Файл: Учебное пособие Воронеж 2011 фгбоу впо Воронежский государственный технический университет.docx
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.01.2024
Просмотров: 344
Скачиваний: 3
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Причем, если , то при свободном падении, объемный вес , т.е. жидкость стала «невесомой».
Если ускорение имеет знак минус, т.е. происходит торможение, объемный вес будет «тяжелее» в раз. Таким образом, вес жидкости при относительном равновесии зависит от коэффициента перегрузки.
2.10.3. Равномерное вращение цилиндрического сосуда
с жидкостью вокруг вертикальной оси
Предположим, что открытый цилиндрический сосуд с жидкостью приведен во вращательное движение вокруг вертикальной оси с угловой скоростью (рис. 2.21).
Вращающиеся стенки цилиндра приведут во вращательное движение ближайшие к стенкам слои жидкости, а затем, вследствие вязкости жидкости - и всю ее массу. По истечении известного времени все частицы жидкости будут вращаться примерно с одной и той же угловой скоростью , а свободная поверхность жидкости видоизменится. В центральной части уровень понизится, а у стенок – повысится. Допустим, что такой момент времени наступил. Определим форму поверхности уровня и, в частности, свободной поверхности.
Рис. 2.21. Относительное равновесие при вращении жидкости
вокруг вертикальной оси
Оси координат, как обычно, свяжем с сосудом. При этом будет представлять собой горизонтальную плоскость, а ось - направлена вертикально вверх. Отметим в жидкости произвольную точку .
Как и в предыдущей задаче, используем общее дифференциальное уравнение поверхности уровня (2.12)
.
Так как движение симметрично относительно оси вращения, то рассмотрим равновесие частиц жидкости, расположенных в плоскости координат .
На жидкость действуют единичные объемные силы:
- сила земного тяготения; - сила инерции.
Сила инерции представляет собой центробежную силу, направленную параллельно оси в сторону от оси вращения.
Следовательно, равнодействующая внешних объемных сил равна
,
и направлена по нормали к свободной поверхности под углом к оси
.
Очевидно, что в данном случае проекции единичных массовых сил:
; ; .
Делая подстановку в основное уравнение поверхности, получим:
,
или
,
и после интегрирования
.
Постоянную интегрирования находим при , , т.е. . Тогда уравнение поверхности представляет собой параболу с вершиной в точке на оси
, (2.28)
где - глубина погружения точки .
Поскольку уравнение симметрично относительно оси , постольку поверхность уровня будет представлять собой параболоид вращения.
Закон распределения давления найдем, используя основное дифференциальное уравнение гидростатики (2.10)
.
Так как проекции единичных массовых сил равны
; ; ,
то после подстановки, имеем
,
или
,
или
.
Интегрируя, находим (при и )
.
Для определения возьмем точку на свободной поверхности при . Для этой точки (давление атмосферное), (координата вершины параболы).
Тогда , и после подстановки
.
Учитывая, что и умножив обе части на , получим значение давления для всех точек любой вертикали на расстоянии от оси
. (2.29)
Как видим, при вращении сосуда с жидкостью давление в некоторой точке складывается из трёх частей:
1) внешнего давления на свободной поверхности;
2) весового давления ;
3) давления , производимого центробежной силой.
При этом давление в разных точках одной и той же горизонтальной плоскости не остается здесь постоянным, а изменяется по параболическому закону – пропорционально квадрату текущего радиуса вращения. С другой стороны, при распределение давления остается таким же, как при «абсолютном» равновесии.
2.10.4. Равновесие жидкости в поле центробежных сил
при нулевой или слабой гравитация
Пусть равномерно вращающийся сосуд принадлежит к системе, которая перемещается с некоторым ускорением, и пусть при этом инерционная сила переносного движения системы уравновешивает силу тяжести, (рис. 2.22).
Тогда независимо от направления оси вращения сосуда на содержащуюся в нем жидкость из всех массовых сип будет действовать только одна - центробежная. Действием силы тяжести можно пренебречь и в том случае, когда центробежное ускорение, вызываемое вращением сосуда, несоизмеримо больше ускорения свободного падения. В обоих случаях дифференциальные уравнения гидростатики упрощаются.
Так как движение симметрично относительно оси вращения, то рассмотрим равновесие частиц жидкости, расположенных в плоскости координат .
Рис. 2.22. Равновесие жидкости
в равномерно вращающемся
сосуде при нулевой гравитации
Связав оси координат с сосудом и совместив ось с осью вращения (которая при отсутствии гравитации может иметь любое правление), используем основное дифференциальное уравнение гидростатики (2.10)
.
Подставляя значения проекции единичных массовых сил и , получим
.
Интегрируя, получаем закон распределения давления
.
Определим постоянную для граничных условий ,
.
Тогда
,
т.е. полное давление складывается из двух составляющих:
1) внешнего давления ;
2) давления от центробежной силы .
Дифференциальное уравнение поверхности (2.12) уровня примет вид
.
Уравнение будет равно нулю только в случае если , т.е. .
