Файл: Основу теории математики.pptx

Согласно формуле доказанной выше

n + m- k = 17+ 19- k = 30 k = 6.

Ответ: 6 учеников в классе поют и танцуют одновременно.

Всего 67

Английский 47

Немецкий 35

23

47-23=24

24

35-23=12

12

24+12+23=59

67- 59=8

На фирме работают 67 человек. Из них 47 знают английский язык, 35 - немецкий язык, а 23 - оба языка. Сколько человек в фирме не знают ни английского, ни немецкого языков?

Каждый учащийся в классе изучает английский или французский язык. Английский язык изучают 25 учащихся, французский — 27 учащихся, а два языка — 18 учащихся. Сколько учащихся в классе?

Ответ: в классе 34 ученика

Английский 25

Немецкий 27

Только английский

25 – 18 = 7

Только немецкий

27 – 18 = 9

7 + 9 + 18 = 34

18

7

9

Объединение содержит 9 элементов

газету, или журнал, или и то и другое вместе. 75 семей

выписывают газету, а 27 семей выписывают журнал и лишь 13 семей выписывают и журнал, и газету. Сколько семей живет в нашем доме?

Всего: 14 + 13 + 62 =89
класса выполнил норматив или по бегу, или по прыжкам в высоту. Оба норматива выполнили 7 человек, а 11 учеников выполнили норматив по бегу, но не выполнили норматив по прыжкам в высоту. Сколько учеников выполнили норматив: а) по бегу; б) по прыжкам в высоту; в) по прыжкам при условии, что не выполнен норматив по бегу? планетарии, 10 – в цирке и 6 – на стадионе. Планетарий и цирк посетили 5 учеников; планетарий и стадион - 3; цирк и стадион - 1. Сколько учеников в нашем классе, если никто не успел посетить все три места, а три ученика не посетили ни одного места?
УМЕНИЯ

ЗНАНИЯ

МНОЖЕСТВО

ЭЛЕМЕНТ МНОЖЕСТВА

ВИДЫ МНОЖЕСТВ

ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ

МНОЖЕСТВАМИ

ОБЪЕДИНЕНИЕ МНОЖЕСТВ

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ

НАХОДИТЬ ОБЪЕДИНЕНИЕ МНОЖЕСТВ

НАХОДИТЬ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ

ИЗОБРАЖАТЬ С ПОМОЩЬЮ КРУГОВ ЭЙЛЕРА-ВЕННА

РЕШАТЬ ЗАДАЧИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ИМЕЮЩИХСЯ ЗНАНИЙ

ПОДВЕДЕМ ИТОГИ

Диаграммы Эйлера-Венна

Для наглядного представления множеств и результатов операций над ними удобно пользоваться диаграммами Эйлера-Венна (кругами Эйлера).
При этом множества изображаются на плоскости в виде замкнутых кругов, а универсальное множество в виде прямоугольника.
Элементы множества – точки внутри соответствующего круга.

Формула для подсчета числа элементов в объединении трех множеств:
m (АВС) = m (А) + m (В) + m (С) - m (А∩В) – m (А∩С) – m (В∩С) + m (А∩В∩С)

Примеры

Пример 1. Записать множество всех натуральных делителей числа 15 и найти число его элементов.
Решение: А={1, 3, 5}, m (А)=3.

Пример 2

Даны множества А={2, 3, 5, 8, 13, 15}, В={1, 3, 4, 8,16}, С={12, 13, 15, 16}, D={0, 1, 20}.
Найти А∪В, С∪D, В∩С, А∩D,А\С, D\В, А∪В∪С, А∩В∩С, В∪D∩С, А∩С\D.
Решение:
Учтем, что сначала должна выполняться операция пересечения множеств, а затем объединение или разность.
Получим
АВ={1, 2, 3, 4, 5, 8, 13, 15, 16},
С∪D={0, 1, 12, 13, 15, 16, 20},
В∩С={16}, А∩D=∅, А\С={2, 3, 5, 8}, D\В={0, 20},
А∪В∪С={1, 2, 3,4, 5, 8, 12, 13, 15, 16},
А∩В∩С=∅, В∪D∩С={1, 3, 4, 8, 16}, А∩С\D={13, 15}

Пример 3.

Экзамен по математике сдавали 250 абитуриентов, оценку ниже пяти получили 180 человек, а выдержали этот экзамен 210 абитуриентов. Сколько человек получили оценки 3 и 4?
Решение: Пусть А – множество абитуриентов, выдержавших экзамен, В – множество абитуриентов, получивших оценку ниже 5, по условию m (A)=210, m (В)=180, m (A∪B)=250. Абитуриенты, получившие оценки 3 и 4, образуют множество А∩В.
Из формулы (2) находим m (A∩B) = m (A) + m (В) - m (A∪B) = 210 + 180 – 250 = 140.

Пример 4.

В школе 1400 учеников.
Из них 1250 умеют кататься на лыжах, 952 – на коньках.
Не умеют кататься 60 учащихся.
Сколько учащихся умеют кататься и на коньках и на лыжах?
Решение: Множество учеников школы будем считать основным множеством U, А и В – соответственно множества учеников, умеющих кататься на лыжах и на коньках .

Учащиеся, не умеющие кататься ни на лыжах, ни на коньках, составляют множество А’∩В’= (А∪B)’
m (А∪B) = m(U) - m (А∪B)’=1340.
m (А∩B) = m (А) + m (В) - m (А∪B) = 862