ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 12.01.2024
Просмотров: 188
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Глава 5. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ
5.1. Оценка погрешностей определения величин функций При изложении материалов, касающихся оценки погрешностей результатов наблюдений, будем в дальнейшем придерживаться методологии решении этих задач, представленной в учебном пособии [2]. Необходимость в определении погрешности величин функций по известным значениям погрешностей их аргументов (факторов) возникает при оценке точности результатов математического эксперимента, а также результатов так называемых косвенных измерений. Под косвенным измерением понимается такое, в результате которого значение искомой величины y рассчитывают по известной зависимости ее от других величин х, х, ..., х к, измеренных другим способом, те.
),
k x
,...,
i x
,...,
2
x
,
1
x
(
f y
(5.1) где х, х, ..., х i
,..., х к — аргументы, определенные независимо друг от друга. В дальнейшем будем полагать, что погрешности определения величины y обусловлены лишь неточностью численных значений величин х, х, ..., х i
,..., х к, входящих под знак функции. Обозначим истинное значение го параметра через x i
, среднее значение — через i
x
, а абсолютную погрешность его измерения — через х i
. Разложим функцию f(x
1
, x
2
, ..., x k
) вряд Тейлора, сохраняя члены с нулевой и первыми степенями погрешностей
,
i x
x x
k
1
i i
x
)
k x
,...,
i x
,...,
1
x
(
f
)
k x
,...,
i x
,...,
1
x
(
f
)
k x
,...,
i x
,...,
1
x
(
f i
i
6.2. Пример хорошего и плохого эксперимента Рассмотрим пример — взвешивание трех объектов A, B, C на аналитических весах. Первый — традиционный — подход предусматривает последовательное взвешивание каждого из образцов. Исследователь вначале делает холостое взвешивание для определения нулевой точки весов, а затем по очереди взвешивает каждый из
6.3.5. Дробный факторный эксперимент Во многих практических задачах взаимодействия второго и высших порядков отсутствуют или пренебрежимо малы. Кроме того, на первых этапах исследования часто необходимо получить в первом приближении лишь линейную аппроксимацию изучаемого уравнения связи при минимальном числе экспериментов. Так, для трех факторов вместо уравнения (6.9) достаточно рассмотреть уравнение вида
3
x
3
b
2
x
2
b
1
x
1
b
0
b y
(6.22) и определить только четыре коэффициента. Поэтому использование
ПФЭ для определения коэффициентов только при линейных членах неэффективно из-за реализации большого числа опытов, особенно при большом числе факторов k. Если при решении задачи можно ограничиться линейным приближением, тов ПФЭ оказывается много лишних опытов. Так, для трех факторов достаточно 4 опыта, а в ПФЭ их 8. Следовательно, есть четыре лишних. Результаты этих лишних опытов могут быть использованы двояко во-первых, сих помощью можно получить более
FРАС-
ПОБР. Для m
1
= (n-l) = (8-3) = 5 и m
2
= n(m*-1) = 8(2-1) = 8 значение
F
0,05;5;8
= 3,69 (FРАСПОБР(0,05;5;8)=3,69). Поскольку эксп
< теор, то полученная модель адекватна. Выполним проверку в пакете Statistica.
1. Допустим, по построенному заранее плану ДФЭ 2 5-2
, проведены опыты. Теперь необходимо получить уравнение множественной регрессии от 5 факторов. Для этого внесем полученные опытные данные на новый лист, при этом необходимо вставить также значения факторов. Поскольку имелись повторные опыты, то вставляем опытов (значения факторов будут дублироваться, рис. 6.7. Рис. 6.7. Результаты эксперимента
5.1. Оценка погрешностей определения величин функций При изложении материалов, касающихся оценки погрешностей результатов наблюдений, будем в дальнейшем придерживаться методологии решении этих задач, представленной в учебном пособии [2]. Необходимость в определении погрешности величин функций по известным значениям погрешностей их аргументов (факторов) возникает при оценке точности результатов математического эксперимента, а также результатов так называемых косвенных измерений. Под косвенным измерением понимается такое, в результате которого значение искомой величины y рассчитывают по известной зависимости ее от других величин х, х, ..., х к, измеренных другим способом, те.
),
k x
,...,
i x
,...,
2
x
,
1
x
(
f y
(5.1) где х, х, ..., х i
,..., х к — аргументы, определенные независимо друг от друга. В дальнейшем будем полагать, что погрешности определения величины y обусловлены лишь неточностью численных значений величин х, х, ..., х i
,..., х к, входящих под знак функции. Обозначим истинное значение го параметра через x i
, среднее значение — через i
x
, а абсолютную погрешность его измерения — через х i
. Разложим функцию f(x
1
, x
2
, ..., x k
) вряд Тейлора, сохраняя члены с нулевой и первыми степенями погрешностей
,
i x
x x
k
1
i i
x
)
k x
,...,
i x
,...,
1
x
(
f
)
k x
,...,
i x
,...,
1
x
(
f
)
k x
,...,
i x
,...,
1
x
(
f i
i
Глава ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ
163
где все производные i
i x
x i
x
)
k x
,...,
i x
,...,
1
x
(
f
вычислены при значениях i
x Тогда
,
k
1
i
2
Δy k
1
i
2
Δx
2
i x
i x
x
,...,x
,...,x f(x
2
k
1
i
Δx i
x i
x x
,...,x
,...,x f(x
2
)
x
,...,
x
,...,
x f(
)
,...,x
,...,x f(x
2
Δy i
i i
k i
1
i i
k i
1
k i
1
k i
1
(5.2) где i
x x
x i
x k
x
,...,
1
x
(
f i
y Следовательно,
y i
— это составляющие погрешности функции, обусловленные погрешностью го аргумента x Доверительная вероятность, соответствующая величине
y i
, численно равна доверительной вероятности, с которой найдена погрешность Для относительной погрешности вместо соотношения (5.2) используют выражение x
x
)
f ln(
x x
f f
1
i i
i i
*
y i
(5.3) Соотношения (5.2) и (5.3) применимы для расчета как случайных, таки систематических погрешностей.
163
где все производные i
i x
x i
x
)
k x
,...,
i x
,...,
1
x
(
f
вычислены при значениях i
x Тогда
,
k
1
i
2
Δy k
1
i
2
Δx
2
i x
i x
x
,...,x
,...,x f(x
2
k
1
i
Δx i
x i
x x
,...,x
,...,x f(x
2
)
x
,...,
x
,...,
x f(
)
,...,x
,...,x f(x
2
Δy i
i i
k i
1
i i
k i
1
k i
1
k i
1
(5.2) где i
x x
x i
x k
x
,...,
1
x
(
f i
y Следовательно,
y i
— это составляющие погрешности функции, обусловленные погрешностью го аргумента x Доверительная вероятность, соответствующая величине
y i
, численно равна доверительной вероятности, с которой найдена погрешность Для относительной погрешности вместо соотношения (5.2) используют выражение x
x
)
f ln(
x x
f f
1
i i
i i
*
y i
(5.3) Соотношения (5.2) и (5.3) применимы для расчета как случайных, таки систематических погрешностей.
Глава ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ
164
Общая абсолютная (
y
) и относительная (
*
) погрешности определения функции могут быть найдены с помощью выражений
;
k
1
i
2
i y
y
(5.4) k
1
i
2
*
yi
*
(5.5) Предполагается, что все составляющие имеют нормальный закон распределения. Частные производные, входящие в соотношения (5.2) и (5.3), не всегда могут быть найдены аналитически. Часто не удается разрешить искомую задачу относительно искомой величины y в явном виде. В этих случаях полезно использовать численные методы определения производных. Пример. Рассмотрим погрешность определения массового расхода газового потока стандартным сужающим устройством. При этом будем считать, что случайная составляющая погрешности отсутствует, а поправка на сжимаемость потока равна единице. Тогда с учетом выражения для определения массового расхода вещества
,
2
)
(
2 0
2 1
0
h
F
p
p
F
G
(5.6) где F
0
— площадь сужающего устройства
— поправочный множитель на сжимаемость вещества, расход которого измеряется (
=1);
— плотность потока перед сужающим устройством h — перепад статического давления на сужающем устройстве,
— коэффициент расхода. Используя соотношения (5.2) и (5.4), получим следующие формулы для расчета абсолютной и относительной погрешности определения расхода
164
Общая абсолютная (
y
) и относительная (
*
) погрешности определения функции могут быть найдены с помощью выражений
;
k
1
i
2
i y
y
(5.4) k
1
i
2
*
yi
*
(5.5) Предполагается, что все составляющие имеют нормальный закон распределения. Частные производные, входящие в соотношения (5.2) и (5.3), не всегда могут быть найдены аналитически. Часто не удается разрешить искомую задачу относительно искомой величины y в явном виде. В этих случаях полезно использовать численные методы определения производных. Пример. Рассмотрим погрешность определения массового расхода газового потока стандартным сужающим устройством. При этом будем считать, что случайная составляющая погрешности отсутствует, а поправка на сжимаемость потока равна единице. Тогда с учетом выражения для определения массового расхода вещества
,
2
)
(
2 0
2 1
0
h
F
p
p
F
G
(5.6) где F
0
— площадь сужающего устройства
— поправочный множитель на сжимаемость вещества, расход которого измеряется (
=1);
— плотность потока перед сужающим устройством h — перепад статического давления на сужающем устройстве,
— коэффициент расхода. Используя соотношения (5.2) и (5.4), получим следующие формулы для расчета абсолютной и относительной погрешности определения расхода
Глава ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ h
G
2
G
G
(5.7)
,
h h
2 1
G
h h
G
G
G
2 2
2 2
*
G
(5.8) где h
2 Учтем далее погрешности определения плотности потоков. В соответствии с уравнением состояния газа
= p/RT, где p и T — соответственно абсолютное давление и температура газа перед сужающим устройством, R — универсальная газовая постоянная. Абсолютная погрешность определения плотности потока без учета погрешности газовой постоянной составит
,
2
T
T
2
p p
(5.9) где относительная погрешность
2
T
T
2
p p
*
(5.10) Тогда относительная погрешность определения массового расхода газового потока будет h
h
T
T
p p
2 1
2 2
2
*
G
(5.11)
G
2
G
G
(5.7)
,
h h
2 1
G
h h
G
G
G
2 2
2 2
*
G
(5.8) где h
2 Учтем далее погрешности определения плотности потоков. В соответствии с уравнением состояния газа
= p/RT, где p и T — соответственно абсолютное давление и температура газа перед сужающим устройством, R — универсальная газовая постоянная. Абсолютная погрешность определения плотности потока без учета погрешности газовой постоянной составит
,
2
T
T
2
p p
(5.9) где относительная погрешность
2
T
T
2
p p
*
(5.10) Тогда относительная погрешность определения массового расхода газового потока будет h
h
T
T
p p
2 1
2 2
2
*
G
(5.11)
Глава ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ
166
Здесь p, T, h — значения измеренных параметров
p,
T,
h — их абсолютные погрешности. Численные значения
p,
T,
h определяются в основном инструментальной погрешностью и могут быть вычислены с учетом класса точности используемых приборов для измерения и h. Погрешность измерения T определяется с учетом вида измерительного устройства температуры. Абсолютная погрешность определения массового расхода газового потока
,
*
G
G
G
(5.12) где G — значение расхода, измеренное экспериментально. Таким образом, истинное значение расхода будет равно ист)
5.2. Обратная задача теории экспериментальных погрешностей Целью обратной задачи является определение погрешностей ве- личин-аргументов, если известны погрешности функций и вид функциональной зависимости. Необходимость в решении таких задач возникает при выборе того или иного комплекса измерительной аппаратуры или метода определения искомой величины, позволяющих найти значение этой величины с определенной погрешностью. Обратная задача в общем случае является неопределенной, поскольку имеется одно уравнение с k неизвестными. Иначе говоря, удовлетворить условию задачи можно при различных комбинациях значений погрешностей аргументов. Очень часто удовлетворительное решение обратной задачи оказывается возможным при использовании так называемого принципа равных влияний. Он заключается в том, что при решении задачи накладывается дополнительное требование, чтобы все члены в правой части выражений (5.4) и (5.5) оказывали одинаковое влияние на погрешности функции.
166
Здесь p, T, h — значения измеренных параметров
p,
T,
h — их абсолютные погрешности. Численные значения
p,
T,
h определяются в основном инструментальной погрешностью и могут быть вычислены с учетом класса точности используемых приборов для измерения и h. Погрешность измерения T определяется с учетом вида измерительного устройства температуры. Абсолютная погрешность определения массового расхода газового потока
,
*
G
G
G
(5.12) где G — значение расхода, измеренное экспериментально. Таким образом, истинное значение расхода будет равно ист)
5.2. Обратная задача теории экспериментальных погрешностей Целью обратной задачи является определение погрешностей ве- личин-аргументов, если известны погрешности функций и вид функциональной зависимости. Необходимость в решении таких задач возникает при выборе того или иного комплекса измерительной аппаратуры или метода определения искомой величины, позволяющих найти значение этой величины с определенной погрешностью. Обратная задача в общем случае является неопределенной, поскольку имеется одно уравнение с k неизвестными. Иначе говоря, удовлетворить условию задачи можно при различных комбинациях значений погрешностей аргументов. Очень часто удовлетворительное решение обратной задачи оказывается возможным при использовании так называемого принципа равных влияний. Он заключается в том, что при решении задачи накладывается дополнительное требование, чтобы все члены в правой части выражений (5.4) и (5.5) оказывали одинаковое влияние на погрешности функции.
