t
∈[0; τ]
идентифицировать проект, то есть построит адекватную ему модель
G
(
⋅, τ).
Решив обе задачи идентификации, то есть имея в своем распо- ряжении зависимости
c
(t,
τ) и
G
(
⋅, τ), можно в момент времени
τ ≥ 0 решить задачу прогнозирования, то есть сделать прогноз значения освоенного объема
x
(t’,
τ) для моментов времени t’ > τ :
x
(t’,
τ) =
G
(
c
(t’,
τ), τ).
Необходимо принимать во внимание, что для решения задач идентификации и прогнозирования могут использоваться не только
42
данные о ходе реализации рассматриваемого проекта, но и инфор- мация о реализации других аналогичных проектов.
Сделав маленькое отступление, отметим, что в рамках рас- сматриваемого подхода легко показать, что введенная в настоящем разделе система показателей освоенного объема является мини- мально необходимой для полного описания проекта в рамках мето- дики освоенного объема. Для этого достаточно доказать, что пока- затели фактического объема и освоенных затрат (присутствующие в «расширенном» списке показателей освоенного объема, приве- денном во введении и в разделе 1.1) не являются независимыми и могут быть выражены, через фактические и плановые затраты, а также освоенный и плановый объем. Действительно, фактический объем может интерпретироваться как объем, который был бы освоен, если бы присутствовала только внешняя причина, а внут- ренняя причина отсутствовала, то есть фактический объем есть ни что иное, как
xˆ
(t) = G
0
(c(t)). Освоенные затраты c
e
(t) соответству- ют тем затратам, которые понадобились бы для того, чтобы показа- тель освоенного объема для реального проекта равнялся заданной величине x(t), то есть
G
(с
e
(t)) = x(t).
Решив задачи идентификации и прогнозирования, то есть имея в момент времени
τ в своем распоряжении прогнозы
c
(t’,
τ) и
x
(t’,
τ), для t’ > τ, и зная директивные (плановые) графики затрат и объема, можно решать задачи оперативного управления проек-
том – выработки таких управляющих воздействий, которые кор- ректировали бы ход реализации проекта в нужную (с точки зрения руководителя проекта – см. более подробно ниже) сторону.
Рассмотрим более подробно задачи идентификации, прогноза и оперативного управления. Отметим, что в настоящей работе при анализе и синтезе моделей оперативного управления проектами мы будем следовать следующему общему принципу. Так как конечная цель всех разрабатываемых в рамках методики освоенного объема методов и механизмов оперативного управления заключается в повышении эффективности управления реальными проектами, то критерием необходимости изучения той или иной частной задачи управления является неизвестность на сегодняшний день возмож- ности сведения ее к уже исследованным, например, оптимизацион- ным и другим задачам, методы решения которых могут быть алго- ритмизированы, то есть использованы в методиках или прикладных
43
компьютерных программах, ориентированных на использование руководителями проектов. Такая практическая направленность четко выделяет необходимую степень детализации при исследова- нии тех или иных задач управления, возникающих при описании проекта показателями освоенного объема. Другими словами, в рамках используемого подхода частная задача синтеза определен- ного механизма управления может считаться решенной, если для нее сформулированы либо алгоритм решения, либо приведена ссылка на метод решения эквивалентной ей задачи, которые могут быть использованы в прикладных методиках и алгоритмах, причем создание последних, при наличии подробно изученных с теорети- ческой точки зрения методах решения, может рассматриваться как инженерная задача.
Первая задача идентификации (И1), которую можно также рас- сматривать как задачу прогнозирования значений фактических затрат, заключается в оценке будущей зависимости фактических затрат от времени на основании сравнения наблюдаемых значений фактических и плановых затрат.
Итак, имеются два временных ряда: c
0
(t) и c(t), t
≤ τ. Прогноз
c
(t’,
τ), t’ > τ, может быть получен двумя путями. Первый путь, не учитывающий специфику рассматриваемой задачи, заключается в использовании методов «технического» анализа (статистический анализ временных рядов [2, 51, 72, 99]) для оценки величины
c
(t’,
τ), t’ > τ, только на основании наблюдаемых реализаций c(t),
t
≤ τ. Второй путь – построение модели, отражающей связь между плановыми и фактическими затратами и, быть может, учитываю- щей информацию о результатах реализации аналогичных завер- шившихся проектов, и адаптивная идентификация этой модели на основании имеющих статистических данных. Иллюстрацией второ- го пути может служить введенное в примере 1 предположение
(модель) о постоянстве ресурсов, то есть затрат в единицу времени.
Тогда однократное наблюдение фактических значений ресурсов позволяет однозначно идентифицировать модель. Таким образом,
для прогнозирования будущих значений фактических затрат
c
(t’,
τ), t’ > τ, могут быть использованы (то есть, «зашиты» в соответствующую компьютерную программу без существенной адаптации) известные методы и алгоритмы прогнозирования и идентификации [2, 74, 97-99].
44
Аналогичным образом обстоит дело и со второй задачей иден- тификации (И2) - построения в момент времени
τ ≥ 0 адекватной модели проекта
G
(
⋅, τ) на основании истории наблюдений
{c(t), c
0
(t), x
0
(t), x(t),
xˆ
(t)}
t
∈[0; τ]
, для решения которой в теории адаптивного управления и идентификации существуют хорошо развитые методы решения [98, 99 и др.]. В рамках примера 1 иден- тификация проекта означала определение коэффициентов интен- сивности на основании однократного наблюдения (которое оказы- валось достаточным) параметров фактической реализации проекта.
При известном прогнозе фактических затрат и имеющейся мо- дели проекта решение задачи прогнозирования будущих значений показателей освоенного объема тривиально – оно заключается в подстановке прогноза
c
(t’,
τ) в модель
G
(
⋅, τ), то есть
x
(t’,
τ) =
G
(
c
(t’,
τ), τ), t’ > τ:
Несколько сложнее обстоит дело с задачей собственно управ- ления – поиска оптимальных управляющих воздействий на основа- нии результатов решения задач идентификации и прогнозирования.
Этот класс задач, как и задачи планирования, заслуживает отдель- ного исследования, проводимого в разделе 1.3 настоящей работы.
Таким образом, для решения задач идентификации и прогно- зирования в рамках методики освоенного объема на сегодняшний день существуют хорошо развитые методы адаптивного управле- ния, идентификации и прогнозирования. Другими словами, возни- кающие при использовании методики освоенного объема задачи идентификации и прогнозирования, естественно, обладают собст- венной спецификой, однако, специфичны они не настолько, чтобы к ним были неприменимы известные методы и алгоритмы решения.
45
1.3. Планирование и оперативное управление проектом
в условиях полной информированности
Сохраним введенное в начале раздела 1.2 предположение о том, что руководитель проекта – центр – в рамках своей информи- рованности обладает достоверной информацией.
Часть показателей освоенного объема, введенных в разделе 1.2,
может рассматриваться как управляющие параметры (ими могут,
например, быть плановые затраты, интенсивности и т.д.). Осталь- ные показатели являются при этом зависимыми, то есть при фикси- рованной модели проекта однозначно определяемыми значениями управляющих параметров (например, если плановые затраты ин- терпретируются как управляющий параметр, то при модели проек- та G
0
(
⋅) плановое значение объема является зависимым показате- лем: x
0
(t) = G
0
(c
0
(t)) и т.д.). В зависимости от рассматриваемой модели (то есть в зависимости от рассматриваемой задачи управле- ния) одни и те же показатели могут быть либо управляющими,
либо зависимыми.
Пусть известны ограничения на значения управляющих пара- метров и задан критерий эффективности управления
1
, зависящий как от управляющих, так и от зависимых параметров. Тогда на качественном уровне задачу управления можно сформулировать следующим образом: выбрать такие допустимые значения управ- ляющих параметров, которые доставляли бы экстремум критерию эффективности управления (в частном случае – максимизировали эффективность проекта).
Задача планирования, являющаяся частным случаем сформу- лированной выше задачи управления, решается до начала реализа- ции проекта и заключается в определении на основании всей имеющейся на данный момент информации оптимальных плановых значений управляющих параметров для t’
≥ 0.
Задача оперативного управления, также являющаяся частным случаем задачи управления, решается в ходе реализации проекта и заключается в определении на основании всей имеющейся на дан- ный момент информации оптимальных текущих и будущих значе-
1
Следует различать эффективность проекта, определяемую как отно-
шение объема к затратам (см. выше), и эффективность управления.
46
ний управляющих параметров, то есть оптимальных плановых значений управляющих параметров для t’
≥ τ.
Таким образом, задачи планирования и оперативного управле- ния являются частными случаями одной и той же задачи управле- ния, отличающимися лишь той информацией, которая имеется на момент принятия решений.
Поясним последнее утверждение более подробно. При реше- нии задачи планирования имеется информация об ограничениях на допустимые значения плановых показателей и модель проекта. При решении задачи оперативного управления имеется информация об ограничениях на допустимые значения показателей освоенного объема и модель проекта, скорректированные в соответствии с решениями соответствующих задач идентификации и прогнозиро- вания, описанными в разделе 1.2, и учитывающие историю реали- зации проекта.
