ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 12.01.2024
Просмотров: 224
Скачиваний: 2
СОДЕРЖАНИЕ
N – множество натуральных чисел;
Q – множество рациональных чисел;
I - множество иррациональных чисел;
R – множество действительных чисел.
Поставьте вместо звездочки знак так, чтобы получить правильное утверждение:
Запишите множества букв слов КОНИ и КИНО
а) множество чисел, кратных 13;
б) множество делителей числа 15;
г) множество натуральных чисел;
д) множество рек Ростовской области;
е) множество корней уравнения х + 3 = 11;
ж) множество решений неравенства х + 1 < 3.
а) 3254; б) 8797; в) 11000; г) 555555.
а) М = Р б) Р ≠ S в) М ≠ Т г) Р = Т
При этом пишут AB, где есть знак вложения подмножества.
Определить как между собой соотносятся множества A = {1, 2, 3, 5, 7}, и B ={1, 3, 5}?
Определение: Если мощность множества n, то у этого множества 2n подмножеств.
Определить количество подмножеств
Два множества А и В равны (А=В), если они состоят из одних и тех же элементов.
- если А={1,2,3,4}, B={3,1,4,2} то А=В.
Таким образом, е А В тогда и только тогда, когда либо е А ,либо е В .
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6},
Свойства операций над множествами:
Пусть U — множество всех абитуриентов,
А-множество абитуриентов, решивших задачу по алгебре,
В-множество абитуриентов, решивших задачу по планиметрии,
С-множество абитуриентов, решивших задачу по стереометрии.
В множество AUBUC включены все абитуриенты, решившие хотя бы одну задачу. По формуле имеем:
n(А U В U С) = 800 + 700 + 600 - 600 - 500 - 400 + 300 =900.
Отсюда следует, что не все поступающие решили хотя бы одну задачу.
n(U) - n(AUBUC)=1000 - 900=100 (абитуриентов).
А – четные натуральные числа В – двузначные числа
Найти объединение этих множеств.
А В – быть четным натуральным или двузначным числом
Пересечение множеств обозначается
П р и м е р : {1,2,3} {2,3,4} = {2,3}
Найти пересечение этих множеств.
А В – быть четным натуральным и двузначным числом
Какие названия применяются для обозначения множеств животных?
Какие названия применяются для обозначения множеств военно-служащих?
Как называется множество цветов, стоящих в вазе?
Как называется множество точек земной поверхности, равноудаленных от обоих полюсов?
Как называется множество населённых людьми мест?
Как называется множество картин?
Как называется множество документов?
Какие названия применяют для обозначения множеств кораблей?
Найдите: 1) АUВ; 2) АUС; 3) СUВ.
А – множество всех натуральных чисел, кратных 10,
Решение.
Решение.
Пусть U — множество всех абитуриентов,
А-множество абитуриентов, решивших задачу по алгебре,
В-множество абитуриентов, решивших задачу по планиметрии,
С-множество абитуриентов, решивших задачу по стереометрии.
По условию n(U) =1000, n(A) = 800, n(В)=700, n(С)=600, n(AB)= 600, n(AC) = 500, n(BC) = 400, n(ABC) =300.
В множество AUBUC включены все абитуриенты, решившие хотя бы одну задачу. По формуле имеем:
n(А U В U С) = 800 + 700 + 600 - 600 - 500 - 400 + 300 =900.
Отсюда следует, что не все поступающие решили хотя бы одну задачу.
Ни одной задачи не решили
n(U) - n(AUBUC)=1000 - 900=100 (абитуриентов).
Упорядоченная пара. Декартово произведение двух множеств
1. Упорядоченная пара. Декартово произведение двух множеств
2. Соответствие между элементами множеств.
3. Способы задания соответствий
Рассмотрим задачу: используя цифры 1, 2, 3, нужно образовать все возможные двузначные числа.
Запись каждого числа состоит из двух цифр, причем существенен порядок их следования (числа 12 и 21 различны).
В том случае, когда важен порядок следования элементов множества, в математике говорят об упорядоченных наборах элементах. В данном случае имеем дело с упорядоченной парой.
Упорядоченную пару, образованную из элементов а, b обозначают (а; b).
а – первая компонента пары, b – вторая компонента пары.
Определение. Пары (а; b) и (с; d) равны тогда и только тогда, когда а = с и b = d.