Глава ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ
167
Применяя принцип равных влияний к относительной погрешности функции, определяемой соотношением (5.5), получим [2]
,
2
*
2
*
2
*
2
*
2 1
k
k
y
y
y
(5.14)
*
k
i
y
(5.15) С учетом (5.3) легко получить выражение для определения абсолютных и относительных
xi
*
погрешностей всех аргументов
;
i x
k x
,...,
2
x
,
1
x
(
f ln
1
k i
x
(5.16)
,...,
,
(
ln
1 2
1
*
i
k
i
x
x
x
x
x
f
k
x
i
(5.17) В дальнейшем могут иметь место три возможных случая
значения погрешностей всех аргументов таковы, что лежат в пределах точности, доступной при измерениях с помощью имеющихся средств измерений
значения некоторых погрешностей настолько малы, что обеспечить соответствующую точность с помощью имеющихся средств измерений не представляется возможным
значения всех погрешностей малы, и обеспечить такую точность невозможно. В первом случае проблем не возникает и поставленная задача имеет решение. Во втором случае прежде всего следует попытаться решить задачу путем увеличения погрешности тех аргументов, у которых оказалось невозможным обеспечить требуемую первоначальную точность измерений при одновременном уменьшении погрешностей остальных аргументов.
167
Применяя принцип равных влияний к относительной погрешности функции, определяемой соотношением (5.5), получим [2]
,
2
*
2
*
2
*
2
*
2 1
k
k
y
y
y
(5.14)
*
k
i
y
(5.15) С учетом (5.3) легко получить выражение для определения абсолютных и относительных
xi
*
погрешностей всех аргументов
;
i x
k x
,...,
2
x
,
1
x
(
f ln
1
k i
x
(5.16)
,...,
,
(
ln
1 2
1
*
i
k
i
x
x
x
x
x
f
k
x
i
(5.17) В дальнейшем могут иметь место три возможных случая
значения погрешностей всех аргументов таковы, что лежат в пределах точности, доступной при измерениях с помощью имеющихся средств измерений
значения некоторых погрешностей настолько малы, что обеспечить соответствующую точность с помощью имеющихся средств измерений не представляется возможным
значения всех погрешностей малы, и обеспечить такую точность невозможно. В первом случае проблем не возникает и поставленная задача имеет решение. Во втором случае прежде всего следует попытаться решить задачу путем увеличения погрешности тех аргументов, у которых оказалось невозможным обеспечить требуемую первоначальную точность измерений при одновременном уменьшении погрешностей остальных аргументов.
Глава ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ
168
Если этот путь не дает приемлемых результатов, то остается один выход, связанный с поиском другого метода определения величины. Этот выход является единственно возможными для случая, когда значения погрешностей всех аргументов настолько малы, что обеспечить требуемую их точность с помощью имеющихся средств измерений не представляется возможным. При выборе другого метода измерений меняется вид функции y
=f(X), а следовательно, меняются аргументы и значения их погрешностей. Пример. Пусть требуется определить объем цилиндра диаметром d = 20 мм и высотой h = 50 мм с относительной погрешностью. Найдем погрешности измерения величин d и h, соответствующие этому же значению доверительной вероятности, при которых исходная задача будет разрешена. Учитывая, что объем цилиндра
4
h
2
d
V
и приняв закон распределения нормальным, с помощью соотношения (5.16) найдем мм d
ln(
1 мм 2
d
2
d
)
4
/
h d
ln(
1 2
d
*
V
2
*
V
*
V
2
*
V
5.3. Определение наивыгоднейших условий эксперимента Под наивыгоднейшими условиями эксперимента понимаются такие, для которых погрешность результата эксперимента при фиксированном значении доверительной вероятности имеет наименьшее значение.
168
Если этот путь не дает приемлемых результатов, то остается один выход, связанный с поиском другого метода определения величины. Этот выход является единственно возможными для случая, когда значения погрешностей всех аргументов настолько малы, что обеспечить требуемую их точность с помощью имеющихся средств измерений не представляется возможным. При выборе другого метода измерений меняется вид функции y
=f(X), а следовательно, меняются аргументы и значения их погрешностей. Пример. Пусть требуется определить объем цилиндра диаметром d = 20 мм и высотой h = 50 мм с относительной погрешностью. Найдем погрешности измерения величин d и h, соответствующие этому же значению доверительной вероятности, при которых исходная задача будет разрешена. Учитывая, что объем цилиндра
4
h
2
d
V
и приняв закон распределения нормальным, с помощью соотношения (5.16) найдем мм d
ln(
1 мм 2
d
2
d
)
4
/
h d
ln(
1 2
d
*
V
2
*
V
*
V
2
*
V
5.3. Определение наивыгоднейших условий эксперимента Под наивыгоднейшими условиями эксперимента понимаются такие, для которых погрешность результата эксперимента при фиксированном значении доверительной вероятности имеет наименьшее значение.
Глава ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ
169
Математически рассматриваемая задача решается путем отыскания минимума функции (5.5) [2]. Условия экстремума погрешности
*
имеют вид
0
k x
*
...;
;
0 2
x
*
;
0 1
x
*
(5.18) Раскрывая величину
*
в соответствии с выражениями (5.3) и (5.5), систему уравнений (5.18) можно представить в форме
0 2
2
x
2
n x
)
f ln(
2 2
x
)
f ln(
2 1
x n
x
1
x
)
f ln(
2 1
x
)
f ln(
;
0 2
2
x
2 2
x
)
f ln(
2 2
x
)
f ln(
2 1
x
2
x
1
x
)
f ln(
2 1
x
)
f ln(
;
0 2
2
x
2
x
1
x
)
f ln(
2 2
x
)
f ln(
2 1
x
2 1
x
)
f ln(
2 1
x
)
f ln(
(5.19) Система (5.19) состоит из n уравнений и содержит n неизвестных. Если решение этой системы существует, то можно найти численные значения величин x
1
, x
2
, ..., x n
, при которых погрешность
* принимает экстремальное значение. Дальнейший анализ направленна получение ответа, соответствует ли найденный экстремум минимуму величины
*
. С этой целью вычисляются значения вторых производных
2
i x
*
2
при найденных значениях переменных x Если вторые производные окажутся положительными, то это соответствует минимуму величины
*
169
Математически рассматриваемая задача решается путем отыскания минимума функции (5.5) [2]. Условия экстремума погрешности
*
имеют вид
0
k x
*
...;
;
0 2
x
*
;
0 1
x
*
(5.18) Раскрывая величину
*
в соответствии с выражениями (5.3) и (5.5), систему уравнений (5.18) можно представить в форме
0 2
2
x
2
n x
)
f ln(
2 2
x
)
f ln(
2 1
x n
x
1
x
)
f ln(
2 1
x
)
f ln(
;
0 2
2
x
2 2
x
)
f ln(
2 2
x
)
f ln(
2 1
x
2
x
1
x
)
f ln(
2 1
x
)
f ln(
;
0 2
2
x
2
x
1
x
)
f ln(
2 2
x
)
f ln(
2 1
x
2 1
x
)
f ln(
2 1
x
)
f ln(
(5.19) Система (5.19) состоит из n уравнений и содержит n неизвестных. Если решение этой системы существует, то можно найти численные значения величин x
1
, x
2
, ..., x n
, при которых погрешность
* принимает экстремальное значение. Дальнейший анализ направленна получение ответа, соответствует ли найденный экстремум минимуму величины
*
. С этой целью вычисляются значения вторых производных
2
i x
*
2
при найденных значениях переменных x Если вторые производные окажутся положительными, то это соответствует минимуму величины
*
Глава ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ. Контрольные вопросы
1. Что такое погрешность определения величин функций
2. С какой целью рассчитывают погрешность
3. Какие виды погрешностей вызнаете Как они определяются
4. В чем заключается цель решения обратной задачи теории экспериментальных погрешностей
5. Что понимают подвыражением наивыгоднейшие условия проведения эксперимента
6. Какова основная идея математического решения задачи поиска наивыгоднейших условий проведения эксперимента
1. Что такое погрешность определения величин функций
2. С какой целью рассчитывают погрешность
3. Какие виды погрешностей вызнаете Как они определяются
4. В чем заключается цель решения обратной задачи теории экспериментальных погрешностей
5. Что понимают подвыражением наивыгоднейшие условия проведения эксперимента
6. Какова основная идея математического решения задачи поиска наивыгоднейших условий проведения эксперимента
Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
171
Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
6.1. Основные определения и понятия Ранее мы рассматривали пассивный эксперимент, и математическая статистика использовалась, в частности, при обработке экспериментальных данных. На стадии постановки эксперимента она не применялась. При активном же эксперименте математическая статистика используется уже на стадии постановки и планирования эксперимента. Пассивный эксперимент предусматривает накопление информации в режиме нормальной эксплуатации, но это требует много времени и затрат. Поэтому предлагается не ждать милостей от природы, а активно вмешиваться вход технологического процесса разбалтывать (покачивать) его тихонько, но целенаправленно, и быстро накапливать при этом информацию. Программа покачивания как рази задается планом. Сам метод планирования может изменяться в зависимости от вида задачи, но принцип покачивания остается. Теория планирования эксперимента началась с работ знаменитого английского ученого Р. Фишера в х годах XX столетия, использовавшего ее для решения агробиологических задач. В дальнейшем это направление было развито в пятидесятых годах в США Дж. Боксом и его сотрудниками. Отечественные ученые также внесли большой вклад в развитие теории эксперимента, предложив рядно- вых методов, а инженеры-исследователи все шире применяют эти методы на практике. Под математической теорией планирования эксперимента будем понимать науку о способах составления экономичных экспериментальных планов, которые позволяют извлекать наибольшее количество информации об объекте исследования, о способах проведения эксперимента, о способах обработки экспериментальных данных и их использования для оптимизации производственных процессов, атак- же инженерных расчетов.
171
Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
6.1. Основные определения и понятия Ранее мы рассматривали пассивный эксперимент, и математическая статистика использовалась, в частности, при обработке экспериментальных данных. На стадии постановки эксперимента она не применялась. При активном же эксперименте математическая статистика используется уже на стадии постановки и планирования эксперимента. Пассивный эксперимент предусматривает накопление информации в режиме нормальной эксплуатации, но это требует много времени и затрат. Поэтому предлагается не ждать милостей от природы, а активно вмешиваться вход технологического процесса разбалтывать (покачивать) его тихонько, но целенаправленно, и быстро накапливать при этом информацию. Программа покачивания как рази задается планом. Сам метод планирования может изменяться в зависимости от вида задачи, но принцип покачивания остается. Теория планирования эксперимента началась с работ знаменитого английского ученого Р. Фишера в х годах XX столетия, использовавшего ее для решения агробиологических задач. В дальнейшем это направление было развито в пятидесятых годах в США Дж. Боксом и его сотрудниками. Отечественные ученые также внесли большой вклад в развитие теории эксперимента, предложив рядно- вых методов, а инженеры-исследователи все шире применяют эти методы на практике. Под математической теорией планирования эксперимента будем понимать науку о способах составления экономичных экспериментальных планов, которые позволяют извлекать наибольшее количество информации об объекте исследования, о способах проведения эксперимента, о способах обработки экспериментальных данных и их использования для оптимизации производственных процессов, атак- же инженерных расчетов.
Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
172
Принятая терминология — это либо перевод терминов с английского, либо просто их перенос в оригинале, и это необходимо иметь ввиду при чтении литературы по теории планирования экспериментов. Истинный вид функции отклика y = f(x
1
, ..., x i
, ..., x k
) до эксперимента чаще всего неизвестен, в связи с чем для математического описания поверхности отклика используют уравнение x
x x
x y
k
1
i
2
i ii k
1
u
,
i u
i iu k
1
i i
i
0
,
(6.1) где x i
, x u
— переменные факторы при i=1, ..., k; u=1, ..., k; i
u;
0 2
2 0
2 0
2
;
;
i
ii
u
i
iu
i
i
x
f
x
x
f
x
f
— коэффициенты.
Это уравнение является разложением вряд Тейлора неизвестной функции отклика в окрестности точки с x i
=x На практике по результатам эксперимента производится обработка данных по методу наименьших квадратов. Этот метод позволяет найти оценку b коэффициентов
, и данный полином заменяется уравнением вида
1 2
1
,
1 0
k
i
i
ii
k
u
i
u
i
iu
k
i
i
i
x
b
x
x
b
x
b
b
y
,
(6.2) которое является регрессионной моделью (моделью регрессионного анализа. В этом выражении y
означает модельное, те. рассчитываемое по уравнению модели, значение выхода. Коэффициенты регрессии определяются экспериментально и служат для статистической оценки теоретических коэффициентов, те.
,
,
,
0 В регрессионной модели члены второй степени x i
x u
, x i
2
характеризуют кривизну поверхности отклика. Чем больше кривизна этой поверхности, тем больше в модели регрессии членов высшей степени.
172
Принятая терминология — это либо перевод терминов с английского, либо просто их перенос в оригинале, и это необходимо иметь ввиду при чтении литературы по теории планирования экспериментов. Истинный вид функции отклика y = f(x
1
, ..., x i
, ..., x k
) до эксперимента чаще всего неизвестен, в связи с чем для математического описания поверхности отклика используют уравнение x
x x
x y
k
1
i
2
i ii k
1
u
,
i u
i iu k
1
i i
i
0
,
(6.1) где x i
, x u
— переменные факторы при i=1, ..., k; u=1, ..., k; i
u;
0 2
2 0
2 0
2
;
;
i
ii
u
i
iu
i
i
x
f
x
x
f
x
f
— коэффициенты.
