Файл: И. Н. Сергеев В. Г. Чирский Задачи с параметрами.pdf

Тренировочные задачи к § 10 93
10.9. Найдите наибольшее значение a, при котором неравенство
a
p
a(x
2
− 2x + 1) +
p
a
x
2
− 2x + 1
¶
4
p
a
3
·
sin
πx
2
имеет хотя бы одно решение.
10.10. Найдите все пары чисел (x; y), которые удовлетворяют урав- нению tg
4
x
+ tg
4
y
+ 2 ctg
2
x
· ctg
2
y
= 3 + sin
2
(x + y).
10.11. Докажите, что все решения неравенства p
x
− 1 +
3
p
x
2
− 1 > 2
удовлетворяют неравенству
x
+ 2
p
x
− 1 +
3
p
x
4
− 2x
2
+ 1 > 1 + 2 3
p
x
2
− 1.
10.12. При каких значениях a система
¨ |x + a| + |y − a| + |a + 1 + x| + |a + 1 − y| = 2,
y
= 2|x − 4| − 5
имеет единственное решение?
10.13. Найдите все пары чисел (x; y), которые удовлетворяют урав- нению
€
cos
2
x
+
1
cos
2
x
Š
2
+
€
sin
2
x
+
1
sin
2
x
Š
2
= 12 +
sin y
2
10.14.'>10.14. Решите уравнение 2 2cos
2
????
+ 2 2−(cos 2
????)/2
= 2 1+
4
p
2
10.15. Найдите все пары чисел x и y, удовлетворяющие системе неравенств
¨
4
????
+????−1
+ 3 · 4 2????−1
¶ 2,
x
+ 3y ¾ 2 − log
4 3.
10.16. Числа x и y удовлетворяют условию x
2
− xy + 2 y
2
= 1. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения x
2
+ 2y
2
10.17. Найдите все значения b, при каждом из которых неравенство
(3 − 2
p
2)
????
+ (b
4
+ 12 − 6b
2
) · (3 + 2
p
2)
????
+ 9
????
+
b
2 4
+ b · 3
????
−
p
12 ¶ 0
имеет хотя бы одно решение (t; x).
10.18. При каждом значении a ¾
1 2π
найдите все корни уравнения cos
‚
2x + a
2x
2
+ 2ax + 5 2
a
2
Œ
= cos
‚
2x − a
2x
2
− 2ax +
5 2
a
2
Œ

94
Часть 1.
Решение задач
10.19. Найдите наибольшее значение ω, при котором имеет реше- ние система
(
4 sin
2
y
− ω = 16 sin
2 2x
7
+ 9 ctg
2 2x
7
,
(π
2
cos
2 3x − 2π
2
− 72) y
2
= 2π
2
(1 + y
2
) sin 3x.
10.20. Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство
4
????
+ 4
−????
+ 8|2
????
+ 2
−????
− a| + 11a < 26 + 2a(2
????
+ 2
−????
)
имеет хотя бы одно решение.
10.21. Найдите все значения a > 0, при которых существуют положи- тельные решения неравенства
x
3
a
+ 2014 4/3
x
+
2014 4/3
x
a
+ x
3
¶
3 2
−
a
x(x
2
+ 2014 4/3
)
10.22. Посылка должна быть упакована в ящик в форме прямоуголь- ного параллелепипеда и перевязана один раз вдоль и два раза по- перёк (см. рис.
10.7
). Можно ли отправить посылку объёма 37 дм
3
,
имея 3,6 м верёвки (толщиной стенок ящика и верёвкой, уходящей на узлы, пренебречь)?
Рис. 10.7
10.23. В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с осно- ваниями BC и AD. Точки P
1
, P
2
, P
3
принадлежат стороне BC, причём
BP
1
< BP
2
< BP
3
< BC. Точки Q
1
, Q
2
, Q
3
принадлежат стороне AD,
причём AQ
1
< AQ
2
< AQ
3
< AD. Обозначим точки пересечения BQ
1
с AP
1
, P
2
Q
1
с P
1
Q
2
, P
3
Q
2
с P
2
Q
3
, CQ
3
с P
3
D через R
1
, R
2
, R
3
и R
4
со- ответственно. Известно, что сумма объёмов пирамид SR
1
P
1
R
2
Q
1
и
SR
3
P
3
R
4
Q
3
равна 96. Найдите минимальное значение величины
V
2
????????????????
1
+ V
2
????????
2
????
2
????
3
????
2
+ V
2
????????????????
4

