ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.01.2024
Просмотров: 334
Скачиваний: 1
точке поверхности соответствует единственная точ-ка на развертке. Из физической модели процесса развертывания поверхности на плос-кость (изгибание предварительно разрезанной поверхности без ее растяжения) следуют инвариантные метрические свойства поверхности и ее развертки.
Инвариантные метрические свойства. Наповерхностиинаееразверткесохра-няютсяравными:расстояниемеждуточкамиповерхности,углымеждупересекаю-щимися линиями в точкахих пересечения и величины площадей фигур на поверхностях.
Свойством развертываемости обладают многогранные поверхности и некоторые криволинейные поверхности. В дифференциальной геометрии доказывается, что к раз-вертывающимся криволинейным поверхностям относятся только линейчатые поверх-ности, состоящие исключительно из параболических точек. Касательная плоскость к такой поверхности касается ее не в одной точке, а вдоль прямолинейной образующей, проходящей через эту точку (см. п. 11.2). Отсюда следует признак развертываемости: улинейчатойразвертывающейсяповерхностикасательные
плоскости,проведенные во всехточках одной прямолинейной образующей, совпадают.Средикриволинейныхповерхностейуказаннымпризнакомразвертываемостина плоскостьобладаюттолькоторсовыеповерхности.Действительно,физическаямодель образованияторсовойповерхностиобщеговида(“перекатывание”плоскостипокриво-линейнымнаправляющимa,bисоединениеточеккасанияпрямолинейнойобразую-щей,см.п.6.2.6)предполагаетсуществованиеплоскости,касающейсяповерхности вдольпрямолинейнойобразующей.Инымисловами,наличиепризнакаразвертываемо-сти “заложено” в самом определении торсовой поверхности.Коническиеицилиндрическиеповерхностиявляютсячастнымслучаемторсовой поверхности,когдаоднаизкриволинейныхнаправляющихa,bвырождаетсявсобст-веннуюилинесобственнуюточку(см.рис.6.26).Например,еслинаправляющаяaвы-родиласьвсобственнуюточкуA,тополучаемконическуюповерхностьсвершинойAи направляющейb.ЕслиточкаA–несобственная(бесконечноудаленапозаданномуна-правлениюa),тополучаетсяцилиндрическаяповерхностьснаправляющейb,обра-зующие которой параллельны направлению a.Такимобразом,посколькуконическиеи
цилиндрические поверхности являются ча-стным случаем торсовой поверхности, то они так же, как и торсовые поверхности об-щего вида, обладают свойством развертываемости.
Вывод. Свойствомразвертываемостинаплоскостьобладают,кромемногогран-ныхповерхностей,лишьторсовыеповерхности(вчастности–коническиеицилинд-рические поверхности).
Различают точныеи приближенныеразвертки развертывающихся поверхностей. Для любой многогранной поверхности может быть построена ее точная развертка. Дей-ствительно, если дан двухпроекционный чертеж некоторого многогранника (например, пирамиды), то на основе чертежа графическими приемами, пользуясь линейкой и цир-кулем, можно определить истинные длины всех ребер и построить точную развертку всех граней пирамиды.
Если же на чертеже дана какая-либо криволинейная развертывающаяся поверх-ность (например, поверхность эллиптического конуса), то с помощью линейки и цир-куля может быть построена только ее приближенная развертка.
Конечно, в некоторых случаях можно построить точную
развертку поверхности, используя уравнение поверхности или числа, определяющие ее размеры. Так, если дан прямой конус вращения высотой hи диаметром основания d, то этими двумя числами поверхность определена. По ним можно вычислить размеры развертки, представляю-щей собой круговой сектор. Рассчитав с любой желаемой степенью точности радиус сектора и его центральный угол, можно построить точную развертку конуса. Однако на практике таким “графоаналитическим” приемом пользуются редко.
В начертательной геометрии поверхность задают с помощью чертежа, а развертку строят на основе чертежа графическими способами. Поэтому развертка любой развер-тывающейся криволинейной поверхности (конической, цилиндрической, торсовой), которая строится графически, является приближенной.
Общий способ приближенного построения развертки произвольной разверты-вающейся поверхности заключается в следующем. Заданнуюразвертывающуюсяпо-верхностьФзаменяют(аппроксимируют)вписаннойилиописанн