Это уравнение является разложением вряд Тейлора неизвестной функции отклика в окрестности точки с x i
=x На практике по результатам эксперимента производится обработка данных по методу наименьших квадратов. Этот метод позволяет найти оценку b коэффициентов
, и данный полином заменяется уравнением вида
1 2
1
,
1 0
k
i
i
ii
k
u
i
u
i
iu
k
i
i
i
x
b
x
x
b
x
b
b
y
,
(6.2) которое является регрессионной моделью (моделью регрессионного анализа. В этом выражении y
означает модельное, те. рассчитываемое по уравнению модели, значение выхода. Коэффициенты регрессии определяются экспериментально и служат для статистической оценки теоретических коэффициентов, те.
,
,
,
0 В регрессионной модели члены второй степени x i
x u
, x i
2
характеризуют кривизну поверхности отклика. Чем больше кривизна этой поверхности, тем больше в модели регрессии членов высшей степени.
Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
173
На практике чаще всего стремятся ограничиться линейной моделью. Последовательность активного эксперимента заключается в следующем) разрабатывается схема проведения исследований, те. выполняется планирование эксперимента. При планировании экспериментов обычно требуется с наименьшими затратами и с необходимой точностью либо построить регрессионную модель процесса, либо определить его оптимальные условия
2) осуществляется реализация опыта по заранее составленному исследователем плану, те. осуществляется сам активный эксперимент) выполняется обработка результатов измерений, их анализ и принятие решений. Таким образом, планирование эксперимента — это процедура выбора условий проведения опытов, их количества, необходимых и достаточных для решения задач с поставленной точностью. Использование теории планирования эксперимента обеспечивает минимизацию, те. предельное сокращение необходимого числа опытов
одновременное варьирование всех факторов
выбор четкой стратегии, что позволяет принимать обоснованные решения после каждой серии опытов
минимизацию ошибок эксперимента за счет использования специальных проверок. Для иллюстрации некоторых из этих положений воспользуемся ставшим уже классическим примером из книги В.В. Налимова,
Т.И. Голиковой [7].
173
На практике чаще всего стремятся ограничиться линейной моделью. Последовательность активного эксперимента заключается в следующем) разрабатывается схема проведения исследований, те. выполняется планирование эксперимента. При планировании экспериментов обычно требуется с наименьшими затратами и с необходимой точностью либо построить регрессионную модель процесса, либо определить его оптимальные условия
2) осуществляется реализация опыта по заранее составленному исследователем плану, те. осуществляется сам активный эксперимент) выполняется обработка результатов измерений, их анализ и принятие решений. Таким образом, планирование эксперимента — это процедура выбора условий проведения опытов, их количества, необходимых и достаточных для решения задач с поставленной точностью. Использование теории планирования эксперимента обеспечивает минимизацию, те. предельное сокращение необходимого числа опытов
одновременное варьирование всех факторов
выбор четкой стратегии, что позволяет принимать обоснованные решения после каждой серии опытов
минимизацию ошибок эксперимента за счет использования специальных проверок. Для иллюстрации некоторых из этих положений воспользуемся ставшим уже классическим примером из книги В.В. Налимова,
Т.И. Голиковой [7].
1 ... 7 8 9 10 11 12 13 14 ... 20
6.2. Пример хорошего и плохого эксперимента Рассмотрим пример — взвешивание трех объектов A, B, C на аналитических весах. Первый — традиционный — подход предусматривает последовательное взвешивание каждого из образцов. Исследователь вначале делает холостое взвешивание для определения нулевой точки весов, а затем по очереди взвешивает каждый из
Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
174
образцов. Это пример традиционного использования однофакторного эксперимента, те. здесь исследователь изучает реакцию на поведение каждого из факторов в отдельности. Традиционная схема взвешивания трех объектов представлена в табл. 6.1. Таблица Традиционное проведение эксперимента Номер опыта А В С Результат взвешивания
1
-1
-1
-1 y
0 2
+1
-1
-1 y
1 3
-1
+1
-1 y
2 4
-1
-1
+1 y
3
*
)
Когда образец кладется навесы, в таблице ставится +1, когда он навесах отсутствует, то -1. Масса каждого объекта оценивается только по результатам двух опытов того опыта, в котором навесы был положен изучаемый объект, и холостого опыта. Например, масса объекта A: А. Как обычно, ошибка взвешивания предполагается независимой от взвешиваемой величины, аддитивной и имеющей одно и тоже распределение. Тогда дисперсия измерения веса образца следующая
,
2 2
2
y
2
y
2
A
0 1
(6.3) где
2
— дисперсия любого взвешивания. Такими же будут и дисперсии весов образцов B и C. Приведем теперь тот же эксперимент по несколько иной схеме, задаваемой матрицей планирования, приведенной в табл. 6.2. Таблица Планирование эксперимента при взвешивании трех объектов
Номер опыта А В С Результат взвешивания
1
+1
-1
-1 y
1 2
-1
+1
-1 y
2 3
-1
-1
+1 y
3 4
+1
+1
+1 y
4
174
образцов. Это пример традиционного использования однофакторного эксперимента, те. здесь исследователь изучает реакцию на поведение каждого из факторов в отдельности. Традиционная схема взвешивания трех объектов представлена в табл. 6.1. Таблица Традиционное проведение эксперимента Номер опыта А В С Результат взвешивания
1
-1
-1
-1 y
0 2
+1
-1
-1 y
1 3
-1
+1
-1 y
2 4
-1
-1
+1 y
3
*
)
Когда образец кладется навесы, в таблице ставится +1, когда он навесах отсутствует, то -1. Масса каждого объекта оценивается только по результатам двух опытов того опыта, в котором навесы был положен изучаемый объект, и холостого опыта. Например, масса объекта A: А. Как обычно, ошибка взвешивания предполагается независимой от взвешиваемой величины, аддитивной и имеющей одно и тоже распределение. Тогда дисперсия измерения веса образца следующая
,
2 2
2
y
2
y
2
A
0 1
(6.3) где
2
— дисперсия любого взвешивания. Такими же будут и дисперсии весов образцов B и C. Приведем теперь тот же эксперимент по несколько иной схеме, задаваемой матрицей планирования, приведенной в табл. 6.2. Таблица Планирование эксперимента при взвешивании трех объектов
Номер опыта А В С Результат взвешивания
1
+1
-1
-1 y
1 2
-1
+1
-1 y
2 3
-1
-1
+1 y
3 4
+1
+1
+1 y
4
Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
175
В первых трех опытах последовательно взвешивают объекты A,
B, C, в последнем опыте тоже взвешивают объекты A, B, C, но все три объекта вместе, а холостое взвешивание не производится. Легко заметить, что масса каждого объекта будет задаваться формулами
).
4
y
2
y
1
y
3
y
(
2 1
C
m
);
4
y
3
y
1
y
2
y
(
2 1
B
m
);
4
y
3
y
2
y
1
y
(
2 1
A
m
(6.4) Масса объекта A, вычисленная по приведенной выше формуле, оказывается неискаженной массами весов объектов B итак как масса каждого из них входит в формулу для массы А дважды с разными знаками. Найдем теперь дисперсию, связанную с ошибкой взвешивания, по новой схеме постановки экспериментов
2
)
2
y
2
y
2
y
2
y
(
4 1
2
A
4 3
2 1
(6.5) Аналогичным образом находим
2 2
C
,
2 Мы видим, что при новой схеме дисперсия взвешивания получается вдвое меньше, чем при традиционной схеме, хотя в обоих случаях на взвешивание трех объектов затрачивалось по четыре опыта. Зададимся вопросом В результате чего происходит увеличение точности экспериментов в два раза. В первом случае эксперимент был поставлен так, что каждую массу мы получали лишь из двух взвешиваний. При новой схеме взвешивания каждая масса вычислялась уже по результатам всех четырех взвешиваний. Вторую схему можно назвать многофакторной, поскольку здесь
175
В первых трех опытах последовательно взвешивают объекты A,
B, C, в последнем опыте тоже взвешивают объекты A, B, C, но все три объекта вместе, а холостое взвешивание не производится. Легко заметить, что масса каждого объекта будет задаваться формулами
).
4
y
2
y
1
y
3
y
(
2 1
C
m
);
4
y
3
y
1
y
2
y
(
2 1
B
m
);
4
y
3
y
2
y
1
y
(
2 1
A
m
(6.4) Масса объекта A, вычисленная по приведенной выше формуле, оказывается неискаженной массами весов объектов B итак как масса каждого из них входит в формулу для массы А дважды с разными знаками. Найдем теперь дисперсию, связанную с ошибкой взвешивания, по новой схеме постановки экспериментов
2
)
2
y
2
y
2
y
2
y
(
4 1
2
A
4 3
2 1
(6.5) Аналогичным образом находим
2 2
C
,
2 Мы видим, что при новой схеме дисперсия взвешивания получается вдвое меньше, чем при традиционной схеме, хотя в обоих случаях на взвешивание трех объектов затрачивалось по четыре опыта. Зададимся вопросом В результате чего происходит увеличение точности экспериментов в два раза. В первом случае эксперимент был поставлен так, что каждую массу мы получали лишь из двух взвешиваний. При новой схеме взвешивания каждая масса вычислялась уже по результатам всех четырех взвешиваний. Вторую схему можно назвать многофакторной, поскольку здесь
Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
176
оперируют всеми факторами так, что каждая масса вычислялась по результатам сразу всех опытов, проведенных в данной серии экспериментов вот главная причина уменьшения дисперсии вдвое. Не подумайте, что мы зря потратили время на обсуждение такой тривиальной задачи. Точно такой же подход используется при изучении других, более сложных задач. Таким образом, использование теории планирования эксперимента может явиться одним из путей существенного повышения эффективности многофакторных экспериментальных исследований. В планировании экспериментов применяются в основном планы первого и второго порядков. Планы более высоких порядков используются в инженерной практике редко. В связи с этим далее приводится краткое изложение методики составления планов эксперимента для моделей первого и второго порядков. Под планами первого порядка понимают такие планы, которые позволяют провести эксперимент для отыскания уравнения регрессии, содержащего только первые степени факторов и их произведения) Планы второго порядка позволяют провести эксперимент для отыскания уравнения регрессии, содержащего и вторые степени факторов) Нахождение уравнения регрессии методом планирования экспериментов состоит из следующих этапов
1) выбор основных факторов и их уровней
2) планирование и проведение собственно эксперимента
3) определение коэффициентов уравнения регрессии
4) статистический анализ результатов эксперимента.
176
оперируют всеми факторами так, что каждая масса вычислялась по результатам сразу всех опытов, проведенных в данной серии экспериментов вот главная причина уменьшения дисперсии вдвое. Не подумайте, что мы зря потратили время на обсуждение такой тривиальной задачи. Точно такой же подход используется при изучении других, более сложных задач. Таким образом, использование теории планирования эксперимента может явиться одним из путей существенного повышения эффективности многофакторных экспериментальных исследований. В планировании экспериментов применяются в основном планы первого и второго порядков. Планы более высоких порядков используются в инженерной практике редко. В связи с этим далее приводится краткое изложение методики составления планов эксперимента для моделей первого и второго порядков. Под планами первого порядка понимают такие планы, которые позволяют провести эксперимент для отыскания уравнения регрессии, содержащего только первые степени факторов и их произведения) Планы второго порядка позволяют провести эксперимент для отыскания уравнения регрессии, содержащего и вторые степени факторов) Нахождение уравнения регрессии методом планирования экспериментов состоит из следующих этапов
1) выбор основных факторов и их уровней
2) планирование и проведение собственно эксперимента
3) определение коэффициентов уравнения регрессии
4) статистический анализ результатов эксперимента.
Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ. Планирование первого порядка На первой стадии исследования обычно принимают полином первой степени. Так, для трехфакторной задачи теоретическое уравнение регрессии имеет вид
3 2
1 123 3
1
,
3 1
0
x
x
x
x
x
x
y
u
i
u
i
j
i
iu
i
i
i
(6.8) Уравнение регрессии, получаемое на основании результатов эксперимента, в отличие от приведенного теоретического уравнения, имеет вид
,
3 2
1 123 3
1
,
3 1
0
x
x
x
b
x
x
b
x
b
b
y
u
i
u
i
u
i
iu
i
i
i
(6.9) где коэффициенты регрессии b
0
, b
1
, ..., b
3
, ..., b
123
являются оценками для теоретических коэффициентов регрессии, те. b
,
b
,
b
123 123
iu iu Члены, содержащие произведениях х х
2
х
3
и т.д., называют членами, отражающими попарное взаимодействие факторов, члены видах 1х2х3 — членами тройного взаимодействия.
6.3.1. Выбор основных факторов и их уровней В качестве факторов можно выбирать только контролируемые и управляемые переменные, те. такие, которые исследователь может поддерживать постоянными в течение каждого опыта на заданном уровне. В число факторов должны быть включены параметры процесса, оказывающие наиболее сильное влияние на функцию отклика. Необходимо заметить, что, несмотря на всю заманчивость и очевидные преимущества активного спланированного эксперимента перед
3 2
1 123 3
1
,
3 1
0
x
x
x
x
x
x
y
u
i
u
i
j
i
iu
i
i
i
(6.8) Уравнение регрессии, получаемое на основании результатов эксперимента, в отличие от приведенного теоретического уравнения, имеет вид
,
3 2
1 123 3
1
,
3 1
0
x
x
x
b
x
x
b
x
b
b
y
u
i
u
i
u
i
iu
i
i
i
(6.9) где коэффициенты регрессии b
0
, b
1
, ..., b
3
, ..., b
123
являются оценками для теоретических коэффициентов регрессии, те. b
,
b
,
b
123 123
iu iu Члены, содержащие произведениях х х
2
х
3
и т.д., называют членами, отражающими попарное взаимодействие факторов, члены видах 1х2х3 — членами тройного взаимодействия.
