Файл: Научнопрактическая коференция Шаг в будущее Применение программы Живая математика Построение квадрата по четырем точкам.docx

Научно-практическая коференция

«Шаг в будущее»Применение программы «Живая математика»Построение квадрата по четырем точкам

Исполнитель проекта

Черноградская Ая

МБОУ «Крест - Хальджайская средняя общеобразовательная школаим.Героя Советского Союза Ф. М. Охлопкова», 11 классас. Крест – Хальджай, Томпонский район Республика Саха (Якутия)

Преподаватель:

Бравина Лилия Николаевна,

учитель математики

Научный консультант: Ефремов Валентин Павлович - кандидат педагогических наук, доцент кафедры методики преподавания математики ИМиИ СВФУ2021Оглавление

1. 
   Введение …………………………………………………………………………
   
2. 
   Теоретическая часть………………………………………………………………
   
3. 
   Экспериментально – практическая часть ………………………………………
   
4. 
   Вывод ……….………………………………………………………………………
   
5. 
   Литература ………………………………………………………………………
   

Введение

Актуальность:

В школе, когда проходили задачи на построение, меня очень заинтересовало решение таких задач. При решении подобных задач есть множество исследовательских способов решения. Задача «Квадрат по 4 точкам. На плоскости отмечены 4 точки. Построить квадрат, на сторонах которого лежат эти точки» рекомендована Ефремовым Валентином Павловичем - кандидатом педагогических наук, доцентом кафедры методики преподавания математики ИМиИ СВФУ. В этом году мы продолжили исследовательскую работу по поиску новых вариантов решения с дальнейшим применением программы «Живая геометрия»

Проблема:

Через любые 4 точки, не лежащие на одной прямой, можно ли построить квадрат, на сторонах которого лежат эти точки.

Новизна:

Решение этой задачи не опубликовано в математических сборниках. При исследовании задачи применяется программа «Живая геометрия».Предмет исследования:Рассмотреть возможные варианты, если через любые 4 точки, из которых никакие три точки не лежат на одной прямой, построить квадрат, на сторонах которого лежат эти точки. Цель:Исследовать условие существования решений с помощью учебной программы «Живая геометрия».

---

Задачи:1) построить квадрат через любые 4 точки, из которых никакие три точки не лежат на одной прямой, на сторонах которого лежат эти точки.2) найти решения всех возможных вариантов; Теоретическая частьВ задачах на построение рассматриваются множество всех точек плоскости, множество всех прямых плоскости и множество всех окружностей плоскости, над которыми допускаются следующие операции:

1. 
   Выделить точку из множества всех точек:
   
   1. 
      произвольную точку
      
   2. 
      произвольную точку на заданной прямой
      
   3. 
      произвольную точку на заданной окружности
      
   4. 
      точку пересечения двух заданных прямых
      
   5. 
      точки пересечения/касания заданной прямой и заданной окружности
      
   6. 
      точки пересечения/касания двух заданных окружностей
      
2. 
   «С помощью линейки» выделить прямую из множества всех прямых:
   
   1. 
      произвольную прямую
      
   2. 
      произвольную прямую, проходящую через заданную точку
      
   3. 
      прямую, проходящую через две заданных точки
      
3. 
   «С помощью циркуля» выделить окружность из множества всех окружностей:
   
   1. 
      произвольную окружность
      
   2. 
      произвольную окружность с центром в заданной точке
      
   3. 
      произвольную окружность с радиусом, равным расстоянию между двумя заданными точками
      
   4. 
      окружность с центром в заданной точке и с радиусом, равным расстоянию между двумя заданными точками
      

В условиях задачи задается некоторое множество точек. Требуется с помощью конечного количества операций из числа перечисленных выше допустимых операций построить другое множество точек, находящееся в заданном соотношении с исходным множеством.Решение задачи на построение содержит в себе три существенные части:

1. 
   Описание способа построения заданного множества.
   
2. 
   Доказательство того, что множество, построенное описанным способом, действительно находится в заданном соотношении с исходным множеством. Обычно доказательство построения производится как обычное доказательство теоремы, опирающееся на аксиомы и другие доказанные теоремы.
   
3. 
   Анализ описанного способа построения на предмет его применимости к разным вариантам начальных условий, а также на предмет единственности или неединственности решения, получаемого описанным способом.
   

В задачах на построение речь идет о построении геометрических фигур (отрезок, угол, пара параллельных прямых и т. д.) с помощью некоторых инструментов.

---

Решить задачу на построение – это значит найти способ построения фигуры, осуществить это построение и доказать, что построенная фигура – фигура, обладающая требуемыми свойствами. В данном разделе мы будем решать задачи на построение «основных» геометрических фигур с помощью линейки и циркуля. Построение сложных фигур с помощью предварительного анализа можно будет свести к последовательности построений «основных» фигур. Для начала мы должны описать, что можно делать с помощью линейки и циркуля. Линейка – инструмент, позволяющий:

• 
  провести произвольную прямую;
  
• 
  провести прямую (произвольную), проходящую через данную точку;
  
• 
  провести прямую, проходящую через две данные точки;
  
• 
  построить произвольный луч;
  
• 
  построить произвольный луч с заданным началом;
  
• 
  построить луч с заданным началом, проходящий через заданную точку;
  
• 
  построить отрезок с заданными концами.
  

