Файл: Основу теории математики.pptx

Множества Операции над множествами

ПЛАН

1.МНОЖЕСТВО

2. ВИДЫ МНОЖЕСТВ

4. ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ МНОЖЕСТВАМИ

3. ОПЕРАЦИИ НА МНОЖЕСТВАХ

УМЕНИЯ

1. НАХОДИТЬ ОБЪЕДИНЕНИЕ МНОЖЕСТВ

2. НАХОДИТЬ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ

3. ИЗОБРАЖАТЬ С ПОМОЩЬЮ КРУГОВ ЭЙЛЕРА

4. РЕШАТЬ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ

Основу теории математики составляют понятия и отношения между этими понятиями, которые устанавливаются при помощи соответствующих аксиом и определений.
Дальнейшее построение математической теории осуществляется последовательной системой теорем и новых определений, устанавливающей свойства изучаемых математических объектов.

основатель теории множеств

Георг Кантор (1845-1918)

Понятие множества является одним из наиболее общих и наиболее важных математических понятий. Оно было введено в математику немецким ученым Георгом Кантором.

«Множество есть многое, мыслимое нами как единое»

Одним из фундаментальных, неопределяемых математических понятий является понятие множества
Множество можно представить себе как соединение, совокупность, собрание некоторых предметов, объединенных по какому-либо признаку:
множество учащихся класса,
множество букв алфавита,
множество натуральных чисел,
множество точек на прямой,
множество книг на полке и т.д..

Величиной называется все что может быть измерено и выражено числом
Множеством называется совокупность некоторых элементов. Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т.п

КОЛЛЕКЦИЯ МАРОК

НАБОР КАРАНДАШЕЙ

СТАЯ ПТИЦ

ЧАЙНЫЙ СЕРВИЗ

БУКЕТ ЦВЕТОВ

СТАДО КОРОВ

Определение

Предметы, из которых состоит множество, называются его элементами
например, буква К – элемент множества букв русского алфавита.
Для названия множества иногда используют какое-либо одно слово, выступающее в роли синонима слова «множество» (зрители, стая, семья, фрукты).

Обозначают множества заглавными буквами латинского алфавита или символически с помощью фигурных скобок, в которых указываются его элементы.
Сами элементы некоторого множества будем обозначать малыми латинскими буквами, если они не имеют специальных обозначений:

А; {а, b, c}; {∗,s,h,g}; N={1,2,3,4,5,6,7,8, …}.

Объекты, составляющие множество, называются элементами множества.

Множества обозначают большими буквами латинского алфавита: А, В, С, D и т. д.

Принадлежность предмета некоторому множеству обозначают с помощью символа  (в противном случае используется символ ∉).
Запись а  А означает, что а есть элемент множества А.
Аналогично имеем: Δ{Δ, ο}.
Запись 4∉{1,2,3} означает, что 4 не принадлежит множеству {1,2,3}.

Основными способами задания множества являются:
1) перечисление всех его элементов:

А={а1, а2, …, аn};

2) описание (указание характеристического свойства его элементов).
Этот способ требует указания такого признака, который имеется у всех элементов данного множества и не свойственен элементам, не входящим в данное множество.

Например, характеристическим свойством натуральных чисел является возможность их использования при счете каких-либо предметов.
Говоря о множестве четных чисел, мы указываем характеристическое свойство его элементов:

М={х N | х׃2},

т.е. каждое число, принадлежащее

этому множеству, делится на два.

множество	элемент
	Трапеция, параллелограмм, ромб, квадрат, прямоугольник
	Шар, прямоугольный параллелепипед, призма, пирамида, октаэдр
Натуральные числа
	1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 ..
	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Двузначные четные числа

Множество четырехугольников

Пространственные тела

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11…

Квадраты чисел

Цифры десятичной системы счисления

10, 12, 14, 16 … 96, 98

множество людей на Солнце

множество прямых углов равностороннего треугольника

множество точек пересечения двух параллельных прямых

Определение: Пустое множество - множество, не содержащее ни одного элемента

N – множество натуральных чисел;

Z – множество целых чисел;

Q – множество рациональных чисел;

I - множество иррациональных чисел;

R – множество действительных чисел.