§ 11.
Нахождение наибольших и наименьших значений функций
95
Ответы
10.1
. p
∈ [17; +∞).
10.2
. (x; y; t; z) = (3; 3; 0; 0); (−3; −3; 0; 0).
10.3
.
−1.
10.4
. 5/9.
10.5
. (π/4 + πk/2; π/2 + πl; π/2 + πm), k, l, m ∈ Z.
10.6
. Если c = −2, то решение (11; 2); при c 6= −2 решений нет.
10.7
.
€
2π + 2 15
; ± arcsin
È
π−2 3
+πk
Š
;
€
−(2π+ 4)
15
; ± arcsin
È
4 − π
3
+πm
Š
, k, m ∈ Z.
10.8
. При a ∈ (−1; 0) решений нет; если a = −1 или a = 0, то решение (1; 1);
если a ∈ (−∞; −1) ∪ (0; +∞), то решения
2
p
2(????
2
+????)
; 2
p
2(????
2
+????)

;
2
−
p
2(????
2
+????)
;
2
−
p
2(????
2
+????)

10.9
. a
= 1/16.
10.10
. (π/4 + πn; π/4 + πk), n, k ∈ Z; (−π/4 + πn; −π/4 + πk), n, k ∈ Z.
10.12
. a
= −2; a = −16/3. Указание. Используйте неравенство |z| + |1 − z| ¾ 1.
10.13
. (π/4 + πn/2; π/2 + 2πk), n, k ∈ Z.
10.14
.
±π/3 + πn, n ∈ Z.
10.15
.
€
1 2
+
1 2
log
4 3;
1 2
−
1 2
log
4 3
Š
10.16
.
2
p
2 2
p
2 − 1
;
2
p
2 2
p
2 + 1
10.17
. b
= −
p
3.
10.18
. x
= 0; x =
p
5a/2; x = −
p
5a/2.
10.19
.
−14.
10.20
. a
∈ (−8; 4) ∪ (7; +∞).
10.21
. 2014 2
10.22
. Нет.
10.23
. 3072.

96
Часть 1.
Решение задач
Решение. Для всех x выполнены неравенства x
2
+1¾1 и cos x ¶1.
Поэтому уравнение равносильно системе
¨ x
2
+ 1 = 1,
cos x = 1,
откуда находим x = 0.
Ответ: 0.
Пример 11.2. Для каждого значения a решите неравенство log
2
(5 − sin
2
x) ¶ 1 + sin(x + a).
Решение. Так как для всех x выполнено неравенство −1¶sin x ¶1,
получаем, что 0 ¶ 1 + sin(x + a) ¶ 2 и 0 ¶ sin
2
x ¶ 1. Из последнего неравенства следует, что log
2
(5 − sin
2
x) ¾ 2.
Поэтому исходное неравенство равносильно системе
¨
1 + sin(x + a) = 2,
log
2
(5 − sin
2
x) = 2
⇔
¨
sin(x + a) = 1,
sin x = ±1
⇔
( x
+a=
π
2
+2πk, k ∈Z,
x
=
π
2
+πn, n∈Z.
Вычитая из первого уравнения второе, получаем a = πm, m ∈ Z, и
x
= π/2 + 2πk − πm, k ∈ Z.
Ответ: если a = πm, то x = π/2 + 2πk − πm, k, m ∈ Z; при других значениях a решений не существует.
Пример 11.3. Для каждого значения a решите уравнение
2(x
4
+ a
4
) − 3 log
2 2
3 = −3 log
2 3 · log
2
(log
2
(8 + x
2
)).
Решение. Преобразуем уравнение к виду
2(x
4
+ a
4
) = 3 log
2 3 log
2 3 − log
2
(log
2
(8 + x
2
))

Так как 8 + x
2
¾ 8 для всех x, получаем, что log
2
(8 + x
2
) ¾ log
2 8 = 3,
поэтому log
2 3 − log
2
(log
2
(8 + x
2
)) ¶ 0
для всех x и правая часть неположительна при всех x. Левая часть уравнения, наоборот, неотрицательна при всех x. Уравнение имеет единственное решение x = 0 при a = 0.
Ответ: если a = 0, то x = 0; при других значениях a решений не существует.

