Файл: И. Н. Сергеев В. Г. Чирский Задачи с параметрами.pdf

28
Часть 1.
Решение задач даёт единственное значение x. Наконец, система 4 принимает вид









x
=
1 2
· (a
2
+ 14a),
1 2
· (a
2
+ 14a) ¶ 3a,
1 2
· (a
2
+ 14a) ¶ a
2
⇔





x
=
1 2
· (a
2
+ 14a),
a(a + 8) ¶ 0,
a(−a + 14) ¶ 0
⇔
⇔





x
=
1 2
· (a
2
+ 14a),
a
∈ [−8; 0],
a
∈ (−∞; 0] ∪ [14; +∞).
Два последних неравенства также имеют общее множество решений
−8 ¶ a ¶ 0. При каждом значении a из первого уравнения находим единственное значение x.
Подведём итоги. При a < −8 и при a > 0 ни одна из систем 1–4
не имеет решений и исходное уравнение тоже не имеет решений.
При −8 ¶ a ¶ 0 имеют решение системы 3 и 4, а при a = 0 имеют решение все системы 1–4. Но множество решений каждой из систем при фиксированном a ∈ [−8, 0] конечное, поэтому исходное уравне- ние не может иметь бесконечного множества решений ни при каком значении a.
Ответ: 1) уравнение не имеет бесконечного множества решений ни при каком значении a; 2) при a ∈ (−∞; −8) ∪ (0; +∞) уравнение не имеет решений.
Тренировочные задачи к § 2
2.1. Для каждого a решите уравнение x|x + 1| + a = 0.
2.2. Для каждого a решите неравенство |x + 2a| ¶
1
x
2.3. При каких значениях a уравнение
2|x − a| + a − 4 + x = 0
имеет решение и все решения удовлетворяют неравенству 0 ¶ x ¶ 4?
2.4. При каждом a решите уравнение |x + 2| + a|x − 4| = 6.
2.5. Найдите все значения a, при которых уравнение
|1 − ax| = 1 + (1 − 2a)x + ax
2
имеет ровно одно решение.

Тренировочные задачи к § 2 29
2.6. Найдите все значения a, при которых неравенство
x
2
+ 4x + 6a|x + 2| + 9a
2
¶ 0
имеет не более одного решения.
2.7. Найдите все значения k, при каждом из которых уравнение
2x − |x − k
2
| = 11k − 3 · |x + 4k|
1) не имеет решений; 2) имеет конечное непустое множество реше- ний.
2.8. Определите, при каких значениях a уравнение
x
−
a
2
= 4 · |4|x| − a
2
|
имеет ровно три различных корня. Найдите эти корни.
2.9. При каких значениях a уравнение
2|x − 9a| − 2a
2
+ 35 + x = 0
не имеет решений? При каких значениях a это уравнение имеет хотя бы одно решение и все решения этого уравнения принадлежат отрез- ку [−30; 63]?
2.10. Найдите все пары (a; b), при каждой из которых уравнение
|x − sin
2
a
| + |x + cos
2 4a − 2 sin a · cos
4 4a| = b
€
a
+
3 2
π
Š
имеет единственное решение.
2.11. Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство
1 2
|a − 2| · |x + a − 4| +
€
a
2
− 4a + 3
|a − 2|
− |a − 2|
Š
· |x − 2| +
1 2
|a − 2| · |x − a| ¶ 1
выполняется ровно для двух различных значений x.
Ответы
2.1
. Если a < 0, то x = (−1 +
p
1 − 4a)/2; если a = 0, то x = 0, x = −1;
если a ∈ (0; 1/4), то x = (−1 −
p
1 + 4a)/2, x = (−1 ±
p
1 − 4a)/2;
если a = 1/4, то x = (−1 −
p
2)/2, x = −1/2;
если a > 1/4, то x = (−1 −
p
1 + 4a)/2.
2.2
. Если a < −1, то x ∈ (0; −a −
p
a
2
− 1] ∪ [−a +
p
a
2
− 1; −a +
p
a
2
+ 1];
если a ¾ −1, то x ∈ (0; −a +
p
a
2
+ 1].
2.3
. a
∈ [4/3; 2].
2.4
. Если a < −1, то x = 4; если a = −1, то x ∈ [4; +∞); если a ∈ (−1; 1), то
x
= 4, x = 4(a − 2)/(a + 1); если a = 1, то x ∈ [−2; 4]; если a > 1, то x = 4.

