Файл: Учебное пособие Воронеж 2011 фгбоу впо Воронежский государственный технический университет.docx
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.01.2024
Просмотров: 342
Скачиваний: 3
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Условие равновесия объема в вертикальном направлении имеет вид
. (2.25)
где - давление на свободной поверхности жидкости;
- площадь горизонтальной проекции поверхности ;
- вес выделенного объема жидкости.
Условие равновесия того же объема в горизонтальном направлении запишем с учетом того, что силы давления жидкости па поверхности и взаимно уравновешиваются и остается лишь сила давления на площадь , т.е. на вертикальную проекцию поверхности . Тогда
. (2.26)
Определив по формулам 1.31 и 1.32 вертикальную и горизонтальную составляющие, найдем полную силу давления
.
Когда жидкость расположена снизу (см. рис. 2.16,б), гидростатическое давление во всех точках поверхности имеет те же значения, что и в первом случае, но направление его будет противоположным, и суммарные силы и определятся теми же формулами - (2.25) и (2.26), но с обратным знаком. При этом под величиной следует понимать так же, как и в первом случае, вес жидкости в объеме , хотя этот объем и не заполнен жидкостью.
Положение центра давления на цилиндрической стенке можно легко найти, если известны силы и и определены центр давления на вертикальной проекции стенки и центр тяжести выделенного объема . Равнодействующая сила при этом пересекает ось поверхности, так как любая элементарная сила давления нормальна к поверхности, т.е. направлена по радиусу.
Изложенный способ определения силы давления на цилиндрические поверхности применим и к сферическим поверхностям, причем равнодействующая сила в этом случае также проходит через центр поверхности и лежит в вертикальной плоскости симметрии.
2.9. Закон Архимеда
Описанный выше прием нахождения вертикальной составляющей силы давления жидкости на криволинейную стенку используют для доказательства закона Архимеда. Пусть в жидкость погружено тело произвольной формы объемом (рис. 2.18).
Спроектируем его сечение на свободную поверхность жидкости и проведем проектирующую цилиндрическую поверхность, которая касается поверхности тела по замкнутой кривой. Эта кривая отделяет верхнюю часть поверхности тела от нижней ее части .
Рис. 2.18. Схема для доказательства закона Архимеда
Вертикальная составляющая силы избыточного давления жидкости на верхнюю часть поверхности тела направлена вниз и равна весу жидкости в объеме
.
Вертикальная составляющая силы давления жидкости на нижнюю часть поверхности тела направлена вверх и равна весу жидкости в объеме
.
Отсюда следует, что вертикальная равнодействующая сил давления жидкости на тело будет направлена вверх и равна весу жидкости в объеме, равном разности указанных двух объемов, т.е.
.
В этом и заключается закон Архимеда, обычно формулируемый так: на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, направленная вертикально вверх, численно равная весу жидкости, вытесненной телом, и приложенная в центре тяжести объема погруженной части тела.
Сила . называется архимедовой силой, или силой поддержания, а точка ее приложения, т.е. центр тяжести объема - центром водоизмещения.
В зависимости от соотношения веса тела и архимедовой силы возможны три случая:
1) - тело тонет;
2) - тело всплывает и плавает на поверхности жидкости в частично погруженном состоянии;
3) - тело плавает в полностью погруженном состоянии.
Для равновесия плавающего тела кроме равенства сил должен быть равен нулю суммарный момент. Последнее условие соблюдается тогда, когда центр тяжести тела лежит на одной вертикали с центром водоизмещения.
Условие устойчивого равновесия тела, плавающего в полностью погруженном состоянии, заключается в следующем: центр тяжести тела должен находиться ниже центра водоизмещения. Устойчивость равновесия тел, плавающих на поверхности жидкости, здесь не рассматривается.
2.10. Относительное равновесие жидкости
в движущихся сосудах
2.10.1. Движение сосуда с жидкостью прямолинейно в
произвольном направлении с постоянным ускорением
2.10.2. Движение сосуда с жидкостью вертикально вниз
с постоянным ускорением
2.10.3. Равномерное вращение цилиндрического сосуда
с жидкостью вокруг вертикальной оси
2.10.4. Равновесие жидкости в поле центробежных сил
при нулевой или слабой гравитация
Ранее было рассмотрено равновесие жидкости под действием лишь одной массовой силы - ее веса. Этот случай имеет место тогда, когда жидкость покоится в сосуде, неподвижном относительно Земли. При этом свободная и прочие поверхности уровня жидкости представляют собой горизонтальные плоскости.
Относительным равновесием жидкости называется такой случай ее движения, при котором вся масса жидкости движется как твердое тело, а отдельные ее частицы не смещаются одна относительно другой. Например, представим, что некоторый замкнутый сосуд с жидкостью движется с постоянной скоростью (или постоянным ускорением) в любом направлении, тогда с этой же скоростью (или ускорением) движется также и каждая частица жидкости. Очевидно, что рассматриваемая масса жидкости будет неподвижна в координатной системе, связанной с движущимся резервуаром. Такое движение жидкости представляет собой относительное ее равновесие.
При относительном покое свободная поверхность жидкости и прочие поверхности уровня могут существенно отличаться от поверхностей уровня при покое жидкости в неподвижном сосуде, т.е. от горизонтальной плоскости. При определении формы и положения свободной поверхности жидкости, находящейся в относительном покое, следует руководствоваться основным свойством всякой поверхности уровня, которое заключается в следующем: равнодействующая массовых сил всегда действует нормально к поверхности уровня. В самом деле, если бы равнодействующая массовая сила действовала под некоторым углом к поверхности уровня, то касательная составляющая этой силы вызывала бы перемещение частиц жидкости вдоль поверхности уровня.
