ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.01.2024
Просмотров: 426
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Тренировочные задачи к § 21 185
x
y
y
= −
x +
1 2
y
= |x − 2|
y
= f (x)
5 2
−
5 2
−
1 2
2 0
Рис. 21.2. График функции f (x) = |x − 2| −
x +
1 2
А для b = −1/2 получаем
f (x) = |x − 2| −
x +
1 2
¶
( x − 2) −
x
+
1 2
=
5 2
Следовательно, уравнение f (x) = a может иметь решение для любого значения b только при a = 5/2. Действительно, при a = 5/2 исходное уравнение имеет решение x = −1/2 при любом значении b.
Ответ: a
= 5/2.
Тренировочные задачи к § 21
21.1. Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство
a
2
− 2a cos x − sin
2
x
+ 2a > 2
выполняется для всех x.
21.2. При каких целых значениях a неравенство
2 log
1/2
a
− 3 + 2x log
1/2
a
− x
2
< 0
верно для любого значения x?
21.3. Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство
a(4 − sin x)
4
− 3 + cos
2
x
+ a > 0
выполняется для всех x.
186
Часть 1.
Решение задач
21.4. Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство
x
2
+ 2|x − a| ¾ a
2
справедливо для всех x.
21.5. Определите, а) при каких значениях a существует такое чис- ло b, что уравнение 5 cos x + sin x + cos(x − b) = a имеет решения;
б) при каких значениях a это уравнение имеет решения при любом значении b.
21.6. Найдите все значения b, при которых для любого действитель- ного a уравнение cos(a + ab + ax) + 4 cos a
2
x
= 5b
2
имеет хотя бы одно решение.
21.7. Найдите все значения a, для которых при любом положитель- ном b уравнение
a log
1/????−2 4 = log
2
1
x
− 2
− b
имеет хотя бы одно решение, меньшее 1/3.
21.8. При каких значениях a неравенство log
(2????−15)/5
sin x +
p
3 cos x + a − 5 5
> 0
выполняется для всех x?
21.9. Найдите все значения a, при которых при любых значениях параметра b уравнение b · |3x − 1| + |x + 1| = a имеет хотя бы одно решение.
21.10. Найдите все значения a, при которых для любого значения b
неравенство (a + b)x
2
+ (3b − 4a + 7)x + 4a − 2b − 6 ¾ 0 имеет хотя бы одно решение.
21.11. Найдите множество всех пар чисел (a; b), для каждой из кото- рых при всех x справедливо равенство
a(cos x − 1) + b
2
= cos(ax + b
2
) − 1.
21.12. Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство
25 y
2
+
1 100
¾ x − axy + y − 25x
2
выполняется для любых таких пар (x; y), что |x| = | y|.
21.13. Найдите все действительные значения b, при которых для любой пары чисел (s; t) функция
f (x) = tx
4
− s(b
2
− 4)x
3
+ bx − s − 2
удовлетворяет хотя бы одному из условий f (1) > −2, f (−1) < 2.
§ 22.
Тригонометрические уравнения и неравенства с параметром
187
21.14. Найдите все действительные значения a, при которых не най- дётся ни одной такой пары чисел (u; v), чтобы функция
f (x) = vx
4
+ a(au − 1)x
3
− 2u − 2
удовлетворяла одновременно условиям f (−1) ¾ −2u, f (1) ¶ −2.
21.15. Найдите все значения параметра a, при которых для любых значений b неравенство log
6
x
36
+
10a + 3b + 31 5
x
2
− 9b
2
− 9b − 3
¶
¶ log
6
36
x
+
10a + 3b + 41 5
x
2
− (6b + 2)x + 9b
2
+ 15b + 5
имеет хотя бы одно решение.
21.16. Найдите все значения a, при каждом из которых для любого значения b система
¨ bx − y − az
2
= 0,
(b − 6)x + 2by − 4z = 4
имеет по крайней мере одно решение.
Ответы
21.1
. a
∈ (−∞; −2 −
p
6) ∪ (
p
2; +∞).
21.2
. a
∈ {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}.
21.3
. a
∈ (3/82, +∞).
21.4
. a
∈ [−1; 1].
