Файл: Курсовая работа применение дифференциальных уравнений к решению экономических задач Обучающийся 4 курса.docx

,то мы можем сказать, что из (9) следует

(10).

Затем так как , то исходя из

(11).

Если мы приравниваем правые части ДУ (10) и (11) и делим их на , то приходим к уравнению Бернулли [1]:

(12).

Вводим новую искомую функцию и приводим (12) к линейному неоднородному ДУ [7] первого порядка относительно какой-то новой функции:

(13).

Общее решение ДУ можем записать в следующем виде:

(14).

Если , то , или . Тогда, отношение ( данное отношение всегда будем рассматривать в качестве основной характеристики экономического роста) будет стремиться к какой-то постоянной величине, которая повышается с увеличением доли сбережений в доходе и убывает с увеличением темпа роста трудовых ресурсов . На данном этапе нужно обязательно выделить, что до этого величины считались постоянными (т.е. не зависящими от времени), а функциями от времени. Следовательно, . Тогда все размышления, которые приводят к ДУ (13), будут сохраняться, однако решением будем считать

(15).

При постоянных доли сбережений в доходе и темпа роста L формула (15) обязательно должна совпадать с (14). Учитывая, что из (14) следует

,

тогда нетрудно убедиться в указанном совпадении.

2.3.Динамика рыночной цены (модель Самуэльсона)

Изучая модель Самуэльсона, можно выделить то, что она подразумевает только рынок благ, и поэтому уровень цен и ставка процента планируются неизменными, а тогда можно сделать вывод, что объем предложения благ абсолютно точно эластичен. [8]В этой модели рассмотрим моделирования и потребления взаимосвязи изменения цены и неудовлетворенного спроса: , где , это соответственно спрос и предложение, которые линейно зависят от цены.Математическая модель задачи. Соответственно модели Самуэльсона, скорость изменения цены прямо пропорциональна неудовлетворенному спросу с некоторым коэффициентом пропорциональности , то есть (16).С учетом точного вида функцией спроса и предложения данное ДУ будет принимать вид (17).Решение задачи. Заметно ясно, что ДУ (17) – это линейное уравнение с постоянными коэффициентами. (18).Общее решение соответствующего однородного уравнения запишем в виде . Тогда частное решение неоднородного уравнения найдем с помощью метода неопределенных коэффициентов и получим постоянную , которая будет являться равновесной ценой, то есть ценой, когда спрос равен предложению. Таким образом, получаем (19).Из полученного решения можно заметить, что если коэффициенты будут положительными, то стремится с течением времени к своей равновесной цене.

2.4.Движение фондов

Представим, что это величина фондов в стоимостном выражении, тогда через запишем коэффициент выбытия фондов, инвестиции. Убыток будет вести к редуцированию фондов за год на величину , а если мы будем считать, что выход фондов происходит более менее плавно, то за время фонды уменьшатся на . [4]Однако равным образом инвестиции приводят к расширению фондов на некоторую величину . Тогда можем сказать, что за время при равномерном вложении инвестиции будут давать прибавление фондов на величину .Математическая модель задачи. Если мы учитываем все предположения, то (20).Разделим обе части на величину , мы получим (21).Если , то получаем ДУ: (22).Решение задачи. Полученное уравнение (22) представляет собой ЛНДУ первого порядка. Для того чтобы решить данное уравнение достаточно воспользоваться методом вариации произвольной постоянной: (23).Уравнение (23) будет являться ДУ с разделяющимися переменными: , , , (24).Равенство (24) является интегралом линейного однородного ДУ. Получим общее решение в виде ,

(25).

Для того чтобы найти решение уравнения заменим постоянную С некоторой неизвестной функцией :

(26).

Продифференцируем функцию и получим:

(27).

Далее подставляем в (22) вместо и , то, что нашли ранее и получим:

,

,

(28).

Уравнение (28) – простейшее ДУ и его решение можем записать в виде:

(29).

Следующим шагом подставляем в уравнение (26) найденное выражение:

.

Тогда искомая величина фондов будет выражаться зависимостью

(30).

2.5.Динамика потребителей

Математическая модель задачи. Для того, чтобы узнать изменение числа потребителей с помощью данной модели, используют следующее дифференциальное уравнение: ), (31)где – постоянна и строго больше нуля, а является верхним пределом потребителей. Решение задачи. Тогда можно заметить, что решение дифференциального уравнения найдется по формуле: (32).Здесь мы будем наблюдать торможение роста числа потребителей некоторой фирмы с течением времени.[3]

2.6.Интенсивность выпуска продукции

Пусть интенсивность выпуска некоторой продукции предприятием или фирмой можно определить функцией . Мы можем сказать, что вследствие быстрого роста выпуска продукции будет со временем насыщаться рынок, тогда из-за этого цена товара

будет снижаться и зависимость будет линейной: (33).Тогда представим, что стремительность роста интенсивности выпуска продукции будет возрастающей функцией дохода: ,где считаем доходом от продажи выпуска продукции по цене .Математическая модель задачи. Уравнение представленного процесса является ДУ первого порядка с разделяющимися переменными: (34).Решение задачи. Для поиска решения данного уравнения, нам нужно разделить переменные: (35)Интегрируем: (36), , , ( ) (37).Решение уравнения (34) запишем в виде: (38).Рис 2. Логистическая криваяПроизвольную постоянную можно вычислить, если известно значение . .Решение уравнения (38) представляет уравнение логистической кривой. В данном примере логистическая кривая указывает, что с увеличением времени происходит насыщение рынка. [6]