30
Часть 1.
Решение задач
2.5
. a
= 0; a = 1.
2.6
. a
∈ [2/3; +∞).
2.7
. 1. Не имеет решений для k ∈ (−23; 0). 2. Имеет конечное непустое мно- жество решений для k ∈ (−∞; −23) ∪ (0; +∞).
2.8
. Если a = −2, то x = {−1; 15/17; 17/15}; если a = −1/8, то x = {−1/136; 0;
1/120}.
2.9
. 1. a ∈ (−2,5; 7). 2. a ∈ [(9 −
p
211)/2; −2,5] ∪ {7}.
2.10
. a
= π/2 + 2πn, b = 0, n ∈ Z; a = −3π/2, b = t, t ∈ R.
2.11
. a
= 2 ±
p
2. Указание. Сделайте замену b = a − 2, t = (x − 2)/b.
§ 3. Решение обратных задач и задач, в которых
параметр рассматривается как переменная
В следующих задачах удобнее рассматривать параметр в качестве переменной.
Пример 3.1. Найдите все значения x, при которых неравенство
(4 − 2a)x
2
+ (13a − 27)x + (33 − 13a) > 0
выполняется для всех a, удовлетворяющих условию 1 < a < 3.
Решение. Преобразуем неравенство следующим образом:
−2ax
2
+ 13ax − 13a + 4x
2
− 27x + 33 > 0 ⇔
⇔ (−2x
2
+ 13x − 13) · a + 4x
2
− 27x + 33 > 0.
Это неравенство будем рассматривать как линейное относительно a
с коэффициентами, зависящими от x. Представим его в виде
f (a) = k(x) · a + b(x) > 0,
где k(x) = −2x
2
+ 13x − 13, b(x) = 4x
2
− 27x + 33. В зависимости от знака коэффициента k(x) при a левая часть неравенства является возрастающей (коэффициент k(x) больше 0) или убывающей (ко- эффициент k(x) меньше 0) функцией от a. Если коэффициент k(x)
равен 0, то это не зависящая от a функция. Дадим два возможных способа продолжения решения этой задачи.
I. Пусть k(x) > 0. Тогда, как отмечено выше, линейная функция возрастает. Поэтому условие положительности этой функции при a ∈
∈ (1; 3) равносильно тому, что её значение в точке a = 1 неотрица- тельно. Запишем рассматриваемые условия в виде системы:
¨ k(x) > 0,
f (1) ¾ 0.

§ 3.
Решение обратных задач
31
a
y
0 1
3
f (a)
= k(x)a + b(x)
Рис. 3.1. Случай k(x) > 0
a
y
0 1
3
f (a)
= k(x)a + b(x)
Рис. 3.2. Случай k(x) = 0
a
y
0 1
3
f (a)
= k(x)a + b(x)
Рис. 3.3. Случай k(x) < 0
Если k(x) = 0, то неравенство будет верным для каждого a при усло- вии, что b(x) > 0, т. е.
¨ k(x) = 0,
f (0) > 0.
Наконец, если k(x) < 0, то функция k(x) · a + b(x) убывает, поэтому условие её положительности при a ∈ (1; 3) равносильно тому, что
¨ k(x) < 0,
f (3) ¾ 0.
Решая данные системы, мы приходим к ответу (советуем читателю проделать это самостоятельно). А мы приведём решение вторым спо- собом.
II. Поскольку функция f (a) = k(x) · a + b(x) линейная, условие её
положительности на (1; 3) равносильно тому, что





| f (1)| + | f (3)| > 0,
f (1) ¾ 0,
f (3) ¾ 0
⇔
⇔





| f (1)| + | f (3)| > 0,
(−2x
2
+ 13x − 13) · 1 + 4x
2
− 27x + 33 ¾ 0,
(−2x
2
+ 13x − 13) · 3 + 4x
2
− 27x + 33 ¾ 0
⇔

