Добавлен: 11.01.2024
Просмотров: 141
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Комбинированный метод позволяет получить ответ на требование задачи более простым путем.
Решение начнем алгебраическим методом.
Пусть первый товарищ внес х грн., тогда все остальные внесли 2х грн. Отсюда находим стоимость телевизора: х + 2х =3х (грн.). Значит, первый внес
стоимости телевизора. Пусть второй товарищ внес у грн, тогда все остальные внесли 3у грн. Отсюда находим стоимость телевизора: у + Зу = 4у (грн.). Значит, второй внес
стоимости телевизора.Пусть третий товарищ внес z грн., тогда все остальные внесли 4z грн. Отсюда находим стоимость телевизора: z + 4z = 5z (грн.). Значит, третий внес
стоимости телевизора.Продолжим решение арифметическим методом.
Первый, второй и третий внесли
стоимости телевизора. Значит, четвертый внес остальные 
стоимости. По условию это составляет 650 грн. Следовательно, телевизор стоит 650 · 
=3000 грн. Ответ: 3000 грн.
2.3. Моделирование как учебная деятельность
Когда учащиеся, решая практическую математическую (сюжетную), понимая, что она представляет собой знаковую модель некоторой реальной ситуации, составляют последовательность различных ее моделей, затем изучают эти модели и, наконец, переводят получение решение на язык исходной задачи, то тем самым школьники овладевают методом моделирования.
При обучении математическому моделированию в процессе решения текстовых задач можно отметить несколько уровней обучения в порядке нарастающей сложности:
1. Обучение «языку» на котором будет вестись моделирование (изучение теории и решение системы упражнений, направленных на ее закрепление).
2. Обучение «переводу» реальной ситуации на данный математический язык.
3. Обучение выбору существенных переменных и построению схемы их взаимосвязей.
4. Обучение составлению математических выражений, реально существующих отношений и связей (в частности составлению уравнения по условию задачи).
5. Обучение решению математически выраженных отношений и связей, истолкованию полученного ответа.
6. Обучение исследованию полученного решения (в частности простейшим навыкам самоконтроля).
Очевидно, что ученик, владеющий в какой-то степени методом моделирования по сравнению с тем, кто этим методом не владеет, будет успешнее решать задачи методом составления уравнения. Разобравшись в условии, он просто переведет его на математический язык, построит математическую модель этой задачи: введет переменную, запишет с ее помощью все существующие в задаче соотношения и составит математическое выражение, связывающее их (уравнение, неравенство, систему уравнений или неравенств с одной или несколькими переменными). Затем ему останется только найти значения переменной, при которых выражение обращается в истинное числовое равенство, и проверить, какие из них являются адекватными условию задачи.
На сегодняшний день наиболее перспективным и продуманным подходом является выбор трехэтапной работы над текстовыми задачами: 1) составление математической модели; 2) решение полученной математической модели; 3) ответ на вопрос задачи.
Как показывает практика, наибольшую трудность для учащихся представляет первый этап. Это объясняется тем, что выполнение второго этапа отрабатывается и вне связи с текстовыми задачами: решаются уравнения и неравенства, системы уравнений. Выполнение третьего этапа обычно не вызывает особых затруднений у учеников, хотя и здесь могут появиться ошибки из-за невнимательности: полученное значение х сразу заносится в ответ, хотя вопрос задачи касался другой величины и т.д.
Для того, чтобы построить методическую систему работы учителя по обучению построению математической модели задачи, необходимо проанализировать эту деятельность, определить ее состав и структуру.
Деятельность моделирования задачи состоит в следующем:
1) Определение процесса описанного в задаче;
2) Определение видов этого процесса (видов задачной ситуации);
3) Указание величин, характеризующих каждый из видов процесса;
4) Запись соотношения, характеризующего выделенный процесс;
5) Анализ, какие из указанных величин известны, а какие нет;
6) Введение обозначения буквой одной из неизвестных величин (желательно той, о которой спрашивается в задаче);
7) Выражение каждой из неизвестных величин через известные и введенную букву. Если это сделать не удается – введение новой буквы для другой неизвестной величины;
8) Проверка, соответствуют ли друг другу единицы измерения величин. Если нет. То приведение их в соответствие;
9) Составление уравнения или системы уравнений.