6.3.1. Выбор основных факторов и их уровней В качестве факторов можно выбирать только контролируемые и управляемые переменные, те. такие, которые исследователь может поддерживать постоянными в течение каждого опыта на заданном уровне. В число факторов должны быть включены параметры процесса, оказывающие наиболее сильное влияние на функцию отклика. Необходимо заметить, что, несмотря на всю заманчивость и очевидные преимущества активного спланированного эксперимента перед
Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
178
пассивным, в его применении имеется целый ряд трудностей, связанных с определенными ограничениями на его реализацию. Важнейшим условием применимости этого подхода является управляемость процессов по каждому из выбранных факторов, те. возможность независимого изменения каждого из этих факторов и поддержания его на заданном уровне в период проведения опытов. Для каждого фактора необходимо указать тот интервал изменения параметров, в пределах которого ставится исследование. Для этого на основе априорной информации устанавливаются ориентировочные значения факторов x
10
, x
20
, ..., x i0
, ..., x k0
. Этой комбинации значений факторов соответствует точка в многомерном факторном пространстве, которая принимается за исходную точку. Координаты этой точки принимаются за основной (нулевой) уровень. Интервалом варьирования факторов называется некоторое число каждое для соответствующего фактора, прибавление которого кос- новному уровню дает верхний, а вычитание — нижний пределы. Для упрощения записи условий эксперимента и обработки экспериментальных данных масштабы по осям выбираются так, чтобы верхний уровень составлял +1, нижний –1, а основной — 0. Для факторов с непрерывной областью определения это достигается с помощью преобразования (кодирования) факторов i
x
0
i x
i x
i
X
(6.10) В теории планирования экспериментов показано, что минимально необходимое число уровней факторов на единицу больше порядка уравнения.
6.3.2. Планирование эксперимента Рассмотрим сначала частный случай, когда функция отклика линейно зависит от трех независимых факторов. Уравнение регрессии в этом случае имеет вида план эксперимента представлен в табл. 6.3. Здесь добавлен столбец фиктивной переменной х, нужный для
178
пассивным, в его применении имеется целый ряд трудностей, связанных с определенными ограничениями на его реализацию. Важнейшим условием применимости этого подхода является управляемость процессов по каждому из выбранных факторов, те. возможность независимого изменения каждого из этих факторов и поддержания его на заданном уровне в период проведения опытов. Для каждого фактора необходимо указать тот интервал изменения параметров, в пределах которого ставится исследование. Для этого на основе априорной информации устанавливаются ориентировочные значения факторов x
10
, x
20
, ..., x i0
, ..., x k0
. Этой комбинации значений факторов соответствует точка в многомерном факторном пространстве, которая принимается за исходную точку. Координаты этой точки принимаются за основной (нулевой) уровень. Интервалом варьирования факторов называется некоторое число каждое для соответствующего фактора, прибавление которого кос- новному уровню дает верхний, а вычитание — нижний пределы. Для упрощения записи условий эксперимента и обработки экспериментальных данных масштабы по осям выбираются так, чтобы верхний уровень составлял +1, нижний –1, а основной — 0. Для факторов с непрерывной областью определения это достигается с помощью преобразования (кодирования) факторов i
x
0
i x
i x
i
X
(6.10) В теории планирования экспериментов показано, что минимально необходимое число уровней факторов на единицу больше порядка уравнения.
6.3.2. Планирование эксперимента Рассмотрим сначала частный случай, когда функция отклика линейно зависит от трех независимых факторов. Уравнение регрессии в этом случае имеет вида план эксперимента представлен в табл. 6.3. Здесь добавлен столбец фиктивной переменной х, нужный для
Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
179
оценки свободного члена b
0
. После реализации плана получают 8 уравнений с 8 неизвестными, их решение и даст оценку всех 8 коэффициентов регрессии b
0
, b
1
, ..., b
3
, b
12
, ..., Таблица Таблица полного факторного эксперимента для трех факторов Номер План Результат опыта
X
0
Х Х Х Х
1
Х
2
Х
1
Х
3
Х
2
Х
3
Х
1
Х
2
Х
3
y j
1
+1 -1 -1 -1
+1
+1
+1
-1 y
1 2
+1 +1 -1 -1
-1
-1
+1
+1 y
2 3
+1 -1 +1 -1
-1
+1
-1
+1 y
3 4
+1 +1 +1 -1
+1
-1
-1
-1 y
4 5
+1 -1 -1 +1
+1
-1
-1
+1 y
5 6
+1 +1 -1 +1
-1
+1
-1
-1 y
6 7
+1 -1 +1 +1
-1
-1
+1
-1 y
7 8
+1 +1 +1 +1
+1
+1
+1
+1 План, в котором число опытов равно числу определяемых коэффициентов, называется насыщенным. Заметим, что мы использовали все точки с крайними координатами, те.
1, или, говоря другими словами, всевозможные комбинации выбранных уровней. В самом деле, всех возможных комбинаций число факторов, и мы все их использовали. Если эксперименты проводятся только на двух уровнях (при двух значениях факторов) и при этом в процессе эксперимента осуществляются всевозможные неповторяющиеся комбинации из k факторов, то постановка опытов по такому плану носит название полного факторного эксперимента (ПФЭ) или Иными словами, полный факторный эксперимент (ПФЭ) — это эксперимент, реализующий всевозможные неповторяющиеся комбинации уровней независимых факторов. Кодированный план геометрически может быть интерпретирован в виде куба, восемь вершин которого представляют собой восемь экспериментальных точек (рис. 6.1). При числе факторов k = 2 построение матрицы ПФЭ не вызывает затруднений, при увеличении же числа факторов возникает необходимость в некоторых специальных приемах построения матрицы. Первый прием основан на чередовании знаков. В первом
179
оценки свободного члена b
0
. После реализации плана получают 8 уравнений с 8 неизвестными, их решение и даст оценку всех 8 коэффициентов регрессии b
0
, b
1
, ..., b
3
, b
12
, ..., Таблица Таблица полного факторного эксперимента для трех факторов Номер План Результат опыта
X
0
Х Х Х Х
1
Х
2
Х
1
Х
3
Х
2
Х
3
Х
1
Х
2
Х
3
y j
1
+1 -1 -1 -1
+1
+1
+1
-1 y
1 2
+1 +1 -1 -1
-1
-1
+1
+1 y
2 3
+1 -1 +1 -1
-1
+1
-1
+1 y
3 4
+1 +1 +1 -1
+1
-1
-1
-1 y
4 5
+1 -1 -1 +1
+1
-1
-1
+1 y
5 6
+1 +1 -1 +1
-1
+1
-1
-1 y
6 7
+1 -1 +1 +1
-1
-1
+1
-1 y
7 8
+1 +1 +1 +1
+1
+1
+1
+1 План, в котором число опытов равно числу определяемых коэффициентов, называется насыщенным. Заметим, что мы использовали все точки с крайними координатами, те.
1, или, говоря другими словами, всевозможные комбинации выбранных уровней. В самом деле, всех возможных комбинаций число факторов, и мы все их использовали. Если эксперименты проводятся только на двух уровнях (при двух значениях факторов) и при этом в процессе эксперимента осуществляются всевозможные неповторяющиеся комбинации из k факторов, то постановка опытов по такому плану носит название полного факторного эксперимента (ПФЭ) или Иными словами, полный факторный эксперимент (ПФЭ) — это эксперимент, реализующий всевозможные неповторяющиеся комбинации уровней независимых факторов. Кодированный план геометрически может быть интерпретирован в виде куба, восемь вершин которого представляют собой восемь экспериментальных точек (рис. 6.1). При числе факторов k = 2 построение матрицы ПФЭ не вызывает затруднений, при увеличении же числа факторов возникает необходимость в некоторых специальных приемах построения матрицы. Первый прием основан на чередовании знаков. В первом
Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
180
столбце (для х) знаки чередуются поочередно. Во втором (для х) — через 2, в третьем (для х) — через 4 и т.д. по степеням двойки Этот подходи использован при составлении плана, представленного в табл. 6.3. Второй прием основан на последовательном достраивании матрицы. Для этого при добавлении нового фактора необходимо повторить комбинации уровней исходного плана — сначала при значениях нового фактора на верхнем уровне, а затем — на нижнем. Матрица ПФЭ обладает следующими свойствами
1) свойство симметричности алгебраическая сумма элементов вектор-столбца каждого фактора равна нулю (за исключением столбца, соответствующего свободному члену
,
0 Х (6.11) где i — номер фактора j — номер опыта
2) свойство нормирования сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу опытов
n
X
n
j
ij
1 2
;
(6.12)
3) свойство ортогональности скалярное произведение всех Рис. 6.1. Геометрическое изображение ПФЭ
180
столбце (для х) знаки чередуются поочередно. Во втором (для х) — через 2, в третьем (для х) — через 4 и т.д. по степеням двойки Этот подходи использован при составлении плана, представленного в табл. 6.3. Второй прием основан на последовательном достраивании матрицы. Для этого при добавлении нового фактора необходимо повторить комбинации уровней исходного плана — сначала при значениях нового фактора на верхнем уровне, а затем — на нижнем. Матрица ПФЭ обладает следующими свойствами
1) свойство симметричности алгебраическая сумма элементов вектор-столбца каждого фактора равна нулю (за исключением столбца, соответствующего свободному члену
,
0 Х (6.11) где i — номер фактора j — номер опыта
2) свойство нормирования сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу опытов
n
X
n
j
ij
1 2
;
(6.12)
3) свойство ортогональности скалярное произведение всех Рис. 6.1. Геометрическое изображение ПФЭ
Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
181
вектор-столбцов (сумма почленных произведений элементов любых двух вектор-столбцов матрицы) равно нулю u.
i
,
0 1
n
j
uj
ij
X
X
(6.13) Планы, для которых выполняется свойство 3, называют ортогональными. Благодаря этому свойству резко уменьшаются трудности, связанные с расчетом коэффициентов уравнения регрессии. Поскольку результаты наблюдений отклика носят случайный характер, приходится в каждой точке плана проводить не один, а m* параллельных опытов (обычно m*=2
4), осреднение результатов которых, как уже отмечалось, дает возможность уменьшить погрешности оценки истинного значения отклика враз. В каждой серии экспериментов их последовательность рандоми- зируется, тес помощью таблиц случайных чисел определяется случайная последовательность реализации экспериментов. Рандомизация дает возможность свести эффект некоторого случайного фактора к случайной погрешности. Это позволяет в определенной степени исключить предвзятость и субъективизм исследователя.
1. Меню Statistics — Industrial Statistics & Six Sigma – Experi- mental Design (DOE)
2. Далее следует выбрать Standard designs (Box, Hunter, &
Hunter) и указать число факторов 3.
3. Построим план ПФЭ для 3 факторов (рис. 6.2.), опыты выполняются в обычном порядке. Рис. 6.2. Результат расчет плана ПФЭ для 3 факторов в пакете Statistica
181
вектор-столбцов (сумма почленных произведений элементов любых двух вектор-столбцов матрицы) равно нулю u.
i
,
0 1
n
j
uj
ij
X
X
(6.13) Планы, для которых выполняется свойство 3, называют ортогональными. Благодаря этому свойству резко уменьшаются трудности, связанные с расчетом коэффициентов уравнения регрессии. Поскольку результаты наблюдений отклика носят случайный характер, приходится в каждой точке плана проводить не один, а m* параллельных опытов (обычно m*=2
4), осреднение результатов которых, как уже отмечалось, дает возможность уменьшить погрешности оценки истинного значения отклика враз. В каждой серии экспериментов их последовательность рандоми- зируется, тес помощью таблиц случайных чисел определяется случайная последовательность реализации экспериментов. Рандомизация дает возможность свести эффект некоторого случайного фактора к случайной погрешности. Это позволяет в определенной степени исключить предвзятость и субъективизм исследователя.
1. Меню Statistics — Industrial Statistics & Six Sigma – Experi- mental Design (DOE)
2. Далее следует выбрать Standard designs (Box, Hunter, &
Hunter) и указать число факторов 3.
3. Построим план ПФЭ для 3 факторов (рис. 6.2.), опыты выполняются в обычном порядке. Рис. 6.2. Результат расчет плана ПФЭ для 3 факторов в пакете Statistica
Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
182
Пакет не приводит столбец фиктивной переменной Ха также отсутствуют эффекты взаимодействия между факторами.
6.3.3. Определение коэффициентов уравнения регрессии Воспользуемся свойствами ПФЭ для определения коэффициентов уравнения регрессии методом наименьших квадратов
2
x
2
b
1
x
1
b
0
b y
0
j
2
X
n
1
j j
1
X
2
b n
1
j
2
j
1
X
1
b n
1
j j
1
X
0
b n
1
j j
1
X
j y
;
0
j
1
X
n
1
j j
2
X
2
b j
1
X
1
b
0
b j
y
2 1
b
;
b min n
1
j
2
j y
j y
i
(6.14) Воспользуемся свойствами ПФЭ: симметричности) нормирования) ортогональности)
;
0
j
2
X
j
1
X
2
b n
n
1
j j
0
X
j y
0
b
;
n n
1
j j
2
X
j y
2
b
;
n n
1
j j
1
X
j y
1
b
(6.15) Следовательно, любые коэффициенты уравнения регрессии определяются скалярным произведением столбца y на соответствующий столбец X.