Таким образом, как и следовало ожидать, поверхности равного давления представляют собой в нашем случае семейство соосных цилиндров с радиусами от до , где - внутренний радиус сосуда, а - радиус свободной поверхности (при полном заполнении сосуда жидкостью .
2.11. Формы поверхностей раздела между жидкостью и
газом (паром) в условиях динамической невесомости
Динамическая невесомость характеризуется тем, что сила тяжести уравновешена инерционной силой переносного движения системы, т.е. результирующая массовых сил равна нулю. В этом случае отчетливо выраженной свободной поверхности может и не существовать, поскольку отсутствует массовая сила, действие которой и приводит к разделению жидкости и газа. В условиях невесомости весьма вероятно образование суспензии, т.е. смеси капельной жидкости и газа.
Отсутствие поля массовых сил приводит в условиях невесомости к увеличению роли сил поверхностного натяжения, которыми в гидромеханике обычно пренебрегают. В тех случаях, когда поверхность раздела между капельной жидкостью и газом в условиях невесомости существует, ее форма определяется действием сил поверхностного натяжения и зависит поэтому от краевого контактного угла , образуемого жидкостью со стенкой.
В зависимости от величины этого угла капельные жидкости, как известно, могут быть разделены на смачивающие и не смачивающие стенку из того или иного материала. Если контактный угол меньше (рис. 2.23, 2.24, 2.25), то по отношению к данной стенке капельная жидкость принадлежит к смачивающим, если же этот угол превышает (рис. 2.26 и 2.27), жидкость следует рассматривать как не смачивающую.
а - при обычной гравитации; б - в условиях невесомости
Рис. 2.23. Смачивающая жидкость заполняет сферический
сосуд менее чем наполовину
а - обычная гравитация; б – невесомость
Рис. 2.24. Смачивающая жидкость заполняет сосуд
более чем наполовину
а - обычная гравитация; б – невесомость
Рис. 2.25. Полностью смачивающая жидкость ( )
заполняет сферический сосуд менее чем наполовину
а - обычная гравитация; б – невесомость
Рис.2.26. Несмачивающая жидкость заполняет
сферический сосуд менее чем наполовину
а - обычная гравитация; б - невесомость.
Рис. 2.27. Несмачивающая жидкость заполняет
сферический сосуд почти полностью
При исследовании формы поверхности раздела между капельной жидкостью и газом (паром) необходимо исходить из того, что контактный угол, полностью определяемый действием адгезионных молекулярных сил, не зависит от наличия или отсутствия гравитации, и поэтому его величина в условиях невесомости будет такой же, как и в земных. (Силы молекулярного взаимодействия можно разделить на когезионные (между молекулами самой жидкости) и адгезионные (между молекулами жидкости и ограничивающего ее твердого тела или газа)).
Кроме того, следует учитывать, что форма поверхности раздела определяется не только углом контакта, но и такими факторами, как форма сосуда и степень заполнения его жидкостью.
На рис.2.23 - 2.27 приведены характерные формы поверхности раздела капельной жидкости и газа в сферических сосудах по З. Каллагану [3].
В заключение отметим, что при отсутствии поля массовых сил давление не зависит от глубины погружения рассматриваемой точки и в пределах любого непрерывного объема жидкости остается одинаковым.
3. Гидродинамика
3.1. Основные задачи гидродинамики. Два метода
изучения движения жидкости (Лагранжа и Эйлера)
3.2. Виды движения жидкости
3.3. Линия тока и траектория частицы,
элементарная струйка
3.4. Закон сохранения массы. Расход.
Уравнение неразрывности
3.5. Живое сечение. Смоченный периметр.
Гидравлический радиус
3.6. Уравнение количества движения для потока жидкости
3.7. Дифференциальные уравнения движения
идеальной жидкости в форме уравнений Эйлера
3.8. Основное дифференциальное уравнение
установившегося движения идеальной жидкости
3.9. Уравнение Бернулли для струйки идеальной
несжимаемой жидкости
3.10. Уравнение Бернулли для элементарной
струйки вязкой жидкости
3.11. Уравнение Бернулли для потока вязкой
несжимаемой жидкости
3.12. Классификация гидравлических потерь.
Гидравлический и пьезометрический уклоны.
3.13. Применение уравнения Бернулли в технике
3.14. Основы гидродинамического подобия
3.15. Режимы течения жидкости
3.16. Критерий Рейнольдса и гидравлический радиус
3.1. Основные задачи гидродинамики. Два метода
изучения движения жидкости (Лагранжа и Эйлера)
Гидродинамика – раздел гидравлики, изучающий законы движения жидкости. Жидкость в гидродинамике рассматривается как сплошная среда, которая состоит из множества частиц, движущихся одна относительно другой.
Главной задачей гидродинамики является определение скоростей (поля скоростей) и гидродинамических давлений в любой точке жидкости. Рассматривая движущуюся жидкость, различают две основные задачи гидродинамики – внешнюю и внутреннюю.
1. Внешняя задача. Заданы характеристики потока. Требуется найти силы, действующие на то или другое тело при обтекании его потоком. Эта задача возникает в машиностроении при проектировании различных насосов и турбин, а в аэродинамике в связи с потребностями авиации (теория крыла, динамика полета) и судостроения.