Коль скоро установлена качественная эквивалентность задач планирования и оперативного управления, достаточно рассмотреть подробно одну из них, поэтому ниже в настоящем разделе мы по умолчанию будем подразумевать, что формулируемые и решаемые задачи могут интерпретироваться двояко. Более того, качественно основной результат настоящего раздела заключается в следующем:
при агрегированном представлении проекта, то есть рассмотрении проекта как единого целого в рамках модели, описанной в разделе
1.2, решение задач планирования и оперативного управления в условиях полной информированности заключается в сведении к известным оптимизационным задачам, методы и алгоритмы реше- ния которых хорошо известны.
Обоснуем это утверждение.
Важную часть показателей освоенного объема составляют плановые показатели: планируемая длительность проекта, плани- руемая динамика затрат, плановые значения величины освоенного объема. Поэтому рассмотрим возможные постановки задачи плани- рования.
В разделах 1.1-1.2 была введена следующая взаимосвязь между освоенным объемом и количеством ресурса (напомним, что коли-
47
чество ресурса – объем средств – затрат, которые вкладываются в единицу времени: u(t) = c’(t), c(t) =
∫
t
d
u
0
)
(
τ
τ
):
(1)
))
(
(
)
(
t
u
w
dt
t
dx
=
, x(t) =
∫
t
d
u
w
0
))
(
(
τ
τ
,
∫
T
d
u
w
0
))
(
(
τ
τ
= X
0
,
или в более общем случае:
(2)
)
),
(
),
(
(
)
(
t
t
u
t
x
w
dt
t
dx
=
, x(0) = 0, x(T) = X
0
.
Соотношения (1) или (2) определяют модель проекта, то есть в задаче планирования ими косвенно задается оператор G
0
(
⋅), а в задаче оперативного управления – оператор
G
(
⋅, τ), причем в последнем случае нулевой момент времени в (1) или (2) заменяется на момент времени
τ. Во избежании путаницы, а также для того,
чтобы приводимые результаты с минимальной адаптацией были применимы и к задаче планирования, и к задаче оперативного управления, будем рассматривать только задачу планирования,
помня, что переход к задаче оперативного управления в момент времени
τ осуществляется следующей формальной заменой:
u(t) = c’(t),
c(t) = с(
τ) +
∫
t
dy
y
u
τ
τ )
,
(
,
)
),
,
(
(
)
(
τ
τ
t
u
w
dt
t
dx
=
,
x(t) = x(
τ) +
∫
t
dy
y
u
w
τ
τ
τ
)
,
)
,
(
(
, t
≥ τ, x(τ) +
∫
T
dy
y
u
w
τ
τ
τ
)
),
,
(
(
= X
0
,
или в более общем случае:
)
,
),
,
(
),
(
(
)
(
τ
τ t
t
u
t
x
w
dt
t
dx
=
,
x(t=
τ) = x(τ), x(T) = X
0
, где
)
,
(
τ
⋅
w
- результат идентификации модели проекта в момент времени
τ,
u
(
⋅, τ) =
'
c
(
⋅, τ) – прогноз динамики финансовых ресурсов в момент времени
τ. Кроме того,
отметим, что в задаче планирования приведенные соотношения связывают плановые показатели, а в задаче оперативного управле- ния – фактические или прогнозные. Однако, так как мы установили эквивалентность формулировок этих задач, ниже будем опускать нижние и верхние индексы, соответствующие плановым или про- гнозным значениям.
48
Аналогичным образом учитывается и другая, поступившая до момента времени
τ информация
1
. Например, если стало известно,
что завершению проекта соответствует значение суммарного объе- ма X’, отличное от X
0
, то учет этой информации приведет к замене в приведенных выше для задачи оперативного управления соотно- шениях старой величины суммарного объема на новую.
Предположим, что ограничения на ресурсы и интенсивности заданы в следующем виде:
(3) c(t)
∈ Ξ,
(4) u(t)
∈ U,
(5) w(
⋅) ∈ W,
где
Ξ, U и W – классы возможных значений соответственно затрат,
ресурсов и интенсивностей.
Возможны следующие постановки
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1.2. Общая постановка задачи оперативного управления
проектом
Предположим, что в рамках имеющейся информированности руководителя проекта – центра – он обладает достоверной инфор- мацией обо всех существенных параметрах, то есть условно можно считать, что функционирование системы происходит в условиях полной информированности [15, 17, 19, 22, 78]. Исследуем в рамках этого предположения избыточность приведенной в разделе 1.1
системы показателей освоенного объема.
Даже краткое рассмотрение частных случаев (см. пример 1)
свидетельствует, что набор показателей освоенного объема (основ- ных и производных) является избыточным как с содержательной (в рамках рассматриваемой модели не всегда ясны содержательные трактовки различий между фактическими и освоенными затратами,
а также между фактическим и освоенным объемом), так и с фор- мальной (некоторые производные показатели являются комбинаци-
38
ей других основных или производных показателей и т.д.) точек зрения. Поэтому введем следующий минимальный
1
набор показа- телей освоенного объема (см. рисунок 9), которые используются ниже в настоящей работе.
Основные показатели освоенного объема:
C
0
– планируемые суммарные затраты на проект (TB);
T
0
– планируемый срок завершения проекта;
X
0
– суммарный объем работ по проекту;
c
0
(t) – планируемая динамика затрат (BCWS);
c(t) – фактическая динамика затрат (ACWP);
x
0
(t) – планируемая динамика объемов работ (BQWS);
x(t) – освоенный объем (BQWP);
T – фактический срок окончания проекта;
C – фактические суммарные затраты на проект (EAC – Estimate
At Complete).
Производные показатели освоенного объема:
∆с(t) = c
0
(t) - c(t) - разность между плановыми и фактическими затратами;
∆x(t) = x
0
(t) - x(t) - разность между плановым и освоенным объ- емом
2
;
α(t) = x(t) / x
0
(t) – показатель освоенного объема, характеризует выполнение плана по объему;
β(t) = c(t) / c
0
(t) – показатель динамики затрат, характеризует соответствие поступления средств директивному графику;
γ(t) = x(t) / c(t) – эффективность использования средств
3
;
τ
с
(t) = t -
1 0
−
c
(c(t)) – текущая задержка по затратам;
τ
x
(t) = t -
1 0
−
x
(x(t)) – текущая задержка по объему;
e
0
= X
0
/ C
0
– плановая эффективность проекта в целом;
e
0
(t) = x
0
(t) / c
0
(t) =
β(t) γ(t) / α(t) – плановая эффективность ис- пользования средств;
1
Условно можно считать, что освоенные затраты могут быть рассчи-
таны по освоенному объему (см. подробности ниже).
2
По четырем независимым переменным с учетом размерности можно
определить две независимых их разности.
3
По четырем независимым переменным можно определить три их
независимых отношения.
39
e = X / C – фактическая эффективность проекта в целом.
Помимо перечисленных показателей освоенного объема мо- дель проекта должна включать в себя оператор G(
⋅), связывающий объем с затратами и отражающий «технологию» использования ресурсов.
τ
x
(t)
T
0
x(t)/X
0
– освоенный объем
x
0
(t)/X
0
– план по объему
100%
c(t)/C
0
– фактические затраты
t
c
0
(t)/C
0
– планируемые затраты
T
t
τ
c
(t)
C / C
0
Рис. 9. Пример динамики основных показателей освоенного объема
Докажем, что введенная система показателей освоенного объ- ема включает в себя используемую зарубежными авторами систему показателей (см. ее описание во введении) как частный случай.
Пусть x = kc, где k – коэффициент интенсивности (в примере 1
использовалось уравнение dx/dt = ku, где u = dc/dt). Получаем, что:
SPI =
α(t); CPI = γ(t) / k;
EAC = c(t) + (C
0
– c
e
(t)) / CPI = c(t) + (X
0
– x(t)) /
γ(t),
то есть в случае линейной связи между объемом и ресурсами соот- ветствие полное (с точностью до линейного преобразования).
В рамках рассматриваемой модели задача управления проек- том включает в себя задачу планирования, решаемую до начала реализации проекта, и задачу оперативного управления - выработки оперативных управляющих воздействий в ходе реализации проекта.
Задача планирования заключается в определении объема проекта
X
0
, плановых значений затрат с
0
(t), объема x
0
(t) и продолжительно-
40
сти проекта T
0
при известной «модели проекта» G
0
(
⋅); при этом
C
0
= c
0
(T
0
), x
0
(T
0
) = X
0
. Задача планирования рассматривается в разделе 1.3 настоящей работы, поэтому перейдем к рассмотрению
общей постановки задачи оперативного управления проектом,
которая включает задачи идентификации, прогнозирования и соб- ственно управления.
На рисунке 10 изображена структура системы оперативного управления проектом в рамках модели освоенного объема. Прямо- угольниками отражены реальный проект и его модель. Входом модели проекта является плановая зависимость затрат от времени
c
0
(t), выходом – плановая зависимость объема от времени x
0
(t).
Входом реального проекта является фактическая зависимость затрат от времени c(t), выходом – величина освоенного объема x(t).
Как отмечалось выше, несовпадение: x(t)
≠ x
0
(t) может быть вызва- но следующими причинами: внешней – c(t)
≠ c
0
(t) и/или внутрен- ней – G(
⋅) ≠ G
0
(
⋅).