§ 11.
Нахождение наибольших и наименьших значений функций
97
t
y
1
−1 1
O
y
=
1
|t|
y
= 3
(????
2
−1)(????−2)
2
+1
− 2
Рис. 11.1
Пример 11.4. При каких значениях a уравнение
3
????
2
+2????????+4????−3
− 2 =
a
− 2
x
+ a
имеет ровно два различных корня, лежащих на отрезке [−4; 0]?
Решение. Преобразуем исходное уравнение:
3
????
2
+2????????+4????−3
− 2 =
a
− 2
x
+ a
⇔
⇔ 3
(????+????)
2
−(????−2)
2
+1
− 2 =
a
− 2
x
+ a
⇔ 3
(????
2
−1)(????−2)
2
+1
− 2 =
1
|t|
,
где t =
x
+ a
a
− 2
, a 6= 2. При a = 2 исходное уравнение принимает вид
3
(????+2)
2
+1
= 2, а это уравнение решений не имеет, так как левая часть строго больше 2.
Таким образом, мы решаем уравнение
3
(????
2
−1)(????−2)
2
+1
− 2 =
1
|t|
при t =
x
+ a
a
− 2
, a 6= 2.
Разберём три случая (см. рис.
11.1
).
I. Если |t| > 1, то решений нет, так как
1 >
1
|t|
= 3
(????
2
−1)(????−2)
2
+1
− 2 > 3 − 2 = 1.

98
Часть 1.
Решение задач
II. Если |t| < 1, то решений снова нет, так как
1 <
1
|t|
= 3
(????
2
−1)(????−2)
2
+1
− 2 < 3 − 2 = 1.
III. Значения t = ±1, очевидно, являются корнями уравнения.
Итак, случай t = 1 даёт решение x = −2, которое принадлежит отрезку [−4; 0] при любых a.
Случай t = −1 даёт решение x = 2 − 2a. Найдём условие на a, при котором решение x = 2 − 2a принадлежит отрезку [−4; 0]:
−4 ¶ 2 − 2a ¶ 0 ⇔ −6 ¶ −2a ¶ −2 ⇔ 1 ¶ a ¶ 3.
Ответ: a
∈ [1; 2) ∪ (2; 3].
Пример 11.5. Решите уравнение
2 + log
2 2
(2 + |(x − 2)(x − 3)|) = 3
(5+4????−????
2
)/9
Решение. Исследуем функцию h(x)=5+4x − x
2
. Выделив полный квадрат, получаем
h(x) = 9 − (x − 2)
2
¶ 9.
Поэтому
g(x) = 3
(5+4????−????
2
)/9
= 3
ℎ(????)/9
¶ 3.
С другой стороны,
f (x) = 2 + log
2 2
(2 + |(x − 2)(x − 3)|) ¾ 2 + log
2 2
2 = 3.
Следовательно,
3¶2+log
2 2
(2+|(x −2)(x −3)|)=3
(5+4????−????
2
)/9
¶3 ⇔ min f (x)=max g(x),
т. е. минимум функции f (x) совпадает с максимумом функции g(x).
Таким образом, исходная задача равносильна системе
¨ f (x) = 3,
g(x) = 3
⇔
¨ f (x) = 3,
x
= 2
⇔ x = 2.
Ответ: 2.
Пример 11.6. При каких значениях p уравнение
5 cos 2x +
2p
sin x
= −29
имеет решения?

