Файл: Построение моделей идентификации.doc

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.01.2024

Просмотров: 39

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Лабораторная работа 1

Тема: «Построение моделей идентификации»
1.1. Задание:

  1. Методами регрессионного анализа построить модель идентификации второго порядка .

  2. Провести статистический анализ модели.

  3. Проверить целесообразность включения в модель члена третьего порядка, т.е. перехода к модели .

Для получения выборки «экспериментальных» данных необходимо осуществить математический эксперимент с уравнением

, (1.1)

в котором величина x измеряется точно, а с ошибкой , имеющей нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией Коэффициенты уравнения (1.1) и значение d выбираются в соответствии с вариантом задания из табл.1.1.

Математический эксперимент проводится по следующей схеме:

  • с помощью датчика равномерно распределенных на отрезке [0, 1] случайных чисел определяется случайное число

  • величина x определяется нормированием случайного числа на интервал [0, d]

  • c помощью датчика нормально распределенных [0, 1] случайных чисел определяется случайное число , представляющее собой «ошибку» эксперимента

  • «экспериментальная» величина определяется по (1.1) как сумма регулярной и случайной составляющих.

Результатом математического эксперимента является выборка 10 случайных пар .

Таблица 1.1

Исходные данные для проведения

математического эксперимента


Вариант






d

1
1
3
-0,2
12

2
0,1
4
-0,3
12

3
4
8
-0,8
8

4
0,6
11
-0,8
10

5
2
5
-0,6
11

6
0,5
2
-0,2
9

7
0,1
9
0,9
7

8
0,8
12
-1
10

9
5
19
-2
8

10
0,4
2
0,1
12

11
3
6
-0,7
8

12
0,5
9
-0,7
9

13
0,1
5
-0,4
9

14
4
18
-2
7

15
0,7
9
-0,7
9

16
8
20
-2
8

17
0,2
10
-1
8

18
0,9
9
0,9
8

19
15
16
-1,5
8

20
0,4
12
-1
9



1.2. Теоретические сведения

1.2.1. Выбор формы идентификации и регрессионный анализ

Математически задача идентификации формулируется следующим образом. Имеется n пар экспериментальных точек . Требуется построить зависимость (модель)

, (1.2)

которая описывает характеристики изучаемой системы. Уравнение (1.2) называется уравнением регрессии.

Построение модели идентификации начинается с выбора формы модели, т.е. вида зависимости (1.2). При этом на практике могут встретится два случая.

  • Форма математической модели известна заранее. В этом случае задача идентификации сводится к определению коэффициентов этой модели.

  • Форма математической модели заранее неизвестна. В этом случае целесообразно использовать для построения модели общее разложение функции в ряд Тейлора.

В данной лабораторной работе при идентификации ставится задача нахождение приближенной модели в виде полинома степени p

.

Согласно методу наименьших квадратов, искомый вектор находится из решения нормального уравнения

,

где



Таким образом, для определения коэффициентов уравнения регрессии необходимо произвести следующие операции:

  • составить матрицу независимых переменных Вандермонда и матрицу-столбец результатов , здесь m число коэффициентов регрессии(m=p+1).

  • найти транспонированную матрицу переменных и произвести перемножение матриц ;

  • найти обратную матрицу и умножить ее на матрицу , т.е. получить искомую матрицу-столбец .


1.2.2. Статистический анализ модели

После вычисления коэффициентов регрессии необходимо провести статистический анализ полученной модели. Для этого необходимо вычислить следующие характеристики регрессионной зависимости:

  • величину остаточной суммы квадратов отклонений фактических значений от ее теоретических значений и число степеней свободы модели

;



  • средние квадраты остаточных сумм



  • критерий Фишера



здесь - дисперсия, характеризующая ошибку эксперимента.

F – отношение характеризуется двумя последовательно записанными значениями степеней свободы числителя и знаменателя. При этом, так как точность статистических оценок возрастает с ростом числа степеней свободы, то число степеней свободы точной величины принимается равным .

Полученную величину F – отношения сравнивают с критическим (пороговым) значение критерия Фишера при соответствующих числах степеней свободы и заданном уровне значимости . При - модель принимается. Если расхождение результатов моделирования и экспериментальных данных значимо и, следовательно, модель должна быть отвергнута как недостаточно точная.

  • оценку связи коэффициентов регрессии между собой .

Эта оценка проводится по ковариационной матрице

.

Диагональные элементы матрицы определяют дисперсии коэффициентов регрессии, а недиагональные – взаимосвязь этих коэффициентов.

Коэффициент корреляции может изменяться в пределах .
Для сравнения моделей необходимо:

  • рассчитать дополнительную сумму квадратов

,

где - остаточная сумма квадратов первой и второй модели соответственно;

  • определить число степеней свободы дополнительной суммы квадратов

;

  • посчитать средний квадрат дополнительной суммы

;

  • определить роль дополнительной информации с помощью критерия Фишера

.

Если полученное значение критерия Фишера значимо , то дополнительная информация, заложенная в модель 2 существенна, и модель 2 действительно отличается от модели 1. В противном случае уточнения, вносимые моделью 2, неразличимы на фоне шума; с точки зрения модели равноценны и предпочтение должно быть отдано более простой модели 1.
1.3. Пример построения модели идентификации
Для получения выборки «экспериментальных» данных осуществим математический эксперимент с уравнением

(1.3)

по следующей схеме:

  • с помощью датчика равномерно распределенных на отрезке [0, 1] случайных чисел определяется случайное число

  • величина x определяется нормированием случайного числа на интервал [0, 6]

  • c помощью датчика нормально распределенных [0, 1] случайных чисел определяется случайное число , представляющее собой «ошибку» эксперимента

  • «наблюдаемая» величина определяется по (1.3) как сумма регулярной и случайной составляющих.

Смотрите также файлы