Следовательно, первой задачей идентификации (обозначенной
«И1» на рисунке 10), которую можно также рассматривать и как задачу прогнозирования, является задача оценки зависимости фактических затрат от времени на основании сравнения наблюдае- мых значений фактических и плановых затрат.
Если представить, что на вход модели проекта подаются не плановые, а фактические затраты, то, зная оператор G
0
(
⋅), можно определить следующую зависимость от времени:
xˆ
(t) = G
0
(c(t)),
сравнение которой с плановой зависимостью x
0
(t) может служить исходными данными для решения второй задачи идентификации
(обозначенной «И2» на рисунке 10) – задачи идентификации собст- венно модели проекта, то есть «уточнения»
G
(
⋅, τ) (см. двойную линию на рисунке 10),
G
(
⋅, 0) = G
0
, соответствующего оператора
(индекс “
τ” в операторе
G
присутствует для того, чтобы подчерк- нуть зависимость от времени
τ, то есть в зависимости от продолжи- тельности имеющейся истории наблюдений за время [0;
τ] модель может изменяться).
41
c
(t’)
x
(t’)
xˆ
(t)
c
0
(t)
x
0
(t)
c(t)
)
,
(
τ
⋅
G
G
0
(
⋅)
G
0
(
⋅)
G
0
(
⋅)
МОДЕЛЬ ПРОЕКТА
Рис. 10. Структура системы
оперативного управления проектом
РЕАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ
УПРАВЛЕНИЕ
И1
И2
x(t)
ПРОГНОЗ
Итак, возникают следующие задачи идентификации:
И1. В момент времени
τ ≥ 0 на основании истории наблюдений
{c(t), c
0
(t)}
t
∈[0; τ]
определить «прогноз» затрат
c
(t’,
τ) для t’ > τ.
И2. В момент времени
τ ≥ 0 на основании истории наблюдений
{c(t), c
0
(t), x
0
(t), x(t),
xˆ
(t)}
t
∈[0; τ]
идентифицировать проект, то есть построит адекватную ему модель
G
(
⋅, τ).
Решив обе задачи идентификации, то есть имея в своем распо- ряжении зависимости
c
(t,
τ) и
G
(
⋅, τ), можно в момент времени
τ ≥ 0 решить задачу прогнозирования, то есть сделать прогноз значения освоенного объема
x
(t’,
τ) для моментов времени t’ > τ :
x
(t’,
τ) =
G
(
c
(t’,
τ), τ).
Необходимо принимать во внимание, что для решения задач идентификации и прогнозирования могут использоваться не только
42
данные о ходе реализации рассматриваемого проекта, но и инфор- мация о реализации других аналогичных проектов.
Сделав маленькое отступление, отметим, что в рамках рас- сматриваемого подхода легко показать, что введенная в настоящем разделе система показателей освоенного объема является мини- мально необходимой для полного описания проекта в рамках мето- дики освоенного объема. Для этого достаточно доказать, что пока- затели фактического объема и освоенных затрат (присутствующие в «расширенном» списке показателей освоенного объема, приве- денном во введении и в разделе 1.1) не являются независимыми и могут быть выражены, через фактические и плановые затраты, а также освоенный и плановый объем. Действительно, фактический объем может интерпретироваться как объем, который был бы освоен, если бы присутствовала только внешняя причина, а внут- ренняя причина отсутствовала, то есть фактический объем есть ни что иное, как
xˆ
(t) = G
0
(c(t)). Освоенные затраты c
e
(t) соответству- ют тем затратам, которые понадобились бы для того, чтобы показа- тель освоенного объема для реального проекта равнялся заданной величине x(t), то есть
G
(с
e
(t)) = x(t).
Решив задачи идентификации и прогнозирования, то есть имея в момент времени
τ в своем распоряжении прогнозы
c
(t’,
τ) и
x
(t’,
τ), для t’ > τ, и зная директивные (плановые) графики затрат и объема, можно решать задачи оперативного управления проек-
том – выработки таких управляющих воздействий, которые кор- ректировали бы ход реализации проекта в нужную (с точки зрения руководителя проекта – см. более подробно ниже) сторону.
Рассмотрим более подробно задачи идентификации, прогноза и оперативного управления. Отметим, что в настоящей работе при анализе и синтезе моделей оперативного управления проектами мы будем следовать следующему общему принципу. Так как конечная цель всех разрабатываемых в рамках методики освоенного объема методов и механизмов оперативного управления заключается в повышении эффективности управления реальными проектами, то критерием необходимости изучения той или иной частной задачи управления является неизвестность на сегодняшний день возмож- ности сведения ее к уже исследованным, например, оптимизацион- ным и другим задачам, методы решения которых могут быть алго- ритмизированы, то есть использованы в методиках или прикладных
43
компьютерных программах, ориентированных на использование руководителями проектов. Такая практическая направленность четко выделяет необходимую степень детализации при исследова- нии тех или иных задач управления, возникающих при описании проекта показателями освоенного объема. Другими словами, в рамках используемого подхода частная задача синтеза определен- ного механизма управления может считаться решенной, если для нее сформулированы либо алгоритм решения, либо приведена ссылка на метод решения эквивалентной ей задачи, которые могут быть использованы в прикладных методиках и алгоритмах, причем создание последних, при наличии подробно изученных с теорети- ческой точки зрения методах решения, может рассматриваться как инженерная задача.
Первая задача идентификации (И1), которую можно также рас- сматривать как задачу прогнозирования значений фактических затрат, заключается в оценке будущей зависимости фактических затрат от времени на основании сравнения наблюдаемых значений фактических и плановых затрат.
Итак, имеются два временных ряда: c
0
(t) и c(t), t
≤ τ. Прогноз
c
(t’,
τ), t’ > τ, может быть получен двумя путями. Первый путь, не учитывающий специфику рассматриваемой задачи, заключается в использовании методов «технического» анализа (статистический анализ временных рядов [2, 51, 72, 99]) для оценки величины
c
(t’,
τ), t’ > τ, только на основании наблюдаемых реализаций c(t),
t
≤ τ. Второй путь – построение модели, отражающей связь между плановыми и фактическими затратами и, быть может, учитываю- щей информацию о результатах реализации аналогичных завер- шившихся проектов, и адаптивная идентификация этой модели на основании имеющих статистических данных. Иллюстрацией второ- го пути может служить введенное в примере 1 предположение
(модель) о постоянстве ресурсов, то есть затрат в единицу времени.
Тогда однократное наблюдение фактических значений ресурсов позволяет однозначно идентифицировать модель. Таким образом,
для прогнозирования будущих значений фактических затрат
c
(t’,
τ), t’ > τ, могут быть использованы (то есть, «зашиты» в соответствующую компьютерную программу без существенной адаптации) известные методы и алгоритмы прогнозирования и идентификации [2, 74, 97-99].
44
Аналогичным образом обстоит дело и со второй задачей иден- тификации (И2) - построения в момент времени
τ ≥ 0 адекватной модели проекта
G
(
⋅, τ) на основании истории наблюдений
{c(t), c
0
(t), x
0
(t), x(t),
xˆ
(t)}
t
∈[0; τ]
, для решения которой в теории адаптивного управления и идентификации существуют хорошо развитые методы решения [98, 99 и др.]. В рамках примера 1 иден- тификация проекта означала определение коэффициентов интен- сивности на основании однократного наблюдения (которое оказы- валось достаточным) параметров фактической реализации проекта.
При известном прогнозе фактических затрат и имеющейся мо- дели проекта решение задачи прогнозирования будущих значений показателей освоенного объема тривиально – оно заключается в подстановке прогноза
c
(t’,
τ) в модель
G
(
⋅, τ), то есть
x
(t’,
τ) =
G
(
c
(t’,
τ), τ), t’ > τ:
Несколько сложнее обстоит дело с задачей собственно управ- ления – поиска оптимальных управляющих воздействий на основа- нии результатов решения задач идентификации и прогнозирования.
Этот класс задач, как и задачи планирования, заслуживает отдель- ного исследования, проводимого в разделе 1.3 настоящей работы.
Таким образом, для решения задач идентификации и прогно- зирования в рамках методики освоенного объема на сегодняшний день существуют хорошо развитые методы адаптивного управле- ния, идентификации и прогнозирования. Другими словами, возни- кающие при использовании методики освоенного объема задачи идентификации и прогнозирования, естественно, обладают собст- венной спецификой, однако, специфичны они не настолько, чтобы к ним были неприменимы известные методы и алгоритмы решения.
45
1.3. Планирование и оперативное управление проектом
в условиях полной информированности
Сохраним введенное в начале раздела 1.2 предположение о том, что руководитель проекта – центр – в рамках своей информи- рованности обладает достоверной информацией.
Часть показателей освоенного объема, введенных в разделе 1.2,
может рассматриваться как управляющие параметры (ими могут,
например, быть плановые затраты, интенсивности и т.д.). Осталь- ные показатели являются при этом зависимыми, то есть при фикси- рованной модели проекта однозначно определяемыми значениями управляющих параметров (например, если плановые затраты ин- терпретируются как управляющий параметр, то при модели проек- та G
0
(
⋅) плановое значение объема является зависимым показате- лем: x
0
(t) = G
0
(c
0
(t)) и т.д.). В зависимости от рассматриваемой модели (то есть в зависимости от рассматриваемой задачи управле- ния) одни и те же показатели могут быть либо управляющими,
либо зависимыми.
