Файл: Учебное пособие Воронеж 2011 фгбоу впо Воронежский государственный технический университет.docx
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.01.2024
Просмотров: 331
Скачиваний: 3
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
. (3.56)
По этой же формуле определяется гидравлический радиус в случае кольцевого зазора, если (рис. 3.19,в).
При напорном течении в канале квадратного сечения (рис. 3.19,г)
. (3.57)
В случае эллиптического сечения (рис. 3.19,д)
. (3.58)
При напорном течении в круглой трубе (рис. 3.19,е)
. (3.59)
Таким образом, гидравлический радиус круглого сечения не совпадает с геометрическим - он не в два, а в четыре раза меньше геометрического диаметра. Следовательно, при переходе от числа Рейнольдса по гидравлическому радиусу к числу Рейнольдса по диаметру необходимо помнить, что
. (3.60)
Следует также иметь в виду, что совпадение чисел Рейнольдса по гидравлическому радиусу у потоков с различными формами сечения не гарантирует в полной мере динамического подобия, так как в этом случае отсутствует подобие геометрическое.
4. Ламинарное течение жидкости
4.1. Распределение скоростей при ламинарном течении
4.2. Расход при ламинарном режиме в круглой трубе.
Формула Пуазейля. Коэффициент Кориолиса
4.3. Потери на трение. Формула Дарси-Вейсбаха
4.4. Влияние теплообмена на профиль скоростей
и потери по длине
4.5. Начальный участок ламинарного потока
4.6. Потери на трение при ламинарном течении в каналах
некруглой формы
4.7. Ламинарное течение в зазорах
4.1. Распределение скоростей при ламинарном течении
Рассмотрим установившийся ламинарный поток в горизонтальной цилиндрической трубе на достаточном удалении от входа в неё.
Труба выбирается горизонтальной с целью исключения действия силы тяжести. При этом вывод упрощается, но результаты его справедливы для трубы, имеющей любой наклон.
Под достаточным удалением от входа понимается расстояние, превышающее длину начального участка, в пределах которого происходит формирование профиля скоростей. Таким образом, рассматривается установившийся равномерный поток, поскольку профиль скоростей по всей длине потока предполагается стабилизированным.
Поставим перед собой две задачи:
1) найти закон распределения местных скоростей в живом сечении потока;
2) определить величину гидравлических потерь на трение.
Решение этой задачи предполагает ответ на три вопроса:
1) Найти зависимость местной скорости от текущего радиуса точки - ;
2) Определить отношение максимальной скорости к средней по сечению - .
3) Установить величину коэффициента, учитывающего неравномерность распределения местных скоростей - .
Ламинарное течение является строго упорядоченным, слоистым течением без перемешивания жидкости. Теория ламинарного течения жидкости основывается на законе трения Ньютона . Это трение между слоями движущейся жидкости является единственным источником потерь энергии в данном случае.
Рассмотрим установившееся ламинарное течение жидкости в прямой круглой цилиндрической трубе с диаметром (рис. 4.1).
Рис. 4.1. К выводу закона распределения скоростей
и определению потерь при равномерном ламинарном течении
В потоке жидкости выделим цилиндрический объём длиной и радиусом , ограниченный с торцов двумя живыми сечениями потока 1-1 и 2-2.
Уравнение Бернулли для выбранных сечений примет вид
,
где - потери напора на трение по длине.
Отбросим остальную жидкость, и заменим её действие на выделенный цилиндрический объём соответствующими напряжениями. Спроектируем все внешние по отношению к этому объёму силы на направление потока. Такими внешними силами являются:
- силы давления;
- и силы сопротивления.
При равномерном течении жидкости сумма этих проекций должна быть равна нулю, т.к. ускорение при равномерном движении равняется нулю:
, (4.1)
где - давление соответственно в сечениях 1-1 и 2-2;
- касательное напряжение на боковой поверхности.
Откуда касательное напряжение равно
, (4.2)
где - потери давления на трение.
Из формулы (4.14) следует, что касательные напряжения в поперечном сечении трубы изменяются по линейному закону (рис. 4.3) в функции радиуса и не зависят от режима движения жидкости.