182
Пакет не приводит столбец фиктивной переменной Ха также отсутствуют эффекты взаимодействия между факторами.
6.3.3. Определение коэффициентов уравнения регрессии Воспользуемся свойствами ПФЭ для определения коэффициентов уравнения регрессии методом наименьших квадратов
2
x
2
b
1
x
1
b
0
b y
0
j
2
X
n
1
j j
1
X
2
b n
1
j
2
j
1
X
1
b n
1
j j
1
X
0
b n
1
j j
1
X
j y
;
0
j
1
X
n
1
j j
2
X
2
b j
1
X
1
b
0
b j
y
2 1
b
;
b min n
1
j
2
j y
j y
i
(6.14) Воспользуемся свойствами ПФЭ: симметричности) нормирования) ортогональности)
;
0
j
2
X
j
1
X
2
b n
n
1
j j
0
X
j y
0
b
;
n n
1
j j
2
X
j y
2
b
;
n n
1
j j
1
X
j y
1
b
(6.15) Следовательно, любые коэффициенты уравнения регрессии определяются скалярным произведением столбца y на соответствующий столбец X.
Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
183
Можно показать, что аналогичным образом определяются коэффициенты, если в уравнении регрессии (6.6) учитываются линейные взаимодействия (двойные, тройные
n n
1
j j
3
X
2
X
1
X
j y
123
b
;
n n
1
j j
2
X
1
X
j y
12
b
и т.д. (6.16) Следует обратить особое внимание на то, что все линейные коэффициенты независимы, так как в формулы для их расчета (6.15),
(6.16) входят свои одноименные переменные. Поэтому каждый коэффициент характеризует роль соответствующей переменной в процессе или силу влияния факторов. Чем больше численная величина коэффициента, тем большее влияние оказывает этот фактор. Если коэффициент имеет знак плюс, то с увеличением значения фактора отклик увеличивается, а если минус — уменьшается. В результате определения уравнения регрессии может получиться так, что один (или несколько) коэффициентов не очень большие и окажутся незначимыми. Факторы, имеющие коэффициенты, незначи- мо отличающиеся от нуля, могут быть выведены из состава уравнения, так каких влияние на параметры отклика будет отнесено к ошибке эксперимента. Учитывая ортогональность плана, оставшиеся коэффициенты уравнения регрессии можно не пересчитывать. При отсутствии ортогональности плана эксперимента коэффициенты необходимо пересчитывать заново.
6.3.4. Статистический анализ результатов эксперимента Планирование эксперимента исходит из статистического характера зависимостей, поэтому полученные уравнения подвергаются тщательному статистическому анализу с целью извлечь из результатов эксперимента максимум информации и убедиться в достоверности полученной зависимости и ее точности. Процедура проверки значимости коэффициентов уравнения регрессии и его адекватности
183
Можно показать, что аналогичным образом определяются коэффициенты, если в уравнении регрессии (6.6) учитываются линейные взаимодействия (двойные, тройные
n n
1
j j
3
X
2
X
1
X
j y
123
b
;
n n
1
j j
2
X
1
X
j y
12
b
и т.д. (6.16) Следует обратить особое внимание на то, что все линейные коэффициенты независимы, так как в формулы для их расчета (6.15),
(6.16) входят свои одноименные переменные. Поэтому каждый коэффициент характеризует роль соответствующей переменной в процессе или силу влияния факторов. Чем больше численная величина коэффициента, тем большее влияние оказывает этот фактор. Если коэффициент имеет знак плюс, то с увеличением значения фактора отклик увеличивается, а если минус — уменьшается. В результате определения уравнения регрессии может получиться так, что один (или несколько) коэффициентов не очень большие и окажутся незначимыми. Факторы, имеющие коэффициенты, незначи- мо отличающиеся от нуля, могут быть выведены из состава уравнения, так каких влияние на параметры отклика будет отнесено к ошибке эксперимента. Учитывая ортогональность плана, оставшиеся коэффициенты уравнения регрессии можно не пересчитывать. При отсутствии ортогональности плана эксперимента коэффициенты необходимо пересчитывать заново.
6.3.4. Статистический анализ результатов эксперимента Планирование эксперимента исходит из статистического характера зависимостей, поэтому полученные уравнения подвергаются тщательному статистическому анализу с целью извлечь из результатов эксперимента максимум информации и убедиться в достоверности полученной зависимости и ее точности. Процедура проверки значимости коэффициентов уравнения регрессии и его адекватности
Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
184
принципиально не отличается от описания, данного в параграфах
4.5.1 и 4.5.2, поэтому остановимся только на отдельных моментах. Как уже отмечалось ранее, каждый эксперимент несет в себе ка- кую-то погрешность, для повышения надежности результатов производятся для каждой строки таблицы планирования повторения опытов раз. Построчные (выборочные) дисперсии подсчитываются по формуле
,
1
*
*
1 2
2
m
y
y
S
m
i
j
i
j
j
(6.17) где i j
y j
y
— средний отклик по m* опытам в точке с номером j. Дисперсия воспроизводимости отклика
2
восп
S
есть среднеарифметическое дисперсий всех n различных вариантов опытов
1
*
1
*
1 2
1 2
2
m
n
y
y
n
S
S
n
j
m
i
j
i
j
n
j
j
восп
(6.18) Прежде чем производить объединение дисперсий, следует убедиться в их однородности. Проверка производится с помощью критерия Фишера или Кохрена (см. гл. 3). Для оценки значимости коэффициентов, прежде всего, находят дисперсию коэффициентов регрессии. Учитывая свойства 1–3 плана, представленного в табл. 6.3, из выражений) и (а) при одинаковом дублировании опытов по точкам с числом повторных опытов m* получим
,
n
*
m
2
восп
S
2
b
S
(6.19) а при отсутствии дублирования будем иметь
184
принципиально не отличается от описания, данного в параграфах
4.5.1 и 4.5.2, поэтому остановимся только на отдельных моментах. Как уже отмечалось ранее, каждый эксперимент несет в себе ка- кую-то погрешность, для повышения надежности результатов производятся для каждой строки таблицы планирования повторения опытов раз. Построчные (выборочные) дисперсии подсчитываются по формуле
,
1
*
*
1 2
2
m
y
y
S
m
i
j
i
j
j
(6.17) где i j
y j
y
— средний отклик по m* опытам в точке с номером j. Дисперсия воспроизводимости отклика
2
восп
S
есть среднеарифметическое дисперсий всех n различных вариантов опытов
1
*
1
*
1 2
1 2
2
m
n
y
y
n
S
S
n
j
m
i
j
i
j
n
j
j
восп
(6.18) Прежде чем производить объединение дисперсий, следует убедиться в их однородности. Проверка производится с помощью критерия Фишера или Кохрена (см. гл. 3). Для оценки значимости коэффициентов, прежде всего, находят дисперсию коэффициентов регрессии. Учитывая свойства 1–3 плана, представленного в табл. 6.3, из выражений) и (а) при одинаковом дублировании опытов по точкам с числом повторных опытов m* получим
,
n
*
m
2
восп
S
2
b
S
(6.19) а при отсутствии дублирования будем иметь
Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
185
n
2
восп
S
2
b
S
(6.19а) Следовательно, все коэффициенты уравнения регрессии ПФЭ имеют одинаковую точность (дисперсию. В этом заключается принципиальное отличие коэффициентов уравнения регрессии, полученных по плану табл. 6.3, от коэффициентов уравнений, полученных пассивным экспериментом (см. параграф 4.5.2). Планы, по результатам которых коэффициенты уравнения регрессии определяются с одинаковой дисперсией, называются рота-
табельными. В связи с этим план, представленный в табл, является не только ортогональным, но ротатабельным. В дальнейшем проверка значимости каждого коэффициента производится с использованием критерия Стьюдента (см. гл. 4). Статистически незначимые коэффициенты исключаются из уравнения, а остальные коэффициенты при этом не пересчитываются. После этого уравнение регрессии составляется в виде уравнения связи выходного параметра y и переменных, включающего только значимые коэффициенты. После вычисления коэффициентов уравнения следует, прежде всего, проверить его пригодность или адекватность. Для этого достаточно оценить отклонение выходной величины y
, предсказанной уравнением регрессии, от результатов эксперимента y в различных точках. Рассеяние результатов эксперимента относительно уравнения регрессии, аппроксимирующего искомую зависимость, можно, как уже было показано ранее, охарактеризовать с помощью дисперсии адекватности, оценка которой, справедливая при одинаковом числе дублирующих опытов, находится по формуле
1 ад (6.20) Здесь n — число опытов (вариантов l=k+1, где k — число членов в уравнении регрессии. Проверка адекватности состоит в выяснении соотношения
185
n
2
восп
S
2
b
S
(6.19а) Следовательно, все коэффициенты уравнения регрессии ПФЭ имеют одинаковую точность (дисперсию. В этом заключается принципиальное отличие коэффициентов уравнения регрессии, полученных по плану табл. 6.3, от коэффициентов уравнений, полученных пассивным экспериментом (см. параграф 4.5.2). Планы, по результатам которых коэффициенты уравнения регрессии определяются с одинаковой дисперсией, называются рота-
табельными. В связи с этим план, представленный в табл, является не только ортогональным, но ротатабельным. В дальнейшем проверка значимости каждого коэффициента производится с использованием критерия Стьюдента (см. гл. 4). Статистически незначимые коэффициенты исключаются из уравнения, а остальные коэффициенты при этом не пересчитываются. После этого уравнение регрессии составляется в виде уравнения связи выходного параметра y и переменных, включающего только значимые коэффициенты. После вычисления коэффициентов уравнения следует, прежде всего, проверить его пригодность или адекватность. Для этого достаточно оценить отклонение выходной величины y
, предсказанной уравнением регрессии, от результатов эксперимента y в различных точках. Рассеяние результатов эксперимента относительно уравнения регрессии, аппроксимирующего искомую зависимость, можно, как уже было показано ранее, охарактеризовать с помощью дисперсии адекватности, оценка которой, справедливая при одинаковом числе дублирующих опытов, находится по формуле
1 ад (6.20) Здесь n — число опытов (вариантов l=k+1, где k — число членов в уравнении регрессии. Проверка адекватности состоит в выяснении соотношения
Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
186
между дисперсией адекватности ад и дисперсией воспроизводимости
2
восп
S
и проводится с помощью критерия Фишера, который в данном случае рассчитывается как
2 2
восп
ад
S
S
F
(6.21) Если вычисленное значение критерия меньше теоретического
F
;m1;m2
для соответствующих степеней свободы m
1
=n-l, m
2
=n(m*-1), при заданном уровне значимости
, то описание свойств объекта уравнением регрессии признается адекватным объекту. Адекватность модели может быть достигнута уменьшением интервала варьирования факторов, а если это не дает результата, то переходом к плану второго порядка.
186
между дисперсией адекватности ад и дисперсией воспроизводимости
2
восп
S
и проводится с помощью критерия Фишера, который в данном случае рассчитывается как
2 2
восп
ад
S
S
F
(6.21) Если вычисленное значение критерия меньше теоретического
F
;m1;m2
для соответствующих степеней свободы m
1
=n-l, m
2
=n(m*-1), при заданном уровне значимости
, то описание свойств объекта уравнением регрессии признается адекватным объекту. Адекватность модели может быть достигнута уменьшением интервала варьирования факторов, а если это не дает результата, то переходом к плану второго порядка.
1 ... 8 9 10 11 12 13 14 15 ... 20
6.3.5. Дробный факторный эксперимент Во многих практических задачах взаимодействия второго и высших порядков отсутствуют или пренебрежимо малы. Кроме того, на первых этапах исследования часто необходимо получить в первом приближении лишь линейную аппроксимацию изучаемого уравнения связи при минимальном числе экспериментов. Так, для трех факторов вместо уравнения (6.9) достаточно рассмотреть уравнение вида
3
x
3
b
2
x
2
b
1
x
1
b
0
b y
(6.22) и определить только четыре коэффициента. Поэтому использование
ПФЭ для определения коэффициентов только при линейных членах неэффективно из-за реализации большого числа опытов, особенно при большом числе факторов k. Если при решении задачи можно ограничиться линейным приближением, тов ПФЭ оказывается много лишних опытов. Так, для трех факторов достаточно 4 опыта, а в ПФЭ их 8. Следовательно, есть четыре лишних. Результаты этих лишних опытов могут быть использованы двояко во-первых, сих помощью можно получить более
Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
187
точные оценки коэффициентов регрессии во-вторых, их можно использовать для проверки адекватности модели. Однако при 7 факторах ПФЭ содержит 2 7
=128 опытов, а для линейного уравнения требуется всего 8. Таким образом, остается 120 лишних и, конечно, нет необходимости их все реализовать, а достаточно лишь несколько из них использовать для проверки адекватности и уточнения оценок. Другими словами, ПФЭ обладает большой избыточностью опытов. В связи с этим возникает вопрос Нельзя ли сократить число опытов, необходимых для определения коэффициентов регрессии. Так, для определения коэффициентов уравнения (6.22) достаточно ограничится четырьмя опытами, если в ПФЭ 2 3
использовать х
1
х
2
в качестве плана для х, тогда матрица планирования эксперимента примет вид, представленный в табл. 6.4. Таблица Дробный факторный эксперимент Номер План Результат опыта
X
0
X
1
X
2
X
3
= X
1
X
2
y j
1
+1
-1
-1
+1 y
1 2
+1
+1
-1
-1 y
2 3
+1
-1
+1
-1 y
3 4
+1
+1
+1
+1 Заметим, что мы использовали не все точки с крайними координатами, те.