Пусть известны ограничения на значения управляющих пара- метров и задан критерий эффективности управления
1
, зависящий как от управляющих, так и от зависимых параметров. Тогда на качественном уровне задачу управления можно сформулировать следующим образом: выбрать такие допустимые значения управ- ляющих параметров, которые доставляли бы экстремум критерию эффективности управления (в частном случае – максимизировали эффективность проекта).
Задача планирования, являющаяся частным случаем сформу- лированной выше задачи управления, решается до начала реализа- ции проекта и заключается в определении на основании всей имеющейся на данный момент информации оптимальных плановых значений управляющих параметров для t’
≥ 0.
Задача оперативного управления, также являющаяся частным случаем задачи управления, решается в ходе реализации проекта и заключается в определении на основании всей имеющейся на дан- ный момент информации оптимальных текущих и будущих значе-
1
Следует различать эффективность проекта, определяемую как отно-
шение объема к затратам (см. выше), и эффективность управления.
46
ний управляющих параметров, то есть оптимальных плановых значений управляющих параметров для t’
≥ τ.
Таким образом, задачи планирования и оперативного управле- ния являются частными случаями одной и той же задачи управле- ния, отличающимися лишь той информацией, которая имеется на момент принятия решений.
Поясним последнее утверждение более подробно. При реше- нии задачи планирования имеется информация об ограничениях на допустимые значения плановых показателей и модель проекта. При решении задачи оперативного управления имеется информация об ограничениях на допустимые значения показателей освоенного объема и модель проекта, скорректированные в соответствии с решениями соответствующих задач идентификации и прогнозиро- вания, описанными в разделе 1.2, и учитывающие историю реали- зации проекта.
Коль скоро установлена качественная эквивалентность задач планирования и оперативного управления, достаточно рассмотреть подробно одну из них, поэтому ниже в настоящем разделе мы по умолчанию будем подразумевать, что формулируемые и решаемые задачи могут интерпретироваться двояко. Более того, качественно основной результат настоящего раздела заключается в следующем:
при агрегированном представлении проекта, то есть рассмотрении проекта как единого целого в рамках модели, описанной в разделе
1.2, решение задач планирования и оперативного управления в условиях полной информированности заключается в сведении к известным оптимизационным задачам, методы и алгоритмы реше- ния которых хорошо известны.
Обоснуем это утверждение.
Важную часть показателей освоенного объема составляют плановые показатели: планируемая длительность проекта, плани- руемая динамика затрат, плановые значения величины освоенного объема. Поэтому рассмотрим возможные постановки задачи плани- рования.
В разделах 1.1-1.2 была введена следующая взаимосвязь между освоенным объемом и количеством ресурса (напомним, что коли-
47
чество ресурса – объем средств – затрат, которые вкладываются в единицу времени: u(t) = c’(t), c(t) =
∫
t
d
u
0
)
(
τ
τ
):
(1)
))
(
(
)
(
t
u
w
dt
t
dx
=
, x(t) =
∫
t
d
u
w
0
))
(
(
τ
τ
,
∫
T
d
u
w
0
))
(
(
τ
τ
= X
0
,
или в более общем случае:
(2)
)
),
(
),
(
(
)
(
t
t
u
t
x
w
dt
t
dx
=
, x(0) = 0, x(T) = X
0
.
Соотношения (1) или (2) определяют модель проекта, то есть в задаче планирования ими косвенно задается оператор G
0
(
⋅), а в задаче оперативного управления – оператор
G
(
⋅, τ), причем в последнем случае нулевой момент времени в (1) или (2) заменяется на момент времени
τ. Во избежании путаницы, а также для того,
чтобы приводимые результаты с минимальной адаптацией были применимы и к задаче планирования, и к задаче оперативного управления, будем рассматривать только задачу планирования,
помня, что переход к задаче оперативного управления в момент времени
τ осуществляется следующей формальной заменой:
u(t) = c’(t),
c(t) = с(
τ) +
∫
t
dy
y
u
τ
τ )
,
(
,
)
),
,
(
(
)
(
τ
τ
t
u
w
dt
t
dx
=
,
x(t) = x(
τ) +
∫
t
dy
y
u
w
τ
τ
τ
)
,
)
,
(
(
, t
≥ τ, x(τ) +
∫
T
dy
y
u
w
τ
τ
τ
)
),
,
(
(
= X
0
,
или в более общем случае:
)
,
),
,
(
),
(
(
)
(
τ
τ t
t
u
t
x
w
dt
t
dx
=
,
x(t=
τ) = x(τ), x(T) = X
0
, где
)
,
(
τ
⋅
w
- результат идентификации модели проекта в момент времени
τ,
u
(
⋅, τ) =
'
c
(
⋅, τ) – прогноз динамики финансовых ресурсов в момент времени
τ. Кроме того,
отметим, что в задаче планирования приведенные соотношения связывают плановые показатели, а в задаче оперативного управле- ния – фактические или прогнозные. Однако, так как мы установили эквивалентность формулировок этих задач, ниже будем опускать нижние и верхние индексы, соответствующие плановым или про- гнозным значениям.
48
Аналогичным образом учитывается и другая, поступившая до момента времени
τ информация
1
. Например, если стало известно,
что завершению проекта соответствует значение суммарного объе- ма X’, отличное от X
0
, то учет этой информации приведет к замене в приведенных выше для задачи оперативного управления соотно- шениях старой величины суммарного объема на новую.
Предположим, что ограничения на ресурсы и интенсивности заданы в следующем виде:
(3) c(t)
∈ Ξ,
(4) u(t)
∈ U,
(5) w(
⋅) ∈ W,
где
Ξ, U и W – классы возможных значений соответственно затрат,
ресурсов и интенсивностей.
Возможны следующие постановки
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1.2. Общая постановка задачи оперативного управления
проектом
Предположим, что в рамках имеющейся информированности руководителя проекта – центра – он обладает достоверной инфор- мацией обо всех существенных параметрах, то есть условно можно считать, что функционирование системы происходит в условиях полной информированности [15, 17, 19, 22, 78]. Исследуем в рамках этого предположения избыточность приведенной в разделе 1.1
системы показателей освоенного объема.
Даже краткое рассмотрение частных случаев (см. пример 1)
свидетельствует, что набор показателей освоенного объема (основ- ных и производных) является избыточным как с содержательной (в рамках рассматриваемой модели не всегда ясны содержательные трактовки различий между фактическими и освоенными затратами,
а также между фактическим и освоенным объемом), так и с фор- мальной (некоторые производные показатели являются комбинаци-
38
ей других основных или производных показателей и т.д.) точек зрения. Поэтому введем следующий минимальный
1
набор показа- телей освоенного объема (см. рисунок 9), которые используются ниже в настоящей работе.
Основные показатели освоенного объема:
C
0
– планируемые суммарные затраты на проект (TB);
T
0
– планируемый срок завершения проекта;
X
0
– суммарный объем работ по проекту;
c
0
(t) – планируемая динамика затрат (BCWS);
c(t) – фактическая динамика затрат (ACWP);
x
0
(t) – планируемая динамика объемов работ (BQWS);
x(t) – освоенный объем (BQWP);
T – фактический срок окончания проекта;
C – фактические суммарные затраты на проект (EAC – Estimate
At Complete).
Производные показатели освоенного объема:
∆с(t) = c
0
(t) - c(t) - разность между плановыми и фактическими затратами;
∆x(t) = x
0
(t) - x(t) - разность между плановым и освоенным объ- емом
2
;
α(t) = x(t) / x
0
(t) – показатель освоенного объема, характеризует выполнение плана по объему;
β(t) = c(t) / c
0
(t) – показатель динамики затрат, характеризует соответствие поступления средств директивному графику;
γ(t) = x(t) / c(t) – эффективность использования средств
3
;
τ
с
(t) = t -
1 0
−
c
(c(t)) – текущая задержка по затратам;
τ
x
(t) = t -
1 0
−
x
(x(t)) – текущая задержка по объему;
e
0
= X
0
/ C
0
– плановая эффективность проекта в целом;
e
0
(t) = x
0
(t) / c
0
(t) =
β(t) γ(t) / α(t) – плановая эффективность ис- пользования средств;
1
Условно можно считать, что освоенные затраты могут быть рассчи-
таны по освоенному объему (см. подробности ниже).
2
По четырем независимым переменным с учетом размерности можно
определить две независимых их разности.
3
По четырем независимым переменным можно определить три их
независимых отношения.
39
e = X / C – фактическая эффективность проекта в целом.
Помимо перечисленных показателей освоенного объема мо- дель проекта должна включать в себя оператор G(
⋅), связывающий объем с затратами и отражающий «технологию» использования ресурсов.