Умение строить математическую модель данной задачной ситуации означает владение всеми указанными действиями.
Метод математического моделирования позволяет научить детей осознанно, а не формально решать текстовые задачи, творчески подходить к их решению, что особенно актуально в связи с введением ЗНО.
Глава III. Практическая реализация этапов решения текстовых задач
Текстовые алгебраические задачи курса алгебры 9 класса, можно условно классифицировать по типам:
-
задачи на числовые зависимости; -
задачи, связанные с понятием «процента»; -
задачи на прогрессии; -
задачи на движение; -
задачи на совместную работу; -
задачи на смеси и сплавы.
Рассмотрим примеры решения некоторых типов задач из приведенной выше классификации, предварительно выделив особенности задач каждого типа, которые надо учитывать при их решении.
Задачи на движение
Уравнения, которые составляются на основании условий задач на движение, обычно содержат такие величины, как расстояние, скорости движущихся объектов, время, а также скорость течения воды (при движении по реке). При решении этих задач принимают следующие допущения:
-
Если нет специальных оговорок, то движение считается равномерным. -
Повороты движущихся тел, переходы на новый режим движения считаются происходящими мгновенно. -
Если тело с собственной скоростью х движется по реке, скорость течения которой равна у, то скорость движения тела по течению считается равной (х+у), а против течения – (х-у).
Задача. Пароход прошел 4 км против течения реки, а затем прошел еще 33 км по течению, затратив на весь путь один час. Найдите собственную скорость парохода, если скорость течения реки равна 6,5 км/ч.
Решение:
Пусть х км/ч – собственная скорость парохода.
Тогда (х+6,5) км/ч – скорость парохода по течению.
(х–6,5) км/ч – скорость парохода против течения.
Так как против течения пароход прошел 4 км со скоростью (х–6,5) км/ч, то
ч. – время движения парохода против течения. Так как по течению пароход прошел 33 км со скоростью (х+6,5) км/ч, то
ч. – время движения парохода по течению.По условию
. Решим полученное уравнение
Откуда получаем квадратное уравнение
х2–37х+146,25=0 х1=4,5 км/ч и х2=32,5 км/ч.
Осуществим отбор полученных решений.
Через х мы обозначили собственную скорость парохода, при этом скорость течения реки 6,5 км/ч, поэтому х1=4,5 не подходит по смыслу задачи (при такой скорости пароход не выплыл бы против течения).
Поэтому, собственная скорость парохода равна 32,5 км/ч.
Ответ: 32,5 км/ч.
Смотри приложение 1.
Задачи на совместную работу
Содержание задач этого типа сводится обычно к следующему: некоторую работу, объем которой не указывается и не является искомым, выполняют несколько человек или механизмов, работающих равномерно, то есть с постоянной для каждого из них производительностью. В таких задачах объем всей работы, которая должна быть выполнена, принимается за 1; время t, требующееся для выполнения всей работы, и р – производительность труда, то есть объем работы, сделанной за единицу времени, связаны соотношением
Задача 1. Двое рабочих выполняют некоторую работу. После 45 минут совместной работы первый рабочий был переведен на другую работу, и второй рабочий закончил оставшуюся часть работы за 2 часа 15 минут. За какое время мог бы выполнить работу каждый рабочий в отдельности, если известно, что второму для этого понадобится на 1 час больше, чем первому.
Решение:
Пусть х ч – время работы первого по выполнению всей работы.
у ч – время работы второго рабочего.
По условию х = у – 1, и первое уравнение составлено.
Пусть объем всей работы равен 1. Тогда
– производительность труда первого рабочего, 
– производительность труда второго рабочего. Так как они работали 45 мин