21.5
. а) a ∈ [−
p
26 − 1;
p
26 + 1]; б) a ∈ [−
p
26 + 1;
p
26 − 1].
21.6
. b
= −1.
21.7
. a
∈ [0; +∞).
21.8
. a
∈ (15/2; 8) ∪ (12; +∞).
21.9
. a
= 4/3.
21.10
. a
∈ [1; +∞). Указание. Выражение в неравенстве представьте в виде
(a − 1)(x − 2)
2
+ (b + 1)(x
2
+ 3x − 2).
21.11
. a
= 0, b = 0; a = 1, b = 0.
21.12
. a
= 50.
21.13
. b
= 2.
21.14
. a
= −1.
21.15
. a
∈ [−7/2; +∞).
21.16
. a
∈ [−1/4; 1/3]. Указание. Найдите решение при z = 0 и проведите дальнейший анализ.
§ 22. Тригонометрические уравнения
и неравенства с параметром
В задачах часто используется ограниченность функций sin x, cos x,
а также метод вспомогательного аргумента.
Напомним метод вспомогательного аргумента, который состоит во введении дополнительного угла для упрощения выражения. Проде- монстрируем метод вспомогательного угла на примере следующего
188
Часть 1.
Решение задач тригонометрического уравнения:
a cos x + b sin x = c,
a
2
+ b
2 6= 0, ⇔
⇔
a
p
a
2
+ b
2
cos x +
b
p
a
2
+ b
2
sin x =
c
p
a
2
+ b
2
Числа A=
a
p
a
2
+b
2
, B=
b
p
a
2
+b
2
удовлетворяют уравнению окружности радиуса 1, т. е. A
2
+ B
2
= 1. Следовательно, существует такой угол ψ,
что sin ψ = A, cos ψ = B. Для A, B ¾ 0 угол ψ определяется уравнением
ψ = arctg(a/b). Исходное уравнение принимает вид sin ψ cos x + cos ψ sin x =
c
p
a
2
+ b
2
⇔ sin(x + ψ) =
c
p
a
2
+ b
2
Полученное уравнение легко решить.
x
y
A
B
1 0
1
ϕ
ψ
(cos
ϕ, sin ϕ) = (sin ψ, cos ψ)
Рис. 22.1
Замечание. Аналогично показывается существование такого угла φ,
что cos φ = A, sin φ = B. Для A, B ¾ 0 угол φ определяется уравнением
φ = arctg(b/a). А исходное уравнение теперь принимает вид cos(x − φ) =
c
p
a
2
+ b
2
Для A, B ¾ 0 углы ψ и φ связаны соотношением ψ=
π
2
−φ (см. рис.
22.1
).
Пример 22.1. Для каждого значения a решите уравнение
4 cos x sin a + 2 sin x cos a − 3 cos a = 2
p
7.
Решение. Уравнение имеет следующий вид:
A(a) cos x + B(a) sin x = C(a),
где
A(a) = 4 sin a,
B(a) = 2 cos a,
C(a) = 2
p
7 + 3 cos a.
§ 22.
Тригонометрические уравнения и неравенства с параметром
189
Преобразуем уравнение способом, указанным выше. Получаем
Æ
A
2
(a) + B
2
(a) · sin(x + ϕ(a)) = C(a).
Вычислим
Æ
A
2
(a) + B
2
(a) =
p
16 sin
2
a
+ 4 cos
2
a
=
p
12 sin
2
a
+ 4 ¾ 2 > 0.
Поэтому уравнение равносильно следующему:
sin(x + ϕ(a)) =
C(a)
p
A
2
(a) + B
2
(a)
Условие его разрешимости таково:
C(a)
p
A
2
(a) + B
2
(a)
¶ 1 ⇔ |C(a)| ¶
Æ
A
2
(a) + B
2
(a) ⇔
⇔ (2
p
7 + 3 cos a)
2
¶ 16 sin
2
a
+ 4 cos
2
a
⇔
⇔ 28 + 12
p
7 cos a + 9 cos
2
a ¶ 16(1 − cos
2
a) + 4 cos
2
a
⇔
⇔ 12 + 12
p
7 cos a + 21 cos
2
a ¶ 0 ⇔
⇔ 4 + 4
p
7 cos a + 7 cos
2
a ¶ 0 ⇔ (2 +
p
7 cos a)
2
¶ 0.