τ
x
(t)
T
0
x(t)/X
0
– освоенный объем
x
0
(t)/X
0
– план по объему
100%
c(t)/C
0
– фактические затраты
t
c
0
(t)/C
0
– планируемые затраты
T
t
τ
c
(t)
C / C
0
Рис. 9. Пример динамики основных показателей освоенного объема
Докажем, что введенная система показателей освоенного объ- ема включает в себя используемую зарубежными авторами систему показателей (см. ее описание во введении) как частный случай.
Пусть x = kc, где k – коэффициент интенсивности (в примере 1
использовалось уравнение dx/dt = ku, где u = dc/dt). Получаем, что:
SPI =
α(t); CPI = γ(t) / k;
EAC = c(t) + (C
0
– c
e
(t)) / CPI = c(t) + (X
0
– x(t)) /
γ(t),
то есть в случае линейной связи между объемом и ресурсами соот- ветствие полное (с точностью до линейного преобразования).
В рамках рассматриваемой модели задача управления проек- том включает в себя задачу планирования, решаемую до начала реализации проекта, и задачу оперативного управления - выработки оперативных управляющих воздействий в ходе реализации проекта.
Задача планирования заключается в определении объема проекта
X
0
, плановых значений затрат с
0
(t), объема x
0
(t) и продолжительно-
40
сти проекта T
0
при известной «модели проекта» G
0
(
⋅); при этом
C
0
= c
0
(T
0
), x
0
(T
0
) = X
0
. Задача планирования рассматривается в разделе 1.3 настоящей работы, поэтому перейдем к рассмотрению
общей постановки задачи оперативного управления проектом,
которая включает задачи идентификации, прогнозирования и соб- ственно управления.
На рисунке 10 изображена структура системы оперативного управления проектом в рамках модели освоенного объема. Прямо- угольниками отражены реальный проект и его модель. Входом модели проекта является плановая зависимость затрат от времени
c
0
(t), выходом – плановая зависимость объема от времени x
0
(t).
Входом реального проекта является фактическая зависимость затрат от времени c(t), выходом – величина освоенного объема x(t).
Как отмечалось выше, несовпадение: x(t)
≠ x
0
(t) может быть вызва- но следующими причинами: внешней – c(t)
≠ c
0
(t) и/или внутрен- ней – G(
⋅) ≠ G
0
(
⋅).
Следовательно, первой задачей идентификации (обозначенной
«И1» на рисунке 10), которую можно также рассматривать и как задачу прогнозирования, является задача оценки зависимости фактических затрат от времени на основании сравнения наблюдае- мых значений фактических и плановых затрат.
Если представить, что на вход модели проекта подаются не плановые, а фактические затраты, то, зная оператор G
0
(
⋅), можно определить следующую зависимость от времени:
xˆ
(t) = G
0
(c(t)),
сравнение которой с плановой зависимостью x
0
(t) может служить исходными данными для решения второй задачи идентификации
(обозначенной «И2» на рисунке 10) – задачи идентификации собст- венно модели проекта, то есть «уточнения»
G
(
⋅, τ) (см. двойную линию на рисунке 10),
G
(
⋅, 0) = G
0
, соответствующего оператора
(индекс “
τ” в операторе
G
присутствует для того, чтобы подчерк- нуть зависимость от времени
τ, то есть в зависимости от продолжи- тельности имеющейся истории наблюдений за время [0;
τ] модель может изменяться).
41
c
(t’)
x
(t’)
xˆ
(t)
c
0
(t)
x
0
(t)
c(t)
)
,
(
τ
⋅
G
G
0
(
⋅)
G
0
(
⋅)
G
0
(
⋅)
МОДЕЛЬ ПРОЕКТА
Рис. 10. Структура системы
оперативного управления проектом
РЕАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ
УПРАВЛЕНИЕ
И1
И2
x(t)
ПРОГНОЗ
Итак, возникают следующие задачи идентификации:
И1. В момент времени
τ ≥ 0 на основании истории наблюдений
{c(t), c
0
(t)}
t
∈[0; τ]
определить «прогноз» затрат
c
(t’,
τ) для t’ > τ.
И2. В момент времени
τ ≥ 0 на основании истории наблюдений
{c(t), c
0
(t), x
0
(t), x(t),
xˆ
(t)}
t
∈[0; τ]
идентифицировать проект, то есть построит адекватную ему модель
G
(
⋅, τ).
Решив обе задачи идентификации, то есть имея в своем распо- ряжении зависимости
c
(t,
τ) и
G
(
⋅, τ), можно в момент времени
τ ≥ 0 решить задачу прогнозирования, то есть сделать прогноз значения освоенного объема
x
(t’,
τ) для моментов времени t’ > τ :
x
(t’,
τ) =
G
(
c
(t’,
τ), τ).
Необходимо принимать во внимание, что для решения задач идентификации и прогнозирования могут использоваться не только
42
данные о ходе реализации рассматриваемого проекта, но и инфор- мация о реализации других аналогичных проектов.
Сделав маленькое отступление, отметим, что в рамках рас- сматриваемого подхода легко показать, что введенная в настоящем разделе система показателей освоенного объема является мини- мально необходимой для полного описания проекта в рамках мето- дики освоенного объема. Для этого достаточно доказать, что пока- затели фактического объема и освоенных затрат (присутствующие в «расширенном» списке показателей освоенного объема, приве- денном во введении и в разделе 1.1) не являются независимыми и могут быть выражены, через фактические и плановые затраты, а также освоенный и плановый объем. Действительно, фактический объем может интерпретироваться как объем, который был бы освоен, если бы присутствовала только внешняя причина, а внут- ренняя причина отсутствовала, то есть фактический объем есть ни что иное, как
xˆ
(t) = G
0
(c(t)). Освоенные затраты c
e
(t) соответству- ют тем затратам, которые понадобились бы для того, чтобы показа- тель освоенного объема для реального проекта равнялся заданной величине x(t), то есть
G
(с
e
(t)) = x(t).
Решив задачи идентификации и прогнозирования, то есть имея в момент времени
τ в своем распоряжении прогнозы
c
(t’,
τ) и
x
(t’,
τ), для t’ > τ, и зная директивные (плановые) графики затрат и объема, можно решать задачи оперативного управления проек-
том – выработки таких управляющих воздействий, которые кор- ректировали бы ход реализации проекта в нужную (с точки зрения руководителя проекта – см. более подробно ниже) сторону.
Рассмотрим более подробно задачи идентификации, прогноза и оперативного управления. Отметим, что в настоящей работе при анализе и синтезе моделей оперативного управления проектами мы будем следовать следующему общему принципу. Так как конечная цель всех разрабатываемых в рамках методики освоенного объема методов и механизмов оперативного управления заключается в повышении эффективности управления реальными проектами, то критерием необходимости изучения той или иной частной задачи управления является неизвестность на сегодняшний день возмож- ности сведения ее к уже исследованным, например, оптимизацион- ным и другим задачам, методы решения которых могут быть алго- ритмизированы, то есть использованы в методиках или прикладных
43
компьютерных программах, ориентированных на использование руководителями проектов. Такая практическая направленность четко выделяет необходимую степень детализации при исследова- нии тех или иных задач управления, возникающих при описании проекта показателями освоенного объема. Другими словами, в рамках используемого подхода частная задача синтеза определен- ного механизма управления может считаться решенной, если для нее сформулированы либо алгоритм решения, либо приведена ссылка на метод решения эквивалентной ей задачи, которые могут быть использованы в прикладных методиках и алгоритмах, причем создание последних, при наличии подробно изученных с теорети- ческой точки зрения методах решения, может рассматриваться как инженерная задача.
Первая задача идентификации (И1), которую можно также рас- сматривать как задачу прогнозирования значений фактических затрат, заключается в оценке будущей зависимости фактических затрат от времени на основании сравнения наблюдаемых значений фактических и плановых затрат.
Итак, имеются два временных ряда: c
0
(t) и c(t), t
≤ τ. Прогноз
c
(t’,
τ), t’ > τ, может быть получен двумя путями. Первый путь, не учитывающий специфику рассматриваемой задачи, заключается в использовании методов «технического» анализа (статистический анализ временных рядов [2, 51, 72, 99]) для оценки величины
c
(t’,
τ), t’ > τ, только на основании наблюдаемых реализаций c(t),
t
≤ τ. Второй путь – построение модели, отражающей связь между плановыми и фактическими затратами и, быть может, учитываю- щей информацию о результатах реализации аналогичных завер- шившихся проектов, и адаптивная идентификация этой модели на основании имеющих статистических данных. Иллюстрацией второ- го пути может служить введенное в примере 1 предположение
(модель) о постоянстве ресурсов, то есть затрат в единицу времени.
Тогда однократное наблюдение фактических значений ресурсов позволяет однозначно идентифицировать модель. Таким образом,
для прогнозирования будущих значений фактических затрат
c
(t’,
τ), t’ > τ, могут быть использованы (то есть, «зашиты» в соответствующую компьютерную программу без существенной адаптации) известные методы и алгоритмы прогнозирования и идентификации [2, 74, 97-99].
44
Аналогичным образом обстоит дело и со второй задачей иден- тификации (И2) - построения в момент времени
τ ≥ 0 адекватной модели проекта
G
(
⋅, τ) на основании истории наблюдений
{c(t), c
0
(t), x
0
(t), x(t),
xˆ
(t)}
t
∈[0; τ]
, для решения которой в теории адаптивного управления и идентификации существуют хорошо развитые методы решения [98, 99 и др.]. В рамках примера 1 иден- тификация проекта означала определение коэффициентов интен- сивности на основании однократного наблюдения (которое оказы- валось достаточным) параметров фактической реализации проекта.
