Файл: И. Н. Сергеев В. Г. Чирский Задачи с параметрами.pdf

Тренировочные задачи к § 12 113
12.13. Найдите все значения a, при каждом из которых система
¨
(x + 2)
2
+ y
2
= a,
|x| + | y − 1| = 1
имеет единственное решение.
12.14. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
ax
+
p
−7 − 8x − x
2
= 2a + 3
имеет единственный корень.
12.15. Найдите все значения a, при каждом из которых система
¨ y
= 2|x| + |x − 7|,
y
= 2|x − 3| + x + a
имеет единственное решение. Укажите это решение.
12.16. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
a
− |x − 1| − |x − 2| − |x − 3| = 2|x + 1| + |x + 2|
имеют бесконечно много решений.
12.17. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
4|x − a| + a − 2 − 2x = 0
имеет решения и все решения принадлежат отрезку [−2; 1].
12.18. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
(13 + a − 6x + x
2
)(a + 5 − |x − 3|) = 0
имеет ровно три различных решения.
12.19. Для каждого значения a укажите число общих точек графиков функций y = x
2
− 4x + |4 − 2x| и y = a. Укажите координаты этих точек.
12.20. При каких значениях a система
¨ y
2
+ 2(x − 2)y + (x
2
− 4)(2x − x
2
) = 0,
y
= a(x − 4)
имеет ровно три различных решения?
12.21. Найдите все значения a, при каждом из которых система
¨ x
2
+ 8x + y
2
+ 8y + 23 = 0,
x
2
− 2a(x + y) + y
2
+ a
2
= 0
имеет единственное решение.

114
Часть 1.
Решение задач
12.22. Найдите все значения a, при каждом из которых система
¨ |2x + 3y| + |2x − 3y| = 7,
x
2
+ y
2
= a
2
− 4 − 4 y
имеет хотя бы одно решение.
12.23. Найдите все значения a, при каждом из которых система
¨ ax
2
+ 4ax − y + 7a + 2 = 0,
ay
2
− x − 2ay + 4a − 1 = 0
имеет единственное решение.
12.24. Найдите все значения a, при которых система
(
(x − a)
2
+ 3y
2
− 2 y = 0,
|x| − y =
4 3
имеет единственное решение.
12.25. Найдите все значения a, при которых уравнение
2|x + 1| = 8 − |8(x − a)
2
− |x + 1| − 14|
имеет ровно три различных решения.
12.26. Найдите все значения a, при каждом из которых система
¨
(x − 4)
2
+ (y − 6)
2
= 25,
y
= |x − a| + 1
имеет ровно три различных решения.
12.27. Найдите все значения a, при каждом из которых множеством решений неравенства p
3 − x + |x − a| ¶ 2 является отрезок.
Ответы
12.1
. a
∈ {−
p
2} ∪ (−1; 1).
12.2
. a
= 2; a = 3 +
p
65.
12.3
. a
= 1; a = (5 −
p
17)/2.
12.4
. Наименьшее значение 1/5, достигается при a = ±2/5, b = 4/5.
12.5
. 1. a ∈ (−3; 5). 2. a ∈ [2 − 2
p
7; −3] ∪ {5}.
12.6
. a
∈ [−6; 4].
12.7
. a
∈ (−∞; 1/4) ∪ (3 +
p
7; +∞).
12.8
. a
= 5.
12.9
. a
∈ (−7; 5).
12.10
. a
∈ (−2; −1) ∪ (1; 2).
12.11
. a
= 4; a = 64.
12.12
. a
∈ (−
p
6; −
p
2) ∪ (
p
2;
p
6).
12.13
. a
= 2; a = 10.
12.14
. a
∈ [−1; −1/3) ∪ {0}.
12.15
. Если a ∈ (−1; 1), то решение ((13 − a)/2; (27 − a)/2); если a > 7, то решение ((1 − a)/2; (3a + 11)/2).
12.16
. a
= 10.
12.17
. a
∈ [−2; 0].
12.18
. a
= −5; a = −4.

§ 13.
Решение задач при помощи графика, часть II
115
12.19
. При a < −4 общих точек нет; если a = −4, то решение (2; −4); если
a
> −4, то решения (3 −
p
5 − a; a) и (1 +
p
5 − a; a).
12.20
. a
∈ {−3/5; 0; −8 ± 4
p
3; 6 ± 4
p
2}.
12.21
. a
∈ {−5 ±
p
2; −11 ± 7
p
2}.
12.22
. a
∈ [−
p
1885/12; −5/6] ∪ [5/6;
p
1885/12].
12.23
. a
∈ {−1/2; 0; 1/6}.
12.24
. a
= ±1; a = ±7/3.
12.25
. a
= −7/2; a = 3/2.
12.26
. a
∈ {4; 5
p
2 − 1; 9 − 5
p
2}.
12.27
. a
∈ (−1; 1) ∪ [5/4; 5).
§ 13. Решение задач при помощи графика,