32
Часть 1.
Решение задач
⇔





| f (1)| + | f (3)| > 0,
2x
2
− 14x + 20 ¾ 0,
− 2x
2
+ 12x − 6 ¾ 0
⇔





| f (1)| + | f (3)| > 0,
x
2
− 7x + 10 ¾ 0,
x
2
− 6x + 3 ¶ 0
⇔





|(x − 2)(x − 5)| + |(x − 3)
2
− 6| > 0,
(x − 2)(x − 5) ¾ 0,
(x − 3)
2
− 6 ¶ 0
⇔
⇔





x
∈ R,
x
∈ (−∞; 2] ∪ [5; +∞),
(x − 3 +
p
6)(x − 3 −
p
6) ¶ 0
⇔
¨ x ∈ (−∞; 2] ∪ [5; +∞),
x
∈ [3 −
p
6; 3 +
p
6].
Ответ: [3 −
p
6; 2] ∪ [5; 3 +
p
6].
Математические утверждения (теоремы, леммы) часто имеют вид
A
⇒ B, где A — условие утверждения, B — его заключение. Если верно утверждение A ⇒ B и условие A выполняется, то применение логиче- ского правила (носящего название modus ponens) позволяет сделать вывод об истинности заключения B. Если верно утверждение A ⇒ B,
а заключение B ложное, то и условие A ложно. Для утверждения
A
⇒ B, называемого прямым, утверждение B ⇒ A будем называть
обратным утверждением.
Пример 3.2. Найдите все значения p, при каждом из которых множество решений неравенства
(p − x
2
)(p + x − 2) < 0
не содержит ни одного решения неравенства x
2
¶ 1.
Решение. Ниже (см. пример
14.3
) мы дадим и другое решение этого примера, в котором используется метод областей. Рекомендуем вам разобрать оба эти решения!
Условие задачи, с учётом сказанного выше, можно переформу- лировать так: найдите все значения p, при каждом из которых все
решения неравенства
(p − x
2
)(p + x − 2) < 0
(3.1)
удовлетворяют неравенству x
2
> 1. Решим неравенство (
3.1
). Для этого надо попытаться разложить p − x
2
на линейные множители. Это не удаётся сделать, если p < 0. Но при этом p − x
2
< 0 для всех x. По- этому неравенство окажется равносильным неравенству p + x − 2 > 0,

§ 3.
Решение обратных задач
33
или x > 2 − p. Так как в рассматриваемом случае p < 0, получаем, что
2 − p > 2 и x
2
> 4 > 1. Следовательно, все p < 0 дают часть ответа задачи.
Пусть p = 0. Тогда
−x
2
(x − 2) < 0 ⇔ x
2
(x − 2) > 0.
Решая неравенство методом интервалов, находим, что x > 2. Следо- вательно, p = 0 также даёт часть ответа задачи.
Если p > 0, то p − x
2
= −(x − pp)(x + pp) и неравенство примет вид
(x −
p
p)(x +
p
p)(x − 2 + p) > 0.
(3.2)
Для применения метода интервалов следует расставить на оси числа
−
p
p,
p
p, 2− p в порядке возрастания. Очевидно,
p
p
>−pp. Поэтому достаточно сравнить числа −
p
p, 2 − p и p
p, 2 − p. Имеем
−
p
p
∨ 2 − p,
p
p
∨ 2 − p,
p
−
p
p
− 2 ∨ 0,
p
+
p
p
− 2 ∨ 0,
(
p
p
+ 1)(
p
p
− 2) ∨ 0, (
p
p
− 1)(
p
p
+ 2) ∨ 0,
p
p
− 2 ∨ 0,
p
p
− 1 ∨ 0,
p
p
∨ 2,
p
p
∨ 1,
p
∨ 4,
p
∨ 1.
Эти сравнения означают, что −
p
p
> 2 − p тогда и только тогда, когда
p
> 4, а pp > 2 − p тогда и только тогда, когда p > 1. Таким образом,
следует рассмотреть случаи 0 < p < 1, p = 1, 1 < p < 4, p = 4 и p > 4.
Пусть 0 < p < 1. Тогда −
p
p
< pp < 2 − p. Методом интервалов из неравенства (
3.2
) получаем расположение точек, показанное на рис.
3.4
−
+
−
+
−
p
p
p
p
2
− p
x
Рис. 3.4. Случай 0 < p < 1
Следовательно, p ∈ (0; 1) не удовлетворяют условию задачи, так как
x
= 0 — решение исходного неравенства. Аналогично разбирается случай p = 1 (x = 0 опять будет решением).
Пусть 1 < p < 4. Тогда −
p
p
< p − 2 < pp. Методом интервалов из неравенства (
3.2
) получаем расположение точек, показанное на