При известном прогнозе фактических затрат и имеющейся мо- дели проекта решение задачи прогнозирования будущих значений показателей освоенного объема тривиально – оно заключается в подстановке прогноза
c
(t’,
τ) в модель
G
(
⋅, τ), то есть
x
(t’,
τ) =
G
(
c
(t’,
τ), τ), t’ > τ:
Несколько сложнее обстоит дело с задачей собственно управ- ления – поиска оптимальных управляющих воздействий на основа- нии результатов решения задач идентификации и прогнозирования.
Этот класс задач, как и задачи планирования, заслуживает отдель- ного исследования, проводимого в разделе 1.3 настоящей работы.
Таким образом, для решения задач идентификации и прогно- зирования в рамках методики освоенного объема на сегодняшний день существуют хорошо развитые методы адаптивного управле- ния, идентификации и прогнозирования. Другими словами, возни- кающие при использовании методики освоенного объема задачи идентификации и прогнозирования, естественно, обладают собст- венной спецификой, однако, специфичны они не настолько, чтобы к ним были неприменимы известные методы и алгоритмы решения.
45
1.3. Планирование и оперативное управление проектом
в условиях полной информированности
Сохраним введенное в начале раздела 1.2 предположение о том, что руководитель проекта – центр – в рамках своей информи- рованности обладает достоверной информацией.
Часть показателей освоенного объема, введенных в разделе 1.2,
может рассматриваться как управляющие параметры (ими могут,
например, быть плановые затраты, интенсивности и т.д.). Осталь- ные показатели являются при этом зависимыми, то есть при фикси- рованной модели проекта однозначно определяемыми значениями управляющих параметров (например, если плановые затраты ин- терпретируются как управляющий параметр, то при модели проек- та G
0
(
⋅) плановое значение объема является зависимым показате- лем: x
0
(t) = G
0
(c
0
(t)) и т.д.). В зависимости от рассматриваемой модели (то есть в зависимости от рассматриваемой задачи управле- ния) одни и те же показатели могут быть либо управляющими,
либо зависимыми.
Пусть известны ограничения на значения управляющих пара- метров и задан критерий эффективности управления
1
, зависящий как от управляющих, так и от зависимых параметров. Тогда на качественном уровне задачу управления можно сформулировать следующим образом: выбрать такие допустимые значения управ- ляющих параметров, которые доставляли бы экстремум критерию эффективности управления (в частном случае – максимизировали эффективность проекта).
Задача планирования, являющаяся частным случаем сформу- лированной выше задачи управления, решается до начала реализа- ции проекта и заключается в определении на основании всей имеющейся на данный момент информации оптимальных плановых значений управляющих параметров для t’
≥ 0.
Задача оперативного управления, также являющаяся частным случаем задачи управления, решается в ходе реализации проекта и заключается в определении на основании всей имеющейся на дан- ный момент информации оптимальных текущих и будущих значе-
1
Следует различать эффективность проекта, определяемую как отно-
шение объема к затратам (см. выше), и эффективность управления.
46
ний управляющих параметров, то есть оптимальных плановых значений управляющих параметров для t’
≥ τ.
Таким образом, задачи планирования и оперативного управле- ния являются частными случаями одной и той же задачи управле- ния, отличающимися лишь той информацией, которая имеется на момент принятия решений.
Поясним последнее утверждение более подробно. При реше- нии задачи планирования имеется информация об ограничениях на допустимые значения плановых показателей и модель проекта. При решении задачи оперативного управления имеется информация об ограничениях на допустимые значения показателей освоенного объема и модель проекта, скорректированные в соответствии с решениями соответствующих задач идентификации и прогнозиро- вания, описанными в разделе 1.2, и учитывающие историю реали- зации проекта.
Коль скоро установлена качественная эквивалентность задач планирования и оперативного управления, достаточно рассмотреть подробно одну из них, поэтому ниже в настоящем разделе мы по умолчанию будем подразумевать, что формулируемые и решаемые задачи могут интерпретироваться двояко. Более того, качественно основной результат настоящего раздела заключается в следующем:
при агрегированном представлении проекта, то есть рассмотрении проекта как единого целого в рамках модели, описанной в разделе
1.2, решение задач планирования и оперативного управления в условиях полной информированности заключается в сведении к известным оптимизационным задачам, методы и алгоритмы реше- ния которых хорошо известны.
Обоснуем это утверждение.
Важную часть показателей освоенного объема составляют плановые показатели: планируемая длительность проекта, плани- руемая динамика затрат, плановые значения величины освоенного объема. Поэтому рассмотрим возможные постановки задачи плани- рования.
В разделах 1.1-1.2 была введена следующая взаимосвязь между освоенным объемом и количеством ресурса (напомним, что коли-
47
чество ресурса – объем средств – затрат, которые вкладываются в единицу времени: u(t) = c’(t), c(t) =
∫
t
d
u
0
)
(
τ
τ
):
(1)
))
(
(
)
(
t
u
w
dt
t
dx
=
, x(t) =
∫
t
d
u
w
0
))
(
(
τ
τ
,
∫
T
d
u
w
0
))
(
(
τ
τ
= X
0
,
или в более общем случае:
(2)
)
),
(
),
(
(
)
(
t
t
u
t
x
w
dt
t
dx
=
, x(0) = 0, x(T) = X
0
.
Соотношения (1) или (2) определяют модель проекта, то есть в задаче планирования ими косвенно задается оператор G
0
(
⋅), а в задаче оперативного управления – оператор
G
(
⋅, τ), причем в последнем случае нулевой момент времени в (1) или (2) заменяется на момент времени
τ. Во избежании путаницы, а также для того,
чтобы приводимые результаты с минимальной адаптацией были применимы и к задаче планирования, и к задаче оперативного управления, будем рассматривать только задачу планирования,
помня, что переход к задаче оперативного управления в момент времени
τ осуществляется следующей формальной заменой:
u(t) = c’(t),
c(t) = с(
τ) +
∫
t
dy
y
u
τ
τ )
,
(
,
)
),
,
(
(
)
(
τ
τ
t
u
w
dt
t
dx
=
,
x(t) = x(
τ) +
∫
t
dy
y
u
w
τ
τ
τ
)
,
)
,
(
(
, t
≥ τ, x(τ) +
∫
T
dy
y
u
w
τ
τ
τ
)
),
,
(
(
= X
0
,
или в более общем случае:
)
,
),
,
(
),
(
(
)
(
τ
τ t
t
u
t
x
w
dt
t
dx
=
,
x(t=
τ) = x(τ), x(T) = X
0
, где
)
,
(
τ
⋅
w
- результат идентификации модели проекта в момент времени
τ,
u
(
⋅, τ) =
'
c
(
⋅, τ) – прогноз динамики финансовых ресурсов в момент времени
τ. Кроме того,
отметим, что в задаче планирования приведенные соотношения связывают плановые показатели, а в задаче оперативного управле- ния – фактические или прогнозные. Однако, так как мы установили эквивалентность формулировок этих задач, ниже будем опускать нижние и верхние индексы, соответствующие плановым или про- гнозным значениям.
48
Аналогичным образом учитывается и другая, поступившая до момента времени
τ информация
1
. Например, если стало известно,
что завершению проекта соответствует значение суммарного объе- ма X’, отличное от X
0
, то учет этой информации приведет к замене в приведенных выше для задачи оперативного управления соотно- шениях старой величины суммарного объема на новую.
Предположим, что ограничения на ресурсы и интенсивности заданы в следующем виде:
(3) c(t)
∈ Ξ,
(4) u(t)
∈ U,
(5) w(
⋅) ∈ W,
где
Ξ, U и W – классы возможных значений соответственно затрат,
ресурсов и интенсивностей.
Возможны следующие постановки
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
38
ей других основных или производных показателей и т.д.) точек зрения. Поэтому введем следующий минимальный
1
набор показа- телей освоенного объема (см. рисунок 9), которые используются ниже в настоящей работе.
Основные показатели освоенного объема:
C
0
– планируемые суммарные затраты на проект (TB);
T
0
– планируемый срок завершения проекта;
X
0
– суммарный объем работ по проекту;
c
0
(t) – планируемая динамика затрат (BCWS);
c(t) – фактическая динамика затрат (ACWP);
x
0
(t) – планируемая динамика объемов работ (BQWS);
x(t) – освоенный объем (BQWP);
T – фактический срок окончания проекта;
C – фактические суммарные затраты на проект (EAC – Estimate
At Complete).