В ранее мы встречались с упорядоченными парами при использовании прямоугольной системы координат, в которой каждая точка имеет координаты, представляющие собой пару чисел.
Задача. А = {1; 2}, В = {5; 6}. Составьте все возможные двузначные числа, число десятков которого принадлежит множеству А, а число единиц – множеству В.
Такими числами будут 15, 25, 16, 26.
В процессе решения этой задачи из двух данных множеств А и В образовано новое множество, элементами которого являются упорядоченные пары чисел (1; 5), (2; 5), (1; 6), (2; 6). Это новое множество называют декартовым произведением множеств
Аи В.
Определение. Декартовым произведением множеств А и В называется множество пар, первая компонента которых принадлежит множеству А, а вторая компонента принадлежит множеству В.
Записывают: А ´ В = {(а; b):а А, b В}
Пример. А = {1; 2}, В = {3; 4}. А ´ В = {(1; 3); (2; 3); (1; 4); (2; 4)}; В ´ А = {(3; 1); (3; 2); (4; 1); (4; 2)}. А ´ В ≠В ´ А, следовательно, декартово умножение не обладает свойством коммутативности.
Аналогично рассуждая, можно показать, что для этой операции не выполняется свойство ассоциативности.
Декартово произведение множеств есть множество, поэтому, как и всякое множество, его можно задать перечислением и указанием характеристического свойства.
Элементы декартова произведения удобно записывать при помощи таблицы:
(1; 2) (1; 4)
(2; 3) (2; 4)
Каждый элемент множества А ´ В записывается в клетке, стоящей на пересечении соответствующей строки и столбца.
Т.о. множество клеток этой таблицы представляет собой декартово произведение множеств А ´ В.
В математике понятие отношения используется для обозначения какой-либо связи между объектами. Отношение есть некоторое множество упорядоченных пар (x,y), где x X, а y Y.
Соответствие между элементами множеств
Способы задания соответствий
Учащимся некоторого класса был задан вопрос, какие кружки они посещают. Их ответы были занесены в таблицу:
В таблице отметим, что Артем посещает 3 кружка, а Виктор только один; больше всего из опрошенных посещают кружок рисования и никто из них не посещает кружок выжигания…
В данном примере рассматриваются два множества: Х = {А; Б; В} – множество имен и Y = {м; р; т; в} – множество названий кружков.
При помощи слов «посещать какой-либо кружок» между элементами этих множеств установлена некоторая связь, или, как говорят в математике, соответствие. В таблице это соответствие выделим заштрихованными клетками, а множество всех клеток таблицы является декартовым произведением множеств Х и Y.
Соответствие между множествами Х и Y мы установили, имея 3 множества:
множество Х – множество имен,
множество Y – множество названий кружков и
подмножество декартова произведения Х ´ Y.
Определение. Соответствием между множествами Х и Y называется любое подмножество
R декартова произведения множеств Х и Y.
Множество Х называют множеством отправления соответствия, множество Y – множеством прибытия соответствия.
Если пара (х; у) R, то говорят, что элемент у соответствует элементу х;
у является образом элемента х;
х является прообразом элемента у
Определение. Множество всех первых компонент пар, входящих в соответствие, называется областью определения соответствия.
Определение. Множество всех вторых компонент пар, входящих в соответствие, называется областью значений соответствия.
Т.к. соответствие – подмножество декартова произведения, то способы задания соответствий такие же, как и для декартова произведения.
Пример. Х = {2; 3; 5; 7}, Y = {6; 9; 15; 17}
R – «х – делитель у» – соответствие задано указанием характеристического свойства;
R = {(2; 6); (3; 6); (3; 9); (3; 15); (5; 15)} – соответствие задано перечислением. Также соответствие можно задать таблицей:
| Х Y | ||||
| | | | | |
| | | | | |
| | | | | |
| | | | |
В нашем примере элементу 3 соответствует три элемента множества Y – 6, 9 и 15. Множество, состоящее из чисел 6, 9 и 15, называют образом элемента 3.
В общем случае, образ элемента х из множества Х определяется как множество всех элементов у Y, соответствующих элементу х.
Число 6 соответствует двум элементам множества Х – числам 2 и 3. Множество, состоящее из чисел 2 и 3, называют полным прообразом элемента 6 из множества Х.