Это означает, что уравнение имеет решение только при cos a = −
2
p
7
При этом возможны два случая:
1)
cos a = −
2
p
7
,
sin a =
È
3 7
;
2)
cos a = −
2
p
7
,
sin a = −
È
3 7
Подставим найденное значение в исходное уравнение. В первом слу- чае (cos a = −2/
p
7, sin a =
p
3/7)
4 cos x ·
È
3 7
+ 2 sin x ·
−
2
p
7
+
6
p
7
= 2
p
7 ⇔
⇔ 4
p
3 cos x − 4 sin x + 6 = 14 ⇔
p
3 cos x − sin x = 2 ⇔
⇔ 2 cos
x
+
π
6
= 2 ⇔ cosx +
π
6
= 1,
или x = −
π
6
+ 2πk, k ∈ Z. Во втором случае
4 cos x ·
−
È
3 7
+ 2 sin x · −
2
p
7
+
6
p
7
= 2
p
7 ⇔
⇔ −4
p
3 cos x − 4 sin x + 6 = 14 ⇔ −
p
3 cos x − sin x = 2 ⇔
190
Часть 1.
Решение задач
⇔ 2 cos
x
−
π
6
= −2 ⇔ cosx −
π
6
= −1,
или x =
π
6
− π + 2πk = −
5π
6
+ 2πn, n ∈ Z.
Ответ: если a = arccos(−2/
p
7) + 2πl, l ∈ Z, то x = −π/6 + 2πk,
k
∈ Z; если a = − arccos(−2/
p
7) + 2πm, m ∈ Z, то x = −5π/6 + 2πn,
n
∈ Z; при других значениях параметра a решений нет.
Пример 22.2. Найдите все значения параметра α, при каждом из которых система уравнений
sin x = cos x
p
6 − 2a
2
,
cos x =
a
−
2 3
sin x
p
6 − 2a
2
имеет ровно одно решение на отрезке [0; 2π].
Решение. Перепишем систему в следующем виде:
sin x = sin
π
2
− x
p
6 − 2a
2
,
cos x =
a
−
2 3
cos
π
2
− x
p
6 − 2a
2
и введём обозначения
α = α(x, a) =
π
2
− x
p
6 − 2a
2
Тогда исходная система принимает вид
(
sin x = sin α,
cos x =
a
−
2 3
cos α.
Равенство sin x = sin α означает, что соответствующие косинусы могут отличаться только знаком, т. е.
(
sin x = sin α,
cos x =
a
−
2 3
cos α
⇔
sin x = sin α,
cos x = cos α,
cos x =
a
−
2 3
cos α;
sin x = sin α,
cos x = − cos α,
cos x =
a
−
2 3
cos α
⇔
§ 22.
Тригонометрические уравнения и неравенства с параметром
191
⇔
sin x = sin α,
cos x = cos α,
cos x ·
5 3
− a
= 0;
sin x = sin α,
cos x = − cos α,
cos x ·
1 3
+ a
= 0
⇔
x
=
π
2
,
x
=
3π
2
,
a
=
5 3
,
a
= −
1 3
(рассматриваются решения из отрезка [0; 2π]).
Разберём все четыре случая.
I. Пусть a = −1/3. Тогда система принимает вид
¨
sin x = sin α,
cos x = − cos α
⇔ α = (π − x) + 2πn, n ∈ Z.
Но α =
π
2
− x ·
2
p
13 3
, следовательно,
α = (π − x) + 2πn ⇔ x = x
????
=
−π/2 + 2πn
2
p
13/3 − 1
,
n
∈ Z.
Покажем, что среди найденных значений x
????
в отрезок [0; 2π] попа- дает только x
1
. Сначала докажем, что число 2
p
13/3 − 1 принадлежит интервалу (1; 5/3). Действительно,
2
p
13 3
− 1 > 2 ·
3 3
− 1 = 1,
2
p
13 3
− 1 < 2 ·
4 3
− 1 =
8 3
− 1 =
5 3
Проведём отбор корней:
x
????