Производные показатели освоенного объема:
∆с(t) = c
0
(t) - c(t) - разность между плановыми и фактическими затратами;
∆x(t) = x
0
(t) - x(t) - разность между плановым и освоенным объ- емом
2
;
α(t) = x(t) / x
0
(t) – показатель освоенного объема, характеризует выполнение плана по объему;
β(t) = c(t) / c
0
(t) – показатель динамики затрат, характеризует соответствие поступления средств директивному графику;
γ(t) = x(t) / c(t) – эффективность использования средств
3
;
τ
с
(t) = t -
1 0
−
c
(c(t)) – текущая задержка по затратам;
τ
x
(t) = t -
1 0
−
x
(x(t)) – текущая задержка по объему;
e
0
= X
0
/ C
0
– плановая эффективность проекта в целом;
e
0
(t) = x
0
(t) / c
0
(t) =
β(t) γ(t) / α(t) – плановая эффективность ис- пользования средств;
1
Условно можно считать, что освоенные затраты могут быть рассчи-
таны по освоенному объему (см. подробности ниже).
2
По четырем независимым переменным с учетом размерности можно
определить две независимых их разности.
3
По четырем независимым переменным можно определить три их
независимых отношения.
39
e = X / C – фактическая эффективность проекта в целом.
Помимо перечисленных показателей освоенного объема мо- дель проекта должна включать в себя оператор G(
⋅), связывающий объем с затратами и отражающий «технологию» использования ресурсов.
τ
x
(t)
T
0
x(t)/X
0
– освоенный объем
x
0
(t)/X
0
– план по объему
100%
c(t)/C
0
– фактические затраты
t
c
0
(t)/C
0
– планируемые затраты
T
t
τ
c
(t)
C / C
0
Рис. 9. Пример динамики основных показателей освоенного объема
Докажем, что введенная система показателей освоенного объ- ема включает в себя используемую зарубежными авторами систему показателей (см. ее описание во введении) как частный случай.
Пусть x = kc, где k – коэффициент интенсивности (в примере 1
использовалось уравнение dx/dt = ku, где u = dc/dt). Получаем, что:
SPI =
α(t); CPI = γ(t) / k;
EAC = c(t) + (C
0
– c
e
(t)) / CPI = c(t) + (X
0
– x(t)) /
γ(t),
то есть в случае линейной связи между объемом и ресурсами соот- ветствие полное (с точностью до линейного преобразования).
В рамках рассматриваемой модели задача управления проек- том включает в себя задачу планирования, решаемую до начала реализации проекта, и задачу оперативного управления - выработки оперативных управляющих воздействий в ходе реализации проекта.
Задача планирования заключается в определении объема проекта
X
0
, плановых значений затрат с
0
(t), объема x
0
(t) и продолжительно-
40
сти проекта T
0
при известной «модели проекта» G
0
(
⋅); при этом
C
0
= c
0
(T
0
), x
0
(T
0
) = X
0
. Задача планирования рассматривается в разделе 1.3 настоящей работы, поэтому перейдем к рассмотрению
общей постановки задачи оперативного управления проектом,
которая включает задачи идентификации, прогнозирования и соб- ственно управления.
На рисунке 10 изображена структура системы оперативного управления проектом в рамках модели освоенного объема. Прямо- угольниками отражены реальный проект и его модель. Входом модели проекта является плановая зависимость затрат от времени
c
0
(t), выходом – плановая зависимость объема от времени x
0
(t).
Входом реального проекта является фактическая зависимость затрат от времени c(t), выходом – величина освоенного объема x(t).
Как отмечалось выше, несовпадение: x(t)
≠ x
0
(t) может быть вызва- но следующими причинами: внешней – c(t)
≠ c
0
(t) и/или внутрен- ней – G(
⋅) ≠ G
0
(
⋅).
Следовательно, первой задачей идентификации (обозначенной
«И1» на рисунке 10), которую можно также рассматривать и как задачу прогнозирования, является задача оценки зависимости фактических затрат от времени на основании сравнения наблюдае- мых значений фактических и плановых затрат.
Если представить, что на вход модели проекта подаются не плановые, а фактические затраты, то, зная оператор G
0
(
⋅), можно определить следующую зависимость от времени:
xˆ
(t) = G
0
(c(t)),
сравнение которой с плановой зависимостью x
0
(t) может служить исходными данными для решения второй задачи идентификации
(обозначенной «И2» на рисунке 10) – задачи идентификации собст- венно модели проекта, то есть «уточнения»
G
(
⋅, τ) (см. двойную линию на рисунке 10),
G
(
⋅, 0) = G
0
, соответствующего оператора
(индекс “
τ” в операторе
G
присутствует для того, чтобы подчерк- нуть зависимость от времени
τ, то есть в зависимости от продолжи- тельности имеющейся истории наблюдений за время [0;
τ] модель может изменяться).
41
c
(t’)
x
(t’)
xˆ
(t)
c
0
(t)
x
0
(t)
c(t)
)
,
(
τ
⋅
G
G
0
(
⋅)
G
0
(
⋅)
G
0
(
⋅)
МОДЕЛЬ ПРОЕКТА
Рис. 10. Структура системы
оперативного управления проектом
РЕАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ
УПРАВЛЕНИЕ
И1
И2
x(t)
ПРОГНОЗ
Итак, возникают следующие задачи идентификации:
И1. В момент времени
τ ≥ 0 на основании истории наблюдений
{c(t), c
0
(t)}
t
∈[0; τ]
определить «прогноз» затрат
c
(t’,
τ) для t’ > τ.
И2. В момент времени
τ ≥ 0 на основании истории наблюдений
{c(t), c
0
(t), x
0
(t), x(t),
xˆ
(t)}
t
∈[0; τ]
идентифицировать проект, то есть построит адекватную ему модель
G
(
⋅, τ).
Решив обе задачи идентификации, то есть имея в своем распо- ряжении зависимости
c
(t,
τ) и
G
(
⋅, τ), можно в момент времени
τ ≥ 0 решить задачу прогнозирования, то есть сделать прогноз значения освоенного объема
x
(t’,
τ) для моментов времени t’ > τ :
x
(t’,
τ) =
G
(
c
(t’,
τ), τ).
Необходимо принимать во внимание, что для решения задач идентификации и прогнозирования могут использоваться не только
42
данные о ходе реализации рассматриваемого проекта, но и инфор- мация о реализации других аналогичных проектов.
Сделав маленькое отступление, отметим, что в рамках рас- сматриваемого подхода легко показать, что введенная в настоящем разделе система показателей освоенного объема является мини- мально необходимой для полного описания проекта в рамках мето- дики освоенного объема. Для этого достаточно доказать, что пока- затели фактического объема и освоенных затрат (присутствующие в «расширенном» списке показателей освоенного объема, приве- денном во введении и в разделе 1.1) не являются независимыми и могут быть выражены, через фактические и плановые затраты, а также освоенный и плановый объем. Действительно, фактический объем может интерпретироваться как объем, который был бы освоен, если бы присутствовала только внешняя причина, а внут- ренняя причина отсутствовала, то есть фактический объем есть ни что иное, как
xˆ
(t) = G
0
(c(t)). Освоенные затраты c
e
(t) соответству- ют тем затратам, которые понадобились бы для того, чтобы показа- тель освоенного объема для реального проекта равнялся заданной величине x(t), то есть
G
(с
e
(t)) = x(t).
Решив задачи идентификации и прогнозирования, то есть имея в момент времени
τ в своем распоряжении прогнозы
c
(t’,
τ) и
x
(t’,
τ), для t’ > τ, и зная директивные (плановые) графики затрат и объема, можно решать задачи оперативного управления проек-
том – выработки таких управляющих воздействий, которые кор- ректировали бы ход реализации проекта в нужную (с точки зрения руководителя проекта – см. более подробно ниже) сторону.
Рассмотрим более подробно задачи идентификации, прогноза и оперативного управления. Отметим, что в настоящей работе при анализе и синтезе моделей оперативного управления проектами мы будем следовать следующему общему принципу. Так как конечная цель всех разрабатываемых в рамках методики освоенного объема методов и механизмов оперативного управления заключается в повышении эффективности управления реальными проектами, то критерием необходимости изучения той или иной частной задачи управления является неизвестность на сегодняшний день возмож- ности сведения ее к уже исследованным, например, оптимизацион- ным и другим задачам, методы решения которых могут быть алго- ритмизированы, то есть использованы в методиках или прикладных
43
компьютерных программах, ориентированных на использование руководителями проектов. Такая практическая направленность четко выделяет необходимую степень детализации при исследова- нии тех или иных задач управления, возникающих при описании проекта показателями освоенного объема. Другими словами, в рамках используемого подхода частная задача синтеза определен- ного механизма управления может считаться решенной, если для нее сформулированы либо алгоритм решения, либо приведена ссылка на метод решения эквивалентной ей задачи, которые могут быть использованы в прикладных методиках и алгоритмах, причем создание последних, при наличии подробно изученных с теорети- ческой точки зрения методах решения, может рассматриваться как инженерная задача.
Первая задача идентификации (И1), которую можно также рас- сматривать как задачу прогнозирования значений фактических затрат, заключается в оценке будущей зависимости фактических затрат от времени на основании сравнения наблюдаемых значений фактических и плановых затрат.