1, или, говоря другими словами, не всевозможные комбинации выбранных уровней. На самом деле всех возможных комбинаций 2 3
= 8, мы же использовали из них только 4. Такой сокращенный план носит название дробного факторного эксперимента
(ДФЭ). Аналогичный результат плана ДФЭ для х факторов дает пакет
Statistica (рис. 6.3), поскольку генерирующее соотношение для X
3 определяется как X
3
= X
2
X
1 Следует подчеркнуть, что формальное приравнивание произведения факторов фактору, не входящему в это произведение, является основополагающей идеей метода ДФЭ. В данном случае используется только половина ПФЭ 2 3
, поэтому план, представленный в табл. 6.4, называется полурепликой от ПФЭ 2 3
187
точные оценки коэффициентов регрессии во-вторых, их можно использовать для проверки адекватности модели. Однако при 7 факторах ПФЭ содержит 2 7
=128 опытов, а для линейного уравнения требуется всего 8. Таким образом, остается 120 лишних и, конечно, нет необходимости их все реализовать, а достаточно лишь несколько из них использовать для проверки адекватности и уточнения оценок. Другими словами, ПФЭ обладает большой избыточностью опытов. В связи с этим возникает вопрос Нельзя ли сократить число опытов, необходимых для определения коэффициентов регрессии. Так, для определения коэффициентов уравнения (6.22) достаточно ограничится четырьмя опытами, если в ПФЭ 2 3
использовать х
1
х
2
в качестве плана для х, тогда матрица планирования эксперимента примет вид, представленный в табл. 6.4. Таблица Дробный факторный эксперимент Номер План Результат опыта
X
0
X
1
X
2
X
3
= X
1
X
2
y j
1
+1
-1
-1
+1 y
1 2
+1
+1
-1
-1 y
2 3
+1
-1
+1
-1 y
3 4
+1
+1
+1
+1 Заметим, что мы использовали не все точки с крайними координатами, те.
1, или, говоря другими словами, не всевозможные комбинации выбранных уровней. На самом деле всех возможных комбинаций 2 3
= 8, мы же использовали из них только 4. Такой сокращенный план носит название дробного факторного эксперимента
(ДФЭ). Аналогичный результат плана ДФЭ для х факторов дает пакет
Statistica (рис. 6.3), поскольку генерирующее соотношение для X
3 определяется как X
3
= X
2
X
1 Следует подчеркнуть, что формальное приравнивание произведения факторов фактору, не входящему в это произведение, является основополагающей идеей метода ДФЭ. В данном случае используется только половина ПФЭ 2 3
, поэтому план, представленный в табл. 6.4, называется полурепликой от ПФЭ 2 3
Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
188
Рис. 6.3. Результат расчет плана ДФЭ для 2 факторов в пакете Statistica После реализации плана получают 4 уравнения с 4 неизвестными, их решение и даст оценку всех четырех коэффициентов регрессии b
i
. Например, матрица из 8 опытов для четырехфакторного планирования будет полурепликой от ПФЭ 2 4
, а для пятифакторного планирования четвертьрепликой от 2 Для того чтобы дробная реплика представляла собой ортогональный план, в качестве реплики следует брать ближайший полный факторный эксперимент. При этом число опытов должно быть не менее числа искомых коэффициентов. Если коэффициенты регрессии при парных произведениях неравны нулю, то найденные коэффициенты b i
будут смешанными оценками их теоретических коэффициентов
i
. На практике обычно не удается априорно постулировать равенство нулю эффектов взаимодействия, однако часто имеются основания полагать, что некоторые из них малы по сравнению с линейными эффектами. Операцию смешивания оценок принято условно записывать в виде выражений
(6.23) где
— математическое ожидание для соответствующего коэффициента. Эти генерирующие коэффициенты не могут быть раздельно оценены по плану, включающему всего четыре опыта, так как в этом случае неразличимы столбцы для линейных членов и парных произведений. Если, например, в дополнение к столбцам, приведенным в табл. 6.4, вычислить еще столбцы для произведениях х, то увидим, что элементы этого столбца в точности равны элементам столбцах Таким образом, сокращение числа опытов приводит к получению смешанных оценок для коэффициентов.
,
b
;
b
;
b
12 3
3 13 2
2 23 1
1
188
Рис. 6.3. Результат расчет плана ДФЭ для 2 факторов в пакете Statistica После реализации плана получают 4 уравнения с 4 неизвестными, их решение и даст оценку всех четырех коэффициентов регрессии b
i
. Например, матрица из 8 опытов для четырехфакторного планирования будет полурепликой от ПФЭ 2 4
, а для пятифакторного планирования четвертьрепликой от 2 Для того чтобы дробная реплика представляла собой ортогональный план, в качестве реплики следует брать ближайший полный факторный эксперимент. При этом число опытов должно быть не менее числа искомых коэффициентов. Если коэффициенты регрессии при парных произведениях неравны нулю, то найденные коэффициенты b i
будут смешанными оценками их теоретических коэффициентов
i
. На практике обычно не удается априорно постулировать равенство нулю эффектов взаимодействия, однако часто имеются основания полагать, что некоторые из них малы по сравнению с линейными эффектами. Операцию смешивания оценок принято условно записывать в виде выражений
(6.23) где
— математическое ожидание для соответствующего коэффициента. Эти генерирующие коэффициенты не могут быть раздельно оценены по плану, включающему всего четыре опыта, так как в этом случае неразличимы столбцы для линейных членов и парных произведений. Если, например, в дополнение к столбцам, приведенным в табл. 6.4, вычислить еще столбцы для произведениях х, то увидим, что элементы этого столбца в точности равны элементам столбцах Таким образом, сокращение числа опытов приводит к получению смешанных оценок для коэффициентов.
,
b
;
b
;
b
12 3
3 13 2
2 23 1
1
Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
189
Для того чтобы определить, какие коэффициенты смешаны, удобно пользоваться следующим приемом подставив хна место х
1
х
2
, получим соотношение х
= х
1
х
2
, называемое генерирующим соотношением. Умножив обе части генерирующего соотношения на х, получим е т
3 2
1
X
X
X
(6.24) Это произведение носит название определяющего контраста. Умножив поочередно определяющий контрастна х, х, х, находим
;
;
2 1
3 3
1 2
3 2
3 2
2 1
1
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
(6.25) Полученным соотношениям соответствует система смешанных оценок, те.
1
смешана с
23
,
2
— с
13
, ас Таким образом, при использовании ДФЭ необходимо иметь четкое представление о так называемой разрешающей способности дробных реплик, те. определить заранее, какие коэффициенты являются несмешанными оценками для соответствующих коэффициентов. Тогда в зависимости от постановки задачи подбирается дробная реплика, с помощью которой можно извлечь максимальную информацию из эксперимента. Таблица Планирование ДФЭ Номер План Генерирующие соотношения опыта
X
0
X
1
X
2
X
3
X
4
=X
1
X
2
X
3
X
4
=X
1
X
2 1
+1
-1
-1
-1
-1
+1 2
+1
+1
-1
-1
+1
-1 3
+1
-1
+1
-1
+1
-1 4
+1
+1
+1
-1
-1
+1 5
+1
-1
-1
+1
+1
+1 6
+1
+1
-1
+1
-1
-1 7
+1
-1
+1
+1
-1
-1 8
+1
+1
+1
+1
+1
+1
189
Для того чтобы определить, какие коэффициенты смешаны, удобно пользоваться следующим приемом подставив хна место х
1
х
2
, получим соотношение х
= х
1
х
2
, называемое генерирующим соотношением. Умножив обе части генерирующего соотношения на х, получим е т
3 2
1
X
X
X
(6.24) Это произведение носит название определяющего контраста. Умножив поочередно определяющий контрастна х, х, х, находим
;
;
2 1
3 3
1 2
3 2
3 2
2 1
1
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
(6.25) Полученным соотношениям соответствует система смешанных оценок, те.
1
смешана с
23
,
2
— с
13
, ас Таким образом, при использовании ДФЭ необходимо иметь четкое представление о так называемой разрешающей способности дробных реплик, те. определить заранее, какие коэффициенты являются несмешанными оценками для соответствующих коэффициентов. Тогда в зависимости от постановки задачи подбирается дробная реплика, с помощью которой можно извлечь максимальную информацию из эксперимента. Таблица Планирование ДФЭ Номер План Генерирующие соотношения опыта
X
0
X
1
X
2
X
3
X
4
=X
1
X
2
X
3
X
4
=X
1
X
2 1
+1
-1
-1
-1
-1
+1 2
+1
+1
-1
-1
+1
-1 3
+1
-1
+1
-1
+1
-1 4
+1
+1
+1
-1
-1
+1 5
+1
-1
-1
+1
+1
+1 6
+1
+1
-1
+1
-1
-1 7
+1
-1
+1
+1
-1
-1 8
+1
+1
+1
+1
+1
+1
Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
190
Например, в задаче с четырьмя факторами (k = 4) в качестве генерирующего соотношения можно взять Х
= Х
1
Х
2
Х
3
или любой из эффектов двойного взаимодействия, например Х
= Х
1
Х
2
. Таблица планирования такого эксперимента представлена в табл. 6.5. В первом случае определяющий контраст X
4 2
= X
1
X
2
X
3
X
4
= 1. Получим оценку совместных оценок
;
;
234 1
1 4
3 2
1
b
X
X
X
X
;
;
134 2
2 4
3 1
2
b
X
X
X
X
;
;
124 3
3 4
2 1
3
b
X
X
X
X
;
;
123 4
4 3
2 1
4
b
X
X
X
X
;
;
23 14 14 3
2 4
1
b
X
X
X
X
;
;
34 12 12 4
3 2
1
b
X
X
X
X
;
24 13 13 4
2 В реальных задачах тройные взаимодействия бывают равными нулю значительно чаще, чем двойные. Значит, если по физическому смыслу задачи нас более всего интересуют оценки для линейных эффектов, следует использовать генерирующее соотношение
X
4
= Во втором случае определяющий контраст выражается соотношением. При этом получим следующую систему оценок
;
;
24 1
1 4
2 1
b
X
X
X
;
;
14 2
2 4
1 2
b
X
X
X
;
;
1234 3
3 4
3 2
1 3
b
X
X
X
X
X
;
;
12 4
4 2
1 4
b
X
X
X
;
;
234 13 13 4
3 2
3 1
b
X
X
X
X
X
;
;
134 23 23 4
3 1
3 2
b
X
X
X
X
X
;
123 34 34 3
2 1
4 Следовательно, дробную реплику с генерирующим соотношением имеет смысл использовать, если нас более всего интересуют коэффициенты
12
,
23
, Дробную реплику, в которой Р линейных эффектов приравнены к эффектам взаимодействия, обозначают 2
k-P
190
Например, в задаче с четырьмя факторами (k = 4) в качестве генерирующего соотношения можно взять Х
= Х
1
Х
2
Х
3
или любой из эффектов двойного взаимодействия, например Х
= Х
1
Х
2
. Таблица планирования такого эксперимента представлена в табл. 6.5. В первом случае определяющий контраст X
4 2
= X
1
X
2
X
3
X
4
= 1. Получим оценку совместных оценок
;
;
234 1
1 4
3 2
1
b
X
X
X
X
;
;
134 2
2 4
3 1
2
b
X
X
X
X
;
;
124 3
3 4
2 1
3
b
X
X
X
X
;
;
123 4
4 3
2 1
4
b
X
X
X
X
;
;
23 14 14 3
2 4
1
b
X
X
X
X
;
;
34 12 12 4
3 2
1
b
X
X
X
X
;
24 13 13 4
2 В реальных задачах тройные взаимодействия бывают равными нулю значительно чаще, чем двойные. Значит, если по физическому смыслу задачи нас более всего интересуют оценки для линейных эффектов, следует использовать генерирующее соотношение
X
4
= Во втором случае определяющий контраст выражается соотношением. При этом получим следующую систему оценок
;
;
24 1
1 4
2 1
b
X
X
X
;
;
14 2
2 4
1 2
b
X
X
X
;
;
1234 3
3 4
3 2
1 3
b
X
X
X
X
X
;
;
12 4
4 2
1 4
b
X
X
X
;
;
234 13 13 4
3 2
3 1
b
X
X
X
X
X
;
;
134 23 23 4
3 1
3 2
b
X
X
X
X
X
;
123 34 34 3
2 1
4 Следовательно, дробную реплику с генерирующим соотношением имеет смысл использовать, если нас более всего интересуют коэффициенты
12
,
23
, Дробную реплику, в которой Р линейных эффектов приравнены к эффектам взаимодействия, обозначают 2
k-P
Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
191
Таким образом, планы первого порядка, оптимальные двухуровневые планы ПФЭ 2