Тренировочные задачи к § 11 99
Решение. ОДЗ данного уравнения определяется из неравенства sin x 6= 0. Домножим на sin x исходное уравнение:
5(1 − 2 sin
2
x) sin x + 2p = −29 sin x ⇔ p = 5 sin
3
x
− 17 sin x.
Последнее уравнение будет иметь решения в том и только в том слу- чае, если p будет принимать значения из области значений функции
5 sin
3
x
− 17 sin x. Введём новую переменную t = sin x; на ОДЗ пере- менная t принимает значения t ∈ [−1; 0) ∪ (0; 1].
Найдём область значений функции f (t) = 5t
3
−17t для t ∈ [−1; 0)∪
∪ (0; 1]. Заметим, что она нечётная. Действительно, f (−t) = − f (t).
Следовательно, достаточно найти область значений для t ∈ (0; 1].
Докажем, что на данном участке функция f (t) строго монотонна.
Рассмотрим производную данной функции f
0
(t) = 15t
2
− 17. На мно- жестве t ∈ (0; 1] справедливо неравенство f
0
(t) < 0, т. е. функция моно- тонно убывает. Так как функция f (t) является и монотонной, и непре- рывной, на интервале (0; 1) она принимает все промежуточные зна- чения между минимальным f (1) = −12 и максимальным f (0) = 0.
Следовательно, множество значений функции f (t) на промежутке
(0; 1] равно [−12; 0), а учитывая нечётность функции f (t), заключа- ем, что её множество значений на множестве [−1; 0) ∪ (0; 1] равно
[−12; 0) ∪ (0; 12].
Ответ: p
∈ [−12; 0) ∪ (0; 12].
Тренировочные задачи к § 11
11.1. Решите уравнение 2(1 + sin
2
(x − 1)) = 2 2 ????−????
2
11.2. Для каждого значения a решите уравнение cos
2
(x sin x) = 1 + cos
2
a
+ log
2 5
p
x
2
+ x + 1.
11.3. Найдите все значения p, при которых уравнение
6 sin
3
x
= p − 5 cos 2x
не имеет корней.
11.4. Для каждого допустимого значения a решите уравнение
1 + arccos a + tg
2
(x
4
+ 3x
3
− x
2
− x + 6) = log
5 5 −
p
x
2
+ x − 6

11.5. Для каждого значения a решите уравнение
5(x − a)
2
+ 3 cos 1 · cos(cos x) − 3 cos
2 1 = 0.

100
Часть 1.
Решение задач
11.6. Решите неравенство
(x
2
− 4x + 3) log
1/
p
2
€
cos
2
πx + cos x + 2 sin
2
x
2
Š
¾ 2.
11.7. Для каждого значения a решите систему



log
2
(|a|x
2
− 3x + 4)
log
2
(−3x + 4)
= 5
−|????|(????+1)
2
,
x ¶ 1.
11.8. При всех значениях a решите уравнение
x
2
+ 4x + 6 − 4a(x − a) − cos(x + 2) = 8a + cos(x − 4a + 2).
11.9. При каких значениях q система
( x
2
+ qx + 3 = 0,
sin
2
q
π + cos
2
π
2
x
+ 2
????
2
= sin
π
2
x
имеет решения? Найдите эти решения.
11.10. Найдите все значения p, при каждом из которых существует единственная пара чисел (x; y), удовлетворяющая условиям
¨ x
2
+ 2px + 3p
2
+ 3p + 3 ¶ 3 sin y − 4 cos y,
0 ¶ y ¶ 2π.
11.11. Для каждого значения a, удовлетворяющего неравенствам
0 < a < 2, найдите наименьшее значение выражения
x
2
+ y
2
− 2a(x + y)
при условии cos
πxy
2
= 1.
11.12. Найдите все пары чисел (x; y), удовлетворяющие условию
Æ
2 − | y| · (5 sin
2
x
− 6 sin x · cos x − 9 cos
2
x
+ 3 3
p
33) =
= (arcsin x)
2
+ (arccos x)
2
−
5π
2 4
11.13. Решите уравнение
4 arcsin(2
????
− 7) − arccos(5
????
− 124) =
6π
x
11.14. Найдите все значения b, при которых система уравнений
¨
(log
????
f (x) − 1)
2
+ (y
2
− 5 · 10 3
· y + 2b)
2
= 0,
z
2
− (b − 2 · 10 6
) · z + 25 · 10 10
= 0