Циркуль – инструмент, позволяющий:

• 
  построить произвольную окружность;
  
• 
  построить окружность с заданным радиусом;
  
• 
  построить окружность с заданным центром и радиусом;
  
• 
  отложить данный отрезок на прямой от данной точки.
  

Ход работы: При решении этой задачи применяем определение и свойства квадрата.Квадрат-это прямоугольник, у которого все стороны равны.Свойства:

• 
  1. Все углы квадрата прямые.
  
• 
  Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.
  

рис 1

• 
  2. Если в квадрате EK FL , то их длины равны, т.е │EK│=│FL│ (рис1). Это свойство в школе не рассматривали. Приводим примером задачу, которую мы применяем в ходе исследования задачи.
  

Задача: (Н.В. Аргунова, Е.П.Жирков «Элементарная математика») Две взаимно перпендикулярные прямые пересекают стороны АВ,ВС, СД и АД квадрата АВСД соответственно в точках Е, F, K, L. Докажите, что ЕК=FL(рис. 1). Решение. На этом примере покажем применение геометрического метода.1) Проведем FM || СД и КР || АД.2) Тогда отрезки ЕК и FL станут сторонами двух треугольников ЕКР и FLM (рис.1), и, значит, достаточно доказать равенство этих треугольников.

---

3) Имеем РК=FM (как высоты квадрата), ∠LFM=∠EKP (как углы с взаимно перпендикулярными сторонами). 4) Значит ΔEKP= ΔFLM (по катету и острому углу). 5) Из равенства прямоугольных треугольников следует равенство их гипотенуз, т.е. EK=FL. Что и требовалось доказать.Часть IЗадача: Квадрат по 4 точкам. На плоскости отмечены 4 точки. Построить квадрат, на сторонах которого лежат эти точки.I . Анализ Предположим, что задача решена.а) пусть эти точки лежат на сторонах квадрата;б) середины диагоналей Q и P четырехугольника АВСД лежат на осях симметрии искомого квадрата (по 2 свойству) ДР=PB. в) на перпендикуляр к диагонали ДВ, проведенном через точку Q отложим отрезок QM=PB.г) М и В при этом лежат на соседних сторонах квадрата, каждая прямая пересекает параллельные стороны квадрата.

II. Построение :

1. А,В,С,Д – из них 3 точки не лежат на одной прямой с четвертой точкой	2. А соединяем с Д, В соединяем с точкой С, отрезки АВ и ВС
3. Находим середины отрезков АД и ВС, то АР=РД, CQ=QВ	4. Середины отрезков лежат на осях симметрии искомого квадрата
5. Через Q проводим прямую j параллельной прямой ВР. Прямая j перпендикулярна к отрезку АВ	6. Отложим отрезок QM=PД на прямой j. Через М и В проводим прямую n, и построим квадрат.

III. Исследование: При исследовании задачи мы применили учебную программу «Живая математика» и построение с помощью циркуля.

---

И нашли такие варианты решения.1. Квадрат можно построить , когда две соседние углы тупые.1.1 При построении квадрата применяем свойства перпендикулярности прямыха) соединяем противоположные точки А и С, В и Дб) Из точки А и С проводим перпендикуляры, то FD=GKв) соединяем точки К и С, и к прямой КС проводи м перпендикуляры из точек Д и В, а из точки А проводи м параллельную прямую YX и получаем искомый квадрат. K1.2 При построенииа) Соединим соседние точки ЕНб) Из точек F и G проведем перпендикуляр к отрезку ЕНв) В четырехугольнике FPNG проведем диагональ FNг) Через точки E и G проведем параллельную диагонали прямую.д) Из точки F проведем перпендикуляр к отрезку RSе) Через точку Н проведем прямую параллельную QR2.1При построение квадрата применяем свойство параллельности прямыха) АС и ВД диагонали четырехугольника АВСДб) Находим середины отрезков АС и ВД, то АH=HC, BT=TDв) середины диагоналей лежат на осях симметрии искомого квадрата г) через L проводим параллельную прямую j. д) Отложим отрезок ТД=HG. Через G и C проводим прямую LK, и к прямой LK проводим из точек В и Д перпендикуляры и построим искомый квадрат. г) через L проводим параллельную прямую j. д) Отложим отрезок ТД=HG. Через G и C проводим прямую LK, и к прямой LK проводим из точек В и Д перпендикуляры и построим искомый квадрат. 2.2 При построении:а) проводим диагоналиб) из точек В и U проводим перпендикуляры к диагоналямв) через точки А и Д проводим прямые параллельно к прямой ВК, г) через точки В и U проводим прямые параллельно к прямой АД, 3.1 При построении квадрата применяем пересечение окружности.При построении: а) соединяем соседние точки А и В, С и Дб) находим середины отрезков АВ и СД, то ОА = OB=L, CО=ОД=P и проводим окружности с радиусом L и P

---