=
−π/2 + 2πn
2
p
13/3 − 1
¶
−π/2 2
p
13/3 − 1
= x
0
< 0, n ¶ 0,
x
1
=
3π/2 2
p
13/3 − 1
∈
0;
3π
2
,
x
????
=
−π/2 + 2πn
2
p
13/3 − 1
¾
7π/2 2
p
13/3 − 1
= x
2
>
7π/2 5/3
=
21π
10
> 2π, n ¾ 2.
Вывод: при a = −1/3 исходная система уравнений действительно имеет единственное решение x =
3π/2 2
p
13/3 − 1
на отрезке [0; 2π].
II. Пусть a = 5/3. Тогда система принимает вид
¨
sin x = sin α,
cos x = cos α
⇔ α = x + 2πn, n ∈ Z.
192
Часть 1.
Решение задач
Но α =
π
2
− x ·
2 3
, следовательно,
α = x + 2πn ⇔ x = x
????
=
3π
10
+
6πn
5
,
n
∈ Z.
Среди найденных значений x
????
в отрезок [0; 2π] попадают x
0
= 3π/10
и x
1
= 15π/10 = 3π/2.
Вывод: при a = 5/3 исходная система уравнений имеет два реше- ния на отрезке [0; 2π], т. е. условия задачи не выполнены.
III. Пусть x = π/2. Тогда система принимает вид
(
1 = sin α,
0 =
a
−
2 3
cos α,
где α =
π
2
· 1 −
p
6 − 2a
2
. Из первого уравнения находим
α =
π
2
+ 2πn ⇔ 1 −
p
6 − 2a
2
= 1 + 4n ⇔
p
6 − 2a
2
= −4n, n ∈ Z.
Но так как p
6 − 2a
2
∈ [0;
p
6], уравнение p
6 − 2a
2
= −4n, n ∈ Z, мо- жет иметь решения лишь при n = 0, т. е.
p
6 − 2a
2
= 0 ⇔ a = ±
p
3. При
a
=±
p
3 мы имеем a − 2/3 6= 0, поэтому исходная система равносильна следующей:
¨
sin x = 1,
cos x = 0.
Следовательно, система имеет единственное на отрезке [0; 2π] реше- ние x = π/2.
Вывод: при a = ±
p
3 исходная система уравнений действительно имеет единственное решение x = π/2.
IV. Пусть x = 3π/2. Тогда система принимает вид
( −1 = sin α,
0 =
a
−
2 3
cos α,
где α =
π
2
· 1 − 3
p
6 − 2a
2
. Из первого уравнения находим
α =
3π
2
+ 2πn ⇔ 1 − 3
p
6 − 2a
2
= 3 + 4n ⇔
⇔
p
6 − 2a
2
= −
2 3
−
4n
3
, n ∈ Z.
Но так как p
6 − 2a
2
∈ [0;
p
6], уравнение p
6 − 2a
2
= −
2 3
−
4n
3
, n ∈ Z,
может иметь решения лишь при n = −1, −2, т. е.
p
6 − 2a
2
=
2 3
, 2 ⇔ a = ±
5 3
, ±1.
§ 22.
Тригонометрические уравнения и неравенства с параметром
193
Случай a = 5/3 разобран в п. II и не подходит. Заметим, что при
a
= −5/3, ±1 справедливо неравенство (a − 2/3) 6= ±1. Следовательно,
система
(
sin x = sin α,
cos x =
a
−
2 3
cos α
может иметь только решения x = π/2, 3π/2, (так как из равенства sin x = sin α вытекает, что |cos x| = |cos α|). Значение x = π/2 возможно лишь при a = ±
p
3 (см. п. III). Поэтому остаётся x = 3π/2. Но, как было показано выше, x = 3π/2 является решением системы, а следо- вательно, и единственным, так как других решений нет.
Вывод: при a = −5/3, ±1 исходная система уравнений действи- тельно имеет единственное решение x = 3π/2.
Ответ: a
∈ {−1/3; −5/3; ±1; ±
p
3}.