k и ДФЭ 2
k-P
имеют следующие преимущества
1) планы ортогональны, поэтому все вычисления просты
2) все коэффициенты определяются независимо один от другого) каждый коэффициент определяется по результатам всех n опытов
4) все коэффициенты регрессии определяются с одинаковой дисперсией, те. эти планы обладают и свойством ротатабель- ности. Выполним проверку в пакете Statistica, построим план ДФЭ для
4 факторов (рис. 6.4). Рис. 6.4. Результат расчет плана ДФЭ для 4 факторов в пакете Statistica Для четвертого фактора в пакете выбрно генерирующее соотношение
X
4
= X
1
X
2
X
3
, (рис. 6.5). Рис. 6.5. Генерирующее соотношение плана ДФЭ для 4 факторов в пакете Statistica
191
Таким образом, планы первого порядка, оптимальные двухуровневые планы ПФЭ 2
k и ДФЭ 2
k-P
имеют следующие преимущества
1) планы ортогональны, поэтому все вычисления просты
2) все коэффициенты определяются независимо один от другого) каждый коэффициент определяется по результатам всех n опытов
4) все коэффициенты регрессии определяются с одинаковой дисперсией, те. эти планы обладают и свойством ротатабель- ности. Выполним проверку в пакете Statistica, построим план ДФЭ для
4 факторов (рис. 6.4). Рис. 6.4. Результат расчет плана ДФЭ для 4 факторов в пакете Statistica Для четвертого фактора в пакете выбрно генерирующее соотношение
X
4
= X
1
X
2
X
3
, (рис. 6.5). Рис. 6.5. Генерирующее соотношение плана ДФЭ для 4 факторов в пакете Statistica
Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ. Разработка математической модели гидравлического режима методическойпечи
В качестве примера рассмотрим разработку математической модели гидравлического режима четырехзонной методической печи с использованием теории планирования эксперимента. При планировании опытов используем методику проведения дробного факторного эксперимента (ДФЭ) первого порядка с двухуровневым варьированием факторов. Перед разработкой плана эксперимента на основе априорной информации были выявлены факторы, влияющие на величину давления в томильной зоне печи. К числу таких факторов относятся расходы топлива на каждую зону нагрева и угол поворота дымового клапана. Расходы воздуха на каждую зону в качестве факторов не фигурировали, поскольку схема управления горением топлива автоматически меняет расход воздуха при изменении расхода газа. Обозначим факторы x
1
— расход газа в томильной зоне, м
3
/ч; x
2
— расход газа во второй сварочной зоне, м
3
/ч; x
3
— расход газа впервой сварочной зоне, м
3
/ч; x
4
— расход газа в нижней сварочной зоне, м
3
/ч; x
5
— положение дымового клапана, % хода исполнительного механизма (рис. 6.6). Рис. 6.6. Положение факторов (X
1
, ..., X
5
) и отклика (Y) при проведении исследования на методической печи
В качестве примера рассмотрим разработку математической модели гидравлического режима четырехзонной методической печи с использованием теории планирования эксперимента. При планировании опытов используем методику проведения дробного факторного эксперимента (ДФЭ) первого порядка с двухуровневым варьированием факторов. Перед разработкой плана эксперимента на основе априорной информации были выявлены факторы, влияющие на величину давления в томильной зоне печи. К числу таких факторов относятся расходы топлива на каждую зону нагрева и угол поворота дымового клапана. Расходы воздуха на каждую зону в качестве факторов не фигурировали, поскольку схема управления горением топлива автоматически меняет расход воздуха при изменении расхода газа. Обозначим факторы x
1
— расход газа в томильной зоне, м
3
/ч; x
2
— расход газа во второй сварочной зоне, м
3
/ч; x
3
— расход газа впервой сварочной зоне, м
3
/ч; x
4
— расход газа в нижней сварочной зоне, м
3
/ч; x
5
— положение дымового клапана, % хода исполнительного механизма (рис. 6.6). Рис. 6.6. Положение факторов (X
1
, ..., X
5
) и отклика (Y) при проведении исследования на методической печи
Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
193
Реализация ПФЭ в этом случае при варьировании всех факторов на двух уровнях потребовала бы постановки 2 5
= 32 опытов. Будем предполагать, что эффекты взаимодействия факторов в исследуемом объекте маловероятны и пренебрежимо малы. Воспользуемся репликой ПФЭ, те. ДФЭ типа 2 5-2
, где формально 2 фактора заменены соответствующими произведениями остальных факторов
(X
4
= X
1
X
2
,
X
5
= X
1
X
2
X
3
). Это позволит сократить число опытов до
2 3
= 8. Уровни варьирования факторов представлены в табл. 6.6. В табл. 6.7 приведены матрица планирования ДФЭ 2 5-2
и результаты эксперимента — значения выходной переменной (давления в томильной зоне методической печи. Таблица Уровни варьирования факторов Уровни факторов Факторы x
1
, м
3
/ч x
2
, м
3
/ч x
3
, м
3
/ч x
4
, м
3
/ч x
5
,
% хода ИМ Основной (нулевой)
5250 3900 2650 1100 74 Нижний
4000 3100 1750 700 50 Верхний
6500 4700 3500 1500 98 Интервал варьирования 1250 800 900 400 24 Для обработки результатов эксперимента используем методику, изложенную ранее в параграфе 4.5.
1. Расчет построчных средних
,
*
m
*
m j
y
2
j y
1
j y
j где m* — число повторных опытов (m*=2). Например,
55
,
2 2
)
5
,
2
(
)
6
,
2
(
1
y
Результаты расчета представлены в табл. 6.7.
2. Определение построчных (выборочных) дисперсий
193
Реализация ПФЭ в этом случае при варьировании всех факторов на двух уровнях потребовала бы постановки 2 5
= 32 опытов. Будем предполагать, что эффекты взаимодействия факторов в исследуемом объекте маловероятны и пренебрежимо малы. Воспользуемся репликой ПФЭ, те. ДФЭ типа 2 5-2
, где формально 2 фактора заменены соответствующими произведениями остальных факторов
(X
4
= X
1
X
2
,
X
5
= X
1
X
2
X
3
). Это позволит сократить число опытов до
2 3
= 8. Уровни варьирования факторов представлены в табл. 6.6. В табл. 6.7 приведены матрица планирования ДФЭ 2 5-2
и результаты эксперимента — значения выходной переменной (давления в томильной зоне методической печи. Таблица Уровни варьирования факторов Уровни факторов Факторы x
1
, м
3
/ч x
2
, м
3
/ч x
3
, м
3
/ч x
4
, м
3
/ч x
5
,
% хода ИМ Основной (нулевой)
5250 3900 2650 1100 74 Нижний
4000 3100 1750 700 50 Верхний
6500 4700 3500 1500 98 Интервал варьирования 1250 800 900 400 24 Для обработки результатов эксперимента используем методику, изложенную ранее в параграфе 4.5.
1. Расчет построчных средних
,
*
m
*
m j
y
2
j y
1
j y
j где m* — число повторных опытов (m*=2). Например,
55
,
2 2
)
5
,
2
(
)
6
,
2
(
1
y
Результаты расчета представлены в табл. 6.7.
2. Определение построчных (выборочных) дисперсий
Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ 005
,
0 1
2
))
55
,
2
(
6
,
2
(
))
55
,
2
(
5
,
2
(
;
1
*
)
(
2 2
2 1
*
1 2
2
S
m
y
y
S
m
i
j
ji
j
Аналогично S
2 2
=0,005; S
3 2
=0,08; S
4 2
=1,28; S
5 2
=0,02; S
6 2
=0,08;
S
7 2
=0,32; S
8 2
=0,405. Сумма построчных (выборочных) дисперсий
S
2
=0,005+0,005+0,08+1,28+0,02+0,08+0,32+0,405=2,195. Таблица Матрица ДФЭ 2
5-2
с двумя параллельными опытами Факторы (кодированные значения) Переменная состояния отклик, кПа
Построч строчная дисперсия Опыт
1 Опыт
2 Среднее Модель 1
1
-1 1
-1
-1 5,1 4,7 4,90 4,74 0,080 1
-1
-1 1
1 1
-1,1 0,5
-0,30 0,08 1,280 1
1 1
-1 1
-1 2,1 2,3 2,20 2,26 0,020 1
-1 1
-1
-1 1
-2,0
-2,4
-2,20
-2,41 0,080 1
1
-1
-1
-1 1
0,0 0,8 0,40 0,08 0,320 1
-1
-1
-1 1
-1 4,2 5,1 4,65 4,74 0,405 3. Определение однородности дисперсий по критерию Кохрена:
5831
,
0 195
,
2 28
,
1 2
2
max
S
S
G
j
эксп
Далее по табл. П находим G
;m;n
. Для
= 0,05, m = m*-1 = 2-1 и n = 8 значение G
0,05;1;8
= 0,6798. Поскольку эксп
< теор, то дисперсии однородны.
4. Определение коэффициентов в уравнении регрессии
,
0 1
2
))
55
,
2
(
6
,
2
(
))
55
,
2
(
5
,
2
(
;
1
*
)
(
2 2
2 1
*
1 2
2
S
m
y
y
S
m
i
j
ji
j
Аналогично S
2 2
=0,005; S
3 2
=0,08; S
4 2
=1,28; S
5 2
=0,02; S
6 2
=0,08;
S
7 2
=0,32; S
8 2
=0,405. Сумма построчных (выборочных) дисперсий
S
2
=0,005+0,005+0,08+1,28+0,02+0,08+0,32+0,405=2,195. Таблица Матрица ДФЭ 2
5-2
с двумя параллельными опытами Факторы (кодированные значения) Переменная состояния отклик, кПа
Построч строчная дисперсия Опыт
1 Опыт
2 Среднее Модель 1
1
-1 1
-1
-1 5,1 4,7 4,90 4,74 0,080 1
-1
-1 1
1 1
-1,1 0,5
-0,30 0,08 1,280 1
1 1
-1 1
-1 2,1 2,3 2,20 2,26 0,020 1
-1 1
-1
-1 1
-2,0
-2,4
-2,20
-2,41 0,080 1
1
-1
-1
-1 1
0,0 0,8 0,40 0,08 0,320 1
-1
-1
-1 1
-1 4,2 5,1 4,65 4,74 0,405 3. Определение однородности дисперсий по критерию Кохрена:
5831
,
0 195
,
2 28
,
1 2
2
max
S
S
G
j
эксп
Далее по табл. П находим G
;m;n
. Для
= 0,05, m = m*-1 = 2-1 и n = 8 значение G
0,05;1;8
= 0,6798. Поскольку эксп
< теор, то дисперсии однородны.
4. Определение коэффициентов в уравнении регрессии
Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ 8
65
,
4 4
,
0 2
,
2 2
,
2 3
,
0 9
,
4 25
,
2 55
,
2 1
0 0
n
x
y
b
n
j
j
j
;
069
,
0 8
65
,
4 4
,
0 2
,
2 2
,
2 3
,
0 9
,
4 25
,
2 55
,
2 1
1 1
n
x
y
b
n
j
j
j
;
244
,
1 8
65
,
4 4
,
0 2
,
2 2
,
2 3
,
0 9
,
4 25
,
2 55
,
2 1
2 2
n
x
y
b
n
j
j
j
;
094
,
0 8
65
,
4 4
,
0 2
,
2 2
,
2 3
,
0 9
,
4 25
,
2 55
,
2 1
3 3
n
x
y
b
n
j
j
j
;
169
,
0 8
65
,
4 4
,
0 2
,
2 2
,
2 3
,
0 9
,
4 25
,
2 55
,
2 1
4 4
n
x
y
b
n
j
j
j
331
,
2 8
65
,
4 4
,
0 2
,
2 2
,
2 3
,
0 9
,
4 25
,
2 55
,
2 1
5 5
n
x
y
b
n
j
j
j
5. Проверка значимости коэффициентов регрессии. Предварительно определим дисперсию воспроизводимости (дисперсию отклика
2744
,
0 8
195
,
2
n
S
n
S
S
2
n
1
j
2
j
2
восп
Дисперсия коэффициентов уравнения регрессии
131
,
0
S
S
;
01715
,
0 2
8 2744
,
0
*
m n
S
S
2
b b
2
восп
2
b
Находим значение доверительного интервала для коэффициентов регрессии b
S
m
;
t j
b
65
,
4 4
,
0 2
,
2 2
,
2 3
,
0 9
,
4 25
,
2 55
,
2 1
0 0
n
x
y
b
n
j
j
j
;
069
,
0 8
65
,
4 4
,
0 2
,
2 2
,
2 3
,
0 9
,
4 25
,
2 55
,
2 1
1 1
n
x
y
b
n
j
j
j
;
244
,
1 8
65
,
4 4
,
0 2
,
2 2
,
2 3
,
0 9
,
4 25
,
2 55
,
2 1
2 2
n
x
y
b
n
j
j
j
;
094
,
0 8
65
,
4 4
,
0 2
,
2 2
,
2 3
,
0 9
,
4 25
,
2 55
,
2 1
3 3
n
x
y
b
n
j
j
j
;
169
,
0 8
65
,
4 4
,
0 2
,
2 2
,
2 3
,
0 9
,
4 25
,
2 55
,
2 1
4 4
n
x
y
b
n
j
j
j
331
,
2 8
65
,
4 4
,
0 2
,
2 2
,
2 3
,
0 9
,
4 25
,
2 55
,
2 1
5 5
n
x
y
b
n
j
j
j
5. Проверка значимости коэффициентов регрессии. Предварительно определим дисперсию воспроизводимости (дисперсию отклика
2744
,
0 8
195
,
2
n
S
n
S
S
2
n
1
j
2
j
2
восп
Дисперсия коэффициентов уравнения регрессии
131
,
0
S
S
;
01715
,
0 2
8 2744
,
0
*
m n
S
S
2
b b
2
восп
2
b
Находим значение доверительного интервала для коэффициентов регрессии b
S
m
;
t j
b
Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ Здесь m=n(m*-1)=8(2-1)=8, тогда теоретическое значение критерия Стьюдента t
0,05;8
=2,31 (можно рассчитать, используя функцию электронных таблиц
Microsoft
Excel
СТЬЮДРАС-
ПОБР(0,05;8)=2,31), откуда
b j
=2,31
0,131=0,303. Из сопоставления доверительного интервала
b j
с абсолютными значениями коэффициентов модели следует, что
b
1
=0,069<0,303;
b
3
=0,094<0,303 и
b
4
=0,169<0,303. Эти коэффициенты оказались незначимы, а остальные значимы. Таким образом, окончательное уравнение регрессии запишется в виде
2 2
Х
2,331
-
1,244Х
-
1,1691,169
y
Результаты расчета выходных параметров по уравнению полученной модели i
y
занесены в табл. 6.7.