N={1,2,3,4,…} – множество натуральных чисел;
Z={…,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,…} – множество целых чисел (содержит все натуральные числа и числа, им противоположные), N⊂Z;
Q={x ׀х = p/q , где p∈Z, q∈N} – множество рациональных чисел (состоит из чисел, допускающих представление в виде дроби), N⊂Z⊂Q;
R=(-∞; +∞) – множество действительных чисел, Q⊂R (кроме всех рациональных чисел, содержит иррациональные числа.

Основные числовые множества:

R

Q

Z

N

Действительные числа изображаются точками координатной прямой (числовой оси).
Координатная прямая – это всякая прямая (обычно горизонтальная), на которой указаны положительное направление, начало отсчета и единичный отрезок.

Поставьте вместо звездочки знак так, чтобы получить правильное утверждение:

5 * N;
– 5 * Q;
3,14 * Q;
2 * R;
0 * N;
− 12 * Z;
π * Q;
3 * ∅

задания:

ВИДЫ МНОЖЕСТВ

Запишите множества букв слов КОНИ и КИНО

Равные множества

{К, О, Н, И}

{К, И, Н, О}

ВИДЫ МНОЖЕСТВ

Множества, состоящие из одних и тех же

Элементов называют равными (одинаковыми).

Пишут А=В

ВИДЫ МНОЖЕСТВ

А = {2; 3; 5; 7; 11; 13};

В = {х | 5< х <12}

Конечные множества

ВИДЫ МНОЖЕСТВ

А = {1; 4; 9; 16; 25; …};

С = {10; 20; 30; 40; 50; …};

Бесконечные множества

а) множество чисел, кратных 13;

б) множество делителей числа 15;

в) множество деревьев в лесу;

г) множество натуральных чисел;

д) множество рек Ростовской области;

е) множество корней уравнения х + 3 = 11;

ж) множество решений неравенства х + 1 < 3.

а) 3254; б) 8797; в) 11000; г) 555555.

B). Охарактеризуйте множество А:

а) А = {1, 3, 5, 7, 9};

б) А = {- 2, - 1, 0, 1, 2};

в) А = {11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99};

Даны множества:

М = {5, 4, 6},

Р = {4, 5, 6},

Т = {5, 6, 7},

S = {4, 6}.

Какое из утверждений неверно?

а) М = Р б) Р ≠ S в) М ≠ Т г) Р = Т

М

Р

S

T

Мощность множества

Определение: Число элементов конечного множества называют мощностью множества и обозначают символом Card A или |A|.

конечное множество можно характеризовать числом его элементов.
В этом смысле множество чисел {-2, 0, 3,8} и множество букв {с, х, ф, а} эквивалентны, так как они содержат одинаковое число элементов.

В любой конкретной задаче приходится иметь дело только с подмножествами некоторого, фиксированного для данной задачи, множества. Его принято называть универсальным (универсумом) и обозначать символом U.

Пример: при сборке некоторого изделия универсальным множеством можно назвать множество всех деталей и сборочных элементов, из которых это изделие состоит.

Если мы рассматриваем множества, связанные с какими-нибудь фигурами на плоскости, то в качестве универсального множества можно выбрать множество всех точек плоскости.

Отношения между множествами

Наглядно отношения между множествами изображают при помощи особых чертежей, называемых КРУГАМИ ЭЙЛЕРА (или диаграммами Эйлера – Венна).
Для этого множества, сколько бы они ни содержали элементов, представляют в виде кругов или любых других замкнутых кривых (фигур)

Отношения между множествами

При графическом изображении множеств удобно использовать диаграммы Венна, на которых универсальное множество обычно представляют в виде прямоугольника, а остальные множества в виде овалов, заключенных внутри этого прямоугольника

Определение:

Множество A называется подмножеством множества B, если любой элемент множества A принадлежит множеству B.

При этом пишут AB, где  есть знак вложения подмножества.

Из определения следует, что для любого множества справедливы, как минимум, два вложения A  A и   A .