Задачи с исследованием множества решений
Пример 22.3. Найдите условие, при котором расстояние между любыми двумя соседними корнями уравнения p
3
(sin x) = 0, где p
3
(t) =
= a
3
t
3
+ a
2
t
2
+ a
1
t
+ a
0
, не превосходит π/3.
Решение. Поскольку у многочлена p
3
(t) корней не более чем три,
у исходного уравнения имеется лишь одна возможность t
1
= 0, t
2,3
=
= ±
p
3/2, где t
1
, t
2
, t
3
— корни уравнения p
3
(t) = 0 (см. рис.
22.2
).
x
t
0 1
t
= 0
t
= −
p
3
/2
t
=
p
3
/2
π/3
Рис. 22.2
Следовательно, p
3
(t) = a(t
2
− 3/4)t, т. е. a
3
= a, a
2
= 0, a
1
= −3a/4,
a
0
= 0, где a ∈ R \ {0}.
Ответ: a
3
= a, a
2
= 0, a
1
= −3a/4, a
0
= 0, где a ∈ R \ {0}.
Пример 22.4. Найдите все значения a, при каждом из которых для любого корня уравнения
3 cos α sin x + sin α sin 3x = 2 sin 2α cos 2x − sin 3x + cos 3α
найдётся другой корень на расстоянии не более чем π/3 от него.
194
Часть 1.
Решение задач
Решение. Исходное уравнение равносильно следующему:
(1 + sin α)(3 sin x − 4 sin
3
x) − 2 sin 2α(1 − 2 sin
2
x) +
+ 3 cos α sin x − cos 3α = 0.
Данное уравнение является уравнением третьей степени относитель- но sin x, и согласно примеру
22.3
условие задачи равносильно тому,
что исходное уравнение имеет решения sin x = 0, sin x = ±
p
3/2. Ввиду периодичности функций в исходное уравнение достаточно подста- вить x = 0, x = ±π/3. Подставляя данные значения, находим
x
= 0 ⇒ 2 sin 2α + cos 3α = 0;
x
=
π
3
⇒ 3 cos α ·
p
3 2
= 2 sin 2α ·
−
1 2
+ cos 3α;
x
= −
π
3
⇒ −3 cos α ·
p
3 2
= 2 sin 2α ·
−
1 2
+ cos 3α.
Из последних двух уравнений вытекает равенство cos α = 0, но тогда и cos 3α = 0. Остаётся заметить, что из этих трёх уравнений следует,
что и sin 2α тоже должен равняться нулю, но это условие выполняет- ся, ввиду того что cos α = 0.
Ответ:
α = π/2 + πn, n ∈ Z.
Пример 22.5. Найдите все значения a, b, при каждом из которых уравнение p
2
(sin x) = 0, где p
2
(t) = (t − a)(t − b), имеет решения и все его положительные решения образуют арифметическую прогрессию.
Решение. Все возможные случаи изобразим на тригонометриче- ской окружности (см. рис.
22.3
–
22.9
).
1. Случай на рис.
22.3
возможен, когда a = 1, b ∈ (−∞; −1) ∪ [1; +∞)
либо b = 1, a ∈ (−∞; −1) ∪ [1; +∞).
2. Случай на рис.
22.4
возможен, когда a = −1, b ∈ (−∞; −1] ∪ (1; +∞)
либо b = −1, a ∈ (−∞; −1] ∪ (1; +∞).
3. Случай на рис.
22.5
возможен, когда a = −1, b = 1 либо b = −1,
a
= 1.
4. Случай на рис.
22.6
возможен, когда a = 0, b ∈ (−∞; −1) ∪ {0} ∪
∪ (1; +∞) либо b = 0, a ∈ (−∞; −1) ∪ {0} ∪ (1; +∞).
5. Случай на рис.
22.7
возможен, когда a = −1/
p
2, b = 1/
p
2 либо
b
= −1/
p
2, a = 1/
p
2.
6. Случай на рис.
22.8
возможен, когда a = 1/2, b = −1 либо b = 1/2,
a
= −1.
7. Случай на рис.
22.9
возможен, когда a = −1/2, b = 1 либо b = −1/2,
a
= 1.