При ,
при .
Выразим касательное напряжение по закону Ньютона
. (4.3)
Знак минус обусловлен тем, что направление отсчёта (от оси к стенке вниз) противоположно направлению отсчёта (от стенки вверх).
Подставим значение в уравнение (4.2)
,
Откуда
.
После интегрирования, получим
.
Постоянную интегрирования С найдём при ,
. (4.4)
Тогда скорость по окружности радиусом
. (4.5)
Учитывая, что при , получим
, (4.6)
т.е. максимальная скорость совпадает с постоянной интегрирования (4.4).
Подставляем этот результат в формулу (4.5)
. (4.7).
Формулы (4.5) и (4.7) выражают закон распределения скоростей по сечению круглой трубы при ламинарном течении, известного под названием закона Стокса.
Анализ этих выражений позволяет сделать вывод, что эпюра скоростей в живом сечении стабилизированного ламинарного потока (в круглой трубе) представляет собой параболоид вращения, а в проекции на плоскость – параболу второй степени (рис. 4.1).
4.2. Расход при ламинарном режиме в круглой трубе.
Формула Пуазейля. Коэффициент Кориолиса
При выводе теоретической формулы для определения расхода жидкости воспользуемся полученным законом распределения скоростей по сечению (закон Стокса).
Выдели в потоке элементарное сечение в виде кольца, радиус которого - , ширина - , а площадь - (рис. 4.2).
Рис. 4.2. К выводу формулы Пуазейля
Определим расход жидкости через это бесконечно малое сечение
.
Интегрируя, получаем объёмный расход через всё живое сечение потока:
;
Расход жидкости через живое сечение потока можно выразить и через диаметр трубы, тогда получим
- формула Пуазейля. (4.8)
Этот закон впервые был сформулирован Г. Хагеном в 1839 году и вскоре повторно выведен французским врачом Жаном Пуазейлем (1799-1869) в 1840 году. Согласно закону, секундный объёмный расход жидкости пропорционален перепаду давления на единицу длины трубки и четвёртой степени диаметра трубы. Эта зависимость была получена чисто эмпирическим путём при исследовании движения жидкости в тонких капиллярных трубках.
Среднюю скорость по сечению найдём делением расхода на площадь живого сечения потока
. (4.9)
Сравнив выражение для средней скорости (4.9) с выражением для максимальной скорости (4.6) получим, что
.
т.е. при ламинарном режиме течения средняя скорость в два раза меньше максимальной.
Определим коэффициент неравномерности расхода как отношение кинетической энергии, вычисленной по местным скоростям, к энергии, вычисленной по средней скорости потока
.
После интегрирования, подстановки пределов и сокращения получим значение коэффициента Кориолиса для ламинарного течения жидкости в круглой трубе
.
Таким образом, кинетическая энергия ламинарного потока в 2 раза больше кинетической энергии, рассчитанной по средней скорости.
4.3. Потери на трение. Формула Дарси-Вейсбаха
Определим потери напора на трение при ламинарном течении жидкости в круглой трубе. Применим к двум сечениям 1-1 и 2-2 (рис.4.3) уравнение Бернулли:
.
Для нашего случая
- т.к. труба горизонтальная;
- сечение потока постоянно;
- течение ламинарное.
В результате уравнение Бернулли упростится:
.
Откуда . (4.10)
Из формулы Пуазейля (4.20) выразим и подставим в (4.10 22)
; (4.11)
Учитывая, что и , получим окончательно
. (4.12)
Выразив в формуле (4.12 24) расход через среднюю скорость , получим
. (4.13)
Таким образом, при ламинарном течении потери на трение линейно зависят от расхода или средней скорости потока. Характерна для ламинарного режима и прямая зависимость потерь от вязкости.
В такой форме следует учитывать потери по длине в уравнении Бернулли, т.е.
.
Для того чтобы формулу Пуазейля структурно привести к форме Дарси-Вейсбаха, достаточно умножить и разделить правую часть формулы (4.13) на
.
