Файл: Купности и их обработки. Такие вопросы рассматриваются в мате матической статистике.doc

ся), который зависит не только от доверительной вероятности р, но и от объема выборки п. Коэффициент Стьюдента можно найти из табл. 8.

Запишем неравенство (3.16), подставив в него выражение из формулы (3.26):

(3.27)
Таблица 8

Объем	Доверительная вероятность, р
выборки, п	0,9	0,95	0,99	0,999
2	6,31	12,70	63,66	-
3	2,92	4,30	9,93	31,60
10	1,83	2,26	3,25	4,78
15	1,76	2,15	2,95	4,07

---

Таблица 9

Масса, кг	3,0	3,1	3,2	3,3	3,4	3,5	3,7	3,8	4,0	4,4
Частота	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1

Отсюда можно вычислить D_b = 0,19156 кг² и _в = = 0,43767 кг. Задав доверительную вероятность р = 0,95, находим из табл. 8 для объема выборки п = 10 параметр t= 2,26. Подставляя эти данные в (3.26), получаем для доверительного интервала [см. (3.27)]:

или (3.28)

Полезно сопоставить соотношения, полученные для большой (3.25) и малой (3.28) выборок.

Интервальная оценка истинного значения измеряемой ве­личины. Интервальная оценка генеральной средней может быть ис­пользована для оценки истинного значения измеряемой величины.

Пусть несколько раз измеряют одну и ту же физическую вели­чину. При этом по разным случайным причинам, вообще говоря, получают разные значения: x₁, x₂, x₃, ... . Будем считать, что нет преобладающего влияния какого-либо фактора на эти измерения.

Истинное значение измеряемой величины (х_ист) совершенно точ­но измерить невозможно хотя бы по причине несовершенства изме­рительных приборов. Однако можно дать интервальную оценку для

---

этого значения.

Если значения х₁, х₂, х₃, ... рассматривать как варианты выбор­ки, а истинное значение измеряемой величины х_ист как аналог ге­неральной средней, то можно по описанным выше правилам найти доверительный интервал, в который с доверительной вероятно­стью р попадает истинное значение измеряемой величины. Приме­нительно к малому числу измерений (п < 30) из (3.27) получим:

(3.29)

где — среднее арифметическое значение из полученных измере­ний, а  — оответствующее им среднее квадратическое отклоне­ние, t—коэффициент Стьюдента.

Более подробно и разносторонне оценка результатов измере­ний рассматривается в практикуме (см. [1]).

§3.3. Проверка гипотез

В медико-биологических исследованиях актуальной является задача сравнения выборок, полученных в результате эксперимен­та, заключающегося в том или ином воздействии на объект. Фак­тически конечный результат исследования зависит от достовер­ности различий значений случайной величины в контроле (до воз­действия или без него) и опыте (после воздействия). Наиболее просто решается задача определения достоверности различий ста­тистических распределений, если предварительно для выборок рассчитаны доверительные интервалы. Положим, есть два статис­тических распределения некоторых случайных величин Xи Y. Пусть генеральные средние этих распределений с доверительной вероятностью р = 0,95 находятся в доверительных интервалах и пусть при этом Если соблюдается неравенство , то не вызывает сомнения, что случайная величина

---

Yсущественно больше случайной величины X(см. рис. 3.3, а). Вероятность этого превышает 0,95.

На рис. 3.3, б представлен вариант, когда выборки частично пе­ресекаются, т. е. когда выполняется неравенство В этом случае целесообразно оценивать достоверность различий вы­борочных средних и с помощью дополнительных расчетов. Наиболее просто это сделать, предполагая, что случайные величи­ны Xи Yраспределены по нормальному закону. Условием сущест­венности различия двух опытных распределений, являющихся вы­борками из различных генеральных совокупностей, является вы­полнение следующего неравенства для опытного и теоретического значений критерия Стьюдента: Для нахождения значения t_oписпользуют следующую формулу:




(3.30)







Здесь _х и _у — выборочные средние квадратические отклоне­ния, п_хи п_у— число вариант в выборках (объемы выборок), и у — выборочные средние значения.

а) б)
Рис. 3.3
Теоретическое значение t_тeop находят по таблице 10, входными величинами которой являются доверительная вероятность р и па­раметр f, связанный с числом вариант в выборках. Этот параметр определяют следующим образом. Если _х  _у, то f= п_х + п — 2.

---

Если же _х и _у различаются на порядок и более, то величина fоп­ределяется по формуле:
(3.31)


Таблица 10.Значения критерия Стьюдента t_тeop при различной доверительной вероятности и значениях параметра f

f	Доверительная вероятность, р			f	Доверительная вероятность, р
	0,95	0,99	0,999		0,95	0,99	0,999
1	12,71	63,60		21	2,08	2,83	3,82
2	4,30	9,93	31,60	22	2,07	2,82	3,79
3	3,18	5,84	12,94	23	2,07	2,81	3,77
4	2,78	4,60	8,61	24	2,06	2,80	3,75
5	2,57	4,03	6,86	25	2,06	2,79	3,73
6	2,45	3,71	5,96	26	2,06	2,78	3,71
7	2,37	3,50	5,41	27	2,05	2,77	3,69
8	2,31	3,36	5,04	28	2,05	2,76	3,67
9	2,26	3,25	4,78	29	2,04	2,76	3,66
10	2,23	3,17	4,59	30	2,04	2,75	3,65
11	2,20	3,11	4,44	40	2,02	2,70	3,55
12	2,18	3,06	4,32	50	2,01	2,68	3,50
13	2,16	3,01	4,22	60	2,00	2,66	3,46
14	2,15	2,98	4,14	80	1,99	2,64	3,42
15	2,13	2,95	4,07	100	1,98	2,63	3,39
16	2,12	2,92	4,02	120	1,98	2,62	3,37
17	2,11	2,90	3,97	200	1,97	2,60	3,34
18	2,10	2,88	3,92	500	1,96	2,59	3,31
19	2,09	2,86	3,88		1,96	2,58	3,29
20	2,09	2,85	3,85

---