34
Часть 1.
Решение задач рис.
3.5
,
−
+
−
+
−
p
p
2
− p
p
p
x
Рис. 3.5. Случай 1 < p < 4
т. е. x ∈ (−
p
p; 2 − p) ∪ (
p
p; +∞). Данные значения x удовлетворяют неравенству x
2
> 1 в случае, если
¨
p
p ¾ 1,
2 − p ¶ −1
⇔
¨ p ¾ 1,
p ¾ 3
⇔ p ¾ 3.
Следовательно, значения p ∈ [3; 4) удовлетворяют условию задачи.
Осталось рассмотреть последний случай p ¾ 4; см. рис.
3.6
,
3.7
−
+
−
+
2
− p
−
p
p
p
p
x
Рис. 3.6. Случай p > 4
−
−
+
−
p
p
= 2 − p
p
p
a
Рис. 3.7. Случай p = 4
Поскольку для p ¾ 4 выполнены неравенства p
p
> 1 и −pp < 1,
значения p ¾ 4 также удовлетворяют условию задачи.
Ответ: p
∈ (−∞; 0] ∪ [3; +∞).
Тренировочные задачи к § 3
3.1. Найдите все значения x, при которых неравенство
(2c − 6)x
2
+ (32 − 10c)x − (8 + c) < 0
выполняется для всех c, удовлетворяющих условию 2 < c < 4.
3.2. Найдите все значения a, при которых неравенство
x
− 3a − 1
x
+ 2a − 2
¶ 0
выполняется для всех x из промежутка [2; 3].

Тренировочные задачи к § 3 35
3.3. При каких положительных значениях a неравенство
a
+ 2x
ax
− 4
¾
5
x
справедливо для всех x > 10?
3.4. Найдите все значения a, при каждом из которых множество решений неравенства
6x
2
+ 4a
2
+ 6ax − 3x − 24a + 35 < 0
содержит хотя бы одно целое число.
3.5. Для каждого значения a найдите число решений уравнения
2 16
????
−
1 8
????
−
a
+ 8 4
????
+
4 − 2a
2
????
− a
2
+ 4a + 5 = 0.
3.6. Найдите все значения q, при каждом из которых множество ре- шений неравенства
(q − x
2
)(q + 2x − 8) < 0
не содержит ни одного решения неравенства x
2
¶ 4.
3.7. Найдите все значения a, при которых неравенство
|x
2
+ 4x − a| > 6
не имеет решений на отрезке [−3; 0]
3.8. Найдите все значения a, при которых неравенство
x
+
7a
2
+ a − 2
x
+ a + 1
< 7a − 1
не имеет положительных решений.
3.9. Найдите все значения x, удовлетворяющие неравенству
(2 − a)x
3
+ (1 − 2a)x
2
− 6x + (5 + 4a − a
2
) < 0
хотя бы при одном значении a, принадлежащем отрезку [−1; 2].
Ответы
3.1
. x
∈ [2 −
p
10; 1] ∪ [5; 2 +
p
10].
3.2
. a
∈ (−∞; −1/2) ∪ [2/3; +∞].
3.3
. a
∈
∈ [2/5; 11/2].
3.4
. a
∈ (2; 7).
3.5
. При a ∈ (−∞; −5/4) одно решение; при a = −5/4 два решения; при
a
∈ (−5/4; −1) три решения; при a ∈ [−1; 1 −
p
2) два решения; при a = 1 −
p
2
одно решение; при a ∈ (1 −
p
2; 5) два решения; при a ∈ [5; +∞) одно решение.
3.6
. q
∈ (−∞; 0] ∪ [12; +∞).
3.7
. a
∈ [−6; 2].
3.8
. a
∈ [−1; −1/5].
3.9
. x
∈ (−∞; −2) ∪ (0; 1) ∪ (1; +∞).

36
Часть 1.
Решение задач