Итак, имеются два временных ряда: c
0
(t) и c(t), t
≤ τ. Прогноз
c
(t’,
τ), t’ > τ, может быть получен двумя путями. Первый путь, не учитывающий специфику рассматриваемой задачи, заключается в использовании методов «технического» анализа (статистический анализ временных рядов [2, 51, 72, 99]) для оценки величины
c
(t’,
τ), t’ > τ, только на основании наблюдаемых реализаций c(t),
t
≤ τ. Второй путь – построение модели, отражающей связь между плановыми и фактическими затратами и, быть может, учитываю- щей информацию о результатах реализации аналогичных завер- шившихся проектов, и адаптивная идентификация этой модели на основании имеющих статистических данных. Иллюстрацией второ- го пути может служить введенное в примере 1 предположение
(модель) о постоянстве ресурсов, то есть затрат в единицу времени.
Тогда однократное наблюдение фактических значений ресурсов позволяет однозначно идентифицировать модель. Таким образом,
для прогнозирования будущих значений фактических затрат
c
(t’,
τ), t’ > τ, могут быть использованы (то есть, «зашиты» в соответствующую компьютерную программу без существенной адаптации) известные методы и алгоритмы прогнозирования и идентификации [2, 74, 97-99].
44
Аналогичным образом обстоит дело и со второй задачей иден- тификации (И2) - построения в момент времени
τ ≥ 0 адекватной модели проекта
G
(
⋅, τ) на основании истории наблюдений
{c(t), c
0
(t), x
0
(t), x(t),
xˆ
(t)}
t
∈[0; τ]
, для решения которой в теории адаптивного управления и идентификации существуют хорошо развитые методы решения [98, 99 и др.]. В рамках примера 1 иден- тификация проекта означала определение коэффициентов интен- сивности на основании однократного наблюдения (которое оказы- валось достаточным) параметров фактической реализации проекта.
При известном прогнозе фактических затрат и имеющейся мо- дели проекта решение задачи прогнозирования будущих значений показателей освоенного объема тривиально – оно заключается в подстановке прогноза
c
(t’,
τ) в модель
G
(
⋅, τ), то есть
x
(t’,
τ) =
G
(
c
(t’,
τ), τ), t’ > τ:
Несколько сложнее обстоит дело с задачей собственно управ- ления – поиска оптимальных управляющих воздействий на основа- нии результатов решения задач идентификации и прогнозирования.
Этот класс задач, как и задачи планирования, заслуживает отдель- ного исследования, проводимого в разделе 1.3 настоящей работы.
Таким образом, для решения задач идентификации и прогно- зирования в рамках методики освоенного объема на сегодняшний день существуют хорошо развитые методы адаптивного управле- ния, идентификации и прогнозирования. Другими словами, возни- кающие при использовании методики освоенного объема задачи идентификации и прогнозирования, естественно, обладают собст- венной спецификой, однако, специфичны они не настолько, чтобы к ним были неприменимы известные методы и алгоритмы решения.
45
1.3. Планирование и оперативное управление проектом
в условиях полной информированности
Сохраним введенное в начале раздела 1.2 предположение о том, что руководитель проекта – центр – в рамках своей информи- рованности обладает достоверной информацией.
Часть показателей освоенного объема, введенных в разделе 1.2,
может рассматриваться как управляющие параметры (ими могут,
например, быть плановые затраты, интенсивности и т.д.). Осталь- ные показатели являются при этом зависимыми, то есть при фикси- рованной модели проекта однозначно определяемыми значениями управляющих параметров (например, если плановые затраты ин- терпретируются как управляющий параметр, то при модели проек- та G
0
(
⋅) плановое значение объема является зависимым показате- лем: x
0
(t) = G
0
(c
0
(t)) и т.д.). В зависимости от рассматриваемой модели (то есть в зависимости от рассматриваемой задачи управле- ния) одни и те же показатели могут быть либо управляющими,
либо зависимыми.
Пусть известны ограничения на значения управляющих пара- метров и задан критерий эффективности управления
1
, зависящий как от управляющих, так и от зависимых параметров. Тогда на качественном уровне задачу управления можно сформулировать следующим образом: выбрать такие допустимые значения управ- ляющих параметров, которые доставляли бы экстремум критерию эффективности управления (в частном случае – максимизировали эффективность проекта).
Задача планирования, являющаяся частным случаем сформу- лированной выше задачи управления, решается до начала реализа- ции проекта и заключается в определении на основании всей имеющейся на данный момент информации оптимальных плановых значений управляющих параметров для t’
≥ 0.
Задача оперативного управления, также являющаяся частным случаем задачи управления, решается в ходе реализации проекта и заключается в определении на основании всей имеющейся на дан- ный момент информации оптимальных текущих и будущих значе-
1
Следует различать эффективность проекта, определяемую как отно-
шение объема к затратам (см. выше), и эффективность управления.
46
ний управляющих параметров, то есть оптимальных плановых значений управляющих параметров для t’
≥ τ.
Таким образом, задачи планирования и оперативного управле- ния являются частными случаями одной и той же задачи управле- ния, отличающимися лишь той информацией, которая имеется на момент принятия решений.
Поясним последнее утверждение более подробно. При реше- нии задачи планирования имеется информация об ограничениях на допустимые значения плановых показателей и модель проекта. При решении задачи оперативного управления имеется информация об ограничениях на допустимые значения показателей освоенного объема и модель проекта, скорректированные в соответствии с решениями соответствующих задач идентификации и прогнозиро- вания, описанными в разделе 1.2, и учитывающие историю реали- зации проекта.
Коль скоро установлена качественная эквивалентность задач планирования и оперативного управления, достаточно рассмотреть подробно одну из них, поэтому ниже в настоящем разделе мы по умолчанию будем подразумевать, что формулируемые и решаемые задачи могут интерпретироваться двояко. Более того, качественно основной результат настоящего раздела заключается в следующем:
при агрегированном представлении проекта, то есть рассмотрении проекта как единого целого в рамках модели, описанной в разделе
1.2, решение задач планирования и оперативного управления в условиях полной информированности заключается в сведении к известным оптимизационным задачам, методы и алгоритмы реше- ния которых хорошо известны.
Обоснуем это утверждение.
Важную часть показателей освоенного объема составляют плановые показатели: планируемая длительность проекта, плани- руемая динамика затрат, плановые значения величины освоенного объема. Поэтому рассмотрим возможные постановки задачи плани- рования.
В разделах 1.1-1.2 была введена следующая взаимосвязь между освоенным объемом и количеством ресурса (напомним, что коли-
47
чество ресурса – объем средств – затрат, которые вкладываются в единицу времени: u(t) = c’(t), c(t) =
∫
t
d
u
0
)
(
τ
τ
):
(1)
))
(
(
)
(
t
u
w
dt
t
dx
=
, x(t) =
∫
t
d
u
w
0
))
(
(
τ
τ
,
∫
T
d
u
w
0
))
(
(
τ
τ
= X
0
,
или в более общем случае:
(2)
)
),
(
),
(
(
)
(
t
t
u
t
x
w
dt
t
dx
=
, x(0) = 0, x(T) = X
0
.
Соотношения (1) или (2) определяют модель проекта, то есть в задаче планирования ими косвенно задается оператор G
0
(
⋅), а в задаче оперативного управления – оператор
G
(
⋅, τ), причем в последнем случае нулевой момент времени в (1) или (2) заменяется на момент времени
τ. Во избежании путаницы, а также для того,
чтобы приводимые результаты с минимальной адаптацией были применимы и к задаче планирования, и к задаче оперативного управления, будем рассматривать только задачу планирования,
помня, что переход к задаче оперативного управления в момент времени
τ осуществляется следующей формальной заменой:
u(t) = c’(t),
c(t) = с(
τ) +
∫
t
dy
y
u
τ
τ )
,
(
,
)
),
,
(
(
)
(
τ
τ
t
u
w
dt
t
dx
=
,
x(t) = x(
τ) +
∫
t
dy
y
u
w
τ
τ
τ
)
,
)
,
(
(
, t
≥ τ, x(τ) +
∫
T
dy
y
u
w
τ
τ
τ
)
),
,
(
(
= X
0
,
или в более общем случае:
)
,
),
,
(
),
(
(
)
(
τ
τ t
t
u
t
x
w
dt
t
dx
=
,
x(t=
τ) = x(τ), x(T) = X
0
, где
)
,
(
τ
⋅
w
- результат идентификации модели проекта в момент времени
τ,
u
(
⋅, τ) =
'
c
(
⋅, τ) – прогноз динамики финансовых ресурсов в момент времени
τ. Кроме того,
отметим, что в задаче планирования приведенные соотношения связывают плановые показатели, а в задаче оперативного управле- ния – фактические или прогнозные. Однако, так как мы установили эквивалентность формулировок этих задач, ниже будем опускать нижние и верхние индексы, соответствующие плановым или про- гнозным значениям.
48
Аналогичным образом учитывается и другая, поступившая до момента времени
τ информация
1
. Например, если стало известно,
что завершению проекта соответствует значение суммарного объе- ма X’, отличное от X
0
, то учет этой информации приведет к замене в приведенных выше для задачи оперативного управления соотно- шениях старой величины суммарного объема на новую.
Предположим, что ограничения на ресурсы и интенсивности заданы в следующем виде:
(3) c(t)
∈ Ξ,
(4) u(t)
∈ U,
(5) w(
⋅) ∈ W,
где
Ξ, U и W – классы возможных значений соответственно затрат,
ресурсов и интенсивностей.
Возможны следующие постановки
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11