Рассмотрим три практически наиболее интересных случая относительного покоя жидкости:1) движение сосуда прямолинейно в произвольном направлении; 2) движение сосуда по вертикали; и 3) вращательное движение относительно вертикальной оси.
2.10.1. Движение сосуда с жидкостью прямолинейно в
произвольном направлении с постоянным ускорением
Пусть сосуд с жидкостью движется прямолинейно с постоянным ускорением в произвольном направлении, т.е. равноускоренно или равнозамедленно (рис. 2.19).
Рис. 2.19. Силы, действующие при относительном покое
жидкости и прямолинейном равноускоренном движении
В этом случае на любую точку в жидкости действуют две единичные массовые силы: - сила тяжести; - сила инерции переносного движения, равная ускорению , но направленная в противоположную сторону. Результирующая массовая сила , действующая на жидкость, равна сумме векторов силы тяжести и силы инерции, и направлена нормально к свободной поверхности. Проведя геометрическое сложение этих единичных сил (ускорений), получим результирующую единичную массовую силу :
,
где и - векторы единичных сил инерции и сил тяжести.
Оси координат жестко свяжем с сосудом. Для упрощения вывода ось проведём параллельно результирующему вектору , но направим в противоположную сторону. Оси и расположим в плоскости, нормальной к оси .
Поверхности уровня в этом случае представляет собой семейство плоскостей, нормальных к вектору , т.е. параллельных плоскости . Одна из них совпадает со свободной поверхностью жидкости ( ; ).
Применим к этому случаю основное дифференциальное уравнение гидростатики (2.10)
.
Для нашего случая проекции единичных массовых сил будут равны , и .
Тогда уравнение гидростатики примет вид
,
или
.
После интегрирования получаем
.
Постоянную интегрирования найдем из условий на свободной поверхности, т.е. для ; :
,
или
.
Но - глубина погружения точки относительно свободной поверхности
.
Таков закон распределения давления в рассматриваемом случае.
Учитывая, что , а отношение может быть названо коэффициентом перегрузки, то закон распределения давления можно записать в другой форме:
,
где - коэффициент перегрузки.
При давлении на свободной поверхности, равном атмосферному , избыточное давление в точке определяется формулой
.
Для определения угла наклона свободной поверхности жидкости при произвольном движении необходимо знать угол наклона вектора ускорения относительно оси .
2.10.2. Движение сосуда с жидкостью вертикально вниз
с постоянным ускорением
Предположим, что открытый резервуар вместе с находящейся в ней жидкостью движется в вертикальном направлении сверху вниз с некоторым постоянным ускорением , равным или меньшим ускорению свободного падения (рис. 2.20).
В этом случае на любую точку в жидкости действуют две единичные массовые силы:
- сила тяжести;
- сила инерции переносного движения.
Результирующая массовая сила , действующая на жидкость, равна сумме векторов силы тяжести и силы инерции, и направлена в сторону, обратную ускорению .
Рис. 2.20. Относительное равновесие жидкости
при движении по вертикали
Обозначив вектор равнодействующей массовой силы, отнесенной к единице массы, через получим
,
где и - векторы единичных сил инерции и тяжести.
Определим:
1) вид поверхности уровня;
2) закон распределения гидростатического давления.
Заметим, что, согласно принципу Даламбера, при любом движении тела можно пользоваться уравнениями статики, если к системе действующих сил прибавить силы инерции (они направлены в сторону, противоположную направлению движения). Такая система сил будет уравновешена, и тело можно считать находящимся в равновесном состоянии. Воспользуемся дифференциальным уравнением поверхности уровня (2.12)
.
Определим для данного случая проекции единичных массовых сил , и , которые численно равны ускорениям. Ускорение свободного падения (9,81 м/с2) и ускорение сил инерции направлены параллельно оси . Следовательно, проекции этих ускорений на оси и равны нулю: и . Проекция на ось равна
.
Подставив в дифференциальное уравнение поверхности, получим
.
Учитывая, что , а , т.е. , следовательно, для выполнения равенства необходимо, чтобы .
Интегрируя последнее выражение, находим . А это значит, что поверхность уровня будет горизонтальной плоскостью.
Если , то и тогда может быть и не равным нулю, следовательно, форма свободной поверхности может быть произвольной.
Определим теперь закон распределения гидростатического давления для этого случая. Запишем основное уравнение гидростатики в дифференциальной форме (2.10)
.
Для нашего случая ось направлена вертикально вверх, а оси и лежат в плоскости нормальной оси , поэтому проекции единичных массовых сил будут равны и и .
Тогда уравнение гидростатики примет вид
.
Так как , получим
,
Введем обозначение
.
где представляет собой объемный вес жидкости в условиях вертикального спуска с ускорением ;
- коэффициент перегрузки или просто перегрузка.
Делая подстановку, получим
,
и после интегрирования найдем закон распределения давления
. (2.27)
Таким образом, в условиях спуска по вертикали с ускорением закон распределения гидростатического давления будет таким же, как и в обычных условиях равновесия жидкости в поле земного тяготения. Отличие заключается в том, что в подвижной системе координат удельный вес жидкости зависит от коэффициента перегрузки .