В общем виде: полный прообраз элемента у Y определяют как множество элементов х Х, таких что элементу х соответствует элемент у.
Определение. Множество всех элементов из множества Х, имеющих непустые образы, называется областью (множеством) определения соответствия R.
Определение. Множество всех элементов из множества Y, имеющих непустой полный прообраз, называется множеством значений соответствия
R.
В нашем примере: {2; 3; 5} – множество определения; {6; 9; 15} – множество значений.
Понятие соответствия между множествами относится к числу фундаментальных понятий математики. Оно лежит в основе определения таких важнейших понятий математики, как функция и отображение. Кроме того, в любой науке изучаются не только сами объекты, но и связи между ними.
Взаимно однозначное соответствие
Определение. Отображением f множества Х в множество Y называется такое соответствие между множествами Х и Y, при котором каждому элементу х Х соответствует единственный элемент у Y.
Определение. Если множество значений отображения f совпадает с множеством прибытия этого отображения, то f называют отображением множества Х на множество Y.
В математике такое отображение называется сюръективным.
Определение. Если полный прообраз каждого элемента у Y содержит не более одного элемента (может быть и пустым), то такое отображение называется инъективным.
Определение. Отображение, обладающее свойствами инъективности и сюръективности, называется взаимно однозначным.
Другими словами: отображение f множества Х на множество Y называется взаимно однозначным, если двум различным элементам х1 и х2 множества Х соответствует два различных элемента у1 и у 2 множества Y.
Пример. Х – множество вершин треугольника АВС,
Y – множество сторон треугольника АВС.
Поставим в соответствие каждой вершине треугольника его сторону, лежащую напротив этой вершины. Данное отображение взаимно однозначно, при этом каждый элемент множества Х имеет единственный образ, а каждый элемент множества Y – единственный прообраз.
ОБЪЕДИНЕНИЕ МНОЖЕСТВ
А – четные натуральные числа В – двузначные числа
Найти объединение этих множеств.
А В – быть четным натуральным или двузначным числом
Пример: 8 и 32
Определение: Пересечением множеств А и В называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множествам А и В одновременно.
Пересечение множеств обозначается
П р и м е р : {1,2,3} {2,3,4} = {2,3}
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ
Найти пересечение этих множеств.
А В – быть четным натуральным и двузначным числом
Пример: 32
БЛИЦ-ОПРОС
БЛИЦ-ОПРОС
- земноводные, млекопитающие, хладнокровные и т.п.
Какие названия применяются для обозначения множеств животных?
БЛИЦ-ОПРОС
- рота, взвод, полк, дивизия и т.п.
Какие названия применяются для обозначения множеств военно-служащих?
БЛИЦ-ОПРОС
- букет
Как называется множество цветов, стоящих в вазе?
БЛИЦ-ОПРОС
- экватор
Как называется множество точек земной поверхности, равноудаленных от обоих полюсов?
БЛИЦ-ОПРОС
- деревня, село, город, посёлок
Как называется множество населённых людьми мест?
БЛИЦ-ОПРОС
- выставка, галерея
Как называется множество картин?
БЛИЦ-ОПРОС
- архив
Как называется множество документов?
БЛИЦ-ОПРОС
- флотилия, эскадра
Какие названия применяют для обозначения множеств кораблей?
Даны множества:
Даны множества:
А = {2; 3; 8},
В = {2; 3; 8; 11},
С = {5; 11}.
Найдите: 1) АUВ; 2) АUС; 3) СUВ.
Даны множества:
Даны множества:
А = {a, b, c, d},
B = {c, d, e, f},
C = {c, e, g, k}.
Найдите: (АUВ)UС.
Даны множества:
Даны множества:
А – множество всех натуральных чисел, кратных 10,
В = {1; 2; 3;…, 41}.
Найдите А∩В.
k
L
K
Решение задачи
с помощью кругов Эйлера
поют 17
танцуют 19
Всего 30
17+19=36, всего 30
36-30=6
6
11
13
Решение
Пусть А - это множество учеников, умеющих петь. Количество элементов в нём по условию равно n = 17. Пусть В - множество учеников, умеющих танцевать. Количество элементов в нём - m = 18. Множество совпадает со всем классом, т.к. каждый ученик в классе поёт или танцует. - это множество тех учеников класса, которые поют и танцуют одновременно. Пусть их количество равно k.