6. Проверка адекватности полученной модели. Предварительно определим дисперсию адекватности
)
(
*
1 2
2
ад
l
n
y
y
m
S
n
i
i
i
В данном случае m*=2; n=8; l=3, ив результате имеем
2 2
2 ад 3
,
0
(
)
74
,
4 9
,
4
(
)
66
,
2 25
,
2
(
)
41
,
2 55
,
2
(
3 8
2
S
1386
,
0
]
)
74
,
4 65
,
4
(
)
08
,
0 4
,
0
(
)
41
,
2 2
,
2
(
)
26
,
2 2
,
2
(
2 2
2 С учетом ранее найденной выборочной дисперсии S
2
= 2,195 определяем дисперсию воспроизводимости
274
,
0 8
195
,
2
n
S
S
2 2
восп
Экспериментальное значение критерия Фишера следующее
0,05;8
=2,31 (можно рассчитать, используя функцию электронных таблиц
Microsoft
Excel
СТЬЮДРАС-
ПОБР(0,05;8)=2,31), откуда
b j
=2,31
0,131=0,303. Из сопоставления доверительного интервала
b j
с абсолютными значениями коэффициентов модели следует, что
b
1
=0,069<0,303;
b
3
=0,094<0,303 и
b
4
=0,169<0,303. Эти коэффициенты оказались незначимы, а остальные значимы. Таким образом, окончательное уравнение регрессии запишется в виде
2 2
Х
2,331
-
1,244Х
-
1,1691,169
y
Результаты расчета выходных параметров по уравнению полученной модели i
y
занесены в табл. 6.7.
6. Проверка адекватности полученной модели. Предварительно определим дисперсию адекватности
)
(
*
1 2
2
ад
l
n
y
y
m
S
n
i
i
i
В данном случае m*=2; n=8; l=3, ив результате имеем
2 2
2 ад 3
,
0
(
)
74
,
4 9
,
4
(
)
66
,
2 25
,
2
(
)
41
,
2 55
,
2
(
3 8
2
S
1386
,
0
]
)
74
,
4 65
,
4
(
)
08
,
0 4
,
0
(
)
41
,
2 2
,
2
(
)
26
,
2 2
,
2
(
2 2
2 С учетом ранее найденной выборочной дисперсии S
2
= 2,195 определяем дисперсию воспроизводимости
274
,
0 8
195
,
2
n
S
S
2 2
восп
Экспериментальное значение критерия Фишера следующее
Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ 505
,
0 2744
,
0 1386
,
0 2
восп
2
ад эксп
S
S
F
Теоретическое значение критерия Фишера F
;m1;m2
при
= 0,05 можно определить по справочнику [11], табл. Пили с помощью встроенной функции электронных таблиц Microsoft Excel
,
0 2744
,
0 1386
,
0 2
восп
2
ад эксп
S
S
F
Теоретическое значение критерия Фишера F
;m1;m2
при
= 0,05 можно определить по справочнику [11], табл. Пили с помощью встроенной функции электронных таблиц Microsoft Excel
1 ... 9 10 11 12 13 14 15 16 ... 20
FРАС-
ПОБР. Для m
1
= (n-l) = (8-3) = 5 и m
2
= n(m*-1) = 8(2-1) = 8 значение
F
0,05;5;8
= 3,69 (FРАСПОБР(0,05;5;8)=3,69). Поскольку эксп
< теор, то полученная модель адекватна. Выполним проверку в пакете Statistica.
1. Допустим, по построенному заранее плану ДФЭ 2 5-2
, проведены опыты. Теперь необходимо получить уравнение множественной регрессии от 5 факторов. Для этого внесем полученные опытные данные на новый лист, при этом необходимо вставить также значения факторов. Поскольку имелись повторные опыты, то вставляем опытов (значения факторов будут дублироваться, рис. 6.7. Рис. 6.7. Результаты эксперимента
Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ 2. Теперь можно рассчитать коэффициенты уравнения множественной регрессии (рис. 6.8): Рис. 6.8. Коэффициенты уравнения регрессии Получены следующие результаты b
0
= 1,16875 b
1
= 0,06875 b
2
= –1,24375 b
3
= –0,09375 b
4
= –0,16875 b
5
= –2,33125 Красным выделены значимые коэффициенты уравнения регрессии, следовательно, уравнение примет вид Данный результат согласуется с полученным ранее.
6.4. Планы второго порядка Описание поверхности отклика полиномами первого порядка часто оказывается недостаточным. Во многих случаях удовлетворительная аппроксимация может быть достигнута, если воспользоваться полиномом второго порядка (6.7). В этом случае требуется, чтобы каждый фактор варьировался не менее чем на трех уровнях. В этом случае полный факторный экспе-
0
= 1,16875 b
1
= 0,06875 b
2
= –1,24375 b
3
= –0,09375 b
4
= –0,16875 b
5
= –2,33125 Красным выделены значимые коэффициенты уравнения регрессии, следовательно, уравнение примет вид Данный результат согласуется с полученным ранее.
6.4. Планы второго порядка Описание поверхности отклика полиномами первого порядка часто оказывается недостаточным. Во многих случаях удовлетворительная аппроксимация может быть достигнута, если воспользоваться полиномом второго порядка (6.7). В этом случае требуется, чтобы каждый фактор варьировался не менее чем на трех уровнях. В этом случае полный факторный экспе-
Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
199
римент содержит слишком большое количество опытов, равное Так, при k = 3 их 27, а число коэффициентов b – 10, при k = 5 число опытов 243, а коэффициентов 21. В связи с этим осуществление ПФЭ для планов второго порядка не только сложно, но и нецелесообразно. Сократить число опытов можно, воспользовавшись так называемым композиционным или последовательным планом, разработанным Боксом и Уилсоном. Так, при двух факторах модель функции отклика) второго порядка представляет собой поверхность в виде цилиндра, конуса, эллипса и т.д., описываемую в общем виде уравнением
2 1
12 2
2 22 2
1 11 2
2 1
1 Для определения такой поверхности необходимо располагать координатами не менее трех ее точек, те. факторы x
1
и x
2
должны варьироваться не менее чем на трех уровнях. Поэтому план эксперимента в плоскости факторов x
1
и x
2
на риса не может состоять лишь из опытов 1, 2, 3, 4 ПФЭ 2 2
, располагающихся в вершинах квадрата, как это было для модели первого порядка. Рис. 6.9. Планы второго порядка при k=2: а – ортогональный б – ротатабельный К ним должны быть добавлены опыты (звездные точки) 5, 6, 7,
8, расположенные на осях x
1
и x
2
с координатами (
;0), (0;
) и обязательно опыт 9 в центре квадрата, чтобы по любому направлению
1 2 б a
199
римент содержит слишком большое количество опытов, равное Так, при k = 3 их 27, а число коэффициентов b – 10, при k = 5 число опытов 243, а коэффициентов 21. В связи с этим осуществление ПФЭ для планов второго порядка не только сложно, но и нецелесообразно. Сократить число опытов можно, воспользовавшись так называемым композиционным или последовательным планом, разработанным Боксом и Уилсоном. Так, при двух факторах модель функции отклика) второго порядка представляет собой поверхность в виде цилиндра, конуса, эллипса и т.д., описываемую в общем виде уравнением
2 1
12 2
2 22 2
1 11 2
2 1
1 Для определения такой поверхности необходимо располагать координатами не менее трех ее точек, те. факторы x
1
и x
2
должны варьироваться не менее чем на трех уровнях. Поэтому план эксперимента в плоскости факторов x
1
и x
2
на риса не может состоять лишь из опытов 1, 2, 3, 4 ПФЭ 2 2
, располагающихся в вершинах квадрата, как это было для модели первого порядка. Рис. 6.9. Планы второго порядка при k=2: а – ортогональный б – ротатабельный К ним должны быть добавлены опыты (звездные точки) 5, 6, 7,
8, расположенные на осях x
1
и x
2
с координатами (
;0), (0;
) и обязательно опыт 9 в центре квадрата, чтобы по любому направлению
1 2 б a
Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ, (1-9-4) и т.д. располагалось три точки, определяющие кривизну поверхности в этом направлении. Таким образом, в общем случае ядро композиционного плана составляет при k < 5 ПФЭ 2
k
, а при k
5 — дробную реплику от него. Если линейное уравнение регрессии оказалось неадекватным, необходимо) добавить 2
k звездных точек, расположенных на координатных осях факторного пространства (
,0,0,...,0), (0,
,0,...,0),
..., (0,0,...,
), где
— звездное плечо, или расстояние дозвездной точки
2) провести n
0
опытов при значениях факторов в центре плана. При k факторах общее число опытов в матрице композиционного плана составит n = 2
k
+ 2
k +n
0
при k < 5, n = 2
k-1
+ 2
k +n
0
при k
5. При этом величина звездного плеча
и число опытов в центре плана n
0
зависит от выбранного вида композиционного плана. Композиционный план для k = 2 и n
0
= 1 представлен в табл. Таблица Композиционный план второго порядка Номер опыта Факторы Результат y
j x
0
x
1
x
2
x
1
x
2
x
1 2
x
2 2
1
+1
-1
-1
+1
+1
+1 Ядро 2
+1
+1
-1
-1
+1
+1 плана 3
+1
-1
+1
-1
+1
+1 y
3 4
+1
+1
+1
+1
+1
+1 y
4 5
+1
+
0 0
2 0 Звездные 6
+1
-
0 0
2 0 точки 7
+1 0
+
0 0
2
y
7 8
+1 0
-
0 0 Центр 9 плана
+1 0
0 0
0 0 Аналогичным образом составляются планы и для большего числа факторов.
k
, а при k
5 — дробную реплику от него. Если линейное уравнение регрессии оказалось неадекватным, необходимо) добавить 2
k звездных точек, расположенных на координатных осях факторного пространства (
,0,0,...,0), (0,
,0,...,0),
..., (0,0,...,
), где
— звездное плечо, или расстояние дозвездной точки
2) провести n
0
опытов при значениях факторов в центре плана. При k факторах общее число опытов в матрице композиционного плана составит n = 2
k
+ 2
k +n
0
при k < 5, n = 2
k-1
+ 2
k +n
0
при k
5. При этом величина звездного плеча
и число опытов в центре плана n
0
зависит от выбранного вида композиционного плана. Композиционный план для k = 2 и n
0
= 1 представлен в табл. Таблица Композиционный план второго порядка Номер опыта Факторы Результат y
j x
0
x
1
x
2
x
1
x
2
x
1 2
x
2 2
1
+1
-1
-1
+1
+1
+1 Ядро 2
+1
+1
-1
-1
+1
+1 плана 3
+1
-1
+1
-1
+1
+1 y
3 4
+1
+1
+1
+1
+1
+1 y
4 5
+1
+
0 0
2 0 Звездные 6
+1
-
0 0
2 0 точки 7
+1 0
+
0 0
2
y
7 8
+1 0
-
0 0 Центр 9 плана
+1 0
0 0
0 0 Аналогичным образом составляются планы и для большего числа факторов.
Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ. Ортогональные планы второго порядка В общем виде план, представленный в табл, неортогонален, так как
n
j
uj
ij
n
j
ij
j
x
x
x
x
1 2
2 1
2 0
u i
,
0
;
0
(6.26) Приведем его к ортогональному виду, для чего введем новые переменные (преобразования для квадратичных эффектов
2 2
1 При этом
n
j
n
j
i
j
i
n
j
i
j
i
j
i
j
x
n
x
x
x
x
x
1 1
2 2
1 2
2
'
0 Тогда уравнение регрессии будет записано как
.'
'
'
1 1
,
u
1 Композиционные планы легко привести к ортогональным, выбирая звездное плечо
. В табл. 6.9 приведено значение
для различного числа факторов k и числа опытов в центре плана Таблица Значения звездных плеч в ортогональных планах второго порядка Число опытов в центре плана Звездное плечо
при различном числе факторов k k=2 k=3 k=4 k=5 *
1 1,000 1,215 1,414 1,546 2
1,077 1,285 1,471 1,606 3
1,148 1,353 1,546 1,664
n
j
uj
ij
n
j
ij
j
x
x
x
x
1 2
2 1
2 0
u i
,
0
;
0
(6.26) Приведем его к ортогональному виду, для чего введем новые переменные (преобразования для квадратичных эффектов
2 2
1 При этом
n
j
n
j
i
j
i
n
j
i
j
i
j
i
j
x
n
x
x
x
x
x
1 1
2 2
1 2
2
'
0 Тогда уравнение регрессии будет записано как
.'
'
'
1 1
,
u
1 Композиционные планы легко привести к ортогональным, выбирая звездное плечо
. В табл. 6.9 приведено значение
для различного числа факторов k и числа опытов в центре плана Таблица Значения звездных плеч в ортогональных планах второго порядка Число опытов в центре плана Звездное плечо
при различном числе факторов k k=2 k=3 k=4 k=5 *
1 1,000 1,215 1,414 1,546 2
1,077 1,285 1,471 1,606 3
1,148 1,353 1,546 1,664