116
Часть 1.
Решение задач
Решение. Первому уравнению удовлетворяют точки гиперболы
xy
+ x + y = 0 (или (x + 1)(y + 1) = 1, откуда y = −x/(x + 1)) и пара- болы y = −x
2
(см. рис.
13.3
). Найдём точки пересечения гиперболы с параболой:
−
x
x
+ 1
= −x
2
⇔
x
x
+ 1
· (x
2
+ x − 1) = 0 ⇔ x
1
= 0, x
2,3
=
−1 ±
p
5 2
Координаты точек пересечения гиперболы с параболой обозначим
(x
1,2,3
; y
1,2,3
), соответствующие значения y
1,2,3
находим из уравнения
y
= −x
2
. Корни x
2,3
удовлетворяют уравнению x
2 2,3
+ x
2,3
− 1 = 0, от- куда y
2,3
= −x
2 2,3
= x
2,3
− 1. Таким образом, соответствующие точки пересечения гиперболы с параболой лежат на прямой A, заданной уравнением y = x − 1 (см. рис.
13.3
). При различных значениях a
графики функций, заданных уравнением y = ax − 1, представляют собой прямые, проходящие через точку (0; −1). Обозначим через B
прямую x = 0, а через D — прямую y = −1.
x
y
1 0
−1
−1
A
B
C
D
Рис. 13.3
Прямая y = ax − 1 пересекается с параболой y = −x
2
в двух точ- ках при любом a, так как уравнение −x
2
= ax − 1 имеет положи- тельный дискриминант. Найдём те значения a, при которых прямая вида y = ax − 1 касается гиперболы (обозначим соответствующую касательную через C). Для этого достаточно найти те a, при которых точка пересечения прямой с гиперболой единственна, т. е. уравнение
−
x
x
+ 1
= ax − 1 имеет единственное решение. Поскольку это уравне- ние сводится к квадратному, вычисляя дискриминант и приравнивая

§ 13.
Решение задач при помощи графика, часть II
117
его к нулю, находим значение a = −4 и точку касания (−1/2; 1). Точку касания можно было найти и из системы, означающей, что равны как значения функций, так и значения их производных:



ax
− 1 = −1 +
1
x
+ 1
,
a
= −
1
(x + 1)
2
Таким образом, при разных значениях a получаем следующие воз- можности (см. рис.
13.3
).
1. Прямая A имеет две точки пересечения с кривыми, являющимися решениями первого уравнения системы (что соответствует a = 1).
2. Прямая B имеет одну точку пересечения с кривыми, являющи- мися решениями первого уравнения (прямая B ни при каком a
не принадлежит семейству прямых y = ax − 1, хотя и проходит через точку (0; −1)).
3. Прямая находится между прямыми A и B — четыре точки пересе- чения (что соответствует a ∈ (1; +∞)).
4. Прямая C — три точки пересечения (что соответствует a = −4).
5. Прямая находится между прямыми B и C — четыре точки пересе- чения (что соответствует a ∈ (−∞; −4)).
6. Прямая D — две точки пересечения (что соответствует a = 0).
7. Прямая находится между прямыми C и D — две точки пересече- ния (что соответствует a ∈ (0; −4)).
8. Прямая находится между прямыми D и A — четыре точки пересе- чения (что соответствует a ∈ (0; 1)).
Ответ: а) a ∈ (−4; 0] ∪ {1}; б) a ∈ (−∞; −4) ∪ (0; 1) ∪ (1; +∞).
Пример 13.2. Найдите все значения a, при каждом из которых система
¨ y
2
+ a = x,
|x| + | y| + |x − y| = 2
имеет: а) ровно одно решение; б) ровно четыре различных решения.
Решение. Построим ломаную, заданную уравнением
|x| + | y| + |x − y| = 2.
В зависимости от того, какие знаки имеют величины x, y, x − y,
рассмотрим шесть областей (см. рис.
13.4
). В каждой из этих шести областей линия, заданная уравнением |x| + | y| + |x − y| = 2, представ-

118
Часть 1.
Решение задач
x
y
1 2
3 4
5 6
Рис. 13.4
x
y
1 2
3 4
5 6
Рис. 13.5
ляет собой отрезок. Для нахождения концов этих отрезков используем
x
y
Рис. 13.6
уравнение |x| + | y| + |x − y| = 2, из которого следует, что а) если x = 0, то y = ±1;
б) если y = 0, то x = ±1;
в) если x = y, то x = y = 1 либо x =
= y = −1.
Таким образом, в каждой из шести об- ластей нами найдено по две точки (см.
рис.
13.5
). Эти точки являются концевыми точками искомых отрезков (см. рис.
13.6
).
Заметим, что первое уравнение систе- мы y
2
+ a = x задаёт параболу. Возможны следующие случаи (см. рис.
13.7
).
x
y
0 1
1
A
B
C
D
Рис. 13.7