Подставляя , получаем
. (4.14)
Сравнивая (4.14) и формулу Дарси-Вейсбаха (3.28), приходим к выводу, что при ламинарном течении в круглой цилиндрической трубе
. (4.15)
Графически эта зависимость представлена на рис. 4.3.
Рис. 4.3. Зависимость - опытные точки лежат
выше теоретической кривой
4.4. Влияние теплообмена на профиль скоростей
и потери по длине
Приведённые выше закономерности справедливы лишь для изотермического движения, когда температура жидкости, а, следовательно, её вязкость и плотность во всех точках потока сохраняет одну и ту же величину. При наличии теплообмена температура жидкости меняется как по сечению трубы, так и по её длине. Изменение температуры по сечению приводит к изменению плотности жидкости и её вязкости и, как следствие этого, к изменению профиля скоростей и гидравлических сопротивлений.
Наиболее распространённый метод расчёта гидравлических сопротивлений при неизотермическом движении жидкости состоит во введении поправочных множителей к коэффициенту гидравлического трении, найденному для условий изотермического движения.
Опыт не всегда подтверждает выведенный здесь параболический закон распределения скоростей и формулу Пуазейля для потерь по длине при ламинарном режиме течения. Отклонения от этого закона наблюдаются в тех случаях, когда температура жидкости существенно отличается от температуры окружающей среды.
Теплообмен между потоком и средой приводит к перераспределению местных скоростей. Если температура среды (например, воздуха) ниже температуры жидкости, то у стенок жидкость охлаждается, вязкость растёт и местные скорости понижаются. По мере приближения к оси потока, где температура максимальная, вязкость постепенно падает, а местные скорости растут. И наоборот, если жидкость холоднее окружающей среды, её температура вблизи стенки выше, а вязкость меньше, чем в центральной части потока. Неравномерное распределение вязкости по сечению потока приводит к соответствующей деформации поля местных скоростей (рис. 4.4).
Закон Пуазейля в принципе выдерживается и при наличии теплообмена, но числовые коэффициенты как в уравнении Пуазейля, так и в формуле Дарси могут под действием теплообмена существенно изменяться. Так, при охлаждении стенок наружной средой потери, а, следовательно, и эти коэффициенты растут.
1 - изотермическое течение ( );
2 - наружная среда охлаждает стенку ( );
3 - наружная среда нагревает стенку ( )
Рис.4.4. Влияние теплообмена на профиль скоростей
при ламинарном течении жидкости
Числовое значение коэффициента может быть определено с достаточной точностью по формуле М.А. Михеева:
, (4.16)
где - соответственно числа Рейнольдса, Прандтля, Грасгофа, определённые по коэффициенту вязкости при средней температуре жидкости; - число Прандтля при температуре стенки.
Можно пользоваться и приближённой формулой
, (4.17)
где - коэффициент трения с учётом теплообмена;
- значение этого коэффициента при отсутствии теплообмена ( );
- кинематическая вязкость жидкости при температуре стенки;
- кинематичесая вязкость жидкости при средней по сечению потока температуре (в замкнутых системах – температура жидкости в сборном баке);
- показатель, изменяющийся при ламинарном течении в пределах 3-4 (по Михееву ).
В гидравлических расчётах коэффициент трения обычно принимают равным (см. рис. 4.3). Однако не следует к коэффициенту в числителе этой дроби относится догматически. В зависимости от интенсивности теплообмена лучше в каждом случае определять коэффициент по формулам (4.16) или (4.17). Это особенно важно при характерной для новейших летательных аппаратов работе гидросистем в условиях кинетического нагрева.
4.5. Начальный участок ламинарного потока
Формирование параболического профиля скоростей происходит не сразу, а постепенно, на протяжении так называемого начального участка потока, примыкающего к входному сечению трубы. Почти равномерное распределение скоростей на входе в трубу под действием трения становится мере по продвижения жидкости вперед все менее равномерно, пока в конце начального участка не подчинится закону квадратной параболы. При этом коэффициент неравномерности распределения кинетической энергии в сечении потока постепенно возрастает от на входе в трубу в конце начального участка. Дальше, на всём остальном протяжении потока, сохраняется характерный для стабилизированного ламинарного течения параболический профиль скоростей ( ).