Задание:

Определить как между собой соотносятся множества A = {1, 2, 3, 5, 7}, и B ={1, 3, 5}?

Количество подмножеств

Определение: Если мощность множества n, то у этого множества 2n подмножеств.

Пример:

А={1,2}

Подмножества множества А:

{}, {1}, {2}, {1,2}.

Определить количество подмножеств

1. В={1,3,5}

2. С={а,и,е,о}

Количество подмножеств

В={1,3,5}

Подмножества В:

{}, {1}, {3}, {5}, {1,3}, {1,5}, {5,3}, {1,3,5}

С={а,и,е,о}

Подмножества С:

{}, {а}, {и}, {е}, {о}, {а,и}, {а,е}, {а,о}, {и,е}, {и,о}, {е,о}, {а,и,е}, {а,и,о}, {а,е,о}, {и,е,о}, {а,и,е,о}.

7n + 2, где n ∈ N.

Верна ли запись -5 ∈ А?

В множестве {лев; лисица; гиена; слон; рысь}

все элементы, кроме одного, обладают некоторым свойством.

2. Назовите 5 подмножеств в множестве всех цветов радуги. 3. Каким свойством в множестве ромбов выделяется подмножество квадратов?

Операции над множествами

Два множества А и В равны (А=В), если они состоят из одних и тех же элементов.

Пример:

- если А={1,2,3,4}, B={3,1,4,2} то А=В.

- {a,b,c,d}={c,b,a,d}.

Объединение множеств

Сумма ( объединение ) множеств А и В (пишется АВ ) есть множество элементов, каждый из которых принадлежит либо А , либо В.

Таким образом, е А  В тогда и только тогда, когда либо е  А ,либо е  В .

Пример:

если А={1,2,4}, B={3,4,5,6},

то А  B = {1,2,3,4,5,6}

1

2

4

А

4

3

5

6

В

Объединение множеств

Операции над множествами

Определение: Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В.

то А ∩ В = {b}

Пересечение множеств

Операции над множествами

Определение: Разностью множеств А и В называется множество АВ, элементы которого принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В.

то А\В = {1,2}

1

2

4

А

4

3

5

6

В

Разность множеств

Операции над множествами

определение: Симметрической разностью множеств А и В называется множество А Δ В, являющееся объединением разностей множеств АВ и ВА, то есть А Δ В = (А\В)  (В\А).

симметрическая разность

Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6},

то А Δ В = {1,2} ∪ {5,6} = {1,2,5,6}

Симметричная разность

Операции над множествами

Определение: Абсолютным дополнением множестваназывается множество всех элементов, не принадлежащих A, т.е. множество U\A, где U – универсальное множество

Свойства операций над множествами:

П р и м е р ы

Множество детей является подмножеством всего населения.
Пересечением множества целых чисел с множеством положительных чисел является множество натуральных чисел.
Объединением множества рациональных чисел с множеством иррациональных чисел является множество действительных чисел.
Нуль является дополнением множества натуральных чисел относительно множества неотрицательных целых чисел.

Даны множества

Найти: объединение, пересечение, разность, симметрическую разность

Пример:

На вступительном экзамене были предложены три задачи: по алгебре, планиметрии и стереометрии. Из 1000 абитуриентов задачу по алгебре решили 800, по планиметрии — 700, а по стереометрии — 600 абитуриентов. При этом задачи по алгебре и планиметрии решили 600 абитуриентов, по алгебре и стереометрии — 500, по планиметрии и стереометрии — 400. Все три задачи решили 300 абитуриентов. Существуют ли абитуриенты, не решившие ни одной задачи, и если да, то сколько их?

Смотрите также файлы

1 Сидя на стуле, руки вниз. Сжатие и разжатие кистей в кулак. 2 Расслабление. 3.docx

Символы России Государственный гимн, герб, флаг Что может герб нам рассказать.doc

Машины и оборудование для обеспечения комфортных и безопасных условий труда в шахтах и рудниках.docx

Рынок недвижимости и его структура.pdf

Вам предстоит, изучив материал темы.docx