§ 13.
Решение задач при помощи графика, часть II
119 1. Парабола A имеет одну точку пересечения с ломаной, заданной вторым уравнением системы (что соответствует a = 1).
2. Парабола B имеет три точки пересечения с ломаной (что соответ- ствует a = a
0
). Значение a
0
находим из того условия, что прямая
y
− x = 1 является касательной для параболы x = y
2
+ a. Таким образом, a
0
= −3/4, что соответствует точке касания (−1/2; 1/2).
3. Парабола, находящаяся между параболами A и B, имеет две точки пересечения с ломаной (что соответствует a ∈ (−3/4; 1)).
4. Парабола C имеет три точки пересечения с ломаной (что соответ- ствует a = −1).
5. Парабола, находящаяся между параболами B и C, имеет четыре точки пересечения с ломаной (что соответствует a ∈ (−1; −3/4)).
6. Парабола D имеет одну точку пересечения с ломаной (что соот- ветствует a = −2).
7. Парабола, находящаяся между параболами C и D, имеет две точки пересечения с ломаной (что соответствует a ∈ (−2; −1)).
8. В случае a > 1 либо a < −2 пересечений нет.
Ответ: а) a = −2; a = 1; б) a ∈ (−1; −3/4).
Пример 13.3. Найдите все значения a, при которых система
¨
log
3−log
3
(????+4)
y
= (x
2
− 7x)
3
,
x
2
+ y = 7x
имеет ровно два различных решения.
Решение. Для краткости введём обозначение b = 3 − log
3
(a + 4)
и будем решать следующую задачу.
Найдите все значения b, при которых система
¨
log
????
y
= (x
2
− 7x)
3
,
x
2
+ y = 7x
имеет ровно два различных решения.
Находя ОДЗ переменной y, получаем, что имеет смысл рассматри- вать только y > 0. Заметим, что второе уравнение x
2
− 7x + y = 0, если его рассматривать как уравнение относительно x, имеет следующее количество решений:
1) D = 49 − 4 y < 0 ⇒ решений нет;
2) D = 49 − 4 y = 0 ⇔ y = 49/4 ⇒ ровно одно решение x = x( y);
3) D = 49 − 4 y > 0 ⇔ 0 < y < 49/4 ⇒ два решения x = x
±
( y).

120
Часть 1.
Решение задач
Докажем, что различным значениям y соответствуют различные значения x. Пусть y
∗
, y
∗∗
∈ (0; 49/4), y
∗
6= y
∗∗
, и x
1,2
, x
3,4
— корни квад- ратных уравнений x
2
− 7x + y
∗
= 0 и x
2
− 7x + y
∗∗
= 0 соответственно.
Докажем, что все корни x
1,2
, x
3,4
различны. Корни фиксированного квадратного уравнения с положительным дискриминантом различ- ны, т. е. справедливы неравенства x
1 6= x
2
и x
3 6= x
4
. Если бы оказалось,
что x
1
= x
3
, то из теоремы Виета вытекало бы, что
¨ x
1
+ x
2
= 7,
x
3
+ x
4
= 7
⇒ x
2
= x
4
⇒ y
∗
= y
∗∗
Из полученного противоречия с условием ( y
∗
6= y
∗∗
) следует, что раз- личным значениям y соответствуют различные решения x уравнения
x
2
− 7x + y = 0.
Перепишем первое уравнение в виде log
????
y
= −y
3
. Будем исследо- вать количество решений данного уравнения. Для удобства введём функцию g( y) = log
????
y
+ y
3
I. Рассмотрим случай b > 1. Тогда (см. рис.
13.8
) справедливы соотношения lim
????
→0+
g( y) = −∞,
g(1) = 1.
Отсюда делаем вывод о существовании нуля функции g( y), т. е.
такого y
0
∈ (0; 1), что g( y
0
) = 0. Действительно, непрерывная функ- ция g( y) на отрезке (в нашем случае, например, [b
−2
; 1], так как
g(b
−2
) = −2 + b
−6
< −2+1 = −1 и g(1) = 1 > 0) принимает все промежу- точные значения (в нашем случае нуль). А из монотонности функции
g( y) вытекает единственность такого y
0
Поскольку y
0
∈ (0; 1), исходная система имеет два различных ре- шения. Следовательно, нам подходит любое b > 1.
y
0 1
−1
− y
3
log
????
y, b > 1
Рис. 13.8