Файл: Численные методы и математическое моделирование.pdf

125 стему координат, которая требуется для задания некоторых физи- ческих свойств при решении задач. Так в руководстве пользова- теля по данному пакету [2] имеется следующее замечание:
Задание ортотропных свойств материалов, некоторых видов
нагрузок и граничных условий зависит от выбора системы коор-
динат. Вы можете выбрать декартову или полярную систему
координат для каждого элемента данных в отдельности и неза-
висимо от системы координат, ассоциированной с моделью по
умолчанию. Этот выбор осуществляется в диалогах «Ввод физи- ческих свойств».
Надо выбрать «Расчет», который имеет три варианта: «Прики- дочный», «Обычный» и «Прецизионный». Каждый из них отли- чается точностью и, следовательно, временем расчета. Чем выше точность (прецизионный) тем дольше время счета. Выбираем
«Обычный».
Ниже показаны файла геометрии и свойств, которые будут со- зданы для данной задачи. Однако, если заглянуть с команды меню
«Файл», то можно увидеть отдельные команды создания файлов и, следовательно, здесь мы можем эти файлы подключить к нашей новой задаче.
Завершаем ввод свойств задачи, нажимая кнопку
«Готово» и слева появляется проект задачи, а в рабо- чем поле видим сетку с осью коор- динат для построе- ния геометриче- ской модели нашей задачи (рис. 44).
Попробуем реализовать решение, которое делалось ранее.
Имеется пластина, которая контактирует с двумя средами с раз-
Рис. 44. Проект решения задачи и поле построения геометрической модели.

126 ной температурой: холодная среда имеет температуру 20°С, а го- рячая 100°С. В данной задаче надо понимать, что мы получаем конечное решение при времени, стремящемся к бесконечности.
Чтобы получить решение от времени надо строить нестационар- ную задачу теплопередачи, к чему мы перейдем в следующих ре- шениях.
Строим пластину шириной 10см и высотой 25см (рис. 45), ис- пользуя кнопку
(
Вставить вершину и ребро), предварительно выбрав тип ребра (в данном случае это «Прямая линия»). После нажатия этой кнопки курсор превращается в чер- ный крест при нахождении в рабочем поле построения геометрии.
Выбираем точку с координатами (10.0 см, 0.0 см) о чем видно в строке статуса при переме- щении курсора по рабочему полю. Нажимаем левую кнопку мыши и не отпуская её перемещаемся в точку
(10.0 см, 20.0 см). Отпус- каем кнопку мышки и снова нажимаем перемещая кур- сор в точку (20.0 см, 20.0 см). Потом опускаемся в точку (20.0 см, 0.0 см) и за- вершаем построение в начальной точке (10.0 см,
0.0 см).
Теперь надо задать все объекты:
- тело;
- четыре границы по его краям.
Выбираем команду «Выделение объектов» и щелкаем левой кнопкой мышки на объекте, например, по телу, объект выделя- ется, меняя свой цвет на красно-коричневый. Вызываем правой
Рис. 45. Геометрическая модель.

127 кнопкой мышки контекстное меню и командой «Свойство» за- даем метку объекта, в данном случае «Тело» (рис. 46а), перейдя на закладку «Статистика» можно увидеть все данные по выделен- ному объекту (рис. 46б). а. б.
Рис. 46. Свойства объекта.
Повторяем процедуру для оставшихся объектов (четыре гра- ницы тела). При выделении границ линии меняют цвет на красный. Даем им метки «Ле- вая», «Верхняя», «Правая» и «Нижняя».
В проекте появляются новые объекты
(рис. 47) для которых надо задать необходи- мую информацию. Пока они все помечены знаками вопросов как неопределенные.
Начинаем задавать их свойства. Для этого можно использовать три варианта команды: два раза щелкаем на объекте «Тело» или пра- вой кнопкой на данном объекте открываем контекстное меню и вызываем команду
«Свойства», либо на выделенном объекте нажимаем комбинацию клавиш Alt+Enter. Открывается окно (рис. 48) в котором необхо- димо заполнить нужные параметры (не обязательно все).
Для нашего тела надо выбрать его материал по вашему усмот- рению из приложения 1 и задать для него теплопроводность, ко- гда будем строить решение нестационарной задачи потребуются
Рис. 47. Структура проекта.

128 так же теплоемкость и плотность вещества, которые указаны в этом же приложении.
Для решения используем сталь, теплопроводность которой
45,4 Вт/(м·град). Вводим эти данные в одно из полей и второе за- полняется автоматически если не установлены галочки ниже «Не линейный материал» или «Анизотропный материал» (рис. 48).
Остальные данные для нашего решения не нужны.
Для границ задаем два вида условий: температура равна задан- ной для левой и правой границ и теплообмен равен нулю для верхней и нижней границ. Пример задания условий для левой гра- ницы показан на рис. 49.
Рис. 48. Задание свойств для тела.
Для граничных условий верхней и нижней границ ис- пользуем вторую рамку с теп- ловым потоком равным 0.
Рис. 49. Задание граничных условий.
Все готово для выполнения расчета. Переходим в меню «За- дача» и выполняем команду «Решить …», которая содержит имя

129 активной задачи. Программа запрашивает разрешение на сохра- нение данных для ряда фай- лов и выполняет расчет, а по- том предлагает показать ре- зультаты расчета, соглаша- емся «Да» и получаем кар- тину теплового поля для ста- ционарного состояния (рис.
50), которое дает равную ли- нейную зависимость от од- ной температуры до другой, что можно увидеть при по- строении графика вдоль кон- тура .
Построим контур парал- лельно горизонтальной оси
(рис. 51а) и затем вызовем команду построение графика вдоль ли- нии контура
(рис. 51б). Рассмотрим основные команды про- смотра.
Рис. 50. Картина теплового поля.

130 а. б.
Рис. 51. Построение линии контура (а.) график температуры вдоль линии контура (б.).
Первая команда позволяет настроить картину теплового поля (рис. 52), задавая различные параметры.
Рис. 52. Свойства картины поля.
Галочками можем выбрать нужные для построения объекты:
- «Изотермы» – линии равной температуры с указанным шагом по температуре»
- «Векторы» – направления потоков тепла в виде стрелок раз- ного направления и длины в зависимости от направления по- тока и его мощности с указанием масштаба, и частоты постро- ения стрелок;
- «Цветная карта» – собственно картина теплового поля, кото- рая может строиться для температуры, градиентов темпера- туры общего и по координатам, теплового потока общего и по координатам и прочих данных, в данном случае это теплопро- водность. Для построения задается число цветов и их мини- мальное и максимальное значения;
- «Конечные элементы» – границы конечных элементов для расчета.
Чтобы получить более сложную картину поля добавим для

131 верхней границы нагрев за счет радиации с параметрами: коэф- фициент – β=0.8; температура среды – Т
0
=573.
Сделаем перерасчет задачи и получим картина поля, нанесем на картину изолиниями с шагом
0.5 градуса, вектора с масштабом 0.0005 и ша- гом 1 и границы конечных элементов (рис. 53).
Следующие три команды обеспечи- вают вызов окна калькулятора и переключения между двумя схемами расчета:
- открывает/скрывает калькулятор;
- показывает локальные значения в заданных точках (рис. 54), где после указания мышкой точки в поле картины выводятся координаты выбранной точки в декартовых и полярных ко- ординатах, далее выводится температура и дру- гие параметры для данной точки;
- показать интегральные значения вдоль заданного кон- тура
(рис. 55).
Потом рас- положены ко- манды масштабирова- ния поля температур
, которые имеют комбинации горячих клавиш, показанные в квадратных скобках (gray – серый, указывают на клавиши расположенные на цифровой клавиатуре справа: «Крупнее [Ctrl+gray+]», «Мельче
[
Ctrl+gray-]» и «Показать все [Ctrl+0]».
Далее расположена команда , отвечающая за показ цветной
Рис. 53. Картина поля.
Рис. 54. Данные для локальной точки
Рис. 55. Данные для контура.

132 шкалы соответствия цвета и температуры. Щелчок правой кноп- кой мышки на самой шкале выводит основные команды её настройки – скопировать шкалу, перевести в оттенки серого и скрыть.
Команды позволяют строить контур для его исследования, выбрав сначала команду построения и потом тип фрагмента контура для построения. Когда на поле имеется по- строенный контур становятся доступными команды для по- строения графика и таблицы данных вдоль контура (рис. 56).
Рис. 56. Построенный контур, таблица данных вдоль него и график.
Последняя кнопка вызывает надстройку «Гармонический анализатор», который позволяет построить фазы и амплитуды для разложения в ряд Фурье вдоль заданного контура.
Усложним задачу внося разные условия граничные условия и анализируя результаты.
Возвратим верхнее граничное условие к тепловому потоку рав- ному нулю и зададим левое и правое граничные условия конвек- тивному теплообмену с разными коэффициентами и теми же тем-

133 пературами, что были заданы вначале. Сделайте расчет и проана- лизируйте температурное поле в зависимости от разных соотно- шений коэффициентов конвективного теплообмена и теплопро- водности вещества. Постройте графики изменения температуры по контуру от левой границы до правой и сравните их.
В результате анализа должно быть получено практически по- стоянное и равное средней температуре между температурами на границах тела. Изменение соотношения коэффициентов конвек- тивного теплообмена вносит небольшие наклоны по температуре в данную картину. Если уменьшить теплопроводность материала, то изменения температуры становятся более существенны.
Построим многослойную систему тел с различными теплопро- водностями их материалов. Например, проведем внутри тела две границы по Х=12.0 см и Х=18.5 см. Присвоим им метки: «Тело1»,
«Тело2» и «Тело3», зададим им теплопроводности: 5.4, 0.2 и 15.5
Вт/(м·град). Создаем две внутренние границы с метками
«Гр_Т1_Т2» и «Гр_Т2_Т3», задаем для них граничное условие
«Равная температура Т=const», что соответствует граничному условию третьего рода.
Делаем расчёт за- дачи, строим поле, про- кладываем контур и вдоль него строим гра- фик темпе- ратуры (рис.
57).
Попро- буйте изме- нять тепло- проводности тел, что должно приводить к изменению наклона
Рис. 57. Трехслойное тело и график температуры в нем.

134 различных частей графика.
Как видим, наличие граничных условий конвекции делает рас- пределение температуры в теле менее существенным. Только жесткие граничные условия первого рода обеспечивают неогра- ниченный запас тепла и обеспечивают заданные температуры.
Рассмотрим источники тепла, которые могут быть локализо- ванными (сосредоточенными) или распределенными по всему телу. Возьмем за основу первую задачу с заданной температурой на левой границе и конвективным теплообменом на правой гра- нице и поместим внутри тела несколько точечных источников тепла, задав для них одинаковую температуру (рис. 58).
Рис. 58. Модель и тепловое поле с тремя источниками тепла.

135
Нажимаем кнопку «Далее» и видим, что все свойства задачи из
«Пример1» сохранены. Выбираем файл геометрии из предыду- щей задачи (рис. 60) и нажимаем «Готово».
Рис. 59. Создание новой задачи.
Рис. 60. Задание для задачи файла геометрии из другой за- дачи.
В рабочем поле открывается геометрия из предыдущей задачи со всеми объектами, которые там были заданы. Остается прове- рить свойство объектов и задать для левой и правой границ кон- вективный теплообмен с температурой среды 293 К и коэффици- ентов конвективного теплообмена равным 1. Делаем расчет и по- лучаем поле температур равное 293 К по всему телу (рис. 61). В результате получаем начальные условия распределения темпера- туры по телу для построения нестационарной задачи теплопере- дачи.
Построим её, создаем новую задачу и ставим галочку «Сделать новую задачу как копию образца», переходим к следующему шагу и выбираем тип задачи «Теплопередача нестационарная».
Вместо кнопки «Готово» появляется кнопка «Далее» для настройки дополнительных свойств задачи, нажимаем её. В от- крывшемся окне третьего шага запрашивается максимальное время интегрирования и его шаг, либо можно установить шаг ин- тегрирования автоматически, а также задаем шаг и начальную

136 точку для вывода результатов. Нажимаем «Готово» и задаем свойства для задачи, чего не требовалось раньше, тела и границ.
Рис. 61. Задача для определения начальных температур тела.
В свойствах задачи определяем начальные условия модели
(рис. 62). Выбираем тип данных «Распределение температуры» и выбираем предыдущую задачу «При- мер2.pbm»
Нажимаем кнопку «Добавить», кото- рая после добавления из- меняет заголовок на «Об- новить». Здесь же можно изменить временные пара- метры и другие свойства задачи.
Рис. 62. Задание начальных условий.

137
Реализация решений в Elmer
Разберём несколько стандартных примеров, которые поставля- ются с пакетом Elmer 6.2. Весь материал переведен и адаптирован с документации по пакету []
Уравнение теплопроводности – температурное поле в твёр-
дом теле (Heat equation – Temperature field of a solid object)
Описание задачи
В данном примере показано как решать уравнения теплопро- водности для любых 2D- 3D-объ- ектов. Твёрдый предмет площа- дью Ω (рис. 01) нагревается внут- ренним источником тепла. На ча- сти границ Г температура фикси- руется на уровне окружающей среды. Требуется построить тем- пературное поле в теле.
Математически задача описы- вается уравнением Пуассона







граница
T
тело
f
T
k
0

где k является коэффициент теплопроводности, T – температура и
f является источником тепла. Предполагается, что плотность и теплопроводности материала тела являются константами.
Для того чтобы решить задачу, мы предполагаем, что часть границ имеет постоянную температуру T
0
= 293 K, внутренний источник тепла h = 0,01 Вт / кг, материал тела – алюминий.
Решение задачи
Запускаем ElmerGUIlogger иконкой на рабочем столе. До- ступен запуск и непосредственной программой ElmerGUI, что просто отключит контроль работы программы. Остановимся на
Рис. 01: Схема объекта, кото- рый нагревается