Файл: Методические указания к практическим работам по дисциплине б 16 Инженерная геодезия для направления 08. 03. 01 Строительство.docx

1.2. Основные формулы оценки точности равноточных измерений

1. Вероятнейшее значение измеряемой величины – арифметическая средина:

хо = = [ l ] / n ,

где l – результат измерения; n – количество изерений.

2. Средняя истинная погрешность: θ = ,

где Δ = l_i – X – случайная истинная погрешность данного ряда измерений,

l_i – результат измерения; X – истинная величина измерения.

3. Средняя квадратическая погрешность (СКП):

- при наличии случайных истинных погрешностей (формула Гаусса)

m² = или m = ;

- при наличии случайных вероятнейших погрешностей (формула Бесселя)

m = ,

где δi = li – х_о - вероятнейшая погрешность данного ряда измерений, х_о – арифметическая средина, l_i – результат измерения.

- по разностям двойных измерений

m = = ,

где d_i = l_i – l_i^’ - разность между первым и вторым результатами измерений одной и той же величины при отсутствии в ней систематической погрешности;

m = = ,

где Δd_i = d_i – d₀ - разность между первым и вторым результатами измерений одной и той же величины и исключенной из нее систематической погрешности , которая вычисляется по формуле среднего арифметического: d₀ = [d] / n.

4. Предельная погрешность : Δl_пр = ±3m или Δl_пр = ±2 m (при повышенных требованиях к точности измерений).

5. Средняя квадратическая погрешность арифметической средины

---

: при n измерениях, при двойных измерениях.

6. Средняя квадратическая погрешность функций:

Вид фунции СКП

а) Z =
б) z =

в) z = f (x_1,x_2, …x_n) -функция

общего вида

1.3. Основные формулы оценки точности неравноточных измерений

1. Вероятнейшее значение измеряемой величины – общая арифметическая средина:

х₀ = = [pl ] / [p] ,

где l – результат измерения; p – вес соответствующего результата измерения.
2. Средняя квадратическая погрешность результата измерения с весом, равным единице:
а) , где Δ – истинная погрешность измерения, р – вес данного измерения, n – количество измерений;

б) , где δ – вероятнейшая погрешность измерения;

в) , где d - разность двойных измерений при отсутствии систематических погрешностей;

г) μ = , где Δd – разность двойных измерений при исключении из нее систематической погрешности.
3. Средняя квадратическая погрешность общей арифметической средины:

,

где [p] – сумма весов данного ряда измерений.
4. Средняя квадратическая погрешность результата измерений с весом p:


5. Веса функций измеренных величин:

Вид фунции Вес функции

---

а) Z =
б) z =

в) z = f (x_1,x_2, …x_n) -функция

общего вида

---

1.4. Задания

Задание 1. Действия с приближенными числами
Задания выполнить в соответствии с исходными данными по варианту и правилами действий с приближенными числами (см. Приложения).

Вариант	N	n	N1	n1	N2	N3	N4	n3	N5

1.1. Округлить число N до n значащих цифр и число N₁ до n₁ знаков после запятой: N = , N₁ =

1.2. Определить сумму чисел N и N₁ : N + N₁ =

1.3. Вычислить произведение чисел N₂ и N₃, частное от деления этих чисел:

N₂ * N₃ = N₂ / N₃ =

1.4. Возвести в n₃ степень число N₄ и извлечь корень квадратный из числа N₅: =

Задание 2. Оценка погрешности одного двойного измерения
Определить абсолютную погрешность ΔD (расхождение значений), среднее значение D_ср, относительную погрешность f_отн двойного измерения линии (в прямом и обратном направлениях). Относительную погрешность записать в виде аликвотной дроби, то есть в виде 1/n , где n - натуральное число. Ответить на вопрос: «Допустимо ли полученное расхождение между двумя измерениями?».

Допустимая относительная погрешность не должна превышать для: местности 1 категории (благоприятные условия измерений) - 1/2000; местности 2 категории (средние условия) - 1/1500 местности 3 категории (неблагоприятные условия измерений) - 1/1000.

Исходные данные по варианту:

Категория местности -
D_пр = D_обр = D_ср =

---

ΔD= f_отн =

Задание 3. Обработка ряда истинных погрешностей измерений
Истинная погрешность измерений может включать в себя не только случайную погрешность, но и систематическую, либо ряд систематических погрешностей. Если систематическая погрешность постоянно или односторонне действует на результаты многократных измерений, она исключается введением соответствующих поправок. На практике это не всегда удается сделать, поскольку на результат измерений могут влиять одновременно несколько систематических погрешностей, значение которых определить невозможно. В этом случае оценивается их совместное влияние как среднее арифметическое для ряда истинных погрешностей:

θ , где n - число измерений (погрешностей),

Δ_i– истинная погрешность измерения i .
При значении θ («тета»),близком к нулю (сопоставимом с точностью измерений) делается вывод о незначительном влиянии систематической составляющей или ее отсутствии. В противном случае необходимо исключить систематическую погрешность вычитанием величины θ из величин истинных погрешностей Δ_i. После исключения систематической части остается случайная составляющая погрешности η (читается «эта»).

η_i = Δ_i - θ.

2.1. Вычислить систематическую часть погрешности измерений θ, исключить ее из приведенных в таблице значений Δ. В заданном ряде из 24 измерений использовать по варианту значения истинных погрешностей для измерений №№ 7,8,15,16,23,24, которые даны в приложении.
θ =

2.2. Определить среднюю квадратическую погрешность измерений mпосле исключения систематической составляющей, применив формулу Гаусса (см. методические указания). В формуле Гаусса нужно заменить величину Δ случайной составляющей η. Результат округлить до двух десятичных знаков. Ниже записать формулу Гаусса и вычисленное значение средней квадратической погрешности m:

m =
Результаты вычислений оформить в табличной форме:

№	Δ,см	η	η2	№	Δ,см	η	η2
изм-я				изм-я
1	2			13	-11
2	1			14	-3
3	-1			15
4	-5			16
5	-3			17	-6
6	5			18	1
7				19	-4
8				20	5
9	-3			21	-5
10	0			22	2
11	4			23
12	-1			24
[Δ]=		[η] =			[η2] =

---