Файл: Тема Работа с матрицами План.docx

Тема 1. Работа с матрицами

План

Матрицей размерности называется таблица чисел, расположенных в строках и столбцах:

,

Матрицы обозначаются латинскими буквами А, В, С, …

Числа, составляющие матрицу, называются ее элементами.

Каждый элемент матрицы А имеет два индекса - номер строки, - номер столбца, на пересечении которых стоит элемент .

Для матриц используют обозначение или , .

Пример 1. Матрицы

Матрица-строка: .

Матрица-столбец: .

Матрица, у которой число строк равно числу столбцов ( ₎, называется квадратной, иначе матрица называется прямоугольной.

Элементы квадратной матрицы , для которых , называются диагональными, а диагональ матрицы, на которой они находятся, - главной диагональю.

Единичной матрицей называется квадратная матрица, у которой элементы, стоящие на главной диагонали, равны , а остальные элементы равны :

---

.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме диагональных, равны 0, называется диагональной:

.

Операции над матрицами

1. Равенство матриц.

Матрица называется равной матрице , если они одинаковой размерности и их соответствующие элементы равны.
2. Транспонирование матриц.

Если элементы каждой строки матрицы строки записать в том же порядке в столбцы матрицы , то матрица называется транспонированной матрицей. Она обозначается _.

.

Пример 2. Дана матрица . Получить матрицу .

Решение.

3. Сложение (вычитание) матриц.

Суммой (разностью) матриц и одинаковой размерности называется матрица , которая имеет ту же размерность, каждый элемент которой равен сумме (разности) соответствующих элементов матриц и : .
4. Умножение матрицы на число.

Произведением матрицы любой размерности на произвольное число называется матрица

---

той же размерности, у которой каждый элемент равен произведению элементов на число : .

Пример 3. Дана матрица . Найти , если .

Решение.

Матрица называется противоположной для матрицы .
5. Умножение матриц.

Произведением матрицы на матрицу называется матрица , удовлетворяющая следующим условиям:

1. 
   матрица существует, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы ;
   
2. 
   число строк матрицы равно числу строк матрицы , а число столбцов матрицы равно числу столбцов матрицы ;
   
3. 
   каждый элемент матрицы равен сумме произведений элементов -ой строки матрицы на элементы -ого столбца матрицы :
   

---

.
Пример 4. Даны матрицы и . Найти произведение .



Решение.


№ строки № столбца

, и так далее.

,

,

,

.

Итак, матрица .
Операции деления для матриц нет.
6. Возведение матрицы в степень.

-ой степенью матрицы называется такая матрица, которая получена умножением матрицы саму на себя раз:

.

Свойства операций над матрицами

Свойства операции транспонирования матриц.



Свойства операции сложения матриц

1. 
   - коммутативность.
   

2. 
   - ассоциативность.
   

3. 
   – дистрибутивность относительно сложения матриц.
   

4. 
   – дистрибутивность относительно сложения чисел.
   

---

Свойства умножения матрицы на число

1. 
   ;
   

2. 
   ;
   

3. 
   ;
   

4. 
   .
   

Свойства операции умножения матриц

1. 
   - матрицы не перестановочны относительно умножения, даже если определены оба произведения и . Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка.
   
2. 
   _,
   

2. 
   _,
   

3. 
   дистрибутивность.
   

4. 
   дистрибутивность.
   

5. 
   ассоциативность.
   
6. 
   Если определено произведение , то определено и произведение и выполняется равенство , где индексом обозначается транспонированная матрица.
   

Работа с матрицами в Excel

В Excel матрицы рассматриваются как массивы.

Массивы можно использовать для создания формул, которые возвращают некоторое множество результатов или оперируют на множестве значений, а не на отдельных значениях, а не на отдельных значениях.

Массивы могут быть одномерные или двумерные. Нельзя использовать объемный массив с использованием нескольких листов книги.

Формула массива действует на нескольких множествах значений, называемых массивами аргументов, и возвращает одно или